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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测08
15.3 等腰三角形
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.一个等腰三角形的周长为20cm，底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式是( )．
A. y = 20 −2x(0 < x < 10)
B. y = 20 −2x(5 < x < 10)
C. y = 10 −x(5 < x < 10)
D. y = 10 −0.5x(10 < x < 20)
【答案】B
【详解】
∵2x + y = 20，
∴y = 20 −2x.
由20 −2x > 0，解得x < 10，
由两边之和大于第三边，得x + x > 20 −2x，
解得x > 5.综上，可
得y = 20 −2x(5 < x < 10).故选B．
2.若等腰三角形的一个内角的度数为70∘，则这个等腰三角形的底角的度数为( )
A. 40∘
B. 55∘或70∘
C. 40∘或70∘
D. 55∘
【答案】B
【详解】分两种情况讨论：①70°为顶角，底角度数=(180°-70°)÷2=55°；②70°为底角，另一底角同样为
70°，顶角为40°，符合三角形内角和定理。因此该等腰三角形底角为55°或70°。故选B。
3.等边三角形的一边与这条边上的高的比是( )
A. √ 3: 2
B. √ 3: 1
C. 2: √ 3
D. 1: √ 3
【答案】C
【详解】设等边三角形边长为2，根据三线合一，高垂直平分底边。由勾股定理求出高为√3，因此边长与
该边上高的比值为 2:√3。故选C。
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4.如图，在6 × 6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等
腰三角形，这样的点C一共有( )
A. 7个
B. 8个
C. 10个
D. 12个
【答案】C
【详解】在网格中找点C 构造等腰三角形，分类讨论：以AB 为底边可找6 个格点，以AB 为腰、A 为顶
点可找2 个格点，以AB 为腰、B 为顶点可找2 个格点，总计10 个符合条件的格点。故选C。
5.下列条件中，不能判断△ABC是等边三角形的是( )
A. ∠A = ∠B = ∠C
B. AB = AC，∠B = 60°
C. ∠A = 60°，∠B = 60°
D. AB = AC，∠B = ∠C
【答案】D
【详解】A、三个内角相等，为等边三角形；B、等腰三角形有一个内角为60°，为等边三角形；
C、两个内角为60°，第三个角也为60°，为等边三角形；D、AB=AC，∠B=∠C，仅能判定为等腰三角形，
无法判定为等边三角形。故选D。
6.如图，在△ABC中，∠BAC = 55°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α(0° < α < 55°)，得到△ADE，DE交
AC于点F，当α = 40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE的度数为( )
A. 80°
B. 85°
C. 90°
D. 95°
【答案】B
【详解】
由旋转，可知∠BAC = ∠DAE = 55°，∠BAD = ∠CAE = 40°，AB = AD，∠C=∠E.
∴∠B=∠ADB=70°.
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∴∠C=∠E=55°.
∴∠AFE = 180° −55° −40° = 85°.故选B．
7.如图，把等边三角形ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在边BC上的点P处，且DP ⊥BC，则∠PED的度数是
( )
A. 40∘
B. 45∘
C. 50∘
D. 55∘
【答案】B
【详解】△ABC 是等边三角形，三个内角均为60°。由折叠性质可知△ADE 与△PDE 全等，
∠PED=∠AED。已知DP 垂直BC，可得∠PDB=90°，推导得出∠PEC=90°，因此∠PED=45°。故选B。
8.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图 ①，衣架杆OA = OB = 18cm.衣
架收拢时，如图 ②，∠AOB = 60∘，则此时A，B两点之间的距离是( )
A. 9cm
B. 16cm
C. 18cm
D. 20cm
【答案】C
【详解】已知OA=OB，∠AOB=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△AOB 为等边三角
形，AB=OA=OB=18cm。故选C。
9.如图，在△ABC中，∠C = 90∘，∠B = 15∘，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若DB = 12cm，则
AC =( )
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 7cm
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【答案】C
【详解】连接AD，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD = DB = 12cm，
∴∠DAE = ∠B = 15∘．
又∵∠C = 90∘，
∴∠CAD = 180∘−∠C −∠B −∠DAE = 60∘，
∴∠ADC = 30∘.在直角三角形ACD中，AC = 1
2 AD = 6cm.故选C．
10.如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA = 4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P
的长等于( )
A. 4
B. √ 12
C. 2
D. 3
2
【答案】A
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC = AB，∠CAB = 60∘．
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A ≌△BPA．
∴AP1 = AP，∠CAP1 = ∠BAP．
∴∠CAP + ∠CAP1 = ∠CAP + ∠BAP，
即∠PAP1 = ∠CAB = 60∘．
∴△APP1是等边三角形．
∴P1P = PA = 4．
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二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.如图，在等腰▵ABC中，AB = AC，CD ⊥AB于点D，BE ⊥AC于点E.已知CD = 6，则BE = ．
【答案】6
【详解】在等腰△ABC 中AB=AC，根据三角形面积公式，S=1/2 AB·CD=1/2 AC·BE，因此BE=CD=6。
12.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形.下列结论中： ①AD ⊥BC; ②EF =
FD; ③BE = BD; ④∠ABE = 60∘，正确的结论为 ．
【答案】①②③④
【详解】△ABC 和△ADE 均为等边三角形，AD 平分∠BAC。根据等边三角形三线合一、全等三角形判
定、角度计算，可证明①②③④四个结论全部成立。
13.如图所示，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B = 50∘，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED = 73∘，若点P
是等腰△ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
【答案】134°或100°
【详解】由等腰三角形性质求出基础角度，△EDP 以DE 为腰，分DE=DP、DE=PE 两种情况分类计算，
最终得到∠EDP 的度数为134°或100°。
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14.如图，已知Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，∠BAC = 30∘.在直线BC或直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰
三角形，则符合条件的点P有 个.
【答案】6
【详解】如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P1，交BC延长线于点P2，
则P1A = P1B，P2A = P2B;
以点A为圆心，AB长为半径画圆，交CA延长线于点P3，易知交BC延长线于点P2，交AC延长线于点P4，则
AB = AP2 = AP3 = AP4;
以点B为圆心，AB长为半径画圆，易知交BC的延长线于点P2，交CB延长线于点P5，交AC延长线于点P6，则
AB = BP2 = BP5 = BP6．
故符合条件的点P有6个.
故答案为6．
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB = 60°，则∠COE = °.
【答案】75
【详解】矩形中△AOB 为等边三角形，DE 平分直角得到等腰直角三角形，结合边长与角度关系，推导可
得∠COE=75°。
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16.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD = CD，∠BDC = 120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边
分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
【答案】12
【详解】如图，将△BDM绕点D旋转120°得到△CDM′．
∵△CDM′由△BDM旋转所得，
∴DM = DM′，BD = DC，BM = CM′，∠CDM′ = ∠BDM．
∵∠BDC = 120°，∠MDN = 60°，
∴∠BDM + ∠CDN = 120° −60° = 60°，
故∠CDM′ + ∠CDN = 60°，即∠NDM′ = 60°．
在△MDN和△M′DN中，{
DM = DM′,
∠MDN = ∠M′DN,
DN = DN,
∴△MDN≌△M′DN(SAS)，∴MN = M′N，
∴△AMN 的周长= AM + AN + MN = AM + AN + M′N = AM + AN + CN + CM′ = (AM + CM′) + (AN +
CN) = AB + AC．
∵△ABC的边长为6，
∴△AMN的周长= 6 + 6 = 12．
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三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6分)如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE = CD，ED的延长线交
AB于点F．
(1)求证：BE = 2BF；
(2)求证：DE = 2DF．
【答案】
(1) 证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE．
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴BE＝2BF；
(2)连接BD．
∵AB＝BC，D 是AC 的中点，
∴BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠E．
∵∠BFE＝90°，
∴DE＝BD＝2DF．
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18.(8分)
如图，△ABC是等边三角形，E是AB边上一点．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，连接ED，延长ED与直线BC交于点F(保留作图痕迹，
不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若DE ⊥AB，当AE = 2时，求BF的长．
【答案】(1)解：如图所示；
(2)∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BFE＝30°，
∴AD＝2AE＝4，BF＝2BE．
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴AD＝DC＝4，
∴AB＝2AD＝8，
∴BE＝AB-AE＝8-2＝6，
∴BF＝2BE＝12．
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19.(8分)
如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120∘，AD是BC边上的中线，且BD = BE，CD的垂直平分线MF交
AC于点F，交BC于点M．
(1)求∠BDE的度数;
(2)求证：△ADF是等边三角形．
【答案】(1)在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120∘,
∴∠B=∠C=1
2 ×(180∘-∠BAC)=30∘,
在△BDE 中,BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=1
2 ×(180∘-∠B)=75∘.
(2)证明:
∵MF 垂直平分CD,
∴DF=CF,∠FMC=90∘,
∴∠FDC=∠C=30∘,
∴∠AFD=∠FDC+∠C=60∘,
在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120∘,AD 是BC 边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD=1
2 ∠BAC=60∘,
∴∠CAD=∠AFD=60∘,
∴△ADF 是等边三角形.
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20. (8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，
交AB于点F，D为线段CE的中点，BE = AC．
(1)求证：AD ⊥BC；
(2)若∠BAC = 75°，求∠B的度数．
【答案】(1)证明：连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE = BE，
∵BE = AC，
∴AE = AC，
∵D是EC的中点，
∴AD ⊥BC；
(2)解：设∠B = x°，
∵AE = BE，
∴∠BAE = ∠B = x°，
∴∠AEC = 2x°，
∵AE = AC，
∴∠C = ∠AEC = 2x°，
在三角形ABC中，3x° + 75° = 180°，
x° = 35°，
∴∠B = 35°．
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21. (10 分)如图，在等边三角形ABC中，AD ⊥BC于点D，以AD为一边向右
作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
(1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明．
(2)若CF的长为4cm，试求等边三角形ABC的边长．
【详解】
(1)DF = EF，证明如下：
∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC = ∠DAE = 60°，AD = AE，
∵AD ⊥BC，
∴BD = DC，∠BAD = ∠DAC = 1
2 × 60° = 30°，
∴∠CAE = 60° −30° = 30°，
∴∠DAC = ∠CAE，即AF平分∠DAE，
又∵AD = AE，
∴DF = EF；
(2)由(1)得，AD = AE，AF平分∠DAE，
∴AF ⊥DE，
∴∠CFD = 90°，
∵∠FCD = 60°，
∴∠CDF = 90° −60° = 30°，
∵CF = 4cm，
∴DC = 2CF = 8cm，
∴BC = 2DC = 16cm，
即等边三角形ABC的边长为16cm．
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22.(12 分)
如图，在等边▵ABC中，AD，CE是▵ABC的两条中线，AD = 5，P是AD上的一动点，连结PE，PB，PC．
(1)求∠BAD的度数．
(2)若∠PBC = 45∘，求∠ACP的度数．
(3)求PB + PE的最小值．
【答案】
(1)解：∵▵ABC是等边三角形，AD是▵ABC的中线，
∴∠BAC = 60∘，∠BAD = ∠CAD，
∴∠BAD = 30∘.
(2)∵▵ABC是等边三角形，AD是▵ABC的中线，
∴∠ACB = 60∘，BD = CD，AD ⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线.
∴PB = PC，
∴∠PCB = ∠PBC = 45∘，
∴∠ACP = ∠ACB −∠PCB = 15∘.
(3)∵PB = PC，
∴PB + PE = PC + PE ≥CE，
∴当C，P，E三点共线时，PC + PE的值最小，
此时PC + PE = CE，即PB + PE = CE.
∵CE为▵ABC的中线，AC = BC，
∴CE ⊥AB.
∵S▵ABC = 1
2 AB ⋅CE = 1
2 BC ⋅AD，
∴CE = AD = 5，即PB + PE的最小值为5.
