文档文本内容
2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第十四章 全等三角形·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
D
D
A
A
C
B
C
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．HL
12．2
13．27
14．8
15．8
16．7
3 、17
3 、8
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．(1)证明：∵CB
AB
^
，CD
AD
^
，
∴
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，
∵在Rt
ABC
△
和Rt
ADC
△
中，
AC
AC
BC
DC
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
△
△
．..............3 分
（2）解：∵
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
3
BC
DC
=
=
，
∵
90
B
Ð
=
° ，
∴
Rt
1
1
4 3
6
2
2
ABC
S
AB BC
=
×
=
´ ´ =
V
，
∴
Rt
Rt
6
ADC
ABC
S
S
=
=
V
V
，
∴
6
6
12
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
=
+
=
+
=
V
V
四边形
．.............6 分
18．
【详解】（1）∵
,
2
EH
DF AB
DH
=
=
，则
2
DE
EH
DF
DH
=
+
=
∴AB
DE
=
在ABC
V
和DEF
V
中，
90
AB
DE
CAB
FDE
AC
DF
=
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
ABC
DEF SAS
V
V
≌
，
∴
13m
EF
BC
=
=
，..............3 分
(2)解：BC
EF
^
．
理由：延长BC 交EF 于点M ，
∵
90
EDF
Ð
=
° ，
∴
90
DFE
DEF
Ð
+ Ð
=
°，
∵
SAS
ABC
DEF
V
V
≌
，
∴
B
DEF
Ð
= Ð
，
∴
90
B
DFE
Ð + Ð
=
°，
∴
90
BMF
Ð
=
° ，
∴EF
BM
^
．..............6 分
19．
【详解】(1) AC
BD
=
，理由如下：
∵
AOB
COD
Ð
= Ð
，
∴
AOB
COB
COD
COB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，∴
AOC
BOD
Ð
= Ð
，
在AOC
V
和BOD
V
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴AC
BD
=
．..............3 分
（2）解：由（1）可得，
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴
OAC
OBD
Ð
= Ð
，
在AOQ
V
和BPQ
V
中，
BQP
AQO
Ð
= Ð
，
OAQ
QBP
Ð
= Ð
，
∴
50
BPQ
AOQ
Ð
= Ð
=
°
∴
180
180
50
130
APD
BPQ
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°．..............6 分
20．
【详解】（1）解：由题意得运动t 秒，点P 运动2 cm
t
，
2 cm
BP
t
\
=
，
20
2
cm
PC
BC
BP
t
=
-
=
-
；..............2 分
（2）解：Q四边形ABCD 是长方形，
90
ABP
DCP
\Ð
= Ð
=
°，AB
DC
=
，
要使ABP
DCP
V
V
≌
，则有BP
CP
=
，即2
20
2
t
t
=
-
，解得
5
t =
，
在ABP
V
和DCP
V
中，
AB
DC
ABP
DCP
BP
CP
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\当
5
t =
时，
ABP
DCP SAS
V
V
≌
；..............4 分
（3）解：分以下两种情况：
①当
12
AB
PC
=
=
时，20
2
12
t
-
=
，解得
4
t =
，
8
BP
\
=
，
12
PC =
，
要使ABP
V
与
PQC
△
全等，则有
8
BP
CQ
=
=
，
2
CQ
x
t
\
=
=
，
在ABP
V
和PCQ
V
中，
AB
PC
ABP
PCQ
BP
CQ
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\当
2
x =
时，
SAS
ABP
PCQ
V
V
≌
；
②当BP
PC
=
时，2
20
2
t
t
=
-
，解得
5
t =
，
10
BP
PC
\
=
=
，
要使ABP
V
与
PQC
△
全等，则有
12
AB
CQ
=
=
，
2.4
CQ
x
t
\
=
=
，
在ABP
V
和QCP
V
中，
AB
QC
ABP
QCP
BP
CP
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\当
2.4
x =
时，
SAS
ABP
QCP
V
V
≌
．..............6 分
21．
【详解】(1)证明：∵G 是AB 的中点，
∴AG
BG
=
,
在AEG
V
和BFG
V
中，
A
B
AG
BG
AGE
BGF
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ASA
AEG
BFG
≌
△
△
；..............2 分
（2）解：在（1）的条件下，AG
BG
=
，
ASA
AEG
BFG
≌
△
△
，
∴
AEG
BFG
S
S
=
V
V
，
∵ED
AG
^
，FC
BG
^
，
∴
1
1
2
2
AEG
BFG
S
ED AG
S
CF BG
=
×
=
=
×
V
V
，
∴DE
CF
=
，
∵
AGE
BGF
Ð
= Ð
，
90
EDG
FCG
Ð
Ð
=
=
° ，
∴
AAS
EDG
FCG
V
V
≌
，
∴DG
CG
=
，
∵AD
DE
=
，
5 cm,
2 cm
ED
CG
=
=
，
∴
5 cm,
2 cm
AD
DE
DG
CG
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
5
2
14 cm
AB
AG
AD
DG
=
=
+
=
´
+
=
；..............5 分
(3)若测量出
50m
BC =
，则河流
50m
AH =
，理由如下：
∵GC
HG
=
，GF
EG
=
，
HGE
CGF
Ð
= Ð
，
∴
SAS
HGE
CGF
V
V
≌
，
∴
E
F
Ð
= Ð
，HE
CF
=
，
∵
E
F
Ð
= Ð
，GF
EG
=
，
AGE
BGF
Ð
= Ð
，
∴
ASA
AGE
BGF
V
V
≌
，
∴AE
BF
=
，
∴AE
HE
BF
CF
-
=
-
，
∴BC
AH
=
,
∴若测量出
50m
BC =
，则河流
50m
AH =
．..............8 分
22．
【详解】(1)
证明：如图，过点E 作EM
BF
^
于点M ，作EN
AC
^
于点N ，
BE
Q
平分
ABC
Ð
，EM
BF
^
，EH
BD
^
，
EM
EH
\
=
，
CE
Q
平分
ACD
Ð
，EN
AC
^
，EH
BD
^
，
EN
EH
\
=
，
EM
EN
\
=
，
又Q点E 在
CAF
Ð
的内部，
AE
\
平分
CAF
Ð
；..............3 分
（2）解：
ACD
Ð
Q
是ABC
V
的一个外角，BE 为
ABC
Ð
的角平分线，CE 为
ACD
Ð
的角平分线，
1
2
EBC
ABC
\Ð
=
Ð
，
1
2
ECD
ACD
Ð
=
Ð
，
ECD
EBC
BEC
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
ACD
ABC
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
，
1 (
)
2
BEC
ECD
EBC
ACD
ABC
\Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
，
BAC
ACD
ABC
Ð
= Ð
- Ð
，
1
1
30
15
2
2
BEC
BAC
\Ð
=
Ð
=
´
° =
°．..............5 分
（3）解：由（1）已得：EM
EH
EN
=
=
，
设EM
EH
EN
x
=
=
=
，
12
ABE
S
=
Q
△
，
\ 1
6
12
2
x
´
=
，
\
4
x =
，
4
EM
EH
EN
\
=
=
=
，
1
1
1
1
·
·
5 4
8 4
26
2
2
2
2
ACD
ACE
ECD
S
S
S
AC EN
CD EH
\
=
+
=
+
=
´ ´ +
´ ´
=
V
V
V
．..............8 分
23．
【详解】(1)解：AD
CF
=
，理由如下：
∵
90
A
Ð
=
°，
∴
90
ADC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ；
∵CE
CD
^
，
∴
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
90
ACD
FCE
+
=
°
∠
∠
，
∴
ADC
FCE
Ð
= Ð
；
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFC
A
Ð
=
° = Ð ，
又∵CE
CD
=
，
∴
AAS
ADC
FCE
≌
△
△
，
∴AD
CF
=
；..............2 分
（2）解：①由（1）得ADC
FCE
V
V
≌
，
2
CF
AD
=
=
，
∴FE
AC
=
；
∵
6
AC
AB
=
=
，
∴
4
AF
AC
CF
=
-
=
，FE
AB
=
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFM
A
Ð
= Ð
=
° ，
又∵
AMB
FME
=
∠
∠
，
∴
AAS
AMB
FME
V
V
≌
，
∴
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
；..............4 分
②由（2）①得
2
AM
AD
=
=
，
又∵
,
A
A AB
AC
=
=
∠
∠
，
∴
SAS
ABM
ACD
V
V
≌
，
∴
ABM
ACD
S
S
=
△
△
，
∴
ABM
ACD
ADNM
ADNM
S
S
S
S
-
=
-
△
△
四边形
四边形
，
∴
BDN
CMN
S
S
=
△
△
，
∴
1
2
S
S
-
1
2
CMN
BDN
S
S
S
S
=
+
-
+
V
V
BCM
ABM
S
S
=
-
△
△
1
1
6
6
2
6 2
2
2
=
´ ´
-
-
´ ´
6
=
；..............6 分
(3)解：点M 是线段BE 的中点，理由如下：
∵
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
180
90
CAD
BAC
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
90
ADC
ACD
Ð
+ Ð
=
°
∵CE
CD
^
，
∴
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
90
ACD
FCE
+
=
°
∠
∠
，
∴
ADC
FCE
Ð
= Ð
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFC
A
Ð
=
° = Ð ，
又∵CE
CD
=
，
∴
AAS
ADC
FCE
≌
△
△
，
∴EF
AC
=
，
又∵AC
AB
=
，
∴AB
EF
=
，
又∵
90 ,
BAM
EFM
AMB
FME
=
=
°
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
AAS
AMB
FME
△
≌△
，
∴BM
EM
=
，
∴点M 是线段BE 的中点．..............8 分
24．
【详解】（1）解：延长FD 到点G ，使DG
BE
=
．再连接AG ，如图1，
∵
90
B
ADC
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
ADG
B
Ð
=
° = Ð
，
∵AB
AD
=
，
∴
ABE
ADG SAS
V
V
≌
，
∴
,
BAE
DAG AE
AG
Ð
= Ð
=
，
∵EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，AF
AF
=
，
∴
AEF
AGF SSS
V
V
≌
，
∴
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
Ð
= Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
；.............4 分
(2)仍然成立，理由如下：
延长FD 到点H ，使得DH
BE
=
，如图所示：
∵
180
B
ADC
Ð + Ð
=
°，
180
ADH
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
B
ADH
Ð
= Ð
，
∵AB
AD
=
，
∴
ABE
ADH SAS
V
V
≌
，
∴
,
BAE
DAH AE
AH
Ð
= Ð
=
，
∵EF
BE
FD
DH
FD
HF
=
+
=
+
=
，AF
AF
=
，
∴
SSS
AEF
AHF
V
V
≌
，
∴
EAF
HAF
DAH
DAF
BAE
DAF
Ð
= Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
；..............8 分
（3）解：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，如图所示：
∵
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
180
ABC
ABE
Ð
+ Ð
=
°，
∴
ADC
ABE
Ð
Ð
=
，
∵AB
AD
=
，
∴
SAS
ADG
ABE
V
V
≌
，
∴AG
AE
=
，
DAG
BAE
Ð
= Ð
，
∵EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，AF
AF
=
，
∴
AEF
AGF SSS
V
V
≌
，
∴
FAE
FAG
Ð
= Ð
，
∵
360
FAE
FAG
GAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
2
360
FAE
GAB
BAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
2
360
FAE
GAB
DAG
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，即2
360
FAE
DAB
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
1
180
2
FAE
DAB
Ð
Ð
=
°-
，
∵
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
360
ABC
ADC
DAB
BCD
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
62
C
Ð
=
°，
∴
180
118
DAB
C
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
1
180
118
121
2
FAE
Ð
=
°-
´
° =
°．..............12 分
25．
【详解】(1)方法①∶证明：如图，延长FE 至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，
在
DFE
△
和CGE
V
中，
DE
CE
DEF
CEG
EF
EG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
DFE
CGE
\V
V
≌
，
DF
CG
\
=
，
DFE
G
Ð
= Ð
，
DF
AC
=
Q
，
CG
AC
\
=
，
CAG
G
\Ð
= Ð
，
DF
AB
Q
∥
，
BAE
DFE
\Ð
= Ð
，
BAE
CAG
\Ð
= Ð
，
AE
\
平分
BAC
Ð
；
方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，
在
ACE
△
和
GDE
△
中，
AE
GE
AEC
GED
CE
DE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ACE
GDE
\V
V
≌
，
AC
DG
\
=
，
CAE
G
Ð
= Ð
，
DF
AC
=
Q
，
DG
DF
\
=
，
DFG
G
\Ð
= Ð
，
DF
AB
Q
∥
，
DFG
BAE
\Ð
= Ð
，
BAE
CAE
\Ð
= Ð
，
AE
\
平分
BAC
Ð
；..............4 分
(2)如图，延长AD 至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，
AD
Q
是BC 边上的中线，
BD
CD
\
=
，
在ACD
V
和GBD
V
中，
CD
BD
ADC
GDB
AD
GD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ACD
GBD
\V
V
≌
，
BG
AC
\
=
，
ACD
GBD
Ð
= Ð
，
∴BG
AC
∥
，
∴
180
ABG
BAC
Ð
+ Ð
=
°，
AC
AF
=
Q
，
BG
AF
\
=
，
90
BAE
CAF
Ð
= Ð
=
°
Q
，
360
180
EAF
BAE
CAF
BAC
BAC
\Ð
=
° - Ð
- Ð
- Ð
=
° - Ð
，
180
ABG
ABC
GBD
ABC
ACD
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° - Ð
Q
，
EAF
ABG
\Ð
= Ð
，
在AEF
V
和
BAG
△
中，
AE
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
AEF
BAG
\V
V
≌
，
∴
AEF
BAG
Ð
= Ð
，
设AD 与EF 交于点H，
∵
90
BAE
Ð
=
° ，
∴
90
BAG
EAH
Ð
+ Ð
=
°，
又∵
AEF
BAG
Ð
= Ð
，
∴
90
AEF
EAH
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
AHE
Ð
=
°，
即
^
AD
EF ．..............8 分
(3) ABC
V
与AEF
V
面积相等，理由如下；
由（2）可知ACD
GBD
V
V
≌
，
∴
ACD
GBD
S
S
=
V
V
，
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
ABG
ABD
GBD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
∴
ABC
ABG
S
S
=
△
△
，
由（2）可知AEF
BAG
V
V
≌
，
∴
AEF
ABG
S
S
=
V
V
，
∴
AEF
ABC
S
S
=
V
V
．..............12 分
