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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测04
14.1～14.2 全等三角形及其性质、全等三角形的判定
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.如图，△ABC ≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上，BC = 12，EC = 7，则CF的长为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【详解】∵△ABC ≌△DEF，∴BC = EF = 12
∵EC = 7，∴CF = EF −EC = 12 −7 = 5。
2.若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为( )
A. 30
B. 27
C. 35
D. 40
【答案】A
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC = EF = 30，
故选：A．
3.如图，在△ABC中，AB = AC，AD为边BC上的中线，则下列结论错误的是( )
A. ∠B = ∠C
B. AD ⊥BC
C. BD = CD
D. ∠BAD = ∠C
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【答案】D
【详解】∵AB = AC，AD是BC中线，
∴∠B = ∠C，BD = CD，AD ⊥BC（等腰三角形三线合一）；
无法推出∠BAD = ∠C，故 D 错误。
4.下列关于尺规作图的结论中错误的是( )
A. 已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B. 已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C. 已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出
D. 已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【答案】B
【详解】
A：两角一边可用 ASA/AAS 作图，正确；
B：两边一角，若为 SSA 不能唯一确定三角形，不一定能作出，错误；
C：两直角边 SAS 可确定直角三角形，正确；
D：三边 SSS 可确定三角形，正确。
5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,5)，B(−3,0).若△AOB ≌△OCD，点C在x轴上，则点D的坐标是( )
A. (5,−3)
B. (−3,5)
C. (3,5)
D. (3, −5)
【答案】A
【详解】A(0,5)，B(−3,0)，△AOB ≌△OCD，对应边OC = AO = 5，CD = OB = 3，D在第四象限，坐标
(5, −3)。
6.如图，在△ABC中，AD ⊥BC于点D，点E在AD上，且△CED ≌△ABD.若DE + DC = 14，DA −DB = 2，
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则DE的长为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】A
【详解】∵△CED ≌△ABD，∴DE = BD，DC = AD
设DE = BD = x，DC = AD = y，
{x + y = 14
y −x = 2 ，解得{x = 6
y = 8，∴DE = 6。
7.小明不慎将一块三角形的玻璃摔成如图所示的四块(图中所标 ①、 ②、 ③、 ④)，若要去商店配一块与
原来完全一样的三角形玻璃，应该带去的是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】C
【详解】③保留原三角形两个角和夹边，满足 ASA 判定，可配出完全相同的玻璃。
8.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这
一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a = 10cm, 则DE的长为( )
A. 50cm
B. 60cm
C. 70cm
D. 80cm
【答案】C
【详解】解：由题意得：AC = BC，∠ACB = 90°，AD ⊥DE，BE ⊥DE，
∴∠ADC = ∠CEB = 90°
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∴∠ACD + ∠BCE = 90°，∠ACD + ∠DAC = 90°
∴∠BCE = ∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
{
∠ADC = ∠CEB
∠DAC = ∠BCE
AC = BC
，
∴△ADC ≌△CEB(AAS);
∵a = 10cm
∴AD = 4a = 40cm = CE，BE = 3a = 30cm = DC，
∴DE = DC + CE = 70cm，
故选：C．
9.甲、乙两位同学玩一种数学游戏.游戏规则是两人轮流给△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件(点
A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮行动者
失败，另一人获胜.下表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是( )
轮次 行动者 添加条件
1
甲
AB = A′B′
2
乙
BC = B′C′
3
甲
. ..
①若第3轮甲添加条件AC = A′C′，则乙获胜; ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C = ∠C′; ③若乙想获
胜，可修改第2轮添加条件为∠A = ∠A′ = 90∘．
A. ① ②
B. ① ③
C. ② ③
D. ① ② ③
【答案】D
【详解】
①若第3轮甲添加条件AC = A′C′，根据SSS即可判定△ABC ≌△A′B′C′，
则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意;
②若第3轮甲添加条件∠C = ∠C′，SSA不能判定△ABC ≌△A′B′C′，
而第4轮无论乙添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC ≌△A′B′C′，则乙失败，甲获胜，故说
法正确，符合题意;
③若乙第2轮添加条件为∠A = ∠A′ = 90∘，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△
ABC ≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意．
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综上，说法正确的是 ① ② ③，故选D．
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC = BC，∠ACB = 90∘，点A(a, 0)，点B(0, b)，点C(2,2)，其中b < 0 <
a，则a，b之间的数量关系是( )
A. a + b = 2
B. a −b = 2
C. a + b = 4
D. a −b = 4
【答案】C
【详解】如图，过点C作CD ⊥y轴，CE ⊥x轴，则∠CEA = ∠CDB = 90∘．
∵A(a,0)，B(0, b)，C(2,2)，∴OA = a，
OB = −b，OD = CE = CD = OE = 2，∴AE = a −2，
BD = 2 −b.在Rt △CDB与Rt △CEA中，{BC = AC,
CD = CE, ∴Rt △CDB ≌Rt △CEA(HL),
∴BD = AE，∴2 −b = a −2，∴a + b = 4.故选C．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，4x + 2，2y −2，若这
两个三角形全等，则x + y的值是 ．
【答案】7.5或7
【详解】两三角形全等，对应边相等，分两种情况：
情况 1：4x + 2 = 8，2y −2 = 1，解得x = 1.5，y = 1.5，x + y = 3（舍去，不合题意）；
情况 2：4x + 2 = 10，2y −2 = 8，解得x = 2，y = 5，x + y = 7；
情况 3：4x + 2 = 5，2y −2 = 10，解得x = 0.75，y = 6，x + y = 6.75（舍去）；
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情况 4：4x + 2 = 1，2y −2 = 10无解；
正确两组解x + y = 7或7.5。
12.如图，△ABC ≌△DEF，∠B和∠E，∠A和∠D是对应角.若AD = 8，CF = 2，则AF的长为 ．
【答案】3
【详解】∵△ABC ≌△DEF，
∴AC = DF，
∴AC −CF = DF −CF，即AF = DC．
∵AD = 8，CF = 2，
∴AF =
1
2 (AD −CF) =
1
2 (8 −2) = 3．
13.如图，要测量池塘两岸M，N两点间的距离，可以在直线MN上取A，B两点，再在池塘外取AB的垂线BF
上的两点C，D，使BC = CD，再过点D作出BF的垂线DE，使点E与点A，C在一条直线上，若此时测得DE =
16m，AM = 1.5m，BN = 0.5m，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m.
【答案】14
【详解】在△ABC和△EDC中：
{
∠ABC = ∠EDC = 90∘
BC = CD
∠ACB = ∠ECD
，∴△ABC ≌△EDC(ASA)，
∴AB = DE = 16，MN = AB −AM −BN = 16 −1.5 −0.5 = 14。
14.如图，△ABC是等边三角形，且BD = CE，∠1 = 15°，则∠2的度数为 ．
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【答案】60∘
【详解】∵△ABC等边，∴AB = BC，∠ABC = ∠C = 60∘，
又BD = CE，∴△ABD ≌△BCE(SAS)，∴∠BAD = ∠CBE。
∠2 = ∠BAD + ∠ABD = ∠CBE + ∠ABD = ∠ABC = 60∘。
15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE相交于点F.若BF = AC，CD = 4，
BD = 10，则线段AF的长为 ．
【答案】6
【详解】∵AD、BE是高，∴∠BDF = ∠ADC = 90∘，
∠FBD + ∠C = 90∘，∠CAD + ∠C = 90∘，∴∠FBD = ∠CAD。
在Rt △BDF和Rt △ADC中：
{
∠BDF = ∠ADC
∠FBD = ∠CAD
BF = AC
，∴△BDF ≌△ADC(AAS)，
∴BD = AD = 10，DF = CD = 4，AF = AD −DF = 10 −4 = 6。
16.如图，AC ⊥BC于点C，AC = 6，BC = 3，连接AB，射线AX ⊥AC于点A，点P在线段AC上移动，点Q在
射线AX上随着点P移动，且始终保持PQ = AB，当AP = 时，才能使△PQA与△ABC全等．
【答案】3或6
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【详解】∵AC ⊥BC，AX ⊥AC，
∴∠ACB = ∠PAQ = 90∘．
∵PQ = AB，
∴当AP = BC = 3或AP = AC = 6时，
可以根据HL证明△PQA与△ABC全等．
故答案为3或6．
三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)
如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD ≅△ACE．
(1)求证：BD = CE + DE．
(2)当∠BAC满足什么条件时，BD//CE?并说明理由．
【详解】
(1) 【证明】
∵△BAD≅△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE.
(2)【解】当∠BAC=90∘时,BD//CE.
理由如下:
∵∠BAC=90∘,
∴∠BAE+∠CAE=90∘.
∵△BAD≅△ACE,
∴∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠AEC,
∴∠ABD+∠BAD=90∘,
∴∠ADB=90∘,
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∴∠BDE=90∘,∠AEC=∠ADB=90∘,
∴∠BDE=∠AEC,
∴BD//CE.
18.(8分)
如图，△ABC为等边三角形，AE = CD，AD，BE相交于点P，BQ ⊥AD于点Q，PQ = 3，PE = 1．
(1)求证：BE = AD；
(2)求AD的长．
【详解】
(1) 【证明】
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°．
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
∴BE＝AD．
(2)【解】由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE．
∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝∠BAC＝60°．
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90°-∠BPD＝90°-60°＝30°．
∴BP＝2PQ＝6．
∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7．
∴AD＝BE＝7．
19.(8分)
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如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，连接AE，DF，∠BAE = ∠CDF．
(1)求证：▵ABE ≌▵DCF．
(2)当AB = 12，DF = 13时，求BE的长．
【详解】
(1) 证明：在矩形ABCD中，AB = CD，∠B = ∠C = 90∘.
在▵ABE和▵DCF中，{
∠BAE = ∠CDF,
AB = CD,
∠B = ∠C,
∴▵ABE ≌▵DCF(ASA).
(2)解：由（1）知，▵ABE ≌▵DCF，
∴AE = DF = 13.
∴BE = √ AE2 −AB2 = 5.
20.(8分)
图1是一个平分角的仪器，其中OD = OE，FD = FE．
(1)如图2，将仪器放置在▵ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线
AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ ⊥AB于点Q，若PQ = 6，AC = 9，▵ABC的面积是60，求AB的
长．
【详解】
(1) 解：AP 是∠BAC 的平分线．
理由如下：
在△ADF 和△AEF 中，{
AD = AE,
FD = FE,
AF = AF,
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∴△ADF≌△AEF(SSS)．
∴∠DAF＝∠EAF．
∴AP 平分∠BAC．
(2)过点P 作PG⊥AC 于点G．
∵AP 平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG＝PQ＝6．
∵S△ABC = S△ABP + S△APC =
1
2 AB ⋅PQ +
1
2 AC ⋅PG，
∴
1
2 AB × 6 +
1
2 × 9 × 6 = 60．
∴AB＝11．
21.(10 分)
如图，在△ABC中，AB = AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF ⊥AB交BE于点F．
(1)如图(1)，若∠BAC = 40∘，求∠AFE的度数．
(2)如图(2)，若BD ⊥AC，垂足为D，BF = 8，求DF的长．
【详解】
(1) 【解】
∵AB=AC,∠BAC=40∘,
∴∠ABC=70∘.
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABF=35∘.
∵AF⊥AB,
∴∠BAF=90∘,
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=125∘.
(2) ∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
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∵BD⊥AC,
∴∠ADB=∠CDB=90∘
又∵BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(ASA),
∴AB=BC.
∵AB=AC,
∴△ABC 是等边三角形,
∴∠ABF=
1
2 ∠ABC=30∘.
∵AF⊥AB,BF=8,
∴在Rt△ABF 中,AF=
1
2BF=4.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC=60∘,
∴∠DAF=90∘-60∘=30∘,
∴在Rt△ADF 中,DF=
1
2AF=2.
22.(12 分)
如图，点O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB = 110°，∠BOC = α，△BOC≌△ADC，
∠OCD = 60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α = 150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【详解】
(1) ∵△BOC≌△ADC，
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∴OC＝DC．
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD 是等边三角形．
(2)△AOD 是直角三角形．理由如下：
∵△OCD 是等边三角形，
∴∠ODC＝60°．
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°．
∴∠ADO＝∠ADC-∠ODC＝150°-60°＝90°．
∴△AOD 是直角三角形．
(3)∵△OCD 是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°-∠AOB-∠BOC-∠COD＝360°-110°-α-60°＝190°-α，
∠ADO＝∠ADC-∠ODC＝α-60°．
∴∠OAD＝180°-∠AOD-∠ADO＝180°-(190°-α)-(α-60°)＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO 时，190°-α＝α-60°，
∴α＝125°；
②当∠AOD＝∠OAD 时，190°-α＝50°，
∴α＝140°；
③当∠ADO＝∠OAD 时，α-60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD 是等腰三角形．
小学
初中
