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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 12 第一章 勾股定理 知识点一 勾股定理 1. 文字表述：在任意直角三角形中，两条直角边长的_________相加，结果等于________的平方。 2. 公式区分：必须分清________与________，斜边是三角形最长边，不能随意代入边长。 3. 变形公式作用：已知任意两条边长，可求出第三条边长。 4. 面积拓展：结合等面积法，直角三角形两直角边________=________×________，可快速求高。 5. 限制条件：锐角三角形、钝角三角形不能直接使用该公式。 知识点二 勾股定理的证明 1. 统一核心方法：等面积割补法，不靠测量，依靠代数化简严格证明。 2. 赵爽弦图：我国古代经典证法，考试填空、证明大题高频考点；利用大小正方形面积差推导公式。 3. 总统梯形证法：用一组全等直角三角形拼接梯形，拆分面积完成证明，步骤简洁。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 12 4. 割补平移法：通过平移、旋转将两个小正方形拼接为大正方形，直观体现平方和关系。 知识点三 勾股数 1. 严格定义：三个数字必须是________，分数、小数、负数都不属于勾股数。 2. 记忆基础勾股数，选择填空可直接使用，减少计算量。 3. 倍数性质：如 3、4、5 同时乘 3 得 9、12、15，依旧满足勾股关系。 知识点四 勾股定理逆定理 1. 使用步骤：先找出三边中最长边，再计算平方对比，不能随便取边代入。 2. 拓展判定：可快速判断三角形属于锐角、直角、钝角三类，是几何证明垂直的重要工具。 3. 网格题用法：利用方格横向、纵向距离，算出线段平方，无需开方即可判断直角。 知识点五 勾股定理与逆定理区别与联系 1. 区别核心：定理是“有直角，算________”；逆定理是“知边长，证________”，二者功能不可混用。 2. 联系：互为逆定理，公式完全相同，几何大题经常组合使用，先判定直角再计算线段长度。 知识点六 勾股定理应用 1. 分类讨论易错点：已知直角三角形两边长，未说明斜边时，________计算，避免漏解。 2. 折叠问题解题关键：折叠前后对应线段________相等，设未知数建立方程，是八年级必考大题。 3. 立体最短路径：立体表面无法直接连线，必须展开为________，依据________________最短求解。 4. 实际应用题解题关键：剥离文字信息，画出直角三角形简图，标准化列式计算。 易错点1 勾股定理的证明 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂等面积法核心逻辑，不会列整体面积=局部面积和。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 12 2. 证明过程跳步、乱代边长，分不清哪个边是 a、b、c。 3. 只会背结论，不会展开化简，大题书写不规范直接扣分。 4. 混淆不同证法的图形结构，赵爽弦图和总统证法公式乱用。 注意事项总结 1. 所有勾股证明统一思路：等面积法，先列面积等式，再代数化简。 2. 证明前先标注清楚：直角边 a、b，斜边 c，不标边绝对不能写过程。 3. 严格步骤：列面积式 → 展开 → 消项 → 得出 2 2 2 a b c + = 。 4. 不同证法图形不能混用，图形对应公式固定。 【对点训练】1．如图，将一个长为a，宽为b 的长方形纸片（如图Ⅰ，a b ）剪成2 个完全相同的直角三 角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为ABC 和DEB ，点D 在 边BC 上，DE 与AB 交于点F，连接AD和AE ． (1)写出AB 与DE 的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证 2 2 2 a b c + = ． 易错点2 与弦图有关的计算与证明 易错提醒 易错点总结 1. 分不清弦图中大正方形、小正方形、直角三角形边长关系。 2. 误把小正方形边长当成斜边，导致全盘计算错误。 3. 不会使用弦图二级结论：大正方形面积 =c^2、小正方形面积 = 2 ( ) a b − 。 4. 已知面积不会反求直角边、斜边。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 12 注意事项总结 1. 赵爽弦图铁律：外围大正方形边长=斜边 c，内部小正方形边长 =|a-b|。 2. 固定公式：S_大正= 2 c ，S_小正= 2 ( ) a b − ，四个三角形面积和 =2ab。 3. 遇到弦图计算优先用整体代换，不单独硬算边长。 4. 看清题目求的是边长、周长还是面积，避免答非所问。 【对点训练】2．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角 三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面 积，证明了勾股定理 2 2 2 a b c + = ． (1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 4 a = ， 6 b = ，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已 知外围轮廓（实线）的周长为24， 3 OC = ，求该风车状图案的面积． 易错点3 勾股定理与折叠问题 易错提醒 易错点总结 1. 忽略折叠前后对应边相等、对应角相等的核心条件。 2. 不会设未知数，找不到可以用勾股的直角三角形。 3. 方程列错、边长对应错误，漏看隐藏直角三角形。 4. 求出未知数后忘记求最终所求线段，解题不完整。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 12 注意事项总结 1. 折叠题万能步骤：找相等边 → 设 x → 用剩余边长表示另一边长 → Rt△ 列方程。 2. 所有折叠问题必须用方程思想，不能硬猜边长。 3. 重点观察折叠后新形成的直角三角形，这是解题突破口。 4. 解出 x 后代回原图检验边长合理，舍去不合理的值。 【对点训练】3．如图，一张三角形纸片ABC ，已知， 10 AB = ， 8 AC = ， 6 BC = ，将该纸片折叠，若折叠 后点A与点B 重合，折痕DE 与边AC 交于点D ，与边AB 交于点E ． (1)求ABC 的面积． (2)求折痕DE 的长． 易错点4 勾股定理实际应用问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从生活场景中抽象出直角三角形模型。 2. 分不清直角边和斜边，最长边没有当作 c 代入公式。 3. 已知两边求第三边不分类讨论，漏掉一种情况丢分。 4. 单位不统一、最后不写答，步骤扣分。 注意事项总结 1. 实际题第一步：画图建模，标出垂直、直角、已知边长。 2. 无说明斜边时必须分类讨论：两边都是直角边 / 长边为斜边。 3. 永远记住：最长边才可以当斜边 c。 4. 统一单位、规范列式、最后必须写答句。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 12 【对点训练】4．如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A 处， 24 OA = 米，小亮站在另一条道路的边缘点B 处，此时两人之间的直线距离为25 米，而他们手中的对讲机 恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时OB 的长度； (2)当小明沿路边向北走了9 米到达点C 处（即 9 AC = 米），同时小亮沿路边向东走到了点D 处，若两人之间 的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25 米不变），求BD的长度． 易错点5 求几何体中最短路径 易错提醒 易错点总结 1. 不会立体转平面，直接在立体图中连线计算，完全错误。 2. 展开长方体时展开方式不唯一，只算一种导致不是最短。 3. 展开后边长找错，长、宽、高对应混乱。 4. 圆柱展开长方形周长对应错误，底面周长算错。 注意事项总结 1. 立体最短路径铁律：先展开、再平面、后勾股。 2. 长方体三种展开方式，必须全部计算，取最小值才是最短路径。 3. 圆柱侧面展开：一边是高，一边是底面圆周长。 4. 依据：两点之间线段最短，折线一定不是最短。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 12 【对点训练】5．如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河道的距离AC 为6km， 工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延长线于点F ，经测量， 12km BF = ，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间的距离之和最小，点E 需 在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE BE + ．（污水处理厂、工厂的大小和河道、地 下管道的宽度均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 12 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（ ） A．0.5，1.2，1.3 B．2 ，3 ，5 C．8，24，25 D．6 ，8，10 2．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大 意是：“如图，一根竹子高1 丈（1 丈 10 = 尺），在点A 处折断后竹子顶端点B 触地，测得点B 离竹子底端 点C 距离为3 尺（即 3 BC = 尺），问折断处离地面高AC 为多少尺？”．设折断处离地面高AC 为x 尺，可列 方程为（ ） A． ( ) 2 2 2 3 10 x x + = + B． ( ) 2 2 2 3 10 x x + + = C． ( ) 2 2 2 3 10 x x + − = D． ( ) 2 2 2 3 10 x x + = − 3．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A ，B， C ，D 的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形E的面积是（ ） A．34 2 5 + B．36 C．54 D．64 4．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB 为12cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面 爬行到点C 的最短路程为（ ） A．17cm B．13cm C．12cm D．2 6cm 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 12 5．如图，在5 5 的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，从中任意找出3 点组成三角形，下列选项 中，是直角三角形的是（ ） A．ABC B．BCD C．ADC D．ABD 二、填空题 6．如图，在ABC 中， 90 B = ， 1 AB = ， 2 BC = ，则正方形ADEC 的面积是________． 7．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b 组成，a、b 之间的距离为1 米，在a、b 之间要布 置跨线工位CD，使得CD a ⊥ ，物料供应点A 到传送带a 的距离 3 AE = 米，物料供应点B 到传送带b 的距 离 2 BF = 米，A，B 之间的距离为2 13 米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即AC BD = ， 则EC = ________． 8．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿 过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进 门，门的宽度比竿小4 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2 尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试 问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC 为x 尺，依题意可列方程为_________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 9．如图，已知在长方形ABCD中， 3 AB = ， 5 BC = ，若把长方形ABCD沿EF 折叠，使点C 落在点A处， 点D落在点G 处，则CF =_______． 10．如图，在Rt ABC △ 中， 90 BAC = ，分别以ABC 的三边为边作正方形ABDE ，正方形BCFG ，正方形 ACHI ，AI 交CF 于点J ．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形BGFJ 的面积为 1S ，四边形 CHIJ 的面积为 2 S ，若 1 2 15 S S − = ， 10 ABC S = △ ，则AB 的长为______． 三、解答题 11．如图，在四边形ABCD中， 6 AB = ， 10 BC = ， 15 CD = ， 17 AD = ， 90 CAB = ． (1)求AC 的长； (2)求四边形ABCD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 12．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B 两点分别位于池塘两端，利用现有工具 无法直接测得A，B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C ，使点C 能直接到达点A和点B ， 在AB 的延长线上取一点D ，使得 12 BD = 米．经测量 34 AC = 米， 16 CD = 米， 20 CB = 米． (1)判断BCD 的形状并证明； (2)计算点A，B 之间的距离． 13．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长 都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为 2 c ，也可以表示为 ( ) 2 1 4 2 ab a b + − ，由此推导出重要 的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则 2 2 2 a b c + = ． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形ABCD的面积可表示为：______，也可以表 示为：______，由此可以推出 2 2 2 a b c + = ； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A B 、，AB AC = ， 由于某种原因，由C 到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H 、 、 B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH AB ⊥ ．测得 0.8 CH = 千米， 0.6 HB = 千米，求新路CH 比 原路CA 少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第 （2）问中若AB AC 时，CH AB ⊥ ， 10 AC = ， 17 BC = ， 21 AB = ，设AH x = ，可以求CH 的值，请帮小 明写出求CH 详细完整的过程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 14．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家 赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼 接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形ABC 中，BC a AC b AB c = = = ， ， ，请你利用图1 中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2 所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形， 请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 15．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明： 2 2 2 a b c + = ； (2)【结论运用】如图2，已知ABC 是直角三角形， 90 C = ．若 5 BC = ，AB 的长比AC 的长大1，求AB 的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3 所示的三角形花圃ABC ，其中 13 AB = 米， 14 BC = 米， 15 AC = 米， 计划在这块花圃中起一道栅栏AD，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC 互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？
