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第一章 三角形
复习要点
1. 理解三角形的定义及表示方法，掌握按角和按边对三角形进行分类。
2. 掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用其推论（直角三角形两锐角互余、外
角等于不相邻两内角和）。
3. 掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，明确三条高线所在直线交点位置与三角形
类型（锐角、直角、钝角）的关系。
4. 掌握全等三角形的概念与性质，能熟练选用 SSS、SAS、ASA、AAS 及 HL 判定定理
来证明三角形全等。
5. 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定，并能结合全等三角形进行灵活应用。
6. 理解定义与命题的概念，能分清命题的条件与结论，掌握判断真假命题的方法（举反例
说明假命题），并规范掌握几何证明的书写格式与推理依据。
复习重难点
重点：三边关系与内角和定理的应用；全等三角形的判定与性质的综合运用；线段垂直平
分线与角平分线的性质应用。
难点：全等三角形判定方法的选择（注意 SSA 和 AAA 不能判定全等）；几何证明题中
辅助线的添加方法；准确找出判断假命题所需的反例。
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知识点
三角形的基本概念与性质
1.三角形的定义及表示方法
（1）三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形。三角形具
有稳定性。
（2）表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C 的三角形记作“
ABC
△
”，读作“三角
形ABC”；
ABC
△
的三边有时也用a，b，c 表示。
2.三角形的内角和外角
（1）内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如
A
，B
，C
是
ABC
△
的内角。
（2）外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。如图，BAD
，ACF
，
CBE
都是
ABC
△
的外角。
3.三角形的分类
（1）按角分类：按内角大小分类。
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4 /
（2）按边分类：按照边的长短分类。
4.三角形中三条重要的线段
定 义
示例如图
（1）三角形的角平分线：
①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
②性质：三角形的三条角平分线交于一点。
B
A
C
D
线段AD 为
ABC
△
的一条角平分线
（2）三角形的中线：
①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，
叫做这个三角形的中线。
②性质：三角形的三条中线交于一点。
B
C
D
A
线段AD 为BC 边上的中线
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（3）三角形的高：
①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂
线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点
也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，
三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条
高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶
点。
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点。
B
A
C
D
线段AD 为BC 边上的高
5.三角形的边和角
（1）三角形的边
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三
边。
即a、b、c 三条线段可组成三角形
b
c
a
b
c
−
+
两
条较小的线段之和大于最大的线段。
B
A
C
c
b
a
a
c
b
+
|
|
a
c
b
−
a
b
c
+
|
|
a
b
c
−
b
c
a
+
|
|
b
c
a
−
（2）三角形的角
定 义
示例如图
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。
如图，在
ABC
△
中，
180
A
B
C
++
=
。
B
A
C
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三角形内角和定理的三个推论：
①推论1：直角三角形的两个锐角互余；
②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和；
③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内
角。
B
D
C
E
F
A
1
2
3
如：外角
1
3
ABF
= +，
1
2
BCD
=+，
2
3
CAE
= +。
1
ABF
，
3
ABF
1
BCD
，
2
BCD
2
CAE
，
3
CAE
三角形的外角和：
每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和。
三角形的外角和等于360。
B
C
E
A
1
2
3
∠1+∠2+∠3=360°
要点归纳：
（1）三角形具有稳定性，这是其区别于其他多边形的特有性质。
（2）按边分类时，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（3）三角形的三条高线所在直线交于一点。锐角三角形的交点位于三角形内部；直角三角形的交点位于直
角顶点；钝角三角形的交点位于三角形外部。
（4）三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高模型，是常见考点）。
（5）三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，
其中有三个与另外三个相等；每个顶点处的两个对顶的外角是相等的。
（6）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验所求边长能否构成三角形。
要点速测
1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
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7 /
C．
D．
【答案】D
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三
角形．据此即可解答．
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
D、符合三角形的概念．
故选：D．
2．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形的分类、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用
【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形两锐角互余的性质，通过计算三角形内角度数判断三角形
形状．
【详解】解：在等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷是腰𝐴𝐶上的高，即𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
由题意得，一腰上的高与底边夹角∠𝐷𝐵𝐶= 45°，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
在△𝐵𝐷𝐶中，∠𝐶= 90° −∠𝐷𝐵𝐶= 90° −45° = 45°，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 45°，
∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶= 180° −45° −45° = 90°，
因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形．
3．已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是a，b，c，且满足𝑎2 −2𝑎𝑏+ 2𝑏2 −2𝑏𝑐+ 𝑐2 = 0，判断此三角形的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】D
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【知识点】三角形的分类、因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式和平方的非负性推导三边关系，即可判断三角
形形状．
【详解】解：∵𝑎2 −2𝑎𝑏+ 2𝑏2 −2𝑏𝑐+ 𝑐2 = 0，
∴ 对原式变形得(𝑎2 −2𝑎𝑏+ 𝑏2) + (𝑏2 −2𝑏𝑐+ 𝑐2) = 0，
由完全平方公式可得(𝑎−𝑏)2 + (𝑏−𝑐)2 = 0，
∵ 平方数为非负数，即(𝑎−𝑏)2 ≥0，(𝑏−𝑐)2 ≥0，
∴ 𝑎−𝑏= 0 且 𝑏−𝑐= 0，
∴ 𝑎= 𝑏 且 𝑏= 𝑐，可得 𝑎= 𝑏= 𝑐，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．
4．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．四边形更稳定
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的
稳定性．
5．下列线段长，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8
B．7，8，15
C．5，12，13
D．6，6，13
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】利用构成三角形的三边条件，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、3 + 4 < 8，不能构成三角形，故此选项不合题意；
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B、7 + 8 = 15，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、12 + 5 > 13，能构成三角形，故此选项符合题意；
D、6 + 6 = 12 < 13，不能构成三角形，故此选项不合题意．
6．在手工课上，小明有两根长度分别是5cm和8cm的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接
拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（ ）
A．3cm
B．5cm
C．13cm
D．14cm
【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，
再匹配符合条件的选项即可．
【详解】解：设再取的木棒长度为𝑥cm，根据三角形三边关系，可得
8 −5 < 𝑥< 8 + 5，即3 < 𝑥< 13，
只有5cm满足3 < 5 < 13，因此选B．
7．若三根长度分别为2、4、x（x 为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（ ）
A．组成的三角形中，周长最小为8
B．组成的三角形中，周长最小为7
C．组成的三角形中，周长最大为12
D．组成的三角形中，周长最大为11
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用
【详解】∵三角形三边长为2，4，𝑥，
∴4 −2 < 𝑥< 4 + 2，即2 < 𝑥< 6，
又∵𝑥为正整数，
∴𝑥的可能取值为3，4，5，
当𝑥= 3时，周长最小，最小周长为2 + 4 + 3 = 9，因此选项A，B 错误，
当𝑥= 5时，周长最大，最大周长为2 + 4 + 5 = 11，因此选项C 错误，选项D 正确．
8．以下说法正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④直角三角形的三条高相交于直角顶点；
⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
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A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【知识点】垂心、根据三角形中线求面积、画三角形的高、三角形角平分线的定义
【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误；
②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确；
④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确；
⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确．
所以说法正确的有4 个．
9．如图，△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵，𝐶在边长为1的正方形网格的格点上，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，则𝐶𝐷的长为________．
【答案】
16
5
【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题、利用网格求三角形面积
【分析】根据勾股定理，得𝐴𝐵= √32 + 42 = 5，边𝐵𝐶= 4上的高为4，利用三角形面积相同，计算即
可；
【详解】解：根据题意，得𝐴𝐵= √32 + 42 = 5，边𝐵𝐶= 4上的高为4，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
故𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶× 4，
故𝐶𝐷=
𝐵𝐶×4
𝐴𝐵=
4×4
5 =
16
5 ；
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐶𝐵，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，若𝐴𝐵= 4，𝑆△𝐴𝐷𝐶= 6，
则𝐶𝐸的长度为（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一
【分析】由三角形中线的性质得出𝐵𝐶= 2𝐶𝐷，从而可得𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐷𝐶= 12，由等腰三角形的性质可
得𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，再结合三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐶= 2𝐶𝐷，
∵𝑆△𝐴𝐷𝐶= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐷𝐶= 12，
∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐶𝐵，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶𝐸= 12，𝐴𝐵= 4，
∴𝐶𝐸= 6．
11．等腰三角形的一个外角是80°，则它的顶角的度数为（ ）
A．80°
B．80°或50°
C．100°
D．100°或50°
【答案】C
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】分80°外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，
求解顶角度数．
【详解】解：若80°是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为180° −80° = 100°．
若80°是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为180° −80° = 100°，两底角和为2 × 100° = 200° >
180°，不符合三角形内角和，舍去．
综上，顶角的度数为100°．
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是边𝐴𝐶上一点，𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 𝐴𝐷，则∠𝐴的度数为______．
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12 /
【答案】36°/36 度
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】由𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 𝐴𝐷可知，△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷为等腰三角形，设∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷= 𝑥，则∠𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵= 2𝑥，
又由𝐴𝐵= 𝐴𝐶可知，△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，则∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 2𝑥，在△𝐴𝐵𝐶中，用内角和定理列方程求解．
【详解】解：∵𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 𝐴𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶，
设∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷= 𝑥，
∵∠𝐵𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的一个外角，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 2𝑥，
∴∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 2𝑥，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 2𝑥，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
即𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 180°，
解得𝑥= 36°，
即∠𝐴= 36°．
知识点
全等三角形
1.全等三角形的定义和性质
（1）全等三角形的定义
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
完全重合时，互相重合的点为对应点；互相重合的角为对应角；互相重合的边为对应边。
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（2）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等：
若
ABC
A B C
△
≌△
，则AB
A B
=
，BC
B C
=
，AC
AC
= 。
②全等三角形的对应角相等：
若
ABC
A B C
△
≌△
，则
A
A
=
，
B
B
=
，
C
C
=
。
③全等三角形的周长相等，面积相等：
若
ABC
A B C
△
≌△
，则
=
ABC
A B C
C
C
△
△
，
=
ABC
A B C
S
S
△
△
。
2.全等三角形的判定
判定方法
解释
图形
边边边
(SSS)
三条边对应相等的两个三角形全等
边角边
(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三
角形全等
角边角
(ASA)
两角和它们的夹边对应相等的两个三
角形全等
角角边
(AAS)
两个角和其中一个角的对边对应相等
的两个三角形全等
斜边、直角边
(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直
角三角形全等
要点归纳：
（1）在判定三角形全等时，“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）不能判定两个三角形全等。如下图：
在等腰
ABC
△
中，BC 边上任取一点D，连接AD，观察
ABD
△
和
ACD
△
。
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14 /
（2）HL（斜边、直角边）是判定直角三角形全等的特有方法，但直角三角形也同样适用SSS、SAS、ASA、
AAS 四种判定法。
（3）寻找全等条件时，要善于挖掘隐含条件：公共边、公共角、对顶角，以及由垂直定义得到的直角相等。
（4）用符号书写全等时，要注意对应顶点写在对应位置上，若
ABC
A B C
△
≌△
，则前后对应关系确定；
若
ABC
△
与
A B C
△
全等，则前后对应关系不确定。
要点速测
13．如图，点B、E 在𝐶𝐹上，且△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．若𝐶𝐹= 8，𝐵𝐸= 4，则𝐶𝐸的长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．3.5
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质
【分析】先得出𝐵𝐶= 𝐸𝐹，进而可得𝐶𝐸= 𝐵𝐹，再求出𝐶𝐸+ 𝐵𝐹= 𝐶𝐹−𝐵𝐸= 4，由此即可得．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴𝐵𝐶−𝐵𝐸= 𝐸𝐹−𝐵𝐸，即𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
∵𝐶𝐹= 8，𝐵𝐸= 4，
∴𝐶𝐸+ 𝐵𝐹= 𝐶𝐹−𝐵𝐸= 4，
∴𝐶𝐸+ 𝐶𝐸= 4，
∴𝐶𝐸= 2．
14．如图，点𝐴，𝐶，𝐵，𝐷在同一条直线上，𝐵𝐸∥𝐷𝐹，∠𝐴= ∠𝐹，𝐴𝐵= 𝐹𝐷．若∠𝐹𝐶𝐷= 30°，∠𝐴= 80°，
则∠𝐷𝐵𝐸的度数为________°．
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15 /
【答案】110
【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA
或者AAS）
【分析】由𝐵𝐸∥𝐷𝐹得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷，结合已知可证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐷𝐶(ASA)，得∠𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷= 30°，根据
三角形的外角性质得∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴，代入计算即可．
【详解】解：∵𝐵𝐸∥𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐹𝐷𝐶中，
{
∠𝐹= ∠𝐴
𝐷𝐹= 𝐴𝐵
∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐹𝐷𝐶(ASA)，
∴∠𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴= 30° + 80° = 110°．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，∠𝐴= ∠𝐷= 90°，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，下面是四个同学补充的条件，其
中错误的是（ ）
A．𝐴𝐵= 𝐶𝐷
B．𝐴𝐶= 𝐵𝐷
C．∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵
D．∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷
【答案】D
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】已知 ∠𝐴= ∠𝐷= 90° 及公共边 𝐵𝐶，根据直角三角形全等的判定定理（HL）或一般三角形全
等判定定理（AAS）逐项验证即可．
【详解】解：已知 ∠𝐴= ∠𝐷= 90°，𝐵𝐶= 𝐶𝐵，
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16 /
对于A，若 𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
在 Rt △𝐴𝐵𝐶 和 Rt △𝐷𝐶𝐵 中，
{𝐵𝐶= 𝐶𝐵
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐶𝐵(HL)，条件正确，故本选项不符合题意；
对于B，若 𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
在 Rt △𝐴𝐵𝐶 和 Rt △𝐷𝐶𝐵 中，
{𝐵𝐶= 𝐶𝐵
𝐴𝐶= 𝐷𝐵
，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐷𝐶𝐵(HL)，条件正确，故本选项不符合题意；
对于C，若 ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，
在 △𝐴𝐵𝐶 和 △𝐷𝐶𝐵 中，
{
∠𝐴= ∠𝐷
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵
𝐵𝐶= 𝐶𝐵
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(AAS)，条件正确，故本选项不符合题意；
对于D，设 𝐴𝐶 与 𝐵𝐷 交于点 𝑂，
∵∠𝐴= ∠𝐷= 90°，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐷𝑂𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷，此结论由已知条件即可推出，无法判定 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，条件错误，故本选项符
合题意．
知识点
线段垂直平分线与角平分线的性质
1.垂直平分线的性质和判定
垂直平分线
解释
示例
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直
线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为
中垂线。
如图，若AC
BC
=
，AB
CD
⊥
，则直线
DE 就是线段AB 的垂直平分线。
A
B
D
C
E
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17 /
性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等。
如图，已知直线DE 是线段
的垂直
平分线，则
。
判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上。
如图，若
，则点
在线段
的垂直平分线上。
尺规作图：已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB 的垂直平分线。
作法：
①分别以点A，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D。
②作直线CD。
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线，如下图。
2.角平分线的性质和判定
角平分线
解释
示例
性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图，若射线OC 是
AOB
的角平分线，则DE
DF
=
。
判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
如图，若DE
DF
=
，则OC 是
AOB
的角平分线。
尺规作图：用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD。
AB
DA
DB
=
A
D
C
E
B
DA
DB
=
D
AB
E
D
C
B
A
D
F
E
O
C
B
A
D
F
E
O
C
B
A
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18 /
作法：
①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F 两点。
②分别以点 E，F 为圆心，大于1
2EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。
③作射线AD。
射线AD 就是∠BAC 的平分线，如下图。
要点归纳：
（1）角平分线的性质是“点到角两边的距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”，注
意：这里的“距离”是指垂线段的长度。
（2）垂直平分线的性质是“到线段两端点的距离相等”，判定是“到线段两端点距离相等的点在线段的垂
直平分线上”。
（3）角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。
要点速测
16．如图，在周长是10cm的▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵≠𝐴𝐷，𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点O，点E 在𝐴𝐷边上，且𝑂𝐸⊥𝐵𝐷，则
△𝐴𝐵𝐸的周长是（ ）
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19 /
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段的和与差、线段垂直平分线的性质
【分析】根据平行四边形的性质求出𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 5cm，根据线段的垂直平分线求出𝐵𝐸= 𝐷𝐸，待求出
的周长等于𝐴𝐵+ 𝐴𝐷，代入求出即可．
【详解】解：∵▱𝐴𝐵𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐷．
∵𝑂𝐸⊥𝐵𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐸．
∵▱𝐴𝐵𝐶𝐷的周长是10cm，
∴2𝐴𝐵+ 2𝐴𝐷= 10（cm），
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 5（cm）．
∴△𝐴𝐵𝐸的周长是𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 5（cm）．
17．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 6，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= 60°，连接𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝐺，点𝐸在边
𝐴𝐷上，连接𝐶𝐸交𝐵𝐷于点𝐹，𝐶𝐸∥𝐴𝐵．若𝐶𝐸= 4，则𝐸𝐹的长为________．
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、根据平行线的性质求角的度数、根据
等角对等边求边长、线段垂直平分线的性质
【分析】首先根据𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 6、∠𝐵𝐴𝐷= 60°，可证△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，再证𝐴𝐶是线段𝐵𝐷的垂直
平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= 30°，根据平行线的性质可证∠𝐴𝐶𝐸=
∠𝐷𝐴𝐶= 30°，从而可得𝐷𝐸= 2，根据平行线的性质可证△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，根据等边三角形的性质可知
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𝐸𝐹= 𝐷𝐸= 2．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 6、∠𝐵𝐴𝐷= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵= 60°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，
∴𝐴𝐶是线段𝐵𝐷的垂直平分线，
∴𝐴𝐺⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= 30°，
∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= 30°，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸= 4，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐴𝐸= 6 −4 = 2，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷= 60°，∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 60°，
∴△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐸= 2．
18．我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知△𝐴𝐵𝐶的
角平分线BD 交边AC 于点D．
(1)求证：
𝑆Δ𝐵𝐶𝐷
𝑆Δ𝐵𝐴𝐷=
𝐵𝐶
𝐴𝐵
(2)求证：
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝐶𝐷
𝐴𝐷；
(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】（1）作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，作DH⊥AB，根据角平分线的性质可得DF=DH，继而根据三角形面积公式
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进行求解即可得；
（2）作BE⊥CA，继而根据三角形面积公式进行求解即可得；
（3）由（2）可得
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝐶𝐷
𝐴𝐷，结合已知可得AD=AC-CD，代入相关数据进行求解即可得．
【详解】（1）作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，作DH⊥AB 垂足分别为F，H
∵BD 是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．
∴DF=DH
则有：
𝑆△𝐵𝐶𝐷
𝑆△𝐵𝐴𝐷=
1
2𝐷𝐹⋅𝐵𝐶
1
2𝐷𝐻⋅𝐴𝐵=
𝐵𝐶
𝐴𝐵
（2）作BE⊥CA 垂足为E
则有：
𝑆△𝐵𝐶𝐷
𝑆△𝐵𝐴𝐷 =
1
2𝐵𝐸⋅𝐶𝐷
1
2𝐵𝐸⋅𝐷𝐴=
𝐶𝐷
𝐴𝐷
∴
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝐶𝐷
𝐴𝐷
（3）由（2）知，
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝐶𝐷
𝐴𝐷
∵BC=4，AB=6，AC=5，
∴4
6 =
𝐶𝐷
𝐴𝐶−𝐶𝐷
∴
𝐶𝐷
5 −𝐶𝐷= 2
3
∴3𝐶𝐷= 10 −2𝐶𝐷
∴𝐶𝐷= 2
故答案为：2
知识点
命题与证明
1.定义与命题
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（1）定义的概念：能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。例如，“在同一
个平面内，不相交的两条直线叫作平行线”就是平行线的定义。
（2）命题的概念：判断某一件事情的句子，叫作命题。（注意：命题必须是对事情作出判断，疑问句、祈
使句等不是命题）。
（3）命题的组成：命题由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。
（4）命题的改写：为了清晰地找到条件和结论，命题通常可以改写成“如果……那么……”的形式。其中，
“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。
2.真命题与假命题及举反例
（1）真命题：正确的命题称为真命题。要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实
来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的（这类命题称为基本事实）。
（2）假命题：不正确的命题称为假命题。
（3）判断真假的依据与举例：
①真命题的依据：通过推理正确，或者作为公认的基本事实/定理。
②假命题的判断方法：要说明一个命题是假命题，通常可以用举反例的方法。命题的反例是指具备命题
的条件，但不具备命题的结论的实例。
（4）基本事实与定理：
①基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题。例如“两点之间线段最短”、“两点确定一条直
线”等。
②定理：用推理的方法判断为正确的命题。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。例如“对顶角相
等”、“三角形的任意两边之和大于第三边”等都是定理。
3.证明的步骤与依据
（1）证明的定义：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、
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定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。
（2）证明过程中的规范性：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，通常写在每一步
后面的括号内。
（3）几何证明题的书写格式：
①按题意画出图形（如需添加辅助线，辅助线应画成虚线，并写入证明过程中）。
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
③在“证明”中写出推理过程，步步有据。
要点归纳：
（1）命题必须是“判断某一件事情的句子”，疑问句、祈使句和感叹句等不是命题。
（2）将一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，注意不要改变原意，要正确拆分“条件”与“结
论”。
（3）举反例是判断假命题最直接有效的方法，反例需要满足命题的条件，但违背命题的结论。
（4）证明题书写必须严谨：每一步都应有依据，括号内写出依据理由（已知、定义、基本事实、定理等）。
（5）几何证明步骤规范：画图（辅助线用虚线）、写“已知”、写“求证”、写“证明”。
（6）基本事实和定理都是真命题，且均可作为证明过程中的推理依据（定理是用推理证明为正确的真命题）。
要点速测
19．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、判断命题真假、
矩形的判定定理理解
【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定规则逐一
判断命题真假．
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【详解】解：∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A 是真命题，符合题意；
∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对
角线相等但不是矩形，
∴B 是假命题，不符合题意；
∵一条对角线平分一组对角的四边形无法判定是菱形，菱形需要满足对角线互相垂直平分或四边相等
等条件，
∴C 是假命题，不符合题意；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线垂直且相等无法判定为正方形，
∴D 是假命题，不符合题意；
20．对于命题“若𝑎2 > 𝑏2，则𝑎> 𝑏”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（ ）
A．𝑎= −3，𝑏= 4
B．𝑎= −2，𝑏= −1
C．𝑎= 2，𝑏= −1
D．𝑎= 1，𝑏= −3
【答案】D
【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、举反例
【详解】解：原命题的逆命题为“若𝑎> 𝑏，则𝑎2 > 𝑏2”，反例需满足𝑎> 𝑏且𝑎2 ≤𝑏2．
选项A 中𝑎= −3 < 4 = 𝑏，选项B 中𝑎= −2 < −1 = 𝑏，均不满足𝑎> 𝑏，排除；
选项C 中𝑎= 2 > −1 = 𝑏，𝑎2 = 4 > 1 = 𝑏2，满足逆命题结论，不是反例，排除；
选项D 中𝑎= 1 > −3 = 𝑏，𝑎2 = 1 < 9 = 𝑏2，不满足逆命题结论，是反例．
21．证明命题
(1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．
(2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3 整除，那么这个三位数也能被3 整除”是真命题．
【答案】(1)
已知，如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐶= ∠𝐹，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，
求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
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证明：∵∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐶= ∠𝐹，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 180°，
∴∠𝐴= ∠𝐷，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
{
∠𝐴= ∠𝐷
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
∠𝐶= ∠𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(ASA)．
(2)
解：该命题是真命题，理由如下：
设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐，
由题意知，
𝑎+𝑏+𝑐
3
为整数，
∴
100𝑎+10𝑏+𝑐
3
=
99𝑎+9𝑏+(𝑎+𝑏+𝑐)
3
= 33𝑎+ 3𝑏+
𝑎+𝑏+𝑐
3
，也为整数，
∴这个三位数能被3 整除，故该命题是真命题．
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA 或者AAS）、代数问题证明、写出一个命题的已知、
求证及证明过程、整式加减的应用
【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是：
（1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可；
（2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为100𝑎+ 10𝑏+ 𝑐，根据
100𝑎+10𝑏+𝑐
3
= 33𝑎+ 3𝑏+
𝑎+𝑏+𝑐
3
，进行判断作答即可．
【详解】（1）略
（2）略
题型1 三角形的基本概念与分类
▌例1-1 （25-26 八年级上·河南商丘·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，点𝐸是垂足，点𝐷是边𝐵𝐶上
的一点，连接𝐴𝐷．
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(1)写出△𝐴𝐵𝐸的三个内角；
(2)在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是__________；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，∠𝐴𝐷𝐶是哪几个三角形的公共角？
【答案】(1)△𝐴𝐵𝐸的三个内角是：∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵，∠𝐴𝐸𝐵
(2)𝐴𝐷；𝐴𝐶
(3)6，∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶的公共角
【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键
是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系．
（1）根据三角形内角的定义，直接从△𝐴𝐵𝐸中找出三个内角．
（2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在△𝐴𝐵𝐷、△ABC 中确定∠𝐵的对边．
（3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含∠𝐴𝐷𝐶的三角形．
【详解】（1）△𝐴𝐵𝐸的三个内角是：∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵，∠𝐴𝐸𝐵；
（2）在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是𝐴𝐷；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是𝐴𝐶．
故答案为：𝐴𝐷；𝐴𝐶；
（3）图中共有6 个三角形，分别是：△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐸𝐶．
故答案为：6；
∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶的公共角；
▌例1-2 （25-26 八年级上·山西吕梁·期中）如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上，连接𝐴𝐷．图中三角
形的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义即可得解．
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【详解】解：由题意可知，三角形分别有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐷，共3 个．
故选：C．
▌例1-3 （25-26 八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A 表示（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的
等腰三角形和等边三角形，
则图中的A 表示等腰三角形．
▌迁移练1-1（25-26 八年级上·河北邢台·期末）希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大
桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______．
【答案】三角形具有稳定性
【详解】由题意得，蕴含的数学道理是：三角形具有稳定性．
▌迁移练1-2（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，在△𝐵𝐸𝐶中，𝐸𝐶边的对角___________．
解题要点
三角形的基本概念与分类
1.准确识别三角形的边、角、顶点，分清“角的对边”和“边的对角”。
2.三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（含等边三角形）；按角分为锐角三角形、直角三角形和
钝角三角形。
3.三角形具有稳定性，常利用此性质解释建筑或机械结构中的几何原理。
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【答案】∠𝐸𝐵𝐶/∠𝐶𝐵𝐸
【分析】本题考查的是三角形的概念，根据三角形相关概念直接解决即可．
【详解】解：在△𝐵𝐸𝐶中，𝐸𝐶边的对角是∠𝐸𝐵𝐶，
故答案为：∠𝐸𝐵𝐶．
▌迁移练1-3（25-26 八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是70°和40°，则这个三角
形一定是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即
可．
【详解】解：该三角形第三个内角的度数为180° −70° −40° = 70°，
最大的内角为70°，
∴这个三角形为锐角三角形，
∵这个三角形有两个内角相等，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
题型2 三角形的三边关系及其应用
▌例2-1 （25-26 八年级上·江苏徐州·期中）若等腰三角形其中两条边长分别为2cm，4cm，则它的周长
为________cm．
【答案】10
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键，
根据等腰三角形的性质，分腰长为2cm或4cm两种情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，
再计算周长即可．
【详解】解：若腰长为2cm，底边为4cm，则两边之和2 + 2 = 4，等于第三边，不能构成三角形；
若腰长为4cm，底边为2cm，则两边之和4 + 4 > 2、4 + 2 > 4，均满足三角形三边关系，能构成三角
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形，
故周长为4 + 4 + 2 = 10(cm)，
故答案为：10．
▌例2-2 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，若𝐴𝐵= 3cm，
𝐵𝐶= 5cm，则𝑂𝐴的取值范围是（ ）
A．1cm < 𝑂𝐴< 4cm
B．2cm < 𝑂𝐴< 8cm
C．2cm < 𝑂𝐴< 5cm
D．3cm < 𝑂𝐴< 8cm
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，得出𝑂𝐴=
1
2 𝐴𝐶，在△𝐴𝐵𝐶中，根据三角形三边关系得𝐵𝐶−𝐴𝐵< 𝐴𝐶<
𝐵𝐶+ 𝐴𝐵，代入数据解出即可得𝐴𝐶的取值范围，进一步转化即可得𝑂𝐴的取值范围．
【详解】解：如图，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴𝑂𝐴=
1
2 𝐴𝐶，
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 5cm，根据三角形三边关系得：𝐵𝐶−𝐴𝐵< 𝐴𝐶< 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵，
∴5cm −3cm < 𝐴𝐶< 5cm + 3cm，即2cm < 𝐴𝐶< 8cm，
∴1cm <
1
2 𝐴𝐶< 4cm，即1cm < 𝑂𝐴< 4cm．
▌例2-3 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）若a、b、c 为三角形的三条边长，且(𝑎−𝑏)2 −𝑐2 = 𝑚，
则m 的取值范围为（ ）
A．𝑚< 0
B．𝑚> 0
C．𝑚≥0
D．𝑚> 0或𝑚< 0
【答案】A
【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m 的符号．
【详解】解： (𝑎−𝑏)2 −𝑐2 = (𝑎−𝑏+ 𝑐)(𝑎−𝑏−𝑐) = 𝑚，
∵𝑎, 𝑏, 𝑐为三角形的三条边长，
∴𝑎+ 𝑐> 𝑏， 𝑏+ 𝑐> 𝑎，
∴𝑎−𝑏+ 𝑐> 0， 𝑎−𝑏−𝑐< 0，
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∴(𝑎−𝑏+ 𝑐)(𝑎−𝑏−𝑐) < 0，
即𝑚< 0．
▌迁移练2-1（2026·四川雅安·一模）在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，中线𝐶𝐷将这个三角形的周长分为12
和15 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7
B．7 或11
C．10
D．8 或10
【答案】B
【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系．
【详解】解：如图，设等腰△𝐴𝐵𝐶的腰长𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑦，底边长𝐵𝐶= 𝑥，
∵𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷=
𝑦
2，
分两种情况：情况①当{𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 12
𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 15
时，{
𝑦+
𝑦
2 = 12
𝑥+
𝑦
2 = 15
解得{ 𝑦= 8
𝑥= 11
，
∵8 + 8 > 11，
∴能构成三角形；
情况②当{𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 15
𝐵𝐶+ 𝐵𝐷= 12
时，{
𝑦+
𝑦
2 = 15
𝑥+
𝑦
2 = 12
解得{𝑦= 10
𝑥= 7
，
∵10 + 10 > 7，
解题要点
三角形的三边关系及其应用
1.三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即三角形两边长为a、b，
则第三边c 的取值范围为∣a−b∣<c<a+b。
2.当等腰三角形的腰与底边不确定时，需分类讨论，并利用三边关系定理验证能否构成三角形。
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∴能构成三角形．
综上，底边长为7 或11．
▌迁移练2-2（25-26 八年级下·江苏宿迁·期末）平行四边形的两条边长分别为6和8，则该平行四边形的
对角线长不可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题利用三角形三边关系求解平行四边形对角线的取值范围，平行四边形的一条对角线与两
条邻边可构成三角形，结合三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可得到结果．
【详解】∵平行四边形的一条对角线和两条相邻边可以构成三角形，已知两条邻边长分别为6和8，
∴设对角线长为𝑥，则8 −6 < 𝑥< 8 + 6，即2 < 𝑥< 14，
∴对角线长不可能为2，故选项A 符合题意．
▌迁移练2-3（26-27 八年级上·全国·开学考试）已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，且a，b，c 都是整数．
(1)若𝑎= 2, 𝑏= 5，且c 为奇数，求△𝐴𝐵𝐶的周长；
(2)化简：|𝑎−𝑐+ 𝑏| −|𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑎+ 𝑏+ 𝑐|．
【答案】(1)12
(2)𝑏−𝑎−3𝑐
【分析】（1）根据三角形三边关系确定c 的取值范围，再结合c 是整数且为奇数确定其值，即可获得
答案；
（2）根据三角形三边关系可得𝑎+ 𝑏> 𝑐, 𝑎+ 𝑐> 𝑏，进而可得𝑎−𝑐+ 𝑏> 0, 𝑏−𝑐−𝑎< 0，然后进一
步化简即可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：5 −2 < 𝑐< 5 + 2，
∴3 < 𝑐< 7，
∵c 是整数，且为奇数，
∴𝑐= 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2 + 5 + 5 = 12；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，
∴𝑎> 0，𝑏> 0，𝑐> 0，
∴𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0；
由三角形三边关系定理可得：𝑎+ 𝑏> 𝑐, 𝑎+ 𝑐> 𝑏，
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∴𝑎−𝑐+ 𝑏> 0, 𝑏−𝑐−𝑎< 0，
∴|𝑎−𝑐+ 𝑏| −|𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑎+ 𝑏+ 𝑐|
= 𝑎−𝑐+ 𝑏−[−(𝑏−𝑐−𝑎)] −(𝑎+ 𝑏+ 𝑐)
= 𝑎−𝑐+ 𝑏+ 𝑏−𝑐−𝑎−𝑎−𝑏−𝑐
= 𝑏−𝑎−3𝑐．
题型3 三角形的内角和、外角性质综合求值
▌例3-1 （25-26 八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐷= 60°，∠𝐴𝐵𝐷= 75°，
则∠𝐴𝐷𝐵的度数是（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 60°，再根据三角形内角和定理即可求出∠𝐴𝐷𝐵的
度数．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 60°，
∵∠𝐴𝐵𝐷= 75°，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝐵𝐷= 45°．
▌例3-2 （26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
则∠𝐸𝐷𝐶=________．
【答案】20°/20度
【分析】设∠𝐵= ∠𝐶= 𝑥，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 𝑦，则有∠𝐸𝐷𝐶+ 𝑥= 𝑦与∠𝐸𝐷𝐶+ 𝑦= 𝑥+ 40°，联立方程
解方程组即可．
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33 /
【详解】解：依题意，设∠𝐵= ∠𝐶= 𝑥，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 𝑦，
∠𝐸𝐷𝐶+ 𝑥= 𝑦①，
∠𝐸𝐷𝐶+ 𝑦= 𝑥+ 40°②，
由①+ ②得2∠𝐸𝐷𝐶= 40°，
∴∠𝐸𝐷𝐶= 20°．
▌迁移练3-1（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 35°，𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸
交𝐵𝐶的延长线于点D，若∠𝐷𝐴𝐸= 60°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为______________°．
【答案】95
【分析】由角平分线的定义可得∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，由三角形外角的定义及性质可得∠𝐷= 25°，最
后再由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于点D，∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐵= 35°，
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐵= 25°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐷= 95°．
▌迁移练3-2（25-26 八年级下·广东佛山·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 120°，点𝐷为𝐴𝐵上一点，点
𝐸为𝐵𝐷的中点，作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐹，连接𝐶𝐷，𝐷𝐹，将△𝐴𝐶𝐷沿着𝐶𝐷折叠，点𝐴恰好和点𝐹重合，则∠𝐵的
度数为________．
解题要点
三角形的内角和、外角性质综合求值
1.三角形的内角和为 180∘180∘，直角三角形两锐角互余。
2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.综合求值时，常设未知数建立方程（或方程组），结合等腰三角形等图形的特殊角进行代数运算。
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34 /
【答案】20°/20 度
【分析】易得𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐷，得到𝐵𝐹= 𝐷𝐹，进而得到∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐹，根据三角形的外角的性质，折叠
的性质和三角形的内角和定理，即可得出结果.
【详解】解：∵点𝐸为𝐵𝐷的中点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐷，
∴𝐵𝐹= 𝐷𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐹，
∴∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐵，
∵△𝐴𝐶𝐷沿着𝐶𝐷折叠，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐶= 2∠𝐵，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 3∠𝐵+ 120° = 180°，
∴∠𝐵= 20°.
▌迁移练3-3（25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 15°，∠𝐷𝐵𝐶= 60°，
𝐵𝐷= 6，求𝐴𝐷的长．
【答案】6
【分析】在△𝐵𝐷𝐶中，利用三角形内角和定理求出∠𝐵𝐷𝐶的度数，再利用三角形外角的性质求出∠𝐴𝐵𝐷的
度数，进而得到𝐴𝐷= 𝐵𝐷，据此求解即可．
【详解】解：在△𝐵𝐷𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐷𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐷𝐵𝐶= 30°，
∵∠𝐵𝐷𝐶是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴= 30° −15° = 15° = ∠𝐴，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 6．
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35 /
题型4 三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用
▌例4-1 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的中线，连接𝐸𝐷，
若△𝐴𝐵𝐶的周长是10，则△𝐵𝐷𝐸的周长是（ ）
A．4
B．8
C．5
D．2.5
【答案】C
【分析】先根据中线的定义可得𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵, 𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶,再根据中位线的定义和性质得𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐶，然后
根据△𝐴𝐵𝐶的周长为10 即可得出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐷, 𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐵𝐸=
1
2 𝐴𝐵, 𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐶, 𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线，
∴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐶．
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为10，即𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 10，
∴△𝐵𝐷𝐸的周长为𝐵𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸=
1
2 (𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶) =
1
2 × 10 = 5．
▌例4-2 （25-26 八年级下·辽宁辽阳·期中）尺规作图：如图，已知△𝐴𝐵𝐶．求作：𝐵𝐶边上的高．（提示：
保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）．
【答案】
【详解】解：延长𝐶𝐵到点𝐸，以点𝐴为圆心，任意长为半径画弧交𝐶𝐸于点𝐹，𝑃，分别以点𝐹，𝑃为圆心，大
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36 /
于
1
2 𝐹𝑃为半径画弧，两弧交于点𝑀, 𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐶𝐸于点D，则𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高．
▌例4-3 （25-26 九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D、E 分别是𝐵𝐶、𝐴𝐶中点，𝐵𝐹平分
∠𝐴𝐵𝐶．交𝐷𝐸于点F，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 6，则𝐸𝐹的长为___________．
【答案】1
【分析】通过三角形中位线定理推出𝐷𝐸∥𝐴𝐵，𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 4，借助角平分线这个条件证出𝐷𝐹= 𝐷𝐵，
从而通过等量代换求出𝐸𝐹的长．
【详解】解：∵𝐷、𝐸分别是𝐵𝐶、𝐴𝐶的中点，
∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线，
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐵，𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 4，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐹，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐹𝐵𝐷，
∴∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐵，
∵𝐷𝐵= 𝐷𝐶，
∴𝐷𝐹=
1
2 𝐵𝐶= 3，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐸−𝐷𝐹= 1．
▌迁移练4-1（25-26 八年级上·广东广州·期末）【问题情境】如图①，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷
解题要点
三角形中重要线段（中线、高线、角平分线）的综合应用
1.三角形的中线平分三角形的面积，且三角形的三条中线交于一点（重心）。
2.高线常与三角形的面积公式及直角三角形性质结合使用。
3.三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半（常用于线段数量关系的推导）。
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37 /
的面积有怎样的数量关系？
小琼的思路如下：
作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，则𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线， = ，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐶𝐷；（请完成填空）
【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的△𝐴𝐵𝐶健身区域进行改造，改造
方案如下：分别延长△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐴, 𝐶𝐵, 𝐴𝐶至点D，E，F，使得A，B，C 分别为𝐵𝐷, 𝐸𝐶, 𝐴𝐹的中点，依次连接
点D，E，F 得△𝐷𝐸𝐹，已知△𝐴𝐵𝐶的面积为50m2，改造甲区域成本为100 元/m2，扩建乙区域成本为200
元/m2，求改造总费用．
【答案】
[问题情境]𝐵𝐷, 𝐶𝐷
[解决问题]改造总费用为65000 元
【分析】[问题情境]作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，根据三角形的面积公式得到𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸，
由于𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，于是得到结论；
[解决问题]连接𝐴𝐸, 𝐵𝐹, 𝐶𝐷，根据点A、B、C 分别是𝐵𝐷、𝐶𝐸、𝐴𝐹的中点，得到𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐵𝐶= 𝐵𝐸，
𝐶𝐴= 𝐶𝐹，根据三角形的面积公式得到𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐸𝐷= 50m2，求得𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶，于是得到结
论．
【详解】解：[问题情境]作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，则𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐴𝐸，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷；
故答案为：𝐵𝐷, 𝐶𝐷；
[解决问题]连接𝐴𝐸, 𝐵𝐹, 𝐶𝐷，
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38 /
∵点A、B、C 分别是𝐵𝐷、𝐶𝐸、𝐴𝐹的中点，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵, 𝐵𝐶= 𝐵𝐸, 𝐶𝐴= 𝐶𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐸𝐷= 50m2，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 100m2，
同理可得𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐶𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 100m2，
∴乙部分的面积为3 × 100 = 300m2，
∴改造总费用= 50 × 100 + 300 × 200 = 5000 + 60000 = 65000（元），
答：改造总费用为65000 元．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是
解题的关键．
▌迁移练4-2（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)与直线𝑦= −
1
2 𝑥相交于
点𝐴(𝑎, 1)，交𝑥轴于点𝐵(−3,0)，交𝑦轴于点𝐶．
(1)求直线𝐵𝐶的表达式；
(2)求△𝐴𝑂𝐶的面积；
(3)点𝑃是直线𝐵𝐶上的一个动点，且𝑆△𝑃𝑂𝐵= 2𝑆△𝐴𝑂𝐶，求点𝑃的坐标．
【答案】(1)𝑦= 𝑥+ 3
(2)3
(3)(1,4)或(−7, −4)
【分析】（1）把点𝐴(𝑎, 1)代入直线𝑦= −
1
2 𝑥，可求出点𝐴的坐标，再利用待定系数法求出k，b 即可；
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39 /
（2）求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可；
（3）根据题意可得𝑆△𝑃𝑂𝐵= 6，设𝑃(𝑚, 𝑚+ 3)，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：∵把点𝐴(𝑎, 1)代入直线𝑦= −
1
2 𝑥，得−
1
2 𝑎= 1，
∴𝑎= −2，
∴点𝐴的坐标为(−2,1)，
∵𝐵(−3,0)，𝐴(−2,1)都在𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)上，
∴{−2𝑘+ 𝑏= 1
−3𝑘+ 𝑏= 0
，
解得{𝑘= 1
𝑏= 3
，
∴直线𝐵𝐶的表达式为𝑦= 𝑥+ 3．
（2）解：∵直线𝐵𝐶的表达式为𝑦= 𝑥+ 3，
∴当𝑥= 0时，𝑦= 3，
∴点𝐶的坐标为(0,3)．
∵𝐴(−2,1)．
∴𝑆△𝐴𝑂𝐶=
1
2 × 3 × 2 = 3，
即△𝐴𝑂𝐶的面积为3．
（3）解：∵𝑆△𝐴𝑂𝐶= 3, 𝑆△𝑃𝑂𝐵= 2𝑆△𝐴𝑂𝐶，
∴𝑆△𝑃𝑂𝐵= 6，
∵𝐵(−3,0)，
∴𝑂𝐵= 3
设𝑃(𝑚, 𝑚+ 3)，
则
1
2 × 3 × |𝑚+ 3| = 6，
解得：𝑚= 1或𝑚= −7．
∴点𝑃的坐标为(1,4)或(−7, −4)．
▌迁移练4-3（22-23 八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 30∘，∠𝐶= 40∘，边𝐴𝐵的
垂直平分线𝐷𝐸交𝐵𝐶于点𝐷；
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40 /
(1)尺规作图：作∠𝐶𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点𝐹；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求∠𝐷𝐴𝐹的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）根据角平分线的作法作出𝐴𝐹即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到𝐴𝐷= 𝐵𝐷，继而求得∠𝐴𝐷𝐶的度数，再结合∠𝐶的度数利用三角形
内角和定理求得∠𝐷𝐴𝐶的大小，再利用角平分线定义即可求得答案．
【详解】（1）解：如图所示𝐴𝐹即为所求
（2）解：∵𝐴𝐵的垂直平分线𝐷𝐸交𝐵𝐶于点𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷
∵∠𝐵= 30°
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 60°
∵∠𝐶= 40°
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐴𝐷𝐶
= 180° −40° −60°
= 80°
∵𝐴𝐹平分∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐷𝐴𝐶= 40°．
题型5 借助平行线与图形的翻折、旋转求角度
▌例5-1 （25-26 九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线𝑎∥𝑏，∠1 = 50°,∠3 = 100°，则∠2的度数为（ ）
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41 /
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到∠1 = ∠4 = 50°，根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：如图，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠1 = ∠4 = 50°，
∵∠3 = 100°，
∴∠2 = 180° −∠3 −∠4 = 30°．
▌例5-2 （25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 20°，∠𝐶= 60°，点𝐷在𝐴𝐵
上且𝐵𝐷<
1
2 𝐴𝐵．若在𝐵𝐶上找一点𝐸，将纸片沿𝐷𝐸折叠，点𝐵落在点𝐹处，𝐸𝐹恰好与三角形𝐴𝐵𝐶的一边平行，
则满足所有平行条件的∠𝐵𝐷𝐸度数为（ ）
A．40°或80°
B．50°或130°
C．50°或80°或130°
D．40°或80°或130°
【答案】D
【分析】分𝐴𝐶∥𝐸𝐹时和𝐴𝐵∥𝐸𝐹时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，
列式计算即可．
【详解】解：当𝐴𝐶∥𝐸𝐹时，如图，则∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐶= 60°，
由折叠性质得：∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐹，
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42 /
∴∠𝐵𝐸𝐷=
1
2 (180° + ∠𝐺𝐸𝐹) =
1
2 (180° + 60°) = 120°，
则∠𝐵𝐷𝐸= 180° −∠𝐵−∠𝐵𝐸𝐷= 180° −20° −120° = 40°
当𝐴𝐵∥𝐸𝐹时，如图，则∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐵= 20°，
由折叠性质得：∠𝐵= ∠𝐹= 20°，∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐹=
1
2 × (180° −20°) = 80°
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 80°
当𝐴𝐶∥𝐸𝐹时，如图，则∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐸𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐸𝐹=
1
2 ∠𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 180° −∠𝐵−∠𝐵𝐸𝐷= 180° −20° −30° = 130°
综上，∠𝐵𝐷𝐸的度数为40°或80°或130°
▌迁移练5-1（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，直线𝑎∥𝑏，等边△𝐴𝐵𝐶的顶点C 在直线b 上，
∠1 = 50°，则∠2为______度．
【答案】70
解题要点
借助平行线与图形的翻折、旋转求角度
1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
2.图形的翻折（折叠）和旋转是全等变换，对应角相等、对应边相等。
3.借助折叠或平行线构建等量关系，结合三角形内角和及外角性质综合计算角度。
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43 /
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是
解题关键．
【详解】解：如图，
∵𝑎∥𝑏，
∴∠1 = ∠3 = 50°，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴= 60°，
∴∠2 = 180° −∠3 −∠𝐴= 180° −50° −60° = 70°．
故答案为：70．
▌迁移练5-2（26-27 八年级·上海·暑假作业）如图，一张直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 23°，
𝑀𝑁∥𝐵𝐶，将纸片沿𝑀𝑁折叠，使点A 落在点D 处，则∠𝐷𝑁𝐵的度数为_________ ．
【答案】46°
【分析】由𝑀𝑁∥𝐵𝐶，得∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，由折叠得∠𝐷𝑀𝑁= ∠𝐴𝑀𝑁= 90°，∠𝐷= ∠𝐴= 23°，
可证明A、M、D 三点在同一条直线上，则 ∠𝐷𝑁𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐷= 46°，即可求解．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝑀𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝑀𝑁折叠，点A 落在点D 处，
∴∠𝐷𝑀𝑁= ∠𝐴𝑀𝑁= 90°，∠𝐷= ∠𝐴= 23°，
∴∠𝐷𝑀𝑁+ ∠𝐴𝑀𝑁= 180°，
∴A、M、D 三点在同一条直线上，
∴∠𝐷𝑁𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐷= 2∠𝐴= 46°，
故答案为：46°．
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44 /
▌迁移练5-3（25-26 八年级下·山东烟台·期末）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用．
【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”
小组得到了一个结论：已知△𝐴𝐵𝐶，如图1，若点𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线的交点，则∠𝑃= 90° +
1
2 ∠𝐴．
证明如下：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴+ 2(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 180°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴∠𝑃= 180° −(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 180° −(90° −
1
2 ∠𝐴) = 90° +
1
2 ∠𝐴．
【问题解决】
(1)如图2，若点𝑃是外角∠𝐶𝐵𝐹和∠𝐵𝐶𝐸的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证
明；若不成立，写出正确的结论并证明．
【拓展创新】
(2)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑃，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠使得点𝐴与点𝑃重合，若∠1 +
∠2 = 76°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数．
【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为∠𝑃= 90° −
1
2 ∠𝐴，
证明：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃是∠𝐶𝐵𝐹和∠𝐵𝐶𝐸的角平分线，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐹，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠𝑃= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 180° −
1
2 ∠𝐶𝐵𝐹−
1
2 ∠𝐵𝐶𝐸= 180° −
1
2 (∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐸)，
又∵∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝑃= 180° −
1
2 (∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 180° −
1
2 (180° + ∠𝐴) = 90° −
1
2 ∠𝐴，
∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为∠𝑃= 90° −
1
2 ∠𝐴．
(2)109°
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45 /
【分析】（1）由角平分线的定义得∠𝑃𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐵𝐹，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐶𝐸，由外角的性质得∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐴+
∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）连接𝐴𝑃，由外角的性质得∠1 = ∠𝐸𝐴𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐴，∠2 = ∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷𝑃𝐴，由折叠的性质得：∠𝐸𝐴𝐷=
∠𝐸𝑃𝐷，即可求出∠𝐸𝐴𝐷的度数，再根据题干的结论∠𝐵𝑃𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐸𝐴𝐷，即可求出∠𝐵𝑃𝐶的度数．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接𝐴𝑃，
∵∠1 = ∠𝐸𝐴𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐴，∠2 = ∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷𝑃𝐴，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐸𝐴𝑃+ ∠𝐸𝑃𝐴+ ∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷𝑃𝐴= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐸𝑃𝐷，
由折叠的性质得：∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝑃𝐷，
∴∠1 + ∠2 = 2∠𝐸𝐴𝐷= 76°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= 38°，
由题干的结论得：∠𝐵𝑃𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 90° +
1
2 × 38° = 109°．
题型6 全等三角形的概念和性质
▌例6-1 （25-26 八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可．
【详解】解：由题意知，选项A、B、D 中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C 中的两个
图形能够完全重合，是全等图形；
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46 /
故选：C．
▌例6-2 （25-26 八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个
单位长度，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸均在小正方形方格的顶点上，线段𝐴𝐵，𝐶𝐷交于点𝐹，若∠𝐶𝐹𝐵= 𝛼，则∠𝐴𝐵𝐸等
于（ ）
A．180° −𝛼
B．180° −2𝛼
C．90° + 𝛼
D．90° + 2𝛼
【答案】C
【分析】延长 𝐶𝐴 至点 𝐺，使 𝐺𝐷⊥𝐶𝐺，延长 𝐶𝐵 至点 𝐻，使 𝐸𝐻⊥𝐶𝐻，构造全等三角形△𝐶𝐺𝐷≌
△𝐵𝐻𝐸(SAS)，得到∠𝐺𝐶𝐷= ∠𝐻𝐵𝐸，由外角的性质可得𝛼= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐻𝐵𝐸． 再由𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，直角三角形的
两锐角互余结合角的等量代换即可得到∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐻𝐵𝐸= 90° −𝛼，最后根据∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐸=
180° −∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐻𝐵𝐸计算即可．
【详解】解：如图，延长 𝐶𝐴 至点 𝐺，使 𝐺𝐷⊥𝐶𝐺，延长 𝐶𝐵 至点 𝐻，使 𝐸𝐻⊥𝐶𝐻．
由图可知：𝐶𝐺= 𝐵𝐻= 4，∠𝐺= ∠𝐻= 90°，𝐺𝐷= 𝐻𝐸= 1，
∴△𝐶𝐺𝐷≌△𝐵𝐻𝐸(SAS)，
∴∠𝐺𝐶𝐷= ∠𝐻𝐵𝐸．
∵∠𝐶𝐹𝐵 是△𝐴𝐶𝐹 的外角，
∴∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐺𝐶𝐷，即𝛼= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐻𝐵𝐸．
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 90°，即∠𝐶𝐴𝐵= 90° −∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝛼= 90° −∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐻𝐵𝐸，即∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐻𝐵𝐸= 90° −𝛼．
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47 /
∵∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐻+ ∠𝐻𝐵𝐸= 180° −∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐻𝐵𝐸= 180° −(∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐻𝐵𝐸)，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 180° −(90° −𝛼) = 90° + 𝛼．
▌迁移练6-1（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，若𝐴𝐵= 3, 𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 5，
则𝐷𝐸的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐵𝐶= 5，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐶= 5．
▌迁移练6-2（25-26 八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m 和n，一个内角为30°，满足
上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
（1）若𝑚= 2，𝑛= 3，则伴生数为______；
（2）若𝑚= 7，n 为正整数，且伴生数为4，则n 的最大整数值是______．
【答案】 4 13
【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义，
对于（1），根据新定义解答即可；
对于（2），先确定符合条件的n 的值，再确定最大整数即可.
【详解】解：如图所示，△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐸𝐹,△𝐷𝐸𝐺,△𝐽𝐻𝐾中两边长为2 和3，有一角为30°，所以伴生数为
4；
解题要点
全等三角形的概念和性质
1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形。
2.全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长和面积也分别相等。
3.找准全等三角形的对应顶点和对应元素是解题的关键。
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48 /
当𝑛≥4时，比如：△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐸𝐹,△𝐷𝐸𝐺,△𝐽𝐻𝐾中两边长为6 和7，有一角为30°，所以伴生数为4；
当𝑛= 13时，比如：△𝐴𝐵𝐶,△𝐷𝐸𝐹,△𝐷𝐸𝐺,△𝐽𝐻𝐾中两边长为6 和7，有一角为30°，所以伴生数为4；
当𝑛> 13时，伴生数不是4，所以n 的最大整数是13.
故答案为：4；13.
▌迁移练6-3（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，点𝐸在𝐴𝐵上，𝐷𝐸与𝐴𝐶相
交于点𝐹．
(1)当𝐷𝐸= 10，𝐵𝐶= 6时，线段𝐴𝐸的长为______；
(2)已知∠𝐷= 30°，∠𝐶= 60°．
①求∠𝐷𝐵𝐶的度数；
②求∠𝐴𝐹𝐷的度数．
【答案】(1)4
(2)①30°；②120°
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三
角形的性质是解题的关键．
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49 /
（1）根据全等三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 10，𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 6，结合图形计算，即可得到答案；
（2）①根据全等三角形的性质得到∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐶= 60°，∠𝐴= ∠𝐷= 35°，进而根据三角形的内角和定
理求得∠𝐴𝐵𝐶，进而根据∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐵𝐸，即可求解．
②根据三角形外角的性质求得∠𝐴𝐸𝐹, ∠𝐴𝐹𝐷．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，𝐷𝐸= 10，𝐵𝐶= 6，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 10，𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 6，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 10 −6 = 4；
（2）解：①∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 30°，∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐶= 60°．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷𝐵𝐸= 90° −60° = 30°．
②∵∠𝐴𝐸𝐹是△𝐷𝐵𝐸的外角，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐸= 30° + 60° = 90°．
∵∠𝐴𝐹𝐷是△𝐴𝐸𝐹的外角，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹= 30° + 90° = 120°．
题型7 全等三角形的判定
▌例7-1 （25-26 八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，则证明△𝐴𝐵𝐶≌
△𝐶𝐷𝐴的依据是（ ）
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：SAS、SSS、ASA、AAS、HL是
解题的关键．由𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，又因为𝐴𝐶= 𝐴𝐶，即可由SSS判定两三角形全等．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴(SSS)，
故选：D．
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50 /
▌例7-2 （25-26 八年级下·山东烟台·期末）如图，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐸𝐷，若以“SAS”为依据
来判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶，还需添加一个条件为________．
【答案】𝐵𝐶= 𝐶𝐷（答案不唯一）
【详解】解：当𝐵𝐶= 𝐶𝐷时，
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐷= 90°，
∵𝐴𝐵= 𝐸𝐷，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶(SAS)，
∴可添加𝐵𝐶= 𝐶𝐷．
▌例7-3 （26-27 八年级上·全国·开学考试）如图，∠𝐴= ∠𝐵，∠1 = ∠2，点D 在𝐴𝐶边上，𝐴𝐸和𝐵𝐷相交
于点O．
(1)若∠2 = 40°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)若∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶，求证：△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷．
【答案】(1)40°
(2)证明：∵∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶，
∴𝐸𝐶= 𝐸𝐷，
由（1）可知：∠𝐴𝐸𝐵= ∠1，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠2 + ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐷，即∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷，
在△𝐴𝐸𝐶和△𝐵𝐸𝐷中，
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51 /
{
∠𝐴= ∠𝐵
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷
𝐸𝐶= 𝐸𝐷
，
∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷(AAS)．
【分析】（1）在△𝐴𝑂𝐷和△𝐵𝑂𝐸中，利用三角形内角和定理可得∠1 = ∠𝐴𝐸𝐵，从而得到答案；
（2）先证明𝐸𝐷= 𝐸𝐶，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐷，再利用AAS可证得△𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷．
【详解】（1）解：∵∠𝐴= ∠𝐵，∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐴𝑂𝐷，点D 在𝐴𝐶边上，𝐴𝐸和𝐵𝐷相交于点O，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠1，
又∵∠1 = ∠2，∠2 = 40°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠1 = ∠2 = 40°；
（2）略．
▌例7-4 （25-26 八年级下·宁夏银川·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的周长为42，点D，E 在边𝐵𝐶上，∠𝐴𝐵𝐶的平
分线垂直于𝐴𝐸，垂足为N，𝐶𝑀垂直平分𝐴𝐷，垂足为𝑀，若𝐵𝐶= 18，则𝑀𝑁的长度为_________________．
【答案】3
【分析】先证明△𝐵𝑁𝐴≌△𝐵𝑁𝐸，得到𝐵𝐸= 𝐵𝐴，𝐴𝑁= 𝑁𝐸，同理得到𝐶𝐷= 𝐶𝐴，𝐴𝑀= 𝑀𝐷，说明𝐷𝐸
是中位线，求出𝐷𝐸，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵𝐵𝑁平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝑁⊥𝐴𝐸，
∴∠𝑁𝐵𝐴= ∠𝑁𝐵𝐸，∠𝐵𝑁𝐴= ∠𝐵𝑁𝐸，
在△𝐵𝑁𝐴和△𝐵𝑁𝐸中，
{
∠𝑁𝐵𝐴= ∠𝑁𝐵𝐸
𝑁𝐵= 𝑁𝐵
∠𝐵𝑁𝐴= ∠𝐵𝑁𝐸
∴△𝐵𝑁𝐴≌△𝐵𝑁𝐸(ASA)
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐴，𝐴𝑁= 𝑁𝐸，
同理，𝐶𝐷= 𝐶𝐴，𝐴𝑀= 𝑀𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为42，𝐵𝐶= 18，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 42 −18 = 24，
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52 /
∴𝐵𝐸+ 𝐶𝐷= 24，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐷−𝐵𝐶= 24 −18 = 6，
∵𝐴𝑁= 𝑁𝐸，𝐴𝑀= 𝑀𝐷，
∴𝑀𝑁是△𝐴𝐷𝐸的中位线，
∴𝑀𝑁=
1
2 𝐷𝐸= 3．
▌例7-5 （25-26 八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在△𝐴𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐵中，点A、B、C、D 在一条直
线上，已知𝐸𝐴⊥𝐴𝐶，𝐹𝐷⊥𝐵𝐷，𝐴𝐸= 𝐷𝐹，若用“HL”证明Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐷𝐹𝐵，需添加什么条件？写
出来并证明．
【答案】解：条件是𝐸𝐶= 𝐹𝐵，证明如下：
∵𝐸𝐴⊥𝐴𝐶，𝐹𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐷𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐵是直角三角形，
在Rt △𝐴𝐸𝐶和Rt △𝐷𝐹𝐵中，
∵{𝐸𝐶= 𝐹𝐵
𝐴𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐷𝐹𝐵(HL)．
【分析】根据HL判断出添加条件，进而证明Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐷𝐹𝐵即可．
【详解】略．
▌迁移练7-1（25-26 八年级上·湖南株洲·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐷中，满足𝐴𝐶= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷．
解题要点
全等三角形的判定
1.判定全等三角形的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 以及直角三角形特有的 HL。
2.要注意“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等。
3.善于利用题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等进行判定。
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53 /
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷；
(2)若𝑃是线段𝐴𝐵上一点，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐷，垂足分别是点𝐸，𝐹，试判断𝑃𝐸 与𝑃𝐹的数量关系，并说明
理由．
【答案】(1)
证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，
∵{
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
𝐵𝐶= 𝐵𝐷
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷(SSS)．
(2)
解：𝑃𝐸= 𝑃𝐹， 理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵．
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹．
【分析】（1）根据SSS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷即可；
（2）证明∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，结合𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐷可得结论.
【详解】（1）略
（2）略
▌迁移练7-2（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，D 是边𝐴𝐶的中点，𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，
且𝐴𝐸∥𝐵𝐷，𝐶𝐸交𝐵𝐷于点F．
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54 /
(1)求∠𝐵𝐴𝐸的度数；
(2)求证：△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【答案】(1)30°
(2)证明：∵𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐴= 90° −60° = 30° = ∠𝐵𝐴𝐸．
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐵，∠𝐴𝐸𝐵= 180° −30° −30° = 120°，∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷= 60°．
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐶，
∵𝐸𝐶= 𝐸𝐶，
∴△𝐸𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴(SSS)，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐸𝐵= 60°，
∴△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°，根据平行线
的性质即可求出∠𝐵𝐴𝐸的度数；
（2）根据垂线的性质得到∠𝐸𝐵𝐶= 90°，可知∠𝐸𝐵𝐴= 30° = ∠𝐵𝐴𝐸，进而得到𝐸𝐴= 𝐸𝐵，∠𝐴𝐸𝐵= 120°，
∠𝐸𝐵𝐹= 60°，根据等边三角形的性质得到𝐵𝐶= 𝐴𝐶，证明△𝐸𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴(SSS)，得到∠𝐵𝐸𝐶= 60°，即可证
明△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∵D 是边𝐴𝐶的中点，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 30°．
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐷，
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55 /
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷= 30°；
（2）略．
▌迁移练7-3（25-26 八年级下·山东临沂·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 10√2，点F 为𝐴𝐵的中点，
以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点M，N，分别以点M，N 为圆心，大于𝑀𝑁长的一
半为半径画弧，两弧交于点D，画射线𝐴𝐷交𝐵𝐶于点E，连接𝐸𝐹，则𝐸𝐹的长是（ ）
A．5
B．5√2
C．8
D．5√3
【答案】B
【分析】由题意得𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，利用SAS证明△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐸，得到点𝐸是𝐵𝐶的中点，从而𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶
的中位线，结合题目信息即可得到𝐸𝐹的长．
【详解】解：由题意得𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐸和△𝐶𝐴𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴点𝐸是𝐵𝐶的中点，
∵点F 是𝐴𝐵的中点，
∴𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中位线，
∴𝐸𝐹=
1
2 𝐴𝐶= 5√2．
▌迁移练7-4（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，点𝐸在边𝐶𝐷上，𝐵𝐶与𝐴𝐸交于点𝐹, 𝐴𝐵= 𝐶𝐵, 𝐵𝐸=
𝐵𝐷, ∠1 = ∠2．
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56 /
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷；
(2)若𝐴𝐸= 8, 𝐶𝐸= 5，求𝐸𝐷的长．
【答案】(1)
证明：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠𝐶𝐵𝐸= ∠2 + ∠𝐶𝐵𝐸,
即∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐵𝐷中，
{
𝐴𝐵= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐵𝐸= 𝐵𝐷
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)；
(2)𝐸𝐷= 3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据∠1 = ∠2，得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，再结合𝐴𝐵= 𝐶𝐵，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，即可作答．
（2）由（1）得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，故𝐶𝐷= 𝐴𝐸= 8，又结合𝐶𝐸= 5，则𝐸𝐷= 3，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐸= 8，
又∵𝐶𝐸= 5，
∴𝐸𝐷= 𝐶𝐷−𝐶𝐸= 8 −5 = 3．
▌迁移练7-5（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀是𝐵𝐶边上的中点，𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐶，
𝐵𝑁⊥𝐴𝑁于点𝑁，若𝐴𝐵= 6，𝑀𝑁= 1，则𝐴𝐶的长为_____________．
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57 /
【答案】8
【分析】延长𝐵𝑁交𝐴𝐶于点D，因为𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐶且𝐵𝑁⊥𝐴𝑁，所以可通过角边角证明△𝐴𝐵𝑁≌△𝐴𝐷𝑁，
得到𝐵𝑁= 𝑁𝐷、𝐴𝐵= 𝐴𝐷．因为M 是𝐵𝐶的中点，N 是𝐵𝐷中点，所以𝑀𝑁是△𝐵𝐶𝐷的中位线，根据中位线定
理得到𝐶𝐷与𝑀𝑁的数量关系．结合𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷，代入已知线段长度即可求解．
【详解】解：延长𝐵𝑁交𝐴𝐶于点D，
∵𝐴𝑁平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝑁= ∠𝐷𝐴𝑁；
∵𝐵𝑁⊥𝐴𝑁，
∴∠𝐴𝑁𝐵= ∠𝐴𝑁𝐷= 90°；
又𝐴𝑁= 𝐴𝑁，
∴△𝐴𝐵𝑁≌△𝐴𝐷𝑁(ASA)．
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 6，𝐵𝑁= 𝐷𝑁．
∵M 是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝑀= 𝐶𝑀，即𝑀𝑁是△𝐵𝐶𝐷的中位线，
∴𝐶𝐷= 2𝑀𝑁= 2 × 1 = 2．
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 6 + 2 = 8．
▌迁移练7-6（25-26 八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐷，𝑃𝐺⊥𝐴𝐷，
垂足为点G，𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，垂足为点H，𝑃𝐸垂直平分𝐵𝐶于点E．
求证：∠𝑃𝐵𝐻= ∠𝑃𝐶𝐺．
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58 /
【答案】证明：∵𝐴𝑃平分外角∠𝐵𝐴𝐷，𝑃𝐺⊥𝐴𝐷，𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐺
∵𝑃𝐸垂直平分𝐵𝐶
∴𝑃𝐵= 𝑃𝐶
在Rt △𝑃𝐻𝐵与Rt △𝑃𝐺𝐶中，
{𝑃𝐵= 𝑃𝐶
𝑃𝐻= 𝑃𝐺
∴Rt △𝑃𝐻𝐵≌Rt △𝑃𝐺𝐶(HL)
∴∠𝑃𝐵𝐻= ∠𝑃𝐶𝐺．
【分析】根据角平分线性质定理和线段垂直平分线的性质得到𝑃𝐻= 𝑃𝐺，𝑃𝐵= 𝑃𝐶，再证明Rt △𝑃𝐻𝐵≌
Rt △𝑃𝐺𝐶(HL)即可．
【详解】略
题型8 全等三角形的判定与性质综合求解及证明
▌例8-1 （25-26 八年级上·河南新乡·期末）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为点𝐸．过
点𝐵作𝐵𝐹∥𝐴𝐶交𝐸𝐷的延长线于点𝐹，当𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐹, 𝐴𝐸= 2𝐵𝐹时，有下列四个结论：①𝐷𝐵= 𝐷𝐶；②𝐷𝐸=
𝐵𝐹；③𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；④𝐴𝐶= 3𝐵𝐹．其中正确的结论有（ ）
A．①②
B．①④
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
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59 /
根据平行线的性质，角平分线的定义得到△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，由三线合一可判定①，③正确；证明
△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸(ASA)，可判定②；根据线段和差计算可判定④，由此即可求解．
【详解】解：∵𝐵𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐹，
∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝐹，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，则𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶, 𝐴𝐷是𝐵𝐶的中线，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐶，故①，③正确；
在△𝐵𝐷𝐹,△𝐶𝐷𝐸中，
{
∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐶
𝐷𝐵= 𝐷𝐶
∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸
，
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸(ASA)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐸与𝐵𝐹不一定相等，故②错误；
∵𝐴𝐸= 2𝐵𝐹, 𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸= 2𝐵𝐹+ 𝐵𝐹= 3𝐵𝐹，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：D ．
▌例8-2 （25-26 八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹的是（ ）
A．𝐴𝐵= 𝐷𝐸, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹, ∠𝐴= ∠𝐷
B．𝐴𝐵= 𝐷𝐸, ∠𝐴= ∠𝐷, 𝐴𝐶= 𝐷𝐹
C．∠𝐴= ∠𝐷, ∠𝐵= ∠𝐸, ∠𝐶= ∠𝐹
D．∠𝐵= ∠𝐸, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹, ∠𝐴= ∠𝐹
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而
SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．
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60 /
【详解】解：如图，
A、根据𝐴𝐵= 𝐷𝐸, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹, ∠𝐴= ∠𝐷，不能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
故本选项错误；
B、根据𝐴𝐵= 𝐷𝐸, ∠𝐴= ∠𝐷, 𝐴𝐶= 𝐷𝐹，利用SAS能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选项正确；
C、根据∠𝐴= ∠𝐷, ∠𝐵= ∠𝐸, ∠𝐶= ∠𝐹，不能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选项错误；
D、∠𝐵= ∠𝐸, 𝐵𝐶= 𝐸𝐹, ∠𝐴= ∠𝐹，不能判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，故本选项错误；
故选：B．
▌迁移练8-1（25-26 八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(0,5)，𝐵(3,0)，在
坐标系内有一点𝐶（不与点𝐵重合），使得△𝐴𝑂𝐶与△𝐴𝑂𝐵全等，这样的点𝐶有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关
键．
画出图形即可得到答案．
【详解】解：如图所示，满足条件的点有三个，分别为𝐶1(−3,0),𝐶2(−3,5), 𝐶3(3,5)
解题要点
全等三角形的判定与性质综合求解及证明
1.证明全等后，必须利用全等三角形的性质（对应边、对应角相等）进行线段或角度的等量代换。
2.当图形较复杂时，可结合角平分线、中线、垂直等几何特征寻找等量关系。
3.分析已知条件和待求结论，逆向寻找需证的全等三角形。
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61 /
故选：C
▌迁移练8-2（25-26 八年级上·河北邯郸·期末）如图，△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点O，𝑂𝐵= 𝐴𝐶= 7，
点F 在射线𝐵𝐶上，且𝐶𝐹= 𝐴𝑂，动点P 从点O 出发，沿线段𝑂𝐵以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，
同时动点Q 从点A 出发，沿射线𝐴𝐶以每秒3个单位长度的速度运动，当点P 到达点B 时，P，Q 两点同时停
止运动，设运动时间为𝑡秒，当△𝐴𝑂𝑃与△𝐹𝐶𝑄全等时，𝑡的值为（ ）
A．
7
4
B．
7
6
C．
7
4或
7
6
D．
7
4或
7
2
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分
情况讨论点𝐹在𝐵𝐶延长线上或点𝐹在𝐵𝐶之间时，△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄，根据对应边相等，解一元一次方程求得值
即可选出结果．
【详解】解：①当点𝐹在𝐵𝐶延长线上时：设𝑡秒时，𝑃、𝑄分别运动到如图位置，△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄，
∵𝐶𝐹= 𝐴𝑂，∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐸𝑂𝐷= 180 −
° ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝑄，
∴当△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄时，𝑂𝑃= 𝐶𝑄，
∵𝑂𝐵= 𝐴𝐶= 7，
∴𝑂𝑃= 𝑡，𝐶𝑄= 𝐴𝐶−𝐴𝑄= 7 −3𝑡，
∴𝑡= 7 −3𝑡
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62 /
解得𝑡=
7
4；
②当点𝐹在𝐵𝐶之间时：设𝑡秒时，𝑃、𝑄分别运动到如图位置，△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄，
∵𝐶𝐹= 𝐴𝑂，∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐸𝑂𝐷= 180 −
° ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝑄，
∴当△𝐴𝑂𝑃≌△𝐹𝐶𝑄时，𝑂𝑃= 𝐶𝑄，
∵𝑂𝐵= 𝐴𝐶= 7，
∴𝑂𝑃= 𝑡，𝐶𝑄= 𝐴𝑄−𝐴𝐶= 3𝑡−7，
∴𝑡= 3𝑡−7
解得𝑡=
7
2；
综上，𝑡=
7
4或𝑡=
7
2，
故选：D．
▌迁移练8-3（25-26 八年级上·湖南长沙·期末）如图1，△𝑂𝐴𝐵,△𝑂𝐶𝐷都是等腰三角形，𝑂𝐴= 𝑂𝐵, 𝑂𝐶=
𝑂𝐷, ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶和𝐵𝐷相交于点E，连接𝑂𝐸．
(1)求证：△𝐴𝐶𝑂≌△𝐵𝐷𝑂；
(2)若∠𝐴𝑂𝐵= 2𝛼，求∠𝑂𝐸𝐷的大小；
(3)如图2，若∠𝐴𝑂𝐵= 60°，F 为𝐵𝐷上一点，𝐷𝐹= 𝐶𝐸, 𝑂𝐹= 𝐵𝐸，𝐴𝐶交𝑂𝐵于点G，求证：𝐴𝐶垂直平分𝐵𝑂．
【答案】(1)
证明：∵∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐶，即∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中，
{
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
．
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63 /
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)；
(2)∠𝑂𝐸𝐷= 90° −𝛼
(3)证明：由（1）△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷得：∠𝑂𝐶𝐸= ∠𝑂𝐷𝐹, ∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐵𝐷．
在△𝑂𝐶𝐸和△𝑂𝐷𝐹中，
∵{
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
∠𝑂𝐶𝐸= ∠𝑂𝐷𝐹
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
．
∴△𝑂𝐶𝐸≌△𝑂𝐷𝐹(SAS)
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐹
∵𝑂𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝑂𝐸= 𝐵𝐸，点E 在𝐵𝑂的垂直平分线上；
在△𝐴𝑂𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵= 60°, 𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∴△𝐴𝑂𝐵为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝑂，点A 在𝐵𝑂的垂直平分线上；
∴直线𝐴𝐶垂直平分𝐵𝑂．
【分析】（1）证明∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷即可证明△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(SAS)；
（2）过点O 作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点M，𝑂𝑁⊥𝐵𝐷于点N，求出∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵= 2𝛼, ∠𝐴𝐸𝐷= 180° −2𝛼，再
证明𝐸𝑂平分∠𝐴𝐸𝐷，即可求出结论；
（3）先证明△𝑂𝐶𝐸≌△𝑂𝐷𝐹(SAS)，得出𝑂𝐸= 𝑂𝐹，进而证明𝑂𝐸= 𝐵𝐸，点E 在𝐵𝑂的垂直平分线上，
再根据△𝐴𝑂𝐵为等边三角形得出点A 在𝐵𝑂的垂直平分线上，证明结论即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点O 作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于点M，𝑂𝑁⊥𝐵𝐷于点N，则∠𝑂𝑀𝐴= ∠𝑂𝑁𝐵= 90°，
由（1）△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，
∴∠𝑂𝐴𝐶= ∠𝑂𝐵𝐷，
∵∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝐸，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵= 2𝛼, ∠𝐴𝐸𝐷= 180° −2𝛼，
在△𝑂𝐴𝑀和△𝑂𝐵𝑁中，
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64 /
∵{
∠𝑂𝑀𝐴= ∠𝑂𝑁𝐵
∠𝑂𝐴𝑀= ∠𝑂𝐵𝑁
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∴△𝑂𝐴𝑀≌△𝑂𝐵𝑁(AAS)，
∴𝑂𝑀= 𝑂𝑁，
∴𝐸𝑂平分∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝑂𝐸𝐷= 90° −𝛼．
（3）略
题型9 利用全等三角形确定线段间的关系
▌例9-1 （25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
直线𝑙经过点A，分别从点B，C 向直线𝑙作垂线，垂足分别为D，E．求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
（2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点A，点D，E 分别在直线𝑙上，如果∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶，
猜想𝐷𝐸，𝐵𝐷，𝐶𝐸有何数量关系，并给予证明；
（3）如图3，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，点B 的坐标为(1,3)，点C 的坐标为(−1,0)，直接写出点A 的坐标______．
【答案】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐵𝐴，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐸𝐴= 90°，
∵∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐸𝐴𝐶，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐴，
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
（2）𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．证明如下：
∵∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐸𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸= 180°，
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65 /
∴∠𝐸𝐶𝐴= 180° −∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐸𝐴，
∵∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180° −∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∴△𝐶𝐸𝐴≌△𝐴𝐷𝐵，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐷= 𝐴𝐸，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐴+ 𝐴𝐷，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．
（3）(−4,2)
【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键．
（1）利用同角的余角相等得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，再利用角角边证明全等即可．
（2）利用∠𝐶𝐸𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐶𝐴𝐸= 180°和∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°可得∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷，证明△
𝐶𝐸𝐴≌△𝐴𝐷𝐵，得到𝐶𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐷= 𝐴𝐸，等量代换即可．
（3）过点A 和点B 向𝑥轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）过点A 作𝐴𝐷⊥𝑥轴点D，过点B 作𝐵𝐸⊥𝑥轴于点E，
由（1）可得：∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，
∵∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐷𝐶= 𝐸𝐵，
∵𝐵(1,3)，𝐶(−1,0)，
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∴𝐵𝐸= 3，𝑂𝐸= 1，𝑂𝐶= 1，
∴𝐴𝐷= 2, 𝑂𝐷= 4，
∴𝐴(−4,2)．
▌例9-2 （25-26 八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷, ∠𝐵=
∠𝐴𝐷𝐶= 90°, 𝐸, 𝐹分别是𝐵𝐶, 𝐶𝐷上的点，且𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，试猜想图中∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系．小王同
学解决此问题的方法是：延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连接𝐴𝐺，先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△𝐴𝐸𝐹≌
△𝐴𝐺𝐹，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷, ∠𝐵+ ∠𝐷= 180°.𝐸, 𝐹分别是𝐵𝐶, 𝐶𝐷上的点，且𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，
试探究∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°,𝐴𝐵= 𝐴𝐷，若点𝐸在𝐶𝐵的延长线上，点𝐹在𝐶𝐷的延
长线上，如图3 所示，仍然满足𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，请写出∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹；
（2）∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，理由如下：
如图，延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐺中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐺= 90°
𝐵𝐸= 𝐷𝐺
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，𝐴𝐸= 𝐴𝐺，
∵𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，𝐷𝐺= 𝐵𝐸，
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67 /
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹= 𝐷𝐺+ 𝐷𝐹= 𝐺𝐹，
∵𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹(SSS)，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺+ ∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹．
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，
故答案为：∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹；
（3）∠𝐸𝐴𝐹= 180° −
1
2 ∠𝐷𝐴𝐵，理由如下：
如图，在𝐷𝐶延长线上取一点𝐺，使得𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐺≌△𝐴𝐵𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐸，
∵𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷= 𝐷𝐺+ 𝐹𝐷= 𝐺𝐹，𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹(SSS)，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐺，
∵∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐹𝐴𝐺+ ∠𝐺𝐴𝐸= 360°，
∴2∠𝐹𝐴𝐸+ (∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸) = 360°，
∴2∠𝐹𝐴𝐸+ (∠𝐺𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐺) = 360°，
即2∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐵= 360°，
∴ ∠𝐸𝐴𝐹= 180° −
1
2 ∠𝐷𝐴𝐵．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，可判定△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，进而得出∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，𝐴𝐸= 𝐴𝐺，
再判定△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，可得出∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺+ ∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹，据此得出结论；
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68 /
（2）延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，先判定△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，进而得出∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，𝐴𝐸= 𝐴𝐺，
再判定△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，可得出∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺+ ∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹，即∠𝐸𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷；
（3）在𝐷𝐶延长线上取一点𝐺，使得𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，先判定△𝐴𝐷𝐺≌△𝐴𝐵𝐸，再判定△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，
得出∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐺，最后根据∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐹𝐴𝐺+ ∠𝐺𝐴𝐸= 360°，推导得到2∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐵= 360°，即可得
出结论．
【详解】解：（1）∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹；理由如下：
如图，延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐺中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐺= 90°
𝐵𝐸= 𝐷𝐺
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐺，𝐴𝐸= 𝐴𝐺，
∵𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹，𝐷𝐺= 𝐵𝐸，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐷𝐹= 𝐷𝐺+ 𝐷𝐹= 𝐺𝐹，
∵𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹(SSS)，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐺𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐺+ ∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐹．
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹，
故答案为：∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐸𝐴𝐹；
（2）略
（3）略
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▌迁移练9-1（25-26 八年级上·广东潮州·期中）如图，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点E 在线段𝐴𝐵上，𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、
∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
(1)线段𝐷𝐸与𝐶𝐸有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若𝐴𝐷= 3，𝐵𝐶= 2，求𝐶𝐷的长．
【答案】(1)𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）先根据角平分线得2∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶, 2∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，再根据𝐴𝐷∥𝐵𝐶就可得出∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸=
90°，即可得出结论；
（2）在𝐷𝐶上截取𝐷𝐹= 𝐴𝐷= 3，先证△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐸，再证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，即可得出答案．
【详解】（1）解：𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，理由如下：
∵𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐸𝐷𝐶, ∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐷𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴2∠𝐸𝐷𝐶+ 2∠𝐷𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
∴𝐷𝐸⊥𝐶𝐸；
解题要点
利用全等三角形确定线段间的关系
1.常采用“截长补短”法构造全等三角形，将分散的线段转移集中。
2.熟练掌握“一线三等角”模型（K 字模型），通过同角的余角相等构造全等。
3.结合全等性质和等量代换，推导线段的和、差、倍、分关系。
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70 /
（2）解：如图，在𝐷𝐶上截取𝐷𝐹= 𝐴𝐷= 3，连接𝐸𝐹，
∵𝐷𝐸、𝐶𝐸分别是∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐵𝐶𝐷的角平分线，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸, ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐹𝐷𝐸中，
{
𝐴𝐷= 𝐹𝐷
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸
𝐷𝐸= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐸(SAS)，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐸，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180°，
∵∠𝐷𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐸，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
{
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
∠𝐵= ∠𝐸𝐹𝐶
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐶𝐹= 2，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐹+ 𝐷𝐹= 2 + 3 = 5．
▌迁移练9-2（24-25 八年级上·吉林·期末）在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，直线𝑙经过点𝐶．
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71 /
(1)当𝐴𝐶= 𝐵𝐶时，
①如图1，分别过点𝐴，𝐵作𝐴𝐷⊥直线𝑙于点𝐷，𝐵𝐸⊥直线𝑙于点𝐸．求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸；
②如图2，过点𝐴作𝐴𝐷⊥直线𝑙于点𝐷，点𝐵与点𝐹关于直线𝑙对称，连接𝐵𝐹交直线𝑙于点𝐸，连接𝐶𝐹．请写出
线段𝐷𝐸，𝐴𝐷，𝐸𝐹三者之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图3，当𝐴𝐶= 8cm，𝐵𝐶= 6cm时，点𝐵与点𝐹关于直线𝑙对称，连接𝐵𝐹，𝐶𝐹．点𝑀从𝐴点出发，以每秒
1cm的速度沿路径𝐴→𝐶运动到终点𝐶；点𝑁以每秒3cm的速度沿路径𝐹→𝐶→𝐵→𝐶→𝐹运动到终点𝐹．分
别过点𝑀，𝑁作𝑀𝐷⊥直线𝑙于点𝐷，𝑁𝐸⊥直线𝑙于点𝐸．点𝑀，𝑁同时开始运动，各自达到相应的终点时停止
运动，设运动时间为𝑡秒．当△𝑀𝐷𝐶与△𝐶𝐸𝑁全等时，直接写出𝑡的值．
【答案】(1)
①证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∵直线𝑙⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐶𝐵𝐸中，{
∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝐵
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)；
②𝐷𝐸= 𝐸𝐹+ 𝐴𝐷，理由如下：
证明：点𝐵与点𝐹关于直线𝑙对称，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐹，
∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐸𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐸= 𝐸𝐹+ 𝐴𝐷；
(2)𝑡= 3.5或5 或6.5
【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）①根据同角的余角相等得到∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，根据全等三角形的判定定理证明即可；
②由对称及△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(AAS)可知𝐵𝐸= 𝐸𝐹，𝐶𝐷= 𝐵𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，结合𝐷𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐸即可证明结
论；
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72 /
（2）分点𝑁沿𝐹→𝐶路径运动、点𝑁沿𝐶→𝐵路径运动、点𝑁沿𝐵→𝐶路径运动、点𝑁沿𝐶→𝐹路径运动
四种情况计算即可．
【详解】（1）①略
②略
（2）解：由题意得，𝐶𝐹= 𝐵𝐶= 6cm
由（1）可得∠𝐷𝑀𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，∠𝑀𝐷𝐶= ∠𝐶𝐸𝑁，
∵对称，
∴∠𝐸𝐶𝑁= ∠𝐸𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐶𝑁= ∠𝐷𝑀𝐶，
∴当𝐶𝑀= 𝐶𝑁时，△𝑀𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝑁，
当点𝑁沿𝐹→𝐶路径运动时，8 −𝑡= 6 −3𝑡，
解得，𝑡= −1，不合题意，
当点𝑁沿𝐶→𝐵路径运动时，8 −𝑡= 3𝑡−6，
解得，𝑡= 3.5，
当点𝑁沿𝐵→𝐶路径运动时，8 −𝑡= 6 × 3 −3𝑡，
解得，𝑡= 5，
当点𝑁沿𝐶→𝐹路径运动时，8 −𝑡= 3𝑡−18，
解得，𝑡= 6.5，
综上所述，当𝑡= 3.5或5 或6.5 时，△𝑀𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝑁．
题型10 尺规作图与全等三角形的综合应用
▌例10-1 （26-27 八年级上·湖北武汉·开学考试）已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐸，𝐶𝐷平
分∠𝐴𝐶𝐵，交𝐴𝐵于点D，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂．
(1)如图1．求证：∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶；
(2)如图2，连接𝑂𝐴，求证：𝑂𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
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73 /
∴设∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 𝛼，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐵= 𝛽，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −2𝛼−2𝛽，∠𝐵𝑂𝐶= 180° −∠𝐶𝐵𝑂−∠𝐵𝐶𝑂= 180° −𝛼−𝛽，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶；
(2)证明：过𝑂作𝑂𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，作𝑂𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐺，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝑂𝐺= 𝑂𝐻，
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐻．
∴𝑂𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到∠𝐵𝐴𝐶= 180° −2𝛼−2𝛽，∠𝐵𝑂𝐶= 180° −
𝛼−𝛽，即可得到结论；
（2）过𝑂作𝑂𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，作𝑂𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻，根据角平分线的性质得到𝑂𝐹= 𝑂𝐺，
𝑂𝐺= 𝑂𝐻，则𝑂𝐹= 𝑂𝐻．根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】（1）略
（2）略
▌例10-2 （25-26 八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°, 𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
于点E，连接𝐶𝐸，交𝐴𝐷于点F．
(1)求证：𝐴𝐷是线段𝐶𝐸的垂直平分线；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐷= 10，求𝐷𝐹的长．
【答案】(1)证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
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74 /
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，
在△𝐴𝐸𝐷和△𝐴𝐶𝐷中，
{
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐶𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶,𝐷𝐸= 𝐷𝐶，
∴𝐴𝐷是线段𝐶𝐸的垂直平分线；
(2)2.5
【分析】(1)根据垂直定义可得∠𝐴𝐸𝐷= 90°，从而可得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，再利用角平分线的定义可
得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，然后利用AAS可证△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，从而利用全等三角形的性质可得𝐴𝐸= 𝐴𝐶, 𝐷𝐸= 𝐷𝐶，
再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
(2)利用角平分线的定义可得∠𝐸𝐴𝐷= 30°，然后在Rt △𝐴𝐷𝐸中，利用含30 度角的直角三角形的性质可
得𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷= 5, ∠𝐴𝐷𝐸= 60°，再利用(1)的结论可得∠𝐷𝐹𝐸= 90°，从而可得∠𝐷𝐸𝐹= 30°，最后在Rt △𝐷𝐸𝐹
中，利用含30 度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐸𝐴𝐷=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°，
在Rt △𝐴𝐷𝐸中，∠𝐸𝐴𝐷= 30°,𝐴𝐷= 10，
∴𝐷𝐸=
1
2 𝐴𝐷= 5, ∠𝐴𝐷𝐸= 90° −∠𝐸𝐴𝐷= 60°，
∵𝐴𝐷是线段𝐶𝐸的垂直平分线，
∴∠𝐷𝐹𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 30°，
∴𝐷𝐹=
1
2 𝐷𝐸= 2.5，
∴𝐷𝐹的长为2.5．
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75 /
▌迁移练10-1（26-27 八年级上·辽宁·开学考试）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以𝐴为圆心，适当长为半径
画弧，交𝐴𝐶，𝐴𝐵于𝐷，𝐸两点，再分别以𝐷，𝐸为圆心，大于
1
2 𝐷𝐸的长为半径画弧，两弧交于点𝑀．作射线𝐴𝑀
交𝐵𝐶于点𝐹，若𝐵𝐹= 3，𝐵𝐶= 5，则点𝐹到𝐴𝐵的距离为（ ）
A．3
B．4
C．2.5
D．2
【答案】D
【分析】过𝐹点作𝐹𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻点，先求出𝐹𝐶长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等得𝐹𝐻=
𝐹𝐶= 2，即点𝐹到𝐴𝐵的距离为2．
【详解】解：如图，过𝐹点作𝐹𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻点，
∵𝐵𝐹= 3，𝐵𝐶= 5，
∴𝐹𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝐹= 2，
由作图知，𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵，
∵∠𝐶= 90°，
∴𝐹𝐶⊥𝐴𝐶，
∴𝐹𝐻= 𝐹𝐶= 2，
∴点𝐹到𝐴𝐵的距离为2．
解题要点
尺规作图与全等三角形的综合应用
1.掌握尺规作图基本方法：作一个角等于已知角、作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线
的垂线。
2.尺规作图的痕迹常能提供角平分线或垂直平分线等隐含性质，从而得到相等的角或线段。
3.先通过尺规作图获取已知条件，再结合全等三角形的判定和性质进行几何证明。
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76 /
▌迁移练10-2（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐴𝐷, 𝐶𝐷，过点C作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
垂足为E．𝐴𝐷= 7, 𝐶𝐸= 4, 𝐴𝐵= 13，△𝐴𝐷𝐶的面积为14．
(1)求证：𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐷的平分线；
(2)若𝐴𝐵−𝐴𝐷= 2𝐵𝐸，求证：𝐶𝐷= 𝐵𝐶．
【答案】(1)证明：如图1，过点C 作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷的延长线于点F，
∵△𝐴𝐷𝐶的面积为14，𝐴𝐷= 7，
∴
1
2 𝐴𝐷⋅𝐶𝐹= 14，
∴𝐶𝐹=
2×14
𝐴𝐷=
28
7 = 4，
∵𝐶𝐸= 4，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝐸= 4，
又∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，点C 在∠𝐵𝐴𝐷的内部，
∴点C 在∠𝐵𝐴𝐷的平分线上，
∴𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐷的平分线；
(2)证明：如图2，在𝐴𝐵上截取𝐴𝐻= 𝐴𝐷= 7，连接𝐶𝐻，
∵𝐴𝐵= 13，
∴𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐷= 13 −7 = 6，
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77 /
∵𝐴𝐵−𝐴𝐷= 2𝐵𝐸，
∴2𝐵𝐸= 6，
∴𝐵𝐸= 3，
∴𝐸𝐻= 𝐵𝐻−𝐵𝐸= 6 −3 = 3，
∴𝐸𝐻= 𝐵𝐸= 3，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E，
∴𝐶𝐸是线段𝐵𝐻的垂直平分线，
∴𝐻𝐶= 𝐵𝐶，
由（1）可知：𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐷的平分线，
∴∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，
在△𝐻𝐴𝐶和△𝐷𝐴𝐶中，
{
𝐴𝐻= 𝐴𝐷
∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐻𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐶(SAS)，
∴𝐻𝐶= 𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐶．
【分析】（1）过点C 作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷的延长线于点F，利用三角形面积公式求得𝐶𝐹= 𝐶𝐸= 4，然后
根据角平分线的判定定理，即可证明结论；
（2）在𝐴𝐵上截取𝐴𝐻= 𝐴𝐷= 7，连接𝐶𝐻，首先证明𝐸𝐻= 𝐵𝐸= 3，易得𝐶𝐸是线段𝐵𝐻的垂直平分线，
进而可得𝐻𝐶= 𝐵𝐶，再证明∠𝐻𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶，进而利用“SAS”证明△𝐻𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐶，由全等三角形的性质
可得𝐻𝐶= 𝐶𝐷，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
▌迁移练10-3（25-26 八年级上·江苏徐州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，点𝐷在线
段𝐴𝐵的延长线上，𝐷与𝐵不重合，且𝐴𝐷< 2𝐴𝐵．连接𝐶𝐷，过𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，𝐴𝐸与𝐵𝐶交于点𝐹．
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78 /
(1)求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐷；
(2)连接𝐵𝐸，判断∠𝐶𝐴𝐸与∠𝐶𝐵𝐸的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐷；
∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐶𝐵𝐷中，
∵{
∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷,
𝐴𝐵= 𝐵𝐶,
∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐷,
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐷(ASA)；
(2)∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，证明：
如图1，过点𝐵作𝐵𝑀⊥𝐴𝐸，𝐵𝑁⊥𝐶𝐷，垂足分别为𝑀，𝑁．
由（1）知△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐷，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐷，𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑆△𝐶𝐵𝐷；
∴
1
2 𝐴𝐹⋅𝐵𝑀=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐵𝑁，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝑁；
∵𝐵𝑀⊥𝐴𝐸，𝐵𝑁⊥𝐶𝐷，
∴𝐸𝐵平分∠𝐴𝐸𝐷，
∵∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐹= 45°，
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79 /
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐵𝐴𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐵𝐸𝐹，
在△𝐵𝐸𝐹和△𝐴𝐶𝐹中，
∵∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐵𝐸𝐹，∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐹𝐸，
∴180° −∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐵𝐶𝐴= 180° −∠𝐵𝐸𝐹−∠𝐵𝐹𝐸，
即∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线
的作法；
（1）利用同角的余角相等得到∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，进而可证△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐷；
（2）利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在△𝐴𝐶𝐹,△𝐵𝐸𝐹中论证∠𝐶𝐴𝐸=
∠𝐸𝐵𝐹即可．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线
的作法.
▌迁移练10-4（25-26 八年级下·江西萍乡·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐷是
𝐴𝐶上一点，过点𝐴作𝐵𝐷的垂线交𝐵𝐷的延长线于点𝐸，交𝐵𝐶的延长线于𝐹，且𝐵𝐷= 2𝐴𝐸．求证：
(1)𝐴𝐹= 𝐵𝐷；
(2)𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．
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80 /
【答案】(1)
证明：∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵＝90°＝∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐸＝90°，∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶＝90°，
又∵∠𝐴𝐷𝐸＝∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐶＝∠𝐶𝐵𝐷．
在△𝐴𝐶𝐹和△𝐵𝐶𝐷中，
{
∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐷．
(2)证明：
∵𝐵𝐷= 2𝐴𝐸，𝐵𝐷= 𝐴𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹，即E 为𝐴𝐹中点．
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐹，
∴𝐵𝐸垂直平分𝐴𝐹，
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐹，
∴𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运
用相关知识解决问题是解题关键．
（1）证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐶𝐷(ASA)，即可证明结论𝐴𝐹= 𝐵𝐷；
（2）由𝐴𝐹= 𝐵𝐷，𝐵𝐷= 2𝐴𝐸，得出𝐴𝐸= 𝐸𝐹，利用垂直平分线的性质，得出𝐵𝐴= 𝐵𝐹，最后利用等腰
三角形三线合一的性质，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
题型11 全等三角形中的动点问题
▌例11-1 （2025·河北唐山·二模）如图，直线𝐶𝐷经过线段𝐴𝐵的中点𝑂，∠𝐴𝑂𝐶= 60°，𝑃为射线𝑂𝐶上的
一动点，𝑄为射线𝑂𝐷上的一动点，𝑂𝑄= 𝑂𝑃，连接𝐴𝑃，𝐵𝑄.
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81 /
(1)求证：△𝐴𝑃𝑂≌△𝐵𝑄𝑂.
(2)若𝑂𝐴= 2，当∠𝐴𝑃𝑂= 60°时，求𝑃𝑄的长.
【答案】(1)证明：∵𝑂为𝐴𝐵的中点，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐴，
在△𝐴𝑃𝑂和△𝐵𝑄𝑂中，
{
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∠𝐴𝑂𝑃= ∠𝐵𝑂𝑄
𝑂𝑃= 𝑂𝑄
∴△𝐴𝑃𝑂≌△𝐵𝑄𝑂(SAS)；
(2)4
【分析】（1）利用SAS证明△𝐴𝑃𝑂≌△𝐵𝑄𝑂即可；
（2）先证△𝐴𝑃𝑂为等边三角形，可得𝑂𝑃= 𝑂𝐴= 2，进而即可求解；
本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键.
【详解】（1）略
（2）解：∵∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐴𝑂𝐶= 60°，
∴∠𝐴= 60°，
∴△𝐴𝑃𝑂为等边三角形
∴𝑂𝑃= 𝑂𝐴= 2，
∴𝑃𝑄= 𝑂𝑃+ 𝑂𝑄= 2𝑂𝑃= 4.
▌例11-2 （23-24 八年级上·湖北武汉·期末）如图，点𝐷是等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上一点，∠𝐷𝐵𝐶= 𝑎，点𝐹在
𝐴𝐵上，𝐴𝐷= 2𝐵𝐹，点𝐸在𝐶𝐹的延长线上，连接𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐵．
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82 /
(1)如图1，求∠𝐷𝐵𝐸的度数；
(2)如图1，求证：𝐵𝐸= 𝐵𝐷；
(3)如图2，𝑀, 𝑁分别是𝐵𝐴，𝐵𝐶上两个动点，满足𝐵𝑀= 𝐵𝑁，当𝐷𝑀+ 𝐷𝑁最小时，直接写出∠𝐷𝑀𝐵的大小为
________（用含𝑎的式子表示）．
【答案】(1)120°
(2)
证明：在𝐴𝐵上取点𝐺，使得𝐹𝐺= 𝐹𝐵，连𝐶𝐺，如图，
∵𝐴𝐷= 2𝐵𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐺，
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐺，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐺(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐺，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐺𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸．
∵∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐵𝐹𝐸，𝐹𝐺= 𝐹𝐵，
∴△𝐹𝐶𝐺≌△𝐹𝐸𝐵(ASA)，
∴𝐶𝐺= 𝐵𝐸= 𝐵𝐷；
(3)60° + 𝛼
【分析】(1)利用等边三角形的性质得∠𝐵𝐴𝐶= 60°，结合三角形外角定理和三角形内角和定理即可求得
答案；
(2)在𝐴𝐵上取点𝐺，使得𝐹𝐺= 𝐹𝐵，连𝐶𝐺，利用“边角边”证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐺，则有𝐵𝐷= 𝐶𝐺和∠𝐴𝐷𝐵=
∠𝐵𝐺𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸，进一步证得△𝐹𝐶𝐺≌△𝐹𝐸𝐵即可；
(3)以𝐵𝐷为边作等边△𝐵𝐷𝐻，连接𝐻𝑁，有𝐵𝐷= 𝐵𝐻，结合∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐻可证得△𝐵𝑀𝐷≌△𝐵𝑁𝐻，有
𝐷𝑀= 𝐻𝑁，则当𝐷、𝑁、𝐻共线时，𝐷𝑀+ 𝐷𝑁= 𝐻𝑁+ 𝐷𝑁最小，即可求得∠𝐷𝑀𝐵．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵∠𝐴𝐵𝐸 = ∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷
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83 /
= 180° −60° = 120°；
（2）略
（3）以𝐵𝐷为边作等边△𝐵𝐷𝐻，连接𝐻𝑁，如图，
则𝐵𝐷= 𝐵𝐻，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐻，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐻，
∵𝐵𝑀= 𝐵𝑁，
∴△𝐵𝑀𝐷≌△𝐵𝑁𝐻(SAS)，
∴𝐷𝑀= 𝐻𝑁，
当𝐷、𝑁、𝐻共线时，𝐷𝑀+ 𝐷𝑁= 𝐻𝑁+ 𝐷𝑁最小，
此时∠𝐷𝑀𝐵= ∠𝐵𝑁𝐻= 60° + 𝛼．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定
和性质、以及距离最小的问题，解题的关键是作辅助线和熟练全等三角形的证明．
▌迁移练11-1（24-25 八年级上·吉林长春·期末）综合与实践
【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 90°，
点D、E 分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶上的动点，且𝐴𝐷= 𝐶𝐸，试探究𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，
解题要点
全等三角形中的动点问题
1.动点问题常通过构造全等三角形，将动态的线段关系转化为静态的等量关系。
2.当动点分不同路径运动时，需根据时间参数t 的几何意义进行分类讨论，并验证解的合理性。
3.求线段和的最值时，常利用全等变换将线段转移，利用“两点之间线段最短”或“三角形三边关系”
进行分析。
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再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C 作𝐶𝐹∥𝐴𝐵，且使𝐶𝐹= 𝐴𝐶，连接𝐸𝐹．在【问题呈现】的条件下，完成下列问
题：
（1）证明：𝐷𝐶= 𝐸𝐹；
（2）连接__________，𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值即为线段__________的长度．
【方法应用】如图③，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点D，点M、N 分别是线段𝐵𝐷、𝐵𝐶
上的动点，且𝐵𝑀= 𝐶𝑁，当𝐴𝑀+ 𝐴𝑁的值最小时，∠𝑀𝐴𝐷的度数为__________．
【答案】（1）证明：∵𝐶𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹= 90°，
在△𝐷𝐴𝐶和△𝐸𝐶𝐹中，
{
𝐶𝐹= 𝐴𝐶
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐸𝐶𝐹(SAS)，
∴𝐷𝐶= 𝐸𝐹；
（2）𝐵𝐹，𝐵𝐹；
方法应用：12.5°
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的
性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，
多数情况要作点关于某直线的对称点．
问题解决：（1）根据平行线的性质得到∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹= 90°，根据全等三角形的判定和性质定理即可
得到结论；
（2）连接𝐵𝐹，连接𝐵𝐹, 𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值即为线段𝐵𝐹的长度．
方法应用：在𝐵𝐶下方作△𝐶𝑁𝐴′，使△𝐶𝑁𝐴′ ≌△𝐵𝑀𝐴，连接𝐴𝐴′，则𝐴𝑀+ 𝐴𝑁最小值为𝐴𝐴′，此时𝐴, 𝑁, 𝐴′
三点在同一直线上，推出∠𝐴′𝐴𝐶= ∠𝐴′ =
180°−105°
2
= 37.5°，所以∠𝐵𝐴𝑀= 37.5°，即可得到∠𝑀𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−
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∠𝐵𝐴𝑀= 50° −37.5° = 12.5°．
【详解】问题解决：（1） 略
（2）解：连接𝐵𝐹, 𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值即为线段𝐵𝐹的长度．
则𝐵𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐹≥𝐵𝐹，
故𝐵𝐸+ 𝐶𝐷的最小值即为线段𝐵𝐹的长度．
故答案为：𝐵𝐹, 𝐵𝐹；
方法应用：解：在𝐵𝐶下方作△𝐶𝑁𝐴′，使△𝐶𝑁𝐴′ ≌△𝐵𝑀𝐴，连接𝐴𝐴′．
则∠𝑁𝐶𝐴′ = ∠𝑀𝐵𝐴, 𝐴𝑀= 𝐴′𝑁, 𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐴′𝐶．
∴𝐴𝑀+ 𝐴𝑁= 𝐴′𝑁+ 𝐴𝑁≥𝐴𝐴′，
即𝐴𝑀+ 𝐴𝑁最小值为𝐴𝐴′，此时𝐴, 𝑁, 𝐴′三点在同一直线上．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 50°,𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 65°，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90° −50° = 40°，
∴∠𝑁𝐶𝐴′ = 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐴′ = 65° + 40° = 105°，
∵𝐴𝐶= 𝐴′𝐶，
∴∠𝐴′𝐴𝐶= ∠𝐴′ = 37.5°，
∴∠𝐵𝐴𝑀= 37.5°，
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86 /
∴∠𝑀𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝑀= 50° −37.5° = 12.5°，
故答案为：12.5°．
▌迁移练11-2（24-25 八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点E、F 分别为边𝐶𝐴、𝐵𝐶
上的动点，且𝐴𝐸= 𝐶𝐹，直线𝐴𝐹、𝐵𝐸交于点O．
(1)如图1，当F 是𝐵𝐶的中点时，∠𝐵𝑂𝐹=______．
(2)在E、F 运动的过程中，∠𝐵𝑂𝐹的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论．
(3)若将题目中的条件：“点E、F 分别在边𝐶𝐴、𝐵𝐶上的动点”改为“点E、F 分别在边𝐶𝐴、𝐵𝐶的延长线上
的动点”（如图3 所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)60°
(2)
解：∠𝐵𝑂𝐹的大小不会变化，证明如下：
在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 60°，
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐶−𝐴𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐹即𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐵𝐶𝐸中，
{
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸，
又∵∠𝐵𝑂𝐹是△𝐴𝑂𝐵的外角，
∴∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°；
(3)
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解：（2）中的结论还成立，理由如下：
在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐹即𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐵𝐶𝐸中，
{
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸, ∠𝐸= ∠𝐹，
又∵∠𝐵𝑂𝐹是△𝐴𝑂𝐸的外角，∠𝑂𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐸+ ∠𝑂𝐴𝐸= ∠𝐹+ ∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关
键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
（1）通过证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐸得到∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸，再利用三角形外角的性质即可求解；
（2）同理（1）即可证明；
（3）通过证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐸得到∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸, ∠𝐸= ∠𝐹，再利用三角形外角的性质结合对顶角相
等即可求解；
【详解】（1）解：在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 60°，
∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐶−𝐴𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐹即𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐵𝐶𝐸中，
{
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐵𝐸，
又∵∠𝐵𝑂𝐹是△𝐴𝐵𝑂的外角，
∴∠𝐵𝑂𝐹= ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°；
（2）略
（3）略
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题型12 命题与证明
▌例12-1 （25-26 八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．过直线外一点作直线的平行线
C．正数大于负数
D．有公共顶点的两个角是对顶角
【答案】B
【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题．
B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题．
C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题．
D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题．
∴不是命题的是B 选项．
【点睛】命题为判断真假的陈述句．
▌例12-2 （2026·浙江温州·二模）对于命题“若𝑎2 > 𝑎，则𝑎> 1”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．𝑎= 3
B．𝑎= 2
C．𝑎= 0
D．𝑎= −1
【答案】D
【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检
验选项即可．
【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件𝑎2 > 𝑎，且不满足结论𝑎> 1，即𝑎≤1，
对选项A：𝑎= 3，𝑎2 = 9 > 3，满足条件，且𝑎= 3 > 1，满足结论，不符合要求；
对选项B：𝑎= 2，𝑎2 = 4 > 2，满足条件，且𝑎= 2 > 1，满足结论，不符合要求；
对选项C：𝑎= 0，𝑎2 = 0，不满足𝑎2 > 𝑎，不符合条件，不符合要求；
对选项D：𝑎= −1，𝑎2 = (−1)2 = 1，1 > −1，满足𝑎2 > 𝑎，但𝑎= −1 < 1，不满足𝑎> 1，符合反例
要求．
▌例12-3 （25-26 八年级上·浙江宁波·期末）下列选项中，能够说明“若𝑎是非零有理数，则
𝑎
|𝑎| = −1”
是假命题的是（ ）
A．𝑎= −1
B．𝑎= 1
C．𝑎= −
1
2
D．𝑎= 𝜋
【答案】B
【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（𝑎是非
零有理数）但不满足结论(
𝑎
|𝑎| = −1)的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时
𝑎
|𝑎| = 1 ≠
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−1，因此找正有理数即可．
【详解】解：∵当𝑎= 1时，𝑎是有理数，
又∵|𝑎| = |1| = 1，
∴
𝑎
|𝑎| =
1
1 = 1 ≠−1，
即存在有理数𝑎= 1，使得
𝑎
|𝑎| ≠−1，故原命题是假命题；
对于A 选项，𝑎= −1时，
𝑎
|𝑎| =
−1
1 = −1，符合结论，不能说明原命题为假命题；
对于C 选项，𝑎= −
1
2时，
𝑎
|𝑎| =
−1
2
1
2
= −1，符合结论，不能说明原命题为假命题；
对于D 选项，𝑎= 𝜋是无理数，不满足题设“𝑎是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题．
故选：B ．
▌迁移练12-1（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于180°．（要求：根据图形，写出“已
知”、“求证”并“证明”．）
【答案】
已知：△𝐴𝐵𝐶．
求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°．
证明：过点𝐴作𝐵𝐶的平行线𝑀𝑁，
解题要点
命题与证明
1.判断语句是否为命题，关键看它是否为“判断一件事情的陈述句”，疑问句、祈使句、感叹句均不是
命题。
2.说明命题为假命题，只需举一个反例：反例必须满足命题的题设条件，但推导出与命题结论相悖的结
果。
3.证明几何命题需严格遵循“已知、求证、证明”的书写规范，利用定义、公理、定理进行逻辑推理；
遇难度较大的证明题，常通过添加辅助线（如作平行线）实现等量关系的转化。
4.公理是公认的基本事实，无需证明；定理是经过推理证明为真的命题，可作为后续证明的依据。
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90 /
∵𝑀𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝑁𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶= 180°．
【分析】过点𝐴作𝐵𝐶的平行线𝑀𝑁，根据平行线的性质得到∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，再根据平角的
定义，即可得到三角形三个内角的和等于180°．
【详解】略
▌迁移练12-2（25-26 八年级上·山东菏泽·阶段检测）下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．对顶角相等
B．同角的余角相等
C．三角形两边之和大于第三边
D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平
行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导．
【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明；
选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理；
选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理；
选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理；
选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理．
故选：D．
▌迁移练12-3（25-26 八年级下·全国·课后作业）
【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角．
如图1 所示，∠𝐶𝐵𝐷、∠𝐵𝐴𝐹、∠𝐴𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的三个外角，下面我们来探究∠𝐶𝐵𝐷、∠𝐵𝐴𝐹、∠𝐴𝐶𝐸和△𝐴𝐵𝐶三
内角之间的数量关系．
【方法感悟】解：因为在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，所以∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝐶．因
为∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，所以∠𝐶𝐵𝐷= 180° −∠𝐴𝐵𝐶．所以∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵．同理可得：∠𝐵𝐴𝐹=
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶．
因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
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91 /
【解决问题】
(1)已知：如图2，∠𝐹𝐷𝐶与∠𝐸𝐶𝐷分别为△𝐴𝐷𝐶的两个外角，请直接利用上述结论，试探究∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐷与
∠𝐴的数量关系．
(2)已知：如图3，在△𝐴𝐷𝐶中，𝐷𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐴𝐶𝐷，试探究∠𝑃与∠𝐴的数量关系．
【答案】(1)180° + ∠𝐴
(2)90° +
1
2 ∠𝐴
【分析】（1）由外角的性质可得∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐶，相加并结合三角形的内
角和定理即可得到结论；
（2）由角平分线的性质可得，∠𝑃𝐷𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝑃𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷，则∠𝑃= 180° −
1
2 (∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷)，
结合三角形的内角和定理可得∠𝑃= 90° +
1
2 ∠𝐴．
【详解】（1）解：根据题意可得，∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180° + ∠𝐴；
（2）解：∵𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝑃𝐷𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝑃𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝑃= 180° −∠𝑃𝐷𝐶−∠𝑃𝐶𝐷= 180° −
1
2 (∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷)，
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴，
∴∠𝑃= 180° −
1
2 (180° −∠𝐴) = 90° +
1
2 ∠𝐴．
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92 /
难点一 三角形内角与外角的综合应用与角度计算
在三角形中，外角定理和内角和定理是解决角度问题的核心工具，尤其是将两者与角平分线、高线、
平行线条件结合时，容易因思路混乱导致计算错误。
方法总结：
①看清所求角与已知角的位置关系。若是三角形的内角，优先考虑内角和定理（180°）；若是外角，
则利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理，直接进行角的等量代换，避免复杂的加减。
②遇到角平分线与高线结合求角的题目，可先利用角平分线求出被平分的部分角，再结合高线带来的
90°条件，在对应直角三角形中用“直角三角形两锐角互余”来突破。
③当出现“拐角”或“折线”型角度问题（如求∠B+∠D=∠BCD∠B+∠D=∠BCD 这类模型）时，利用外角性
质构造辅助线往往比单纯的内角和更简捷。
易错提醒：
①容易混淆“外角”与“内角的邻补角”。三角形每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相
等，计算时务必认准是哪一个外角。
②用外角定理时，必须是“与它不相邻的两个内角”，切忌加上相邻的内角。
③在钝角三角形中，外角有时会跟高线落在外部的情况结合，画图时要特别注意对应关系。
难点精练
1．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 为𝐴𝐵的中点，E 为𝐵𝐶边上一点，连结𝐷𝐸．若
𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐸，∠𝐴= 𝛼，∠𝐶= 𝛽，则∠𝐸𝐷𝐵=（ ）
A．
𝛼+𝛽
2
B．𝛼+
𝛽
2
C．𝛽+
𝛼
2
D．𝛼+ 𝛽
【答案】B
【分析】取𝐵𝐶的中点𝑀，连接𝐷𝑀．利用三角形中位线定理可得𝐷𝑀∥𝐴𝐶且𝐷𝑀=
1
2 𝐴𝐶，结合已知条件
𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐸推导出𝑀𝐸= 𝐷𝑀，从而利用等腰三角形性质和平行线性质求解．
【详解】取𝐵𝐶的中点𝑀，连接𝐷𝑀，
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93 /
∵𝐷为𝐴𝐵的中点，𝑀为𝐵𝐶的中点，
∴𝐷𝑀为△𝐴𝐵𝐶的中位线，
∴𝐷𝑀∥𝐴𝐶，𝐷𝑀=
1
2 𝐴𝐶，
∴∠𝑀𝐷𝐵= ∠𝐴= 𝛼，∠𝐷𝑀𝐵= ∠𝐶= 𝛽，
∵𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐸，且𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸，
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸，即2𝐶𝐸= 𝐵𝐶−𝐴𝐶，
∴𝐶𝐸=
1
2 𝐵𝐶−
1
2 𝐴𝐶= 𝐶𝑀−𝐷𝑀，
∵𝑀𝐸= 𝐶𝑀−𝐶𝐸，
∴𝑀𝐸= 𝐶𝑀−(𝐶𝑀−𝐷𝑀) = 𝐷𝑀，
∴△𝐷𝑀𝐸为等腰三角形，
∵点𝐸在线段𝐶𝑀上，
∴∠𝐷𝑀𝐸= 180∘−∠𝐷𝑀𝐵= 180∘−𝛽，
∴∠𝑀𝐷𝐸=
1
2 (180∘−∠𝐷𝑀𝐸) =
1
2 𝛽，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝑀𝐷𝐸+ ∠𝑀𝐷𝐵=
𝛽
2 + 𝛼．
2．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷交𝐵𝐶的延长线于点𝐹，𝐷𝐸平
分∠𝐴𝐷𝐶交𝐶𝐵的延长线于点𝐸，𝐴𝐹与𝐷𝐸交于点𝑃，∠1与∠2互余，下列说法：①𝐴𝐵∥𝐶𝐷；②𝐴𝐹⊥𝐷𝐸；③若
∠𝐴𝐵𝐸= 100°，则∠2 = 40°；④若∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸，则∠1 = ∠𝐹，正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【详解】解：∵𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
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94 /
∴∠1 = ∠𝐷𝐴𝐹=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐷，∠2 = ∠𝐴𝐷𝐸=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，
∵∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 2(∠1 + ∠2) = 180°，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝑃𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝑃= 90°，
∴𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，
∴①②正确，
若∠𝐴𝐵𝐸= 100°，则∠𝐵𝐶𝐷= 100°，题目中没告知𝐴𝐷与𝐶𝐵的位置关系，
∴无法求出∠2的大小；
若∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐹= 2∠𝐸，
∵∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐸+ ∠2，
∴∠2 = ∠𝐸，
∵∠2 = ∠𝐴𝐷𝐸
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸，
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐹，
∵∠1 = ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠1 = ∠𝐹，
∴④正确．
3．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）【定义】
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2 倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有
数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是90°，45°，45°和 90°，60°，30°．
【简单应用】
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95 /
(1)如图2，∠𝐴= 90°，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，试说明△𝐴𝐵𝐷是“二阶三角形”；
【问题探究】
(2)在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐶= 80°．
①如图3，过点C 的直线交∠𝐴𝐵𝐶的平分线和∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线于点N，M，若△𝐵𝑀𝑁是“二阶三角形”，
求∠𝐵𝐶𝑀的度数；
(3)②如图4，∠𝐴𝐵𝐶的平分线和∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线交于点D，点F 是线段𝐵𝐷上的一动点（F 不与B、O、D
三点重合），∠𝐵𝐶𝐹= 𝑛∠𝐴𝐶𝐹，若△𝐶𝐷𝐹是“二阶三角形”，直接写出n 的值．
【答案】(1)解：∵∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180° −90° = 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，
∴2∠𝐶+ ∠𝐶= 90°，解得∠𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2 × 30° = 60°，
∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 60° = 30°，
在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴𝐷𝐵= 180° −90° −30° = 60°，
可得∠𝐴𝐷𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷是“二阶三角形”；
(2)①50°或65°或80°；②2 或
4
5
【分析】（1）先根据三角形内角和为180°以及∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，求解出相应角的度数，再根据角平分线
的定义得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，再由角度的关系得到∠𝐴𝐷𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐷，由此可说明；
（2）①先根据∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐶= 80°，以及角平分线的定义求解∠𝑁𝐵𝐶和∠𝑀𝐵𝐶的度数，再根据△𝐵𝑀𝑁是
“二阶三角形”分情况得到∠𝑀的度数，由此求解即可；
②先根据∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐶= 80°，求解∠𝐴𝐶𝐵的度数，再由角平分线的定义求解∠𝐷𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐷的度数，设
∠𝐴𝐶𝐹= 𝛼，根据题意可得∠𝐵𝐶𝐹= 𝑛𝛼，再由∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵，可得𝛼与𝑛之间的关系，再由△𝐶𝐷𝐹是
“二阶三角形”，分情况表示2 倍的关系，由此求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①∵∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐶= 80°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐸𝐵𝐶= 180° −40° = 140°，
∵𝐵𝑁为∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
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96 /
∴∠𝑁𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 40° = 20°，
∵𝐵𝑀为∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线，
∴∠𝑀𝐵𝐶=
1
2 ∠𝐸𝐵𝐶=
1
2 × 140° = 70°，
∴∠𝑀𝐵𝑁= 20° + 70° = 90°，
∵△𝐵𝑀𝑁是“二阶三角形”，
当∠𝑁= 2∠𝑀时，则∠𝑁+ 2∠𝑀= 90°，
可得∠𝑀= 30°，
在△𝑀𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝑀= 180° −70° −30° = 80°；
当∠𝑀= 2∠𝑁时，则∠𝑁+ 2∠𝑀= 90°，
可得∠𝑁= 30°，则∠𝑀= 60°，
在△𝑀𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝑀= 180° −70° −60° = 50°；
当∠𝑀𝐵𝑁= 2∠𝑁时，则∠𝑁= ∠𝑀= 45°，
在△𝑀𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝑀= 180° −70° −45° = 65°；
综上，∠𝐵𝐶𝑀的度数为50°或65°或80°；
②∵∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝐶= 80°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 40°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 180° −40° −80° = 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180° −60° = 120°，
∵𝐵𝐷为∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 40° = 20°，
∵𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐶𝐸=
1
2 × 120° = 60°，
在△𝐴𝐵𝑂中，∠𝐴𝑂𝐵= 180° −20° −80° = 80°，
∴∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐵= 80°，
在△𝐶𝑂𝐷中，∠𝐷= 180° −60° −80° = 40°，
点F 是线段𝐵𝐷上的一动点（F 不与B、O、D 三点重合），如图，
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97 /
∵∠𝐵𝐶𝐹= 𝑛∠𝐴𝐶𝐹，
设∠𝐴𝐶𝐹= 𝛼，则∠𝐵𝐶𝐹= 𝑛𝛼，
∵∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝛼+ 𝑛𝛼= 60°，则𝛼=
60°
𝑛+1，
∴∠𝐷𝐶𝐹= 60° +
60°
𝑛+1 =
60°(𝑛+1)+60°
𝑛+1
=
𝑛60°+120°
𝑛+1
，
在△𝐵𝐶𝐹中，∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐹= 20° +
𝑛60°
𝑛+1 =
𝑛80°+20°
𝑛+1
，
∵△𝐶𝐷𝐹是“二阶三角形”，
且在△𝐶𝐷𝐹中，∠𝐷= 40°，∠𝐷𝐶𝐹=
𝑛60°+120°
𝑛+1
，∠𝐷𝐹𝐶=
𝑛80°+20°
𝑛+1
，
当∠𝐷= 2∠𝐷𝐶𝐹时，则有40° = 2 ×
𝑛60°+120°
𝑛+1
，
即40°(𝑛+ 1) = 𝑛120° + 240°，解得𝑛= −
5
2，不满足题意，舍；
当∠𝐷= 2∠𝐷𝐹𝐶时，则有40° = 2 ×
𝑛80°+20°
𝑛+1
，
即40°(𝑛+ 1) = 𝑛160° + 40°，解得𝑛= 0，不满足题意，舍；
当∠𝐷𝐶𝐹= 2∠𝐷时，则有
𝑛60°+120°
𝑛+1
= 2 × 40°，
即𝑛60° + 120° = 80°(𝑛+ 1)，解得𝑛= 2；
当∠𝐷𝐶𝐹= 2∠𝐷𝐹𝐶时，则有
𝑛60°+120°
𝑛+1
= 2 ×
𝑛80°+20°
𝑛+1
，
即𝑛60° + 120° = 2(𝑛80° + 20°)，解得𝑛=
4
5；
当∠𝐷𝐹𝐶= 2∠𝐷时，则有
𝑛80°+20°
𝑛+1
= 2 × 40°，
即𝑛80° + 20° = 80°(𝑛+ 1)，等式无解；
当∠𝐷𝐹𝐶= 2∠𝐷𝐶𝐹时，则有
𝑛80°+20°
𝑛+1
= 2 ×
𝑛60°+120°
𝑛+1
，
即𝑛80° + 20° = 2(𝑛60° + 120°)，解得𝑛= −
11
2 ，不满足题意，舍；
综上，n 的值为2 或
4
5．
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98 /
难点二 全等三角形的综合判定与隐含条件挖掘
全等三角形的证明是几何推理的基础，其难点不在于背出四个（或五个）判定定理，而在于复杂图形
中如何精准挑出“隐藏的相等条件”，以及准确选择最合适的判定方法。
方法总结：
①平移、旋转、翻折是识别全等“原型”的三种基本变换。复习时要关注由这三种变换产生的公共边、
公共角、对顶角、垂直或平行带来的等角条件。
②判定的选择策略：若已知两边，优先考虑SSS 或SAS（注意夹角）；若已知两角，优先考虑ASA
或AAS（注意夹边与对边）；若已知一边一角，先看能否用ASA 或AAS 再找一角的对边，或SAS 再找夹
边。
③遇到直角三角形，在四种普通判定方法都能用的情况下，优先HL（斜边、直角边）往往能减少判
定步骤，且条件最为直接。
易错提醒：
①最常见的易错点是使用“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）去证明全等。前者可能在图中出现多
种位置（钝角、直角、锐角情形下的两边及其中一边对角），必须注意。
②用符号“≅”表示全等时，对应顶点一定要写在对应的位置上，否则极易在后续求对应边、对应角时
弄错量值。
③不要忽略已知中的“垂直”、“平行”、“中点”等字眼，它们分别对应“90°相等”、“内错角/同位角相等”、
“线段相等”。
难点精练
4．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶，已知甲、乙、丙三位同学所参照的△𝐴𝐵𝐶
分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。
同学
甲
乙
丙
参照三角形
作图步骤
第一步：作𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵；第二步：作∠𝐴′𝐵′𝐶′ = ∠𝐴𝐵𝐶；第三步：作𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶．
下列说法正确的是（ ）
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99 /
A．甲同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶不一定全等
B．乙同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶不一定全等
C．丙同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′与△𝐴𝐵𝐶不一定全等
D．甲、乙、丙三位同学所作△𝐴′𝐵′𝐶′都与△𝐴𝐵𝐶全等
【答案】C
【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶；乙同学的钝角三角形要先延长𝐶𝐵，
过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐶𝐵交𝐶𝐵的延长线于点𝐷，延长𝐶′𝐵′，过点𝐴′作𝐴′𝐷′ ⊥𝐶′𝐵′交𝐶′𝐵′的延长线于点𝐷′，证明△
𝐴𝐵𝐷≌△𝐴′𝐵′𝐷′(AAS)，再证明Rt △𝐴𝐷𝐶≌Rt △𝐴′𝐷′𝐶′(HL)，然后即可证明△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶；丙同学的
锐角三角形，先过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐶𝐵交𝐶𝐵于点𝐷，过点𝐴′作𝐴′𝐷′ ⊥𝐶′𝐵′交𝐶′𝐵′于点𝐷′，证明△𝐴𝐵𝐷≌△
𝐴′𝐵′𝐷′(AAS)，因缺少条件无法证明△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶，逐一判断即可．
【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明△𝐴′𝐵′𝐶′ ≌△𝐴𝐵𝐶，故选项A 不符合题意；
选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长𝐶𝐵，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐶𝐵交𝐶𝐵的延长线于点𝐷，延长𝐶′𝐵′，过
点𝐴′作𝐴′𝐷′ ⊥𝐶′𝐵′交𝐶′𝐵′的延长线于点𝐷′，
∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐵，𝐴′𝐷′ ⊥𝐶′𝐵′，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴′𝐷′𝐵′ = 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴′𝐵′𝐷′，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴′𝐵′𝐷′中，
{
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴′𝐷′𝐵′
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴′𝐵′𝐷′
𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴′𝐵′𝐷′(AAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐷′，
在Rt △𝐴𝐷𝐶和Rt △𝐴′𝐷′𝐶′中，
{𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′
𝐴𝐷= 𝐴′𝐷′ ，
∴Rt △𝐴𝐷𝐶≌Rt △𝐴′𝐷′𝐶′(HL)，
∴∠𝐶= ∠𝐶′，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴′𝐵′𝐶′中，
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100 /
{
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′
∠𝐶= ∠𝐶′
𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′(AAS)，故选项B 不符合题意；
选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐶𝐵交𝐶𝐵于点𝐷，过点𝐴′作𝐴′𝐷′ ⊥𝐶′𝐵′交𝐶′𝐵′于点
𝐷′，
∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐵，𝐴′𝐷′ ⊥𝐶′𝐵′，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴′𝐷′𝐵′ = 90°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴′𝐵′𝐷′中，
{
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴′𝐷′𝐵′
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴′𝐵′𝐶′
𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴′𝐵′𝐷′(AAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐷′，
∵缺少条件证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，故选项C 符合题意；
选项D，综上各个选项，选项D 不符合题意．
5．（25-26 八年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，点𝐴(𝑎, 0)，𝐵(0,𝑏)，a，b 满足|𝑎+ 3| +
√𝑏−5 = 0，点C 与点A 关于y 轴对称．
(1)直接写出B，C 两点的坐标；
(2)如图，分别以𝐴𝐵，𝐵𝐶为直角边向右侧作等腰Rt △𝐵𝐴𝐷和等腰Rt △𝐵𝐶𝐸，连接𝐷𝐸交x 轴于点M，连接𝐵𝑀．
①求出D，E 两点的坐标；
②求证：𝐵𝑀⊥𝐷𝐸．
【答案】(1)𝐵(0,5)，𝐶(3,0)
(2)①𝐷(2, −3)，𝐸(8,3)；
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101 /
②证明：如图2，作𝐷𝑁∥𝐶𝐸，交x 轴于点N，则∠𝐸𝐶𝑀= ∠𝐷𝑁𝑀．
∵点A，C 关于y 轴对称，
∴y 轴是线段𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐶𝐵= 𝐴𝐵．
∵△𝐵𝐴𝐷与△𝐵𝐶𝐸是等腰直角三角形，
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐷= 𝐵𝐸．
∵∠𝐸𝐶𝑀+ ∠𝐵𝐶𝐴= 90°，∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，且∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐶𝑀= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝑁𝑀= ∠𝐷𝐴𝐶，
∴𝐴𝐷= 𝑁𝐷．
又∵𝐶𝐸= 𝐴𝐷，
∴𝐶𝐸= 𝑁𝐷．
∵∠𝐶𝑀𝐸= ∠𝑁𝑀𝐷，∠𝐸𝐶𝑀= ∠𝐷𝑁𝑀，
∴△𝐶𝑀𝐸≌△𝑁𝑀𝐷(AAS)，
∴𝐷𝑀= 𝐸𝑀．
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝑀⊥𝐷𝐸．
【分析】本题考查了非负数的性质、关于 y 轴对称的点的坐标特征、等腰直角三角形的性质及坐标与
图形的综合应用，解题关键是利用非负数性质求出 a、b 的值，结合图形性质分析点的坐标与线段关系．
（1）利用绝对值与算术平方根的非负性，由|𝑎+ 3| + √𝑏−5 = 0得𝑎= −3，𝑏= 5，确定𝐵(0,5)；再根
据关于𝑦轴对称的点的坐标特征（横反纵同），得𝐶(3,0)．
（2）①过𝐷, 𝐸作𝑥轴垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合全等三角形△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝐹𝐴(AAS)，求出
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𝐷, 𝐸的横、纵坐标，得𝐷(2, −3)，𝐸(8,3)．
②作辅助线构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，得出对应角相等△𝐵𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐷(SAS)得𝐵𝐷=
𝐵𝐸，进而推出△𝐶𝑀𝐸≌△𝑁𝑀𝐷(AAS)得𝐷𝑀= 𝐸𝑀，进而利用垂直平分线的判定定理证得𝐵𝑀⊥𝐷𝐸．
【详解】（1）∵|𝑎+ 3| + √𝑏−5 = 0，∴|𝑎+ 3| ≥0，√𝑏−5 ≥0，
∴𝑎+ 3 = 0，𝑏−5 = 0，
解得𝑎= −3，𝑏= 5，
∴点𝐴(−3,0)，𝐵(0,5)．
∵点A，C 关于y 轴对称，
∴点𝐶(3,0)．
（2）①过点D 作𝐷𝐹⊥𝑥轴，过点E 作𝐸𝐻⊥𝑥轴，如图1．
∵△𝐵𝐴𝐷是等腰直角三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝐹𝐴= ∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝑂𝐵𝐴= 90° −∠𝐵𝐴𝑂，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐷𝐹𝐴(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐴𝑂，𝐴𝐹= 𝑂𝐵．
∵点𝐴(−3,0)，𝐵(0,5)，
∴𝐷𝐹= 𝐴𝑂= 3，𝐴𝐹= 𝑂𝐵= 5，
∴𝑂𝐹= 𝐴𝐹−𝑂𝐴= 2，
∴点𝐷(2,−3)；
同法可得点𝐸(8,3)．
②略
6．（25-26 八年级上·河南开封·期末）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 30°，𝐴𝐶= 2，点𝑃是
边𝐵𝐶一个动点（包含𝐵，𝐶两点），以𝐴𝑃为边向左作等边△𝐴𝑃𝑄，点𝑃在运动的过程中，𝑄𝐶的最小值是_____，
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最大值是____．
【答案】 1 2
【分析】取𝐴𝐵的中点𝐸，作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝐶𝐸，𝑃𝐸．由△𝐴𝑄𝐶≌△𝐴𝑃𝐸，推出𝑄𝐶＝𝑃𝐸，当𝐸𝑃⊥𝐴𝐶
时，𝑄𝐶的值最小；当𝑃与𝐶, 𝐵重合时𝑄𝐶最大．
【详解】解：取𝐴𝐵的中点𝐸，作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝐶𝐸，𝑃𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵= 30°，
∴𝐶𝐸=
1
2 𝐴𝐵, 𝐴𝐶=
1
2 𝐴𝐵，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶
∵∠𝐶𝐴𝐵= 90° −∠𝐵= 60°，
∴△𝐴𝐶𝐸是等边三角形，
即：𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐶𝐴𝐸= 60°，
∵△𝐴𝑃𝑄是等边三角形，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄, ∠𝑄𝐴𝑃= 60°，
∴∠𝑄𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝑃，
即：∠𝐶𝐴𝑄= ∠𝐸𝐴𝑃，
∴△𝐶𝐴𝑄≌△𝑃𝐴𝐸(SAS)，
𝑄𝐶= 𝑃𝐸，
当𝐸𝑃⊥𝐵𝐶时，即𝑃与𝐻重合时，𝑄𝐶最小，
∵𝐶𝐸= 𝐵𝐸，
∴𝐻𝐶= 𝐻𝐵，
∴𝐸𝐻=
1
2 𝐴𝐶= 1，
𝑄𝐶= 𝐸𝐻= 1，
即：𝑄𝐶的最小值是1，
当𝑃与𝐶, 𝐵重合时𝑄𝐶最大，
此时𝑄𝐶= 𝐶𝐸=
1
2 𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2，
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即：𝑄𝐶的最大值是：2．
故答案为：①1②2．
难点三 与三角形高线、中线有关的分类讨论
高线与中线在三角形中不仅有定义，更代表着丰富的几何性质和特殊的位置关系。特别是在“画图”
与“分类讨论”题型中，学生容易因画图不全而漏解。
方法总结：
①高线位置的判定：锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高是直角边，交点就是直角顶点；
钝角三角形有两条高在外部，交点也在外部。遇到“作三角形的高”这类指令时，必须养成考虑三种三角形类
型的习惯。
②高线提供90°直角：高线所在的直线与对边所在直线垂直。在解题时，要善于利用垂线带来的直角，
构建直角三角形，从而运用“两锐角互余”。
③中线平分面积：三角形的任意一条中线，把原三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。
遇到“被中线分割求面积”的问题时，使用这个性质作等量代换即可。
易错提醒：
①选择题或填空题中，若题目未明确给出三角形的类型，遇到“高线”相关计算时，常常需要就锐角、
直角、钝角进行分类讨论（如判断高在形内还是形外），很容易漏掉钝角三角形的情况。
②求线段长度或面积时，利用中线得出的等底同高结论，切记不要漏掉“同高”这个隐藏前提。
难点精练
7．（26-27 八年级上·江苏常州·开学考试）如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，𝐴𝐵上，𝐶𝐷= 2𝐴𝐷，
𝐴𝐸= 𝐵𝐸，𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝑂，若𝐵𝐶= 10，𝑆四边形𝐴𝐷𝑂𝐸= 7，则𝐴𝐵长的最小值为_________．
【答案】6
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【分析】连接𝑂𝐴，根据𝐶𝐷= 2𝐴𝐷，得到𝑆△𝐵𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷, 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 2𝑆△𝐴𝑂𝐷，设𝑆△𝐴𝑂𝐷= 𝑥，则𝑆△𝐶𝑂𝐷= 2𝑥，
根据𝐴𝐸= 𝐵𝐸得到𝑆△𝐵𝑂𝐸= 𝑆△𝐴𝑂𝐸= 7 −𝑥，𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐸，进而得到𝑆△𝐵𝑂𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐶= 3𝑥，则可求出𝑆△𝐵𝐴𝐷=
14 −𝑥，𝑆△𝐵𝐶𝐷= 5𝑥，则2(14 −𝑥) = 5𝑥，解方程求出△𝐴𝐵𝐶的面积，再根据点C 到𝐴𝐵的距离h 一定满足ℎ≤
10，𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅ℎ= 30，可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接𝑂𝐴，
∵𝐶𝐷= 2𝐴𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷, 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 2𝑆△𝐴𝑂𝐷，
设𝑆△𝐴𝑂𝐷= 𝑥，则𝑆△𝐶𝑂𝐷= 2𝑥，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐷+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 3𝑥，
∵𝑆四边形𝐴𝐷𝑂𝐸= 7，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐸= 𝑆四边形𝐴𝐷𝑂𝐸−𝑆△𝐴𝑂𝐷= 7 −𝑥，
∵𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐸= 𝑆△𝐴𝑂𝐸= 7 −𝑥，𝑆△𝐵𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐸 ，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐵𝑂𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐸−𝑆△𝐴𝑂𝐸，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐶= 𝑆△𝐴𝑂𝐶= 3𝑥，
∴𝑆△𝐵𝐴𝐷= 𝑆△𝐴𝑂𝐸+ 𝑆△𝐵𝑂𝐸+ 𝑆△𝐴𝑂𝐷= 7 −𝑥+ 7 −𝑥+ 𝑥= 14 −𝑥，
𝑆△𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝑂𝐶+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 3𝑥+ 2𝑥= 5𝑥
∴2(14 −𝑥) = 5𝑥，
解得𝑥= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐸= 2(7 + 2𝑥) = 30，
∵𝐵𝐶= 10，
∴点C 到𝐴𝐵的距离h 一定满足ℎ≤10，
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅ℎ= 30，
∴当ℎ= 10时，𝐴𝐵有最小值，最小值为6．
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8．（25-26 八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，∠𝐴𝐵𝐷= 32°，
则∠𝐶=_______．
【答案】
61°或29°
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关
键．
①如图，当顶角为锐角三角形时：∠𝐵𝐴𝐶= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 58°，②如图，当顶角为钝角三角形时：∠𝐵𝐴𝐶=
90° + 32° = 122°，再结合等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：∠𝐵𝐴𝐶= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 58°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶=
1
2 (180° −58°) = 61°；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵∠𝐴𝐵𝐷= 32°，∠𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90° + 32° = 122°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶=
1
2 (180° −122°) = 29°．
故答案为：61°或29°．
9．（25-26 八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐶> 𝐴𝐵)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶
的周长分成80 和60 两部分，求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
【答案】𝐴𝐶= 64, 𝐴𝐵= 44
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【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解二元一次方程组等知识点，正确理解三角形三边关系
是解题的关键．分两种情况讨论，列方程组求解，根据三角形三边关系判断即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥, 𝐴𝐵= 𝑦, 则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
存在两种情况：
①𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 80, 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 60，
则{4𝑥+ 𝑥= 80
𝑥+ 𝑦= 60
，
解得{𝑥= 16
𝑦= 44
，
即𝐴𝐶= 4𝑥= 64, 𝐴𝐵= 44, 𝐵𝐶= 2𝑥= 32，
则𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶
此时符合三角形三边关系
②𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 60, 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 80
则{4𝑥+ 𝑥= 60
𝑥+ 𝑦= 80
解得{𝑥= 12
𝑦= 68
即𝐴𝐶= 4𝑥= 48, 𝐴𝐵= 68
则𝐴𝐶< 𝐴𝐵，与已知𝐴𝐶> 𝐴𝐵矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述𝐴𝐶= 64, 𝐴𝐵= 44．
难点四 几何证明中的辅助线作法与思维策略
当原图形中的条件不足以直接得出证明结论时，需要添加辅助线构建桥梁。辅助线是几何证明中的核
心难点，也是区分学生思维层次的关键。
方法总结：
①遇角平分线，作双垂：当题目中出现角的平分线，且涉及角平分线上的点到角的边的距离时，可考
虑向两边作垂线，构造出直角三角形全等（利用AAS 或HL），或直接应用角平分线的性质。
②遇中点，倍长中线：看到三角形中线的条件时，经典的技巧是“倍长中线”（延长中线至原来的两
倍，连接端点），从而构造出一对“8 字型”全等三角形，将分散的边和角平移集中到一个三角形中。
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③遇平行线，找内错/同位角：图中若有平行线条件，要熟练利用平行线的性质（内错角相等、同位角
相等、同旁内角互补）作为证明全等或求角的中间桥梁。
易错提醒：
①切记辅助线必须画成虚线，并且在“证明”的开头必须交代清楚是如何添加辅助线的。不写辅助线
作法，直接用到这条线是无依据的。
②步步有据。在证明的括号内，必须严格按照要求写出每一步的推理依据（如“已知”、“两直线平
行，内错角相等”、“全等三角形的对应边相等”等），不能想当然。
③切忌把要证明的结论当成已知条件用，或者在逻辑上循环论证。
难点精练
10．（25-26 八年级下·云南曲靖·开学考试）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请
你和他们一起活动吧．
【初步探索】
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 4, 𝐵𝐶= 2，求𝐴𝐶边上的中线𝐵𝐷的取值范围．
以下是小聪同学思考的解决方法：先延长𝐵𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐵𝐷，然后连接𝐶𝐸，利用三角形全等将边𝐴𝐵转
化到𝐶𝐸，最后在△𝐷𝐸𝐶中利用三角形三边关系即可求出中线𝐵𝐷的取值范围．
（1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段𝐵𝐷的长度为整数，则
𝐵𝐷＝_____；
【灵活应用】
（2）如图2，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，延长𝐷𝐵到点𝐸，连接𝐴𝐸，使𝐴𝐸= 𝐵𝐶，求证：∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶；
【拓展提升】
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（3）如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以𝐴𝐵, 𝐵𝐶作等腰直角三角形△𝐴𝐵𝑀和△𝐵𝐶𝑁，其中∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐶𝐵𝑁= 90∘，
连接𝑀𝑁，点𝐷是𝑀𝑁的中点，连接𝐷𝐵，延长𝐷𝐵与𝐴𝐶相交于点𝐻，𝐵𝐷= 6，𝐵𝐻= 2．试判断𝐵𝐷与𝐴𝐶的数量
关系，并求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】（1）SAS，2；
（2）证明：如图：延长𝐵𝐷到点F，使𝐷𝐹= 𝐵𝐷，连接𝐴𝐹．
∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐷𝐵中，
{
𝐴𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐵
𝐷𝐵= 𝐷𝐹
∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐵(SAS)．
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐶，∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐹，
∵𝐴𝐸= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐵，
又∵∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶．
（3）𝐴𝐶= 2𝐵𝐷,△𝐴𝐵𝐶的面积为12
【分析】
（1）如图1：先延长𝐵𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐵𝐷，连接𝐶𝐸，易证△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)可得𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 4，
𝐵𝐷= 𝐷𝐸，再在△𝐵𝐶𝐸中利用三角形的三边关系可得2 < 𝐵𝐸< 6，进而得到1 < 𝐵𝐷< 3，再结合已知条件
即可解答；
（2）如图：延长𝐵𝐷到点F，使𝐷𝐹= 𝐵𝐷，连接𝐴𝐹．易证△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐵(SAS)可得𝐴𝐹= 𝐵𝐶，∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐹，
进而得到𝐴𝐹= 𝐴𝐸，再根据等边对等角可得∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐵，最后根据等量代换即可解答；
（3）如图3：延长𝐵𝐷到点E，使𝐷𝐸= 𝐵𝐷= 6，连接𝑀𝐸．易证△𝐵𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑀(SAS)可得𝐵𝑁= 𝐸𝑀、
∠𝐷𝑀𝐸= ∠𝐷𝑁𝐵，再证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝑀𝐸(SAS)可得𝐴𝐶= 𝐵𝐸、∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵，即𝐴𝐶= 2𝐵𝐷；再说明
∠𝐴𝐻𝐵= 90°，最后运用三角形的面积公式求解即可．
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【详解】解：（1）如图1：先延长𝐵𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐵𝐷，连接𝐶𝐸，
∵𝐵𝐷是边𝐴𝐶上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐷𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐵= 4，
在△𝐵𝐶𝐸中，𝐶𝐸−𝐵𝐶< 𝐵𝐸< 𝐶𝐸+ 𝐵𝐶，
∴2 < 𝐵𝐸< 6，即2 < 2𝐵𝐷< 6，
∴1 < 𝐵𝐷< 3，
∵线段𝐵𝐷的长度为整数，
∴𝐵𝐷= 2．
故答案为：SAS，2．
（2） 略
（3）如图3：延长𝐵𝐷到点E，使𝐷𝐸= 𝐵𝐷= 6，连接𝑀𝐸．
∵点D 是𝑀𝑁的中点，
∴𝑀𝐷= 𝑁𝐷．
在△𝐵𝐷𝑁和△𝐸𝐷𝑀中，
{
𝐵𝐷= 𝐷𝐸
∠𝐵𝐷𝑁= ∠𝐸𝐷𝑀
𝑀𝐷= 𝑁𝐷
，
∴△𝐵𝐷𝑁≌△𝐸𝐷𝑀(SAS)．
∴𝐵𝑁= 𝐸𝑀，∠𝐷𝑀𝐸= ∠𝐷𝑁𝐵，
∴𝐵𝑁∥𝐸𝑀．
∵△𝐵𝐶𝑁是等腰直角三角形，
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∴∠𝐶𝐵𝑁= 90°，𝐵𝑁= 𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁= 45°，
∴𝐸𝑀= 𝐵𝐶．
∵∠𝐴𝐵𝑀= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝑀𝐵𝑁= 180°．
又∵𝐵𝑁∥𝐸𝑀，
∴∠𝑀𝐵𝑁+ ∠𝐵𝑀𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝑀𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝑀𝐸中，
{
𝐴𝐵= 𝐵𝑀
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝑀𝐸
𝐵𝐶= 𝐸𝑀
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝑀𝐸(SAS)．
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐸，∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵，
∵𝐵𝐸= 2𝐵𝐷，
∴𝐴𝐶= 2𝐵𝐷．
∵𝐵𝐷= 6，
∴𝐴𝐶= 2 × 6 = 12．
∵∠𝐴𝐵𝑀= 90°，
∴∠𝑀𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐻= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐻= 90°，
∴∠𝐴𝐻𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐻=
1
2 × 12 × 2 = 12．
【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键．
11．（23-24 八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷是边𝐵𝐶上一点，点𝐸是边𝐴𝐵上
一点，且满足𝐵𝐸= 𝐶𝐷
，连接𝐴𝐷、𝐶𝐸交于点𝐹．
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(1)①如图1，直接写出∠𝐴𝐹𝐸的度数；
②如图2，过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐶𝐸于点𝑀，当𝐹𝐶= 𝐹𝑀时，求证：𝑀𝐵= 𝑀𝐹；
(2)如图3，当𝐸𝐹= 2𝐶𝐹时，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【答案】(1)①60°②见详解
(2)∠𝐵𝐴𝐷= 45°
【分析】（1）①通过SAS证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，即可知道∠𝐴𝐹𝐸；
②把△𝐴𝐵𝑀绕着点A 顺时针旋转60°，𝐴𝐵与𝐴𝐶重合，点M 的对应点为点N，连接𝑁𝐹，先证明△𝐴𝑁𝐹≌
△𝐴𝑀𝐹(SAS)，然后得到△𝐶𝑁𝐹是等边三角形，进行等边代换，即可得证𝑀𝐵= 𝑀𝐹；
（2）先得到𝐹𝐺= 𝐶𝐹，过点G 作𝐺𝑀⊥𝐶𝐺交𝐶𝐸于点H，交𝐵𝐶于点M，通过“AAS”证明△𝐴𝐺𝐸≌△𝑀𝐺𝐶，
得𝐶𝑀= 𝐴𝐸，𝐴𝐺= 𝑀𝐺，然后连接𝐴𝑀，再通“SAS”证明△𝐵𝐸𝐶≌△𝐵𝑀𝐴，进行角的等量代换以及角和和
差关系，即可作答．
【详解】（1）解：因为△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
所以𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵= 60°，
因为𝐵𝐸= 𝐶𝐷，
所以△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，
则∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
那么∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 60°；
②把△𝐴𝐵𝑀绕着点A 顺时针旋转60°，𝐴𝐵与𝐴𝐶重合，点M 的对应点为点N，连接𝑁𝐹，如图所示：
△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝑁，
∴∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝑀𝐴𝐵，𝐴𝑁= 𝐴𝑀，𝑀𝐵= 𝑁𝐶
因为𝐴𝑀⊥𝐶𝐸，∠𝐴𝐹𝐸= 60°
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所以∠𝐹𝐴𝑀= 30°
故∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐹𝐴𝐷= 30°
即∠𝑁𝐴𝐹= ∠𝑁𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐴𝐷= 30°
因为𝐴𝑁= 𝐴𝑀，∠𝑁𝐴𝐹= ∠𝐹𝐴𝑀= 30°，𝐴𝐹= 𝐴𝐹
所以△𝐴𝑁𝐹≌△𝐴𝑀𝐹(SAS)
则𝑁𝐹= 𝑀𝐹，∠𝐴𝐹𝑁= ∠𝐴𝐹𝑀= 60°
所以∠𝐶𝐹𝑁= 180° −∠𝐴𝐹𝑁−∠𝐴𝐹𝑀= 60°，
因为𝐹𝐶= 𝐹𝑀
所以𝐹𝐶= 𝑁𝐹
即△𝐶𝑁𝐹是等边三角形，
所以𝑁𝐹= 𝑁𝐶= 𝐹𝐶
因为𝑀𝐵= 𝑁𝐶，𝐹𝐶= 𝐹𝑀
则𝑀𝐵= 𝑀𝐹；
（2）解：过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，
因为∠𝐴𝐹𝐸= 60°，
所以∠𝐺𝐸𝐹= 30°
即𝐹𝐸= 2𝐹𝐺
因为𝐸𝐹= 2𝐶𝐹
所以𝐹𝐺= 𝐶𝐹，
则∠𝐺𝐶𝐹= ∠𝐹𝐺𝐶=
1
2 ∠𝐴𝐹𝐸= 30°
过点𝐺作𝐺𝑀⊥𝐶𝐺交𝐶𝐸于点𝐻，交𝐵𝐶于点𝑀，则∠𝐺𝐻𝐶= 90° −∠𝐺𝐶𝐹= 60°，
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设∠𝐸𝐶𝐵= 𝛼，则∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= 𝛼，∠𝐺𝐴𝐸= 60° −𝛼
∴∠𝐺𝐶𝑀= 30° + 𝛼，∠𝐺𝑀𝐶= ∠𝐺𝐻𝐶−∠𝐸𝐶𝑀= 60° −𝛼，
在Rt △𝐴𝐺𝐸中，∠𝐺𝐸𝐴= 90° −∠𝐺𝐴𝐸= 90° −(60° −𝛼) = 30° + 𝛼，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 60° + 𝛼，
在△𝐴𝐺𝐸和△𝑀𝐺𝐶中，
{
∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐺𝑀𝐶
∠𝐴𝐸𝐺= ∠𝐺𝐶𝑀
𝐺𝐸= 𝐺𝐶
，
∴△𝐴𝐺𝐸≌△𝑀𝐺𝐶(AAS)，
∴𝐶𝑀= 𝐴𝐸，𝐴𝐺= 𝑀𝐺，
连接𝐴𝑀，如图，
∵∠𝐴𝐺𝑀= 180° −∠𝐹𝐺𝐻= 120°
∴∠𝐺𝐴𝑀= ∠𝐺𝑀𝐴= 30°
又∵𝐵𝐴= 𝐶𝐵，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐸，
在△𝐵𝐸𝐶和△𝐵𝑀𝐴中，
{
𝐵𝐴= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐵𝑀= 𝐵𝐸
∴△𝐵𝐸𝐶≌△𝐵𝑀𝐴(SAS)
∴∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐵𝐶𝐸= 𝛼，
∴∠𝑀𝐴𝐺= 60 −2𝛼= 30°，
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∴𝛼= 15°，
∴∠𝐺𝐴𝐸= 60° −𝛼= 45°．
即∠𝐵𝐴𝐷= 45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，
作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12．（25-26 八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后
面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础．
【问题初探】
(1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形
中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，
如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐵= ∠𝐶，可证𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
小聪同学的作法是作𝐵𝐶边上的高线𝐴𝐷．现在请你完成小聪同学的证明过程：
【类比分析】
(2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角
形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
点𝐸为边𝐴𝐶上一点，点𝐹为边𝐴𝐵延长线上一点，连结𝐸𝐹与边𝐵𝐶交于点𝐷，若点𝐷恰为线段𝐸𝐹中点，试探究
线段𝐶𝐸与线段𝐵𝐹的数量关系，并说明理由；
【学以致用】
(3)如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90∘，𝐴𝐷，𝐴𝐸分别为△𝐴𝐵𝐶的角平分线和中线，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷与线段
𝐴𝐷的延长线交于点𝐺，与边𝐴𝐵的延长线交于点𝐹，已知△𝐴𝐵𝐶的面积是30，线段𝐴𝐹的长为8，求𝐵𝐹的长．
【答案】(1)
证明：过𝐴作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°．
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐷，∠𝐵= ∠𝐶，
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∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(AAS)．
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
(2)
解：𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
理由：如图，过𝐸作𝐸𝐺∥𝐴𝐵交𝐵𝐶于𝐺，
∴∠𝐹= ∠𝐷𝐸𝐺，∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐸𝐺𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐺𝐶．
∵点𝐷恰为线段𝐸𝐹中点，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸．
∴△𝐵𝐹𝐷≌△𝐺𝐸𝐷(AAS)．
∴𝐵𝐹= 𝐸𝐺．
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐺𝐶，
∴∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐸𝐶𝐺．
∴𝐸𝐺= 𝐶𝐸．
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐹．
(3)2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等
内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(AAS)，即可得证；
（2）过𝐸作𝐸𝐺∥𝐴𝐵交𝐵𝐶于𝐺，利用中点证△𝐵𝐹𝐷≌△𝐺𝐸𝐷，得到𝐵𝐹= 𝐸𝐺，最后通过等线段转化即可
得证；
（3）参考（2）的方法构造全等，设𝐵𝐹= 𝑥，则𝐴𝐵= 8 −𝑥，𝐴𝐶= 𝐴𝐻+ 𝐶𝐻= 8 + 𝑥，由△𝐴𝐵𝐶的面
积是30，即可求出𝑥的值，即为𝐵𝐹的长．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，延长𝐹𝐸交𝐴𝐶于点𝐻，过𝐵作𝐵𝑀∥𝐴𝐶，
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∵𝐴𝐷是角平分线，
∴∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐻𝐴𝐺．
∵𝐴𝐷⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹．
∵𝐴𝐺= 𝐴𝐺，
∴△𝐴𝐺𝐹≌△𝐴𝐺𝐻(ASA)．
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐻= 8，∠𝐴𝐻𝐺= ∠𝐴𝐹𝐺．
∵𝐵𝑀∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐵𝑀，∠𝐶𝐻𝐸= ∠𝐵𝑀𝐸．
∵𝐴𝐸是中线，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐸．
∴△𝐶𝐻𝐸≌△𝐵𝑀𝐸(AAS)．
∴𝐶𝐻= 𝐵𝑀，
∴∠𝐴𝐻𝐺= ∠𝐵𝑀𝐹= ∠𝐴𝐹𝐺．
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐹．
设𝐵𝐹= 𝑥，则𝐵𝑀= 𝐶𝐻= 𝑥，𝐴𝐵= 8 −𝑥，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐻+ 𝐶𝐻= 8 + 𝑥．
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 30，
∴1
2 (8 −𝑥)(8 + 𝑥) = 30
整理得：64 −𝑥2 = 60，
∴𝑥2 = 4．
∵𝑥> 0，
∴𝑥= 2．
∴𝐵𝐹= 2．
13．（25-26 八年级上·北京大兴·期中）如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐶𝐵延长线上一点，作射线𝐴𝐷，
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点𝐵关于射线𝐴𝐷的对称点为点𝐸，连接𝐶𝐸交射线𝐴𝐷于点𝐹．
(1)依题意补全图形；
(2)连接𝐵𝐹，∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼．
①求∠𝐴𝐶𝐹的大小（用含𝛼的代数式表示）；
②用等式表示线段𝐴𝐹，𝐶𝐹，𝐸𝐹之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
解：图形如下：
(2)①60° −𝛼；
②𝐶𝐹= 𝐴𝐹+ 𝐸𝐹，证明如下：
在线段𝐶𝐹上取𝐹𝐻= 𝐵𝐹，连接𝐵𝐻，如图，
∵点𝐵关于射线𝐴𝐷的对称点为点𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼，𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐸𝐹= 𝐵𝐹，
在△𝐴𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐹中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐵
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐹(SAS)，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹，∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐵，
由① 知，
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𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐸= 60° −𝛼，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 60° −𝛼，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐵= 180° −∠𝐸𝐴𝐹−∠𝐴𝐸𝐹= 180° −𝛼−(60° −𝛼) = 120°，
由① 知，∠𝐴𝐶𝐹= 60° −𝛼，
又∵∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐹𝐴𝐶= 60° + 𝛼，
∴∠𝐴𝐹𝐶= 180° −∠𝐹𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐹= 180° −(60° + 𝛼) −(60° −𝛼) = 60°，
∴∠𝐵𝐹𝐻= ∠𝐴𝐹𝐵−∠𝐴𝐹𝐶= 120° −60° = 60°，
∵𝐹𝐻= 𝐵𝐹，
∴△𝐵𝐹𝐻为等边三角形，
∴∠𝐵𝐻𝐶= 120°，
∴∠𝐵𝐻𝐶= ∠𝐴𝐹𝐵= 120°
∵∠𝐴𝐶𝐵= 60°，∠𝐴𝐶𝐹= 60° −𝛼，
∴∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐹= 60° −(60° −𝛼) = 𝛼，
∴∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼，
在△𝐴𝐵𝐹与△𝐶𝐵𝐻中，
{
∠𝐵𝐻𝐶= ∠𝐴𝐹𝐵= 120°
∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐻(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐻，
∵△𝐵𝐹𝐻为等边三角形，
∴𝐹𝐻= 𝐵𝐹，
∵𝐸𝐹= 𝐵𝐹，
∴𝐹𝐻= 𝐸𝐹，
∵𝐶𝐹= 𝐶𝐻+ 𝐹𝐻，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐹+ 𝐸𝐹．
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形
的判定与性质，解决本题的关键是由𝛼表示各个角度从而得到关系．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）①连接辅助线构造等腰三角形，根据等边三角形的性质，可求解∠𝐸𝐴𝐶，再根据三角形内角和求
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解即可；
②构造辅助线，由角边角的方法证明△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐹，可得∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹，∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐵，再证明
△𝐵𝐹𝐻为等边三角形，可得∠𝐵𝐻𝐶= 120°，𝐹𝐻= 𝐵𝐹，再根据角角边的证明方法证明△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐻，由
此可得𝐴𝐹= 𝐶𝐻，根本边的关系即可证明．
【详解】（1）略
（2）解：①连接𝐴𝐹, 𝐵𝐹，如图，
∵点𝐵关于射线𝐴𝐷的对称点为点𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼，𝐴𝐸= 𝐴𝐵，
∵三角形𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶，且∠𝐸𝐴𝐶= 60° + 𝛼+ 𝛼= 60° + 2𝛼，
∴∠𝐴𝐶𝐸=
180°−∠𝐸𝐴𝐶
2
=
180°−(60°+2𝛼)
2
= 60° −𝛼，
即∠𝐴𝐶𝐹的大小为60° −𝛼；
②略
基础达标
1．（25-26 八年级下·四川泸州·开学考试）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm
B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，5cm
D．5cm，6cm，10cm
【答案】A
【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结
果．
【详解】解：选项A 中，∵ 1 + 2 = 3，不满足两边之和大于第三边，
∴ 不能组成三角形，符合题意；
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选项B 中，∵ 2 + 3 > 4，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意；
选项C 中，∵ 3 + 4 > 5，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意；
选项D 中，∵ 5 + 6 > 10，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意．
2．（25-26 八年级上·浙江丽水·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 45°，∠𝐵= 55°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为（ ）
A．80°
B．100°
C．135°
D．125°
【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和求解即可．
【详解】解：∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 100°．
3．（25-26 八年级上·广东·阶段检测）如图，在五角星ABCDE 中，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸=（ ）
A．120°
B．150°
C．180°
D．360°
【答案】C
【详解】解：如图，∠𝐴+ ∠𝐶= ∠1, ∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2，
∵∠1 + ∠2 + ∠𝐸= 180°，
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∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°.
4．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，∠𝐵= 60°，∠𝐷= 40°，则∠𝐴𝐶𝐷的
度数为（ ）．
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好相关知识是关键．
由△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶可得∠𝐴= ∠𝐷= 40°，结合三角形外角的性质求出∠𝐴𝐶𝐷．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 40°，
∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵= 40° + 60° = 100°．
故选：A．
5．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）若𝑎, 𝑏, 𝑐为三角形的三边，且满足分式
𝑐−𝑎
𝑐−𝑏的值为0，则此三角形的
形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查分式的值为0 的条件，以及等腰三角形的定义，根据分式值为0 时分子为0、分母不
为0，结合三角形的分类判断三角形形状即可．
【详解】解：∵分式
𝑐−𝑎
𝑐−𝑏的值为0，
∴分子𝑐−𝑎= 0，且分母𝑐−𝑏≠0，
∴𝑐= 𝑎，且𝑐≠𝑏，
∴此三角形有两边相等，为等腰三角形．
故选B．
6．（25-26 八年级上·河北邢台·期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1 = 20°，
∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为____________．
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【答案】30
【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是解题关键．根据三角形内角和
定理及对顶角相等得出∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4，根据∠1 = 20°，∠2比∠3大10°即可得出20° + ∠3 + 10° = ∠3 +
∠4，进而求出∠4的度数即可．
【详解】解：如图所示：
∵∠1 + ∠2 + ∠6 = 180°，∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°，∠5 = ∠6，
∴∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4，
∵∠1 = 20°，∠2比∠3大10°，
∴20° + ∠3 + 10° = ∠3 + ∠4，
∴∠4 = 30°．
故答案为：30
7．（25-26 九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，Rt △𝐴𝐵𝑂在平面直角坐标系中，∠𝑂𝐴𝐵= 90°，𝑂𝐴在
𝑥轴上，𝑂𝐴= 5，𝐴𝐵= 3，将Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂旋转90°，则点𝐵的对应点𝐵′的坐标为___________．
【答案】(−3,5)或(3, −5)
【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针
两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答．
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【详解】解：依题意，当将Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂逆时针旋转90°，得△𝑂𝐴′𝐵′，如图：
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴′𝐵′𝑂．
∴𝐴′𝑂= 𝐴𝑂= 5，𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵= 3．
∵点𝐵′在第二象限，
∴𝐵′(−3,5)．
当将Rt △𝑂𝐴𝐵绕点𝑂顺时针旋转90°，得△𝑂𝐴′1𝐵′1，
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴′1𝐵′1𝑂．
∴𝐴′1𝑂= 𝐴𝑂= 5，𝐴′1𝐵′1 = 𝐴𝐵= 3．
∵点𝐵′1在第四象限，
∴𝐵′1(3,−5)．
综上，点𝐵′的坐标为(−3,5)或(3,−5)．
8．（25-26 八年级上·北京密云·阶段检测）已知：如图，等边三角形𝐷𝐸𝐹的顶点分别在等边三角形𝐴𝐵𝐶的
边上．求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
【答案】
证明：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹均为等边三角形，
∴∠𝐶= ∠𝐴= 60°，∠𝐷𝐹𝐸= 60°，𝐸𝐹= 𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐷+ ∠𝐸𝐹𝐶= 180° −∠𝐷𝐹𝐸= 120°，
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125 /
又∵∠𝐴𝐹𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐹= 180° −∠𝐴= 120°，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐷𝐹，
在△𝐸𝐹𝐶和△𝐹𝐴𝐷中，
{
∠𝐶= ∠𝐴
∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐴𝐷𝐹
𝐸𝐹= 𝐷𝐹
，
∴△𝐸𝐹𝐶≌△𝐹𝐴𝐷(AAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐷，
同理可证：△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
【分析】证明△𝐸𝐹𝐶≌△𝐹𝐴𝐷(AAS)，△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶(AAS)，对应边相等．
【详解】略
9．（25-26 八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知△𝑃𝑀𝑁，𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，交𝑀𝑁于点𝐸，交𝑀𝑃于
点𝑄，𝑂𝐵垂直平分𝑃𝑁，交𝑀𝑁于点𝐹，交𝑃𝑁于点𝑅，连接𝑂𝑃．
(1)连接𝑃𝐸，𝑃𝐹，若𝑀𝑁= 15，求△𝑃𝐸𝐹的周长；
(2)若𝑃𝑀= 𝑃𝑁，求证：𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
【答案】(1)15
(2)
证明：∵𝑃𝑁= 𝑃𝑀，𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，𝑂𝐵垂直平分𝑃𝑁，，
∴ 𝑄𝑃=
1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅=
1
2 𝑃𝑁，
∴𝑃𝑄= 𝑃𝑅．
∴𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是
解题关键．
（1）先根据线段垂直平分线的性质可得𝑀𝐸= 𝑃𝐸，𝐹𝑁= 𝑃𝐹，再根据三角形的周长公式即可得；
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126 /
（2）先根据已知可得𝑃𝑄⊥𝑄𝐴，𝑃𝑅⊥𝑂𝐵，𝑄𝑃=
1
2 𝑃𝑀，𝑃𝑅=
1
2 𝑃𝑁，从而可得𝑃𝑄= 𝑃𝑅，再根据角平
分线的判定定理即可得证．
【详解】（1）解：𝑂𝐴垂直平分𝑀𝑃，
∴𝑀𝐸= 𝑃𝐸．
同理：𝐹𝑁= 𝑃𝐹．
∴△𝑃𝐸𝐹的周长= 𝐸𝑃+ 𝐹𝑃+ 𝐸𝐹= 𝑀𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐹𝑁= 𝑀𝑁= 15；
（2）略
10．（25-26 八年级下·全国·单元复习）如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶的三边上分别取点𝐷，𝐸，𝐹，使𝐴𝐷= 𝐵𝐸=
𝐶𝐹．试判定△𝐷𝐸𝐹的形状，并说明理由．
【答案】解：△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐵= ∠𝐶= 60°，
∵𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐷= 𝐵𝐶−𝐵𝐸，即𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐸𝐹中，
{
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，𝐷𝐸= 𝐸𝐹，
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∵∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵𝐸𝐷= 180° −∠𝐵= 120°，
∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐸𝐹= 120°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 180° −∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐶𝐸𝐹= 60°，
又∵𝐷𝐸= 𝐸𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐹是等边三角形．
【分析】由等边三角形的性质容易证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(SAS)，则∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，𝐷𝐸= 𝐸𝐹，利用等量
代换可得∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= 60°，因此△𝐷𝐸𝐹是等边三角形．
【详解】略
能力进阶
11．（25-26 八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的周长为（ ）
A．32
B．25
C．25或32
D．25或19
【答案】A
【分析】分腰长为6、腰长为13两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长．
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为6和13，
∴分两种情况讨论：
①当腰长为6时，三边长为6，6，13，
∵6 + 6 = 12 < 13，
∴不能构成三角形；
②当腰长为13时，三边长为13，13，6，
∵13 + 6 > 13，
∴能构成三角形，周长为13 + 13 + 6 = 32．
12．（25-26 八年级下·湖北孝感·期末）如图，在𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐶𝐸，垂足为𝐸，
交𝐵𝐶于𝐹，𝐷是𝐴𝐵的中点，连接𝐷𝐸．若𝐴𝐶= 14，𝐵𝐶= 20，则𝐷𝐸的长是（ ）．
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】通过证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸，可得𝐴𝐶= 𝐹𝐶= 14，𝐸是𝐴𝐹的中点，继而可得𝐵𝐹= 6，再利用三
角形中位线定理解答即可求解．
【详解】解：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸，
∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐶= 90°，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐹𝐶𝐸中，
{
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐸
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐹𝐶𝐸(ASA)，
∴𝐴𝐶= 𝐹𝐶= 14，𝐴𝐸= 𝐹𝐸，
∴𝐸是𝐴𝐹的中点，
∵𝐵𝐶= 20，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶−𝐹𝐶= 20 −14 = 6，
∵𝐷是𝐴𝐵的中点，𝐸是𝐴𝐹的中点，
∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐹的中位线 ，
∴𝐷𝐸=
1
2 𝐵𝐹=
1
2 × 6 = 3．
13．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点B 和点C 为圆心，大于
1
2 𝐵𝐶的长为
半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线𝐸𝐹交𝐴𝐶于点D，连接𝐵𝐷，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别
交𝐴𝐵，𝐴𝐶于M，N，再分别以点M 和点N 为圆心，大于
1
2 𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧在∠𝐵𝐴𝐶的内部相交于
点P，连接𝐴𝑃并延长，交𝐵𝐶于点G．若∠𝐴𝐵𝐷= 68°，则∠𝐴𝐺𝐵的大小是（ ）
A．55°
B．56°
C．57°
D．58°
【答案】B
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129 /
【分析】利用垂直平分线和角平分线的性质结合三角形内角和为180°表示出各个角，化简即可得出解．
【详解】解：由题意得𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐶，𝐴𝑃是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐶，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐶𝐴𝐺=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐷= 68°，
∴∠𝐴𝐵𝐺= ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶= 68° + ∠𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐺−∠𝐶= 180° −(68° + ∠𝐶) −∠𝐶= 112° −2∠𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐺=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 (112° −2∠𝐶) = 56° −∠𝐶，
∴∠𝐴𝐺𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐺−∠𝐴𝐵𝐺= 180° −(56° −∠𝐶) −(68° + ∠𝐶) = 56°．
14．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50°，将△𝐴𝐵𝐶沿虚线剪去∠𝐴，则∠1 + ∠2
的度数为（ ）
A．180°
B．230°
C．240°
D．270°
【答案】B
【分析】结合三角形内角和性质得出∠𝐵+ ∠𝐶= 130°，再根据四边形内角和为360°列式计算，即可作
答．
【详解】解：∵∠𝐴= 50°，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 130°
∵∠1 + ∠2 + ∠𝐵+ ∠𝐶= 360°，
∴∠1 + ∠2 = 360° −(∠𝐵+ ∠𝐶) = 360° −130° = 230°．
15．（25-26 八年级上·广东深圳·期末）如图，将△𝐴𝐵𝑃绕点A 逆时针旋转50°得到△𝐴𝐶𝑃′，点B，P 的
对应点分别为点C，𝑃′，当点B，P，C 在同一条直线上时，∠𝐵𝐶𝑃′的度数为（ ）
小学
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A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得到𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃′，根据三角形内角和及等边对
等角求出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵=
180°−50°
2
= 65°，可知∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃′ = 65°，即可求出∠𝐵𝐶𝑃′的度数．
【详解】解：∵将△𝐴𝐵𝑃绕点A 逆时针旋转50°得到△𝐴𝐶𝑃′，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃′，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵=
180°−50°
2
= 65°，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑃′ = 65°，
∴∠𝐵𝐶𝑃′ = ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝑃′ = 65° + 65° = 130°．
16．（25-26 八年级上·山西吕梁·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，依据尺规作图的作图痕迹，若∠𝐴𝐺𝐹= 75°，
∠𝐴𝐶𝐹= 40°，可知∠𝐵的度数为________．
【答案】
35°
【分析】由三角形外角的性质可以求出∠𝐶𝐴𝐺= 35°，由尺规作图可知𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，根据角平
分线的定义可知∠𝐵𝐴𝐶= 70°，由作图可知𝐸𝐹是𝐵𝐶的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐹，
根据三角形内角和定理可以求出∠𝐵的度数．
【详解】解：∵∠𝐴𝐺𝐹是△𝐴𝐺𝐶的外角，
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∴∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐴𝐺，
∵∠𝐴𝐺𝐹= 75°，∠𝐴𝐶𝐹= 40°，
∴75° = 40° + ∠𝐶𝐴𝐺，
∴∠𝐶𝐴𝐺= 35°，
由作图可知𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐺= 70°，
由作图可知𝐸𝐹是𝐵𝐶的垂直平分线，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹+ ∠𝐵= 180°，
∴70° + 40° + 2∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵= 35°．
17．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶的长为半径作圆弧交𝐵𝐶于
点𝐷，再分别以点𝐵和点𝐷为圆心，大于
1
2 𝐵𝐷的长为半径作圆弧，两弧分别交于点𝑀和点𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵
于点𝐸，若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐶= 6，则△𝐴𝐷𝐸的周长为___________．
【答案】16
【分析】根据作图可得𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，得到𝐸𝐵= 𝐸𝐷，再通过线段等量代换将△𝐴𝐷𝐸
的周长转化为𝐴𝐵+ 𝐴𝐷，进而求出三角形周长．
【详解】解：由作图可知，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐷= 6，
由作图可知，直线𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，
∵点𝐸在直线𝑀𝑁上，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐷，
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𝐶△𝐴𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸，
将𝐷𝐸= 𝐸𝐵代入得，𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐸𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 10，𝐴𝐷= 6，
∴𝐶△𝐴𝐷𝐸= 6 + 10 = 16．
18．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦1 = −2𝑥−4与𝑥轴交于
点𝐴，直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交于点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶(0,2)，与直线𝑦1 = −2𝑥−4交于点𝐷，𝑂𝐵= 2𝑂𝐴．
(1)求直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏的函数表达式；
(2)若𝐸是𝑥轴上一点，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸，求点𝐸的坐标；
(3)若𝐹是直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏上方且位于𝑦轴上一点，∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐷𝐵𝐴，判断△𝐴𝐷𝐹的形状并说明理由．
【答案】(1)直线𝑦2的函数表达式为𝑦2 = −
1
2 𝑥+ 2．
(2)点𝐸(−5,0)或𝐸(1,0)．
(3)△𝐴𝐷𝐹是等腰直角三角形，理由如下：
作𝐷𝐻⊥𝑦轴且交y 轴于点H，𝐷𝑀⊥𝑥轴且交x 轴于点M，
则𝐴𝑀= 4 −2 = 2，𝐷𝐻∥𝐴𝐵，
∴∠𝐻𝐷𝐶= ∠𝐷𝐵𝐴．
∵∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐷𝐵𝐴，
∴∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐻𝐷𝐶，
∴∠𝐻𝐷𝐹= ∠𝐻𝐷𝐶．
在Rt △𝐻𝐷𝐹和Rt △𝐻𝐷𝐶中，
{
∠𝐻𝐷𝐹= ∠𝐻𝐷𝐶
𝐷𝐻= 𝐷𝐻
∠𝐷𝐻𝐹= ∠𝐷𝐻𝐶= 90°
，
∴△𝐻𝐷𝐹≌△𝐻𝐷𝐶(ASA)，
∴𝐻𝐹= 𝐻𝐶．
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133 /
∵𝐷𝐻⊥𝑦轴，
∴𝑂𝐻= 4，
∵𝑂𝐶= 2，
∴𝐻𝐹= 𝐻𝐶= 𝑂𝐻−𝑂𝐶= 2．
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐻+ 𝐻𝐹= 6．
∵𝐷𝐹= √42 + 22 = √20 = 2√5，𝐴𝐷= √42 + 22 = √20 = 2√5，
𝐴𝐹= √62 + 22 = √40 = 2√10，
∴𝐷𝐹= 𝐴𝐷，𝐷𝐹2 + 𝐴𝐷2 = 𝐴𝐹2，
∴△𝐴𝐷𝐹是等腰直角三角形．
【分析】（1）首先根据直线𝑦1的表达式求出点A 坐标，接着根据𝑂𝐵= 2𝑂𝐴得到点B 坐标，将点B，
点C 同时代入𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏中联立方程，求出k、b 的值，进而得到直线𝑦2的表达式．
（2）根据直线𝑦1、𝑦2的表达式联立方程，求出交点D，得到两个三角形的高；其次结合𝐴𝐵的长度求出
𝑆△𝐴𝐵𝐷，进而得到𝑆△𝐴𝐷𝐸的值；设点𝐸(𝑎, 0)，将𝐴𝐸表示出来，再根据三角形面积计算公式求解，求出𝑎的值，
进而得到点E．
（3）首先过点D 分别作x，y 轴的垂线，得到𝐴𝐵的平行线𝐷𝐻，根据平行线性质得到内错角相等，通过
相等的角代换得到𝐷𝐻是∠𝐵𝐷𝐹的角平分线，进而根据“直角三角形内，一直角边和它相对（或相邻）的锐
角分别相等”判定三角形全等，得出对应边相等，求出𝐻𝐹的长；最后结合各点坐标计算出△𝐴𝐷𝐹的各边长，
根据边长关系判断三角形形状．
【详解】（1）解：∵直线𝑦1 = −2𝑥−4与𝑥轴交于点𝐴，
∴令𝑦= 0，得−2𝑥−4 = 0，
解得𝑥= −2，即点𝐴(−2,0)，
∴𝑂𝐴= 2，
∴𝑂𝐵= 2𝑂𝐴= 4，即点𝐵(4,0)，
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将点𝐵(4,0)，𝐶(0,2)代入𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏中，得{4𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 2
，
解得𝑏= 2，𝑘= −
1
2，
∴直线𝑦2的函数表达式为𝑦2 = −
1
2 𝑥+ 2．
（2）∵直线𝑦1、𝑦2交于点D，联立方程得{
𝑦= −2𝑥−4
𝑦= −
1
2 𝑥+ 2
，
解得𝑥= −4，𝑦= 4，
∴点𝐷(−4,4)．
设点𝐸(𝑎, 0)，则𝐴𝐸= |−2 −𝑎|．
∵𝐴𝐵= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 6 × 4 = 12，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=
1
2 |−2 −𝑎| × 4 = 6，得|−2 −𝑎| = 3，
解得𝑎= −5或𝑎= 1，
∴点𝐸(−5,0)或𝐸(1,0)．
（3）略
【点睛】可通过作辅助线构造全等三角形求解线段长度，根据三边关系判断三角形形状．
19．（25-26 八年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的位置如图所示．
(1)△𝐴𝐵𝐶的面积为 ；
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(2)借助△𝐴𝐵𝐶的三边说明√5 + √10与√13的大小关系；
(3)若保持点𝐴，𝐶不动，点𝐵从图中的位置沿𝑥轴向右移动到点𝐷，使得𝐶𝐷= 𝐴𝐶，求点𝐷的坐标为 ．
【答案】(1)
7
2
(2)√5 + √10 > √13
(3)(2,0)或(4,0)
【分析】（1）根据割补法求解即可；
（2）根据勾股定理求出△𝐴𝐵𝐶的三边，再根据三角形的三边关系求解即可；
（3）过点C 作𝐶𝑁⊥𝑦轴于点N，作𝐶𝑀⊥𝑥轴于点M，证明Rt △𝐶𝐷𝑀≌Rt △𝐶𝐴𝑁(HL)，得到𝐷𝑀= 𝐴𝑁=
1，即可求解．
【详解】（1）解：𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3 × 3 −
1
2 × 3 × 1 −
1
2 × 1 × 2 −
1
2 × 2 × 3 = 9 −
3
2 −1 −3 =
7
2．
（2）解：由图可得𝐴𝐵= √22 + 12 = √5，
𝐴𝐶= √12 + 32 = √10，
𝐵𝐶= √22 + 32 = √13，
∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶，
∴√5 + √10 > √13．
（3）解：过点C 作𝐶𝑁⊥𝑦轴于点N，作𝐶𝑀⊥𝑥轴于点M，即∠𝐶𝑁𝐴= ∠𝐶𝑀𝐷= 90°，
由图有𝐴(0,2)，𝐵(1,0)，𝐶(3,3)，
∴𝑀(3,0)，𝑁(0,3)，𝐶𝑀= 𝐶𝑁= 3，𝐴𝑁= 1，𝐵𝑀= 2，
∵𝐶𝐷= 𝐶𝐴，
∴Rt △𝐶𝐷𝑀≌Rt △𝐶𝐴𝑁(HL)，
∴𝐷𝑀= 𝐴𝑁= 1，
∵𝑀(3,0)，
∴点D 的坐标为(2,0)或(4,0)．
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20．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7 角平分线》这节课后，小
锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？
(1)如图1，小锦在射线𝐵𝐴上任取一点D，过点D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，以点D 为圆心，𝐷𝐵长为半径画弧，与𝐷𝐹交
于点E，求证：𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线；
(2)如图2，小绣分别在𝑂𝐴，𝑂𝐵上截取𝑂𝐷= 𝑂𝐶，利用三角板构造∠𝑂𝐷𝐺= 90°，且直线𝐷𝐺交𝑂𝐵于点G，同
样作∠𝑂𝐶𝐹= 90°，直线𝐺𝐹交𝑂𝐴于点F．𝐶𝐹与𝐷𝐺交于点E，求证：𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．
【答案】(1)
证明：∵𝐷𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐵𝐶，
由作图知𝐷𝐸= 𝐷𝐵，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线；
(2)
证明：由作图知𝑂𝐷= 𝑂𝐶，∠𝑂𝐶𝐹= ∠𝑂𝐷𝐺= 90°，
∵∠𝐶𝑂𝐹= ∠𝐷𝑂𝐺，
∴△𝐶𝑂𝐹≌△𝐷𝑂𝐺(ASA)，
∴∠𝐶𝐹𝑂= ∠𝐷𝐺𝑂，𝐹𝑂= 𝐺𝑂，
∴𝐷𝐹= 𝐹𝑂−𝑂𝐷= 𝐺𝑂−𝑂𝐶= 𝐶𝐺，
∵∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐸𝐺𝐶，∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐺𝐸𝐶，
∴△𝐹𝐸𝐷≌△𝐺𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∵∠𝐸𝐷𝑂= ∠𝐸𝐶𝑂= 90°，
∴𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角．
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（1）利用平行线的性质结合等边对等角求得∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，即可证明结论成立；
（2）证明△𝐶𝑂𝐹≌△𝐷𝑂𝐺(ASA)，推出∠𝐶𝐹𝑂= ∠𝐷𝐺𝑂，𝐹𝑂= 𝐺𝑂，再证明△𝐹𝐸𝐷≌△𝐺𝐸𝐶(AAS)，得
到𝐸𝐷= 𝐸𝐶，即可证明结论成立．
【详解】（1）略
（2）略
