文档文本内容
2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第十四章 全等三角形·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角
形中，和老师的三角形全等的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．乙和丙
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答．
【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边
的夹角，所以不能判定其全等；
乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等；
丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等，
所以，和老师的三角形全等的是乙和丙．
2．如图所示，在Rt
ABC
△
和Rt
BDE
△
中，
90
ABC
BDE
Ð
= Ð
=
°，点B ，D ，C 在同一条直线上，且
AC
BE
=
，AC
BE
^
于点F ，若
6
AB =
，
9
DE =
，则CD = （ ）
A．3
B．6
C．7
D．9
【答案】A
【分析】根据同角的余角相等得出
A
EBD
Ð = Ð
，利用AAS证明ABC
BDE
V
V
≌
，得出BD
AB
=
，BC
DE
=
，
进而求出CD的长．
【详解】解：∵AC
BE
^
，
∴
90
AFB
Ð
=
°，
∴
90
A
ABF
Ð + Ð
=
°，
∵
90
ABC
Ð
=
°，即
90
EBD
ABF
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
A
EBD
Ð = Ð
，
在ABC
V
和BDE
V
中，
90
A
EBD
ABC
BDE
AC
BE
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABC
BDE
V
V
≌
，
∴
6
BD
AB
=
=
，
9
BC
DE
=
=
，
∴
9
6
3
CD
BC
BD
=
-
=
-
=
.
3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块
与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ）
A．SSS
B．AAS
C．ASA
D．SAS
【答案】C
【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角
形的判定依据是ASA ．
4．如图，已知
AOB
Ð
，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点C，D；以点O 为圆心，
大于OC 长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点E，F；连接CF ，DE ，交点为G，作射线OG ．则下列结
论一定正确的是（ ）
A．EC
EG
=
B．CF
OA
^
C．OG
EG
=
D．
AOG
BOG
Ð
= Ð
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（OC
OD
=
，
OE
OF
=
），进而证明COF
DOE
V
V
≌
和ECG
FDG
V
V
≌
，最终利用SSS证明OCG
ODG
V
V
≌
，从而得出OG 平
分
AOB
Ð
的结论．
【详解】∵由作图可知OC
OD
=
，OE
OF
=
，
∴CE
DF
=
，
在COF
V
和DOE
V
中，
∵
OC
OD
COF
DOE
OF
OE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴COF
DOE
V
V
≌
（SAS ），
∴
OFC
OED
Ð
= Ð
；
在
ECG
△
和
FDG
△
中，
∵
EGC
FGD
CEG
DFG
CE
DF
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴ECG
FDG
V
V
≌
（AAS）
∴CG
DG
=
；
在OCG
V
和ODG
V
中，
∵
OG
OG
OC
OD
CG
DG
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
∴OCG
ODG
V
V
≌
（SSS）
∴
COG
DOG
Ð
= Ð
，
∴
AOG
BOG
Ð
= Ð
，
∴选项D 正确．
5．如图，BD 是ABC
V
的角平分线，AE
BD
^
，垂足为F．若
30
ABC
Ð
=
°，
50
C
Ð
=
° ，则
CDE
Ð
的度数为
（ ）
A．45°
B．40°
C．55°
D．50°
【答案】D
【分析】由题意易得
180
100
BAC
ABC
C
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°，
1
15 ,
90
2
ABD
EBD
ABC
AFB
EFB
Ð
= Ð
=
Ð
=
° Ð
= Ð
=
°，
然后可得
ASA
ABF
EBF
V
V
≌
，
SAS
ABD
EBD
≌
△
△
，进而根据全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵
30
ABC
Ð
=
°，
50
C
Ð
=
° ，
∴
180
100
BAC
ABC
C
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°，
∵BD 是ABC
V
的角平分线，AE
BD
^
，
∴
1
15 ,
90
2
ABD
EBD
ABC
AFB
EFB
Ð
= Ð
=
Ð
=
° Ð
= Ð
=
°，
∴
180
65
ADB
BAC
ABD
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°，
∵BF
BF
=
，
∴
ASA
ABF
EBF
V
V
≌
，
∴AB
EB
=
，
∵BD
BD
=
，
∴
SAS
ABD
EBD
≌
△
△
，
∴
65
EDB
ADB
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
50
CDE
ADB
EDB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°．
6．如图，在ABC
V
中，AD 平分
BAC
Ð
，交BC 于点D，点E
G
，
分别在边AB
AC
，
上，连接DE
DG
，
，过
D 作DF
AB
^
于F．已知DE
DG
=
，
24
ADG
S
=
V
，
16
AED
S
=
V
，则DEF
V
的面积为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】过点D 作DH
AC
^
，利用角平分线的性质，证得ADF
ADH
V
V
≌
和Rt DEF
Rt DGH
V
V
≌
，根据等
量代换进行求解．
【详解】解：如图所示，过点D 作DH
AC
^
交AC 于点H ，
∵AD 平分
BAC
Ð
，DF
AB
^
，DH
AC
^
，
∴
,
90
FAD
HAD
AFD
AHD
Ð
= Ð
Ð
= Ð
=
°，
在ADF
V
和ADH
V
中，
AFD
AHD
FAD
HAD
AD
AD
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ADF
ADH AAS
V
V
≌
，
∴
ADF
ADH
S
S
=
V
V
，
∵AD 平分
BAC
Ð
，DF
AB
^
，DH
AC
^
，
∴DF
DH
=
，
在Rt
DEF
△
和Rt DHG
V
中，
DE
DG
DF
DH
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt DEF
Rt DGH HL
V
V
≌
，
∴
DEF
DHG
S
S
=
V
V
，，
∵
16,
24
AED
ADF
DEF
ADG
ADH
DGH
S
S
S
S
S
S
=
-
=
=
+
=
V
V
V
V
V
V
，
∴
16,
24
ADF
DEF
ADG
ADF
DEF
S
S
S
S
S
-
=
=
+
=
V
V
V
V
V
，
解得
4
DEF
S
=
V
．
7．如图，在四边形ABCD 中，BD 是
ADC
Ð
的角平分线，F 为AD 上一点，连接CF ，E 为CF 上一点，
BE
BA
=
，且AD
CD
CE
=
+
，若
CBD
a
Ð
=
，则
AFC
Ð
一定等于（ ）
A．180
2a
°-
B．2a
C．
60
2
a +
°
D．45
a
°+
【答案】A
【分析】在AD 上截取DK
CD
=
，连接BK ，证明
SAS
CDB
KDB
V
V
≌
，
SSS
ABK
EBC
V
V
≌
，从而得出
2
ABE
CBK
a
Ð
= Ð
=
，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角
和定理即可得出结果．
【详解】解：如图，在AD 上截取DK
CD
=
，连接BK ，
∵BD 是
ADC
Ð
的角平分线，
∴
CDB
KDB
Ð
= Ð
，
在CDB
V
和KDB
V
中，
CD
KD
CDB
KDB
BD
BD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
CDB
KDB
V
V
≌
，
∴BC
BK
=
，
CBD
KBD
a
Ð
= Ð
=
，
∵AD
CD
CE
=
+
，
∴CD
CE
DK
CE
DK
AK
AD
+
=
+
=
+
=
，
∴CE
AK
=
，
在ABK
V
和EBC
V
中，
AB
BE
BK
BC
AK
CE
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
∴
SSS
ABK
EBC
V
V
≌
，
∴
ABK
EBC
Ð
= Ð
，
∴
2
ABE
CBK
a
Ð
= Ð
=
，
设
CDB
KDB
b
Ð
= Ð
=
，
∴
AKB
ECB
a
b
Ð
= Ð
=
+
，
在BKD
V
中，
180
180
BKD
KBD
KDB
a
b
Ð
=
° - Ð
- Ð
=
° -
-
，
∴
360
AFC
BKD
BCE
KBC
Ð
=
° - Ð
- Ð
- Ð
360
180
2
180
2
a
b
a
b
a
a
=
°-
°-
-
-
+
-
=
°-
．
8．在数学活动课上，小明先以ABC
V
的顶点C 为圆心任意长为半径作弧与
,
AC BC 分别相交于点E，F，再
分别以E，F 为圆心，以大于1
2 EF 的长度为半径作弧，两弧在
ACB
Ð
内相交于点D，作射线CD ，BP
CD
^
于点P，连接AP ，如图所示．小明探究发现：当AB 的长，且BC 与AC （BC
AC
>
）的差都确定时，ABP
V
的面积存在最大值，则当
12
AB =
，
4
BC
AC
-
=
时，
ABP
SV
的最大值为（ ）
A．6
B．10
C．12
D．24
【答案】C
【分析】根据尺规作图痕迹可知CD 平分
ACB
Ð
，延长BP 交CA 的延长线于点M ，证明
, ,
BPC
MPC A S A
V
V
≌
，可得CB
CM
=
，P 为BM 中点，进而求出AM 的长；根据三角形中线性质可知
1
2
ABP
ABM
S
S
=
V
V
，当AB
AM
^
时ABM
V
面积最大，从而求解．
【详解】解：由作图可知CD 平分
ACB
Ð
，延长BP 交CA 的延长线于点M ，
CD
Q
平分
ACB
Ð
，BP
CD
^
，
∴
,
90
BCP
MCP
BPC
MPC
Ð
= Ð
Ð
= Ð
=
° ，
∵CP
CP
=
，
∴
, ,
BPC
MPC A S A
V
V
≌
，
\ CB
CM
=
，P 为BM 的中点，
4
BC
AC
-
=
Q
，
4
CM
AC
-
\
=
，即
4
AM =
，
P
Q
为BM 的中点，
1
2
ABP
ABM
S
S
\
=
V
V
，
在ABM
V
中，
4
AM =
，
12
AB =
，
当AB
AM
^
时，ABM
V
的面积最大，最大值为1
4 12
24
2 ´ ´
=
，
ABP
S
\
V
的最大值为1
24
12
2 ´
=
．
9．如图，AD 是ABC
V
的边BC 上的中线，点E 在线段AD 上，且
2
DE
AE
=
，F 是AD 延长线上一点，
ED
DF
=
，连接BE 、CF 、CE ，G 是EC 的中点，连接BG ．则下列结论错误
．．的是（ ）
A．CF
BE
=
B．
2
ABC
BEC
S
S
=
V
V
C．
ECF
BEC
S
S
=
V
V
D．
180
BEC
ECF
°
Ð
+ Ð
=
【答案】B
【分析】根据三角形中线可得BD
DC
=
，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性
质可得
EBC
FCB
Ð
= Ð
，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系
及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B．
【详解】解：∵AD 是ABC
V
的中线，
∴BD
DC
=
，
在BED
V
和CFD
V
中，
BD
CD
BDE
CDF
ED
DF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
BED
CFD
≌
V
V
，
∴CF
BE
=
，故A 正确，不符合题意，
∵
BED
CFD
△
△
≌
，
∴
EBC
FCB
Ð
= Ð
，
∴
BEC
ECF
Ð
+ Ð
BEC
ECB
FCB
= Ð
+ Ð
+ Ð
BEC
ECB
EBC
= Ð
+ Ð
+ Ð
180
=
° ，故D 正确，不符合题意；
,
ECF
CFD
EDC
BEC
BED
EDC
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
V
V
V
V
V
V
，
∵
BED
CFD
△
△
≌
，
∴
BED
CFD
S
S
=
△
△
，
∴
ECF
BEC
S
S
=
V
V
，故C 正确，不符合题意；
∵AD 是ABC
V
的中线，
∴
1
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
V
V
V
，
∵
2
DE
AE
=
，
∴
2
3
DE
AD
=
，
∴
2
2
1
1
3
3
2
3
BDE
ABD
ABC
ABC
S
S
S
S
=
=
´
=
V
V
V
V
，
2
2
1
1
3
3
2
3
CDE
ACD
ABC
ABC
S
S
S
S
=
=
´
=
V
V
V
V
，
∴
2
3
BEC
BDE
CDE
ABC
S
S
S
S
=
+
=
V
V
V
V
，
∴
3
2
ABC
BEC
S
S
=
V
V
，故B 错误，符合题意．
10．如图，在ABC
V
中，AB
AC
=
，
45
B
ACB
Ð
=
Ð
=
°，D 、E 是斜边BC 上两点，且
45
DAE
Ð
=
°，过点A
作AF
AD
^
，垂足是A ，过点C 作CF
BC
^
，垂足是C ，交AF 于点F ，连接EF ，下列结论：①ABD
ACF
V
V
≌
；
②DE
EF
=
；③若
15
ADE
S
=
V
，
6
CEF
S
=
△
，则
36
ABC
S
=
△
；④BD
CE
DE
+
=
，其中正确的是（ ）
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
【分析】由ASA 证明
ABD
ACF
△
≌△
可判断①正确；证明ADE
AFE
V
V
≌
可判断②正确；由①②结论得到
ADE
AFE
S
S
=
V
V
，
ABD
ACF
S
S
=
V
V
，由
ABC
ABD
ADE
AEC
S
S
S
S
=
+
+
V
V
V
V
ADE
AEF
CEF
S
S
S
=
+
+
V
V
V
求解可判断③正确；根据
三角形的三边关系可判断④错误．
【详解】解：∵在ABC
V
中，AB
AC
=
，
45
B
ACB
Ð
=
Ð
=
°，
∴
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
90
BAD
DAC
Ð
+ Ð
=
°，
∵AF
AD
^
，
∴
90
CAF
DAC
Ð
+ Ð
=
°，
∴
BAD
CAF
Ð
= Ð
，
∵CF
BC
^
，
∴
45
ACF
ACB
ABC
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
在ABD
V
和
ACF
△
中，
BAD
CAF
AB
AC
ABD
ACF
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ASA
ABD
ACF
V
V
≌
，故①正确；
∴AD
AF
=
，
∵
45
DAE
Ð
=
°，
∴
45
BAD
EAC
Ð
+ Ð
=
°，
∴
45
FAE
CAF
EAC
BAD
EAC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
∴
DAE
FAE
Ð
= Ð
，
在ADE
V
和
AFE
△
中，
AD
AF
DAE
FAE
AE
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ADE
AFE
△
≌△
，
∴DE
EF
=
，故②正确；
∵
ABD
ACF
△
≌△
，ADE
AFE
V
V
≌
，
∴
ADE
AFE
S
S
=
V
V
，
ABD
ACF
S
S
=
V
V
，BD
CF
=
，DE
EF
=
，
∴
2
ABC
ABD
ADE
AEC
ADE
AFE
CEF
ADE
CEF
S
S
S
S
S
S
S
S
S
=
+
+
=
+
+
=
+
V
V
V
V
V
V
V
V
V
，
∵
15
ADE
S
=
V
，
6
CEF
S
=
△
，
∴
36
ABC
S
=
△
，故③正确；
∵在CEF
V
中，CF
CE
EF
+
>
，
∴BD
CE
DE
+
>
，故④错误，
综上，正确的是①②③．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．如图，已知
90
ACB
BDA
Ð
= Ð
=
°，AC
BD
=
，即可证明
ACB
BDA
△
≌△
，全等的依据是________．（用
字母表示）
【答案】HL
【分析】利用HL 即可证明
ACB
BDA
△
≌△
．
【详解】解：∵
90
ACB
BDA
Ð
= Ð
=
°，
∴ACB
V
和BDA
V
为直角三角形，
在Rt
ACB
△
和Rt BDA
V
中，
AC
BD
AB
BA
=
ì
í
=
î
，
∴
HL
ACB
BDA
≌
△
△
，
则全等的依据是HL ．
12．如图，Rt
Rt
ABC
EBD
V
V
≌
，点E 在线段BC 上，
4
AB =
，
6
BD =
，则CE = ________．
【答案】2
【分析】根据全等三角形的性质得出
6
BC
BD
=
=
，
4
BE
AB
=
=
，即可求出
2
CE =
．
【详解】解：∵Rt
Rt
ABC
EBD
V
V
≌
，
4
AB =
，
6
BD =
，
∴
6
BC
BD
=
=
，
4
BE
AB
=
=
，
∴
6
4
2
CE
BC
BE
=
-
=
-
=
．
13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以在池塘外的点B 处沿着与AB 垂直的方向向东走
20 米，到C 处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20 米到D 处，在D 处沿着与BF 垂直的方向再向南
走27 米，到达E 处，使E 与A，C 在同一直线上，则可得A，B 的距离为________米．
【答案】27
【详解】解：由题意知：
20m,
,
90
BC
DC
ACB
ECD
B
CDE
=
=
Ð
= Ð
Ð
= Ð
=
° ，
Rt
Rt
ASA
ABC
EDC
\
V
V
≌
，
27
AB
ED
\
=
=
米．
14．如图，ABC
V
的面积为
2
16 cm ，BP 平分
ABC
Ð
，过点A 作AP
BP
^
于点P ，连接PC ，则
PBC
△
的面
积为___________
2
cm ．
【答案】
8
【分析】延长AP 交BC 于点D ，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用ASA证明ABP
DBP
V
V
≌
，从而得
到AP
DP
=
，即P 为AD 的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得PBC
V
的面积
等于ABC
V
面积的一半；
【详解】解：延长AP 交BC 于点D ，
∵BP 平分
ABC
Ð
，
∴
ABP
DBP
Ð
Ð
=
，
∵AP
BP
^
，
∴
90
APB
DPB
Ð
Ð
=
=
° ，
在ABP
V
和DBP
V
中，
ABP
DBP
BP
BP
APB
DPB
Ð
Ð
Ð
Ð
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
∴
ASA
ABP
DBP
V
V
≌
，
∴AP
DP
=
，
∴
1
2
PBD
ABD
S
S
=
V
V
，
1
2
PCD
ACD
S
S
=
V
V
，
∴
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
PBC
PBD
PCD
ABD
ACD
ABD
ACD
ABC
S
S
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
+
=
V
V
V
V
V
V
V
V
，
∵
2
16cm
ABC
S
=
V
，
∴
2
1 16
8cm
2
PBC
S
=
´
=
V
．
15．如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD ，EFGH ，将正方形纸片EFGH 沿着CB 方向滑动，CB 和
HE 始终在同一直线上．连接DH 并延长交GF 于点M ，连接AM ，AH ．若正方形的边长为4，则
AHM
△
的面积为______．
【答案】8
【分析】根据正方形的性质证明
ASA
CDH
GHM
V
V
≌
，得到DH
HM
=
，最后根据等底等高可得
8
AHM
AHD
S
S
=
=
△
△
．
【详解】解：∵两个同样大小的正方形纸片ABCD ，EFGH ，正方形的边长为4，
∴
4
AD
CD
HG
=
=
=
，
90
C
G
EHG
CHG
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
°，
∴
1
1
4 4
8
2
2
AHD
S
CD AD
=
×
=
´ ´
=
△
，CD
GH
∥
，
∴
CDH
GHM
Ð
= Ð
，
∴
ASA
CDH
GHM
V
V
≌
，
∴DH
HM
=
，
∴根据等底等高可得
8
AHM
AHD
S
S
=
=
△
△
．
16．如图，在ABC
V
中
90
A
Ð
=
°，
12cm
AB =
，
5cm
AC =
，过点B 作BM
AB
^
．动点E 从A 点出发以3cm/s
的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而运动，始终保持ED
CB
=
．若点E 的运
动时间为t 秒（
0
t >
），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC
V
全等时，t 的值为________秒．
【答案】7
3 、17
3 、8
【分析】分当E 在线段AB 上，或当E 在线段AB 延长线上，由HL 证明这两个三角形全等，再结合对应边
相等进行列式计算即可．
【详解】解：∵CA
AB
^
，BM
AB
^
，
∴
90
CAB
DBE
Ð
= Ð
=
°，
①当E 在线段AB 上时，
如图：若
5
BE
AC
=
=
，
∵ED
CB
=
，
∴
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
V
V
≌
，
∵
3 cm
AE
t
=
，
∴
12
3 cm
BE
AB
AE
t
=
-
=
-
，
∴12
3
5
t
-
=
，解得：
7
3
t =
；
若
12
BE
AB
=
=
，此时点E 和点A 重合，不符合题意；
②当E 在线段AB 延长线上时，
如图：若
5
BE
AC
=
=
，
∴
Rt
Rt
HL
DEB
BCA
V
V
≌
，
∵
3
12
5
17cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+
=
，
∴
17
3
t =
；
如图：若
12
BE
AB
=
=
，
∵ED
CB
=
，
∴
Rt
Rt
HL
DEB
CBA
V
V
≌
，
∵
3
12 12
24cm
AE
t
AB
BE
=
=
+
=
+
=
，
∴
8
t =
．
∴当
7
3
t =
或17
3 或8 秒时，DEB
V
与BCA
V
全等．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．如图，CB
AB
^
，CD
AD
^
，垂足分别为B，D，且BC
CD
=
．
(1)求证：ABC
ADC
V
V
≌
；
(2)若
4
AB =
，
3
CD =
，求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)证明：∵CB
AB
^
，CD
AD
^
，
∴
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，
∵在Rt
ABC
△
和Rt
ADC
△
中，
AC
AC
BC
DC
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
△
△
．
(2)12
【分析】（1）根据“ HL ”证明ABC
ADC
V
V
≌
即可；
（2）根据全等三角形的性质求出BC ，求出ABC
V
和ADC
V
的面积，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
3
BC
DC
=
=
，
∵
90
B
Ð
=
° ，
∴
Rt
1
1
4 3
6
2
2
ABC
S
AB BC
=
×
=
´ ´ =
V
，
∴
Rt
Rt
6
ADC
ABC
S
S
=
=
V
V
，
∴
6
6
12
ABC
ADC
ABCD
S
S
S
=
+
=
+
=
V
V
四边形
．
18．如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯EF 的长度，工作人员说滑梯EF 的长度没有测
量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，AC
BF
^
，ED
BF
^
，AC
HD
EH
DF
=
=
=
，
2
AB
DH
=
，
滑梯BC 的长度为13m ．
(1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯EF 的长度；
(2)两个滑梯BC 和EF 互相垂直吗，为什么？
【答案】(1)13m
(2)解：BC
EF
^
．
理由：延长BC 交EF 于点M ，
∵
90
EDF
Ð
=
° ，
∴
90
DFE
DEF
Ð
+ Ð
=
°，
∵
SAS
ABC
DEF
V
V
≌
，
∴
B
DEF
Ð
= Ð
，
∴
90
B
DFE
Ð + Ð
=
°，
∴
90
BMF
Ð
=
° ，
∴EF
BM
^
．
【分析】（1）证明
SAS
ABC
DEF
V
V
≌
，由全等三角形的性质得出BC
EF
=
；
（2）延长BC 交EF 于点M ，由全等三角形的性质得出
90
BMF
Ð
=
° ，则可得出结论．
【详解】（1）∵
,
2
EH
DF AB
DH
=
=
，则
2
DE
EH
DF
DH
=
+
=
∴AB
DE
=
在ABC
V
和DEF
V
中，
90
AB
DE
CAB
FDE
AC
DF
=
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
ABC
DEF SAS
V
V
≌
，
∴
13m
EF
BC
=
=
，
（2）略
19．【综合与探究】
在AOB
V
和
COD
△
中，OA
OB
=
，OC
OD
=
，
AOB
COD
Ð
= Ð
，连接AC ，BD ．
(1)【模型呈现】如图1，A ，O ，D 三点共线，试判断AC 与BD 的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图2，设AC ，BD 相交于点P ，AC ，OB 相交于点Q ，若
50
AOB
Ð
=
° ，求
APD
Ð
的度
数．
【答案】(1) AC
BD
=
，理由如下：
∵
AOB
COD
Ð
= Ð
，
∴
AOB
COB
COD
COB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，∴
AOC
BOD
Ð
= Ð
，
在AOC
V
和BOD
V
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴AC
BD
=
．
(2)130°
【分析】（1）利用SAS 证明三角形全等，即可得到AC 与BD 的数量关系；
（2）由全等三角形的性质，可得
OAC
OBD
Ð
= Ð
，根据三角形的内角和，求出
50
BPQ
AOQ
Ð
= Ð
=
° ，根据
平角的定义，即可求出
APD
Ð
．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可得，
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴
OAC
OBD
Ð
= Ð
，
在AOQ
V
和BPQ
V
中，
BQP
AQO
Ð
= Ð
，
OAQ
QBP
Ð
= Ð
，
∴
50
BPQ
AOQ
Ð
= Ð
=
°
∴
180
180
50
130
APD
BPQ
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°．
20．如图，在长方形ABCD 中，
12cm
AB
CD
=
=
，
20cm
BC =
，点P 从点B 出发，以2cm / s 的速度沿BC 向
点C 运动（到点C 停止运动），设点P 的运动时间为t 秒：
(1) BP = cm ；PC = cm ．（用含有t 的代数式表示）
(2)当t 为何值时，ABP
DCP
V
V
≌
？
(3)当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发（到点D 停止运动），以cm / s
x
的速度沿CD向点D 运动，
是否存在这样x 的值，使得ABP
V
与
PQC
△
全等？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2t ，
20
2t
-
(2)
5
t =
(3)存在，
2
x =
或
2.4
x =
【分析】（1）利用路程= 速度´时间得到BP ，再用等量关系求出PC ；
（2）长方形中
90
ABP
DCP
Ð
= Ð
=
° 、AB
DC
=
，依据SAS 全等条件令BP
PC
=
列式求出t；
（3）因为
90
ABP
DCP
Ð
= Ð
=
° ，分AB
PC
=
和BP
PC
=
两种全等对应情况分别列方程算出t，再由CQ
xt
=
求出x．
【详解】（1）解：由题意得运动t 秒，点P 运动2 cm
t
，
2 cm
BP
t
\
=
，
20
2
cm
PC
BC
BP
t
=
-
=
-
；
（2）解：Q四边形ABCD 是长方形，
90
ABP
DCP
\Ð
= Ð
=
°，AB
DC
=
，
要使ABP
DCP
V
V
≌
，则有BP
CP
=
，即2
20
2
t
t
=
-
，解得
5
t =
，
在ABP
V
和DCP
V
中，
AB
DC
ABP
DCP
BP
CP
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\当
5
t =
时，
ABP
DCP SAS
V
V
≌
；
（3）解：分以下两种情况：
①当
12
AB
PC
=
=
时，20
2
12
t
-
=
，解得
4
t =
，
8
BP
\
=
，
12
PC =
，
要使ABP
V
与
PQC
△
全等，则有
8
BP
CQ
=
=
，
2
CQ
x
t
\
=
=
，
在ABP
V
和PCQ
V
中，
AB
PC
ABP
PCQ
BP
CQ
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\当
2
x =
时，
SAS
ABP
PCQ
V
V
≌
；
②当BP
PC
=
时，2
20
2
t
t
=
-
，解得
5
t =
，
10
BP
PC
\
=
=
，
要使ABP
V
与
PQC
△
全等，则有
12
AB
CQ
=
=
，
2.4
CQ
x
t
\
=
=
，
在ABP
V
和QCP
V
中，
AB
QC
ABP
QCP
BP
CP
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\当
2.4
x =
时，
SAS
ABP
QCP
V
V
≌
．
21．综合与实践：
(1)【基础巩固】如图①，已知AB 与EF 相交于点G ，A
B
Ð = Ð ．G 是AB 的中点，求证：
AEG
BFG
△
≌△
．
(2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点E ，F 分别作ED
AG
^
于点D ，FC
BG
^
于点C ，若
AD
DE
=
．当
5 cm,
2 cm
ED
CG
=
=
时，求AB 的长．
(3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH 的长，因为无法测河流附近的点A ，可以在AH 外任取一点G ，
在AH 的延长线上任取一点E ，连结
,
EG HG ，并且延长HG 到点C ，使GC
HG
=
；延长EG 到点F ，使
GF
EG
=
，连结FC 并延长到点B ，使
,
.
B G A三点在同一条直线上．若测量出
50m
BC =
，则河流
50m
AH =
，请说明理由．
【答案】(1)证明：∵G 是AB 的中点，
∴AG
BG
=
,
在AEG
V
和BFG
V
中，
A
B
AG
BG
AGE
BGF
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ASA
AEG
BFG
≌
△
△
；
(2)14 cm
(3)若测量出
50m
BC =
，则河流
50m
AH =
，理由如下：
∵GC
HG
=
，GF
EG
=
，
HGE
CGF
Ð
= Ð
，
∴
SAS
HGE
CGF
V
V
≌
，
∴
E
F
Ð
= Ð
，HE
CF
=
，
∵
E
F
Ð
= Ð
，GF
EG
=
，
AGE
BGF
Ð
= Ð
，
∴
ASA
AGE
BGF
V
V
≌
，
∴AE
BF
=
，
∴AE
HE
BF
CF
-
=
-
，
∴BC
AH
=
,
∴若测量出
50m
BC =
，则河流
50m
AH =
．
【分析】（1）利用ASA 证明
AEG
BFG
△
≌△
即可；
（2）在（1）的条件下，AG
BG
=
，
ASA
AEG
BFG
≌
△
△
，得到
AEG
BFG
S
S
=
V
V
，利用面积相等得到高相
等，即DE
CF
=
，再证明
AAS
EDG
FCG
V
V
≌
，得到
5 cm,
2 cm
AD
DE
DG
CG
=
=
=
=
，最后根据
2
2
AB
AG
AD
DG
=
=
+
计算即可；
（3）先证明
SAS
HGE
CGF
V
V
≌
，得到
E
F
Ð
= Ð
，HE
CF
=
，再证明
ASA
AGE
BGF
V
V
≌
，得到
AE
BF
=
，则AE
HE
BF
CF
-
=
-
，即可得到BC
AH
=
．
【详解】（1）略
（2）解：在（1）的条件下，AG
BG
=
，
ASA
AEG
BFG
≌
△
△
，
∴
AEG
BFG
S
S
=
V
V
，
∵ED
AG
^
，FC
BG
^
，
∴
1
1
2
2
AEG
BFG
S
ED AG
S
CF BG
=
×
=
=
×
V
V
，
∴DE
CF
=
，
∵
AGE
BGF
Ð
= Ð
，
90
EDG
FCG
Ð
Ð
=
=
° ，
∴
AAS
EDG
FCG
V
V
≌
，
∴DG
CG
=
，
∵AD
DE
=
，
5 cm,
2 cm
ED
CG
=
=
，
∴
5 cm,
2 cm
AD
DE
DG
CG
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
5
2
14 cm
AB
AG
AD
DG
=
=
+
=
´
+
=
；
（3）略
22．如图，ABC
V
的外角
ACD
Ð
的角平分线CE 与内角
ABC
Ð
的角平分线BE 交于点E，点F 在边BA 的延长
线上，AE 的延长线交边BC 的延长线于点D，过点E 作EH
BD
^
于点H．
(1)求证：AE 平分
CAF
Ð
；
(2)若
30
BAC
Ð
=
°，求
BEC
Ð
的度数；
(3)若
6
AB =
，
5
AC =
，
8
CD =
，且
12
ABE
S
=
△
，求ACD
V
的面积．
【答案】(1)
证明：如图，过点E 作EM
BF
^
于点M ，作EN
AC
^
于点N ，
BE
Q
平分
ABC
Ð
，EM
BF
^
，EH
BD
^
，
EM
EH
\
=
，
CE
Q
平分
ACD
Ð
，EN
AC
^
，EH
BD
^
，
EN
EH
\
=
，
EM
EN
\
=
，
又Q点E 在
CAF
Ð
的内部，
AE
\
平分
CAF
Ð
；
(2)15°
(3)26
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）过点E 作EM
BF
^
于点M ，作EN
AC
^
于点N ，先根据角平分线的性质可得EM
EH
=
，
EN
EH
=
，从而可得EM
EN
=
，再根据角平分线的判定即可得证；
（2）由BE 为
ABC
Ð
的角平分线，CE 为
ACD
Ð
的角平分线，可得
1
2
EBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
ECD
ACD
Ð
=
Ð
，
再由
ECD
EBC
BEC
Ð
= Ð
+ Ð
，
ACD
ABC
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
，可得
1 (
)
2
BEC
ECD
EBC
ACD
ABC
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
，
BAC
ACD
ABC
Ð
= Ð
- Ð
，再求解即可；
（3）设EM
EH
EN
x
=
=
=
，再根据
12
ABE
S
=
△
求得
4
x =
，再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：
ACD
Ð
Q
是ABC
V
的一个外角，BE 为
ABC
Ð
的角平分线，CE 为
ACD
Ð
的角平分线，
1
2
EBC
ABC
\Ð
=
Ð
，
1
2
ECD
ACD
Ð
=
Ð
，
ECD
EBC
BEC
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
ACD
ABC
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
，
1 (
)
2
BEC
ECD
EBC
ACD
ABC
\Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
，
BAC
ACD
ABC
Ð
= Ð
- Ð
，
1
1
30
15
2
2
BEC
BAC
\Ð
=
Ð
=
´
° =
°．
（3）解：由（1）已得：EM
EH
EN
=
=
，
设EM
EH
EN
x
=
=
=
，
12
ABE
S
=
Q
△
，
\ 1
6
12
2
x
´
=
，
\
4
x =
，
4
EM
EH
EN
\
=
=
=
，
1
1
1
1
·
·
5 4
8 4
26
2
2
2
2
ACD
ACE
ECD
S
S
S
AC EN
CD EH
\
=
+
=
+
=
´ ´ +
´ ´
=
V
V
V
．
23．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，AB
AC
=
．D 是直线AB 上任意一点，连接CD，过点C 作
CE
CD
^
，且CE
CD
=
，过点E 作EF
AC
^
，垂足为F，连接BE ，分别交AC ，CD于点M，N．
(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，AD 与CF 相等吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，若
6
AB =
，
2
AD =
．
①AM 的长度为________；
②设
BNC
△
的面积为
1S ，四边形ADNM 的面积为
2
S ，则
1
2
S
S
-
的值为________；
(3)如图2，当点D 在线段BA 的延长线上时，点M 是线段BE 的中点吗？说明理由．
【答案】(1)解：AD
CF
=
，理由如下：
∵
90
A
Ð
=
°，
∴
90
ADC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ；
∵CE
CD
^
，
∴
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
90
ACD
FCE
+
=
°
∠
∠
，
∴
ADC
FCE
Ð
= Ð
；
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFC
A
Ð
=
° = Ð ，
又∵CE
CD
=
，
∴
AAS
ADC
FCE
≌
△
△
，
∴AD
CF
=
；
(2)①2；②6
(3)解：点M 是线段BE 的中点，理由如下：
∵
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
180
90
CAD
BAC
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
90
ADC
ACD
Ð
+ Ð
=
°
∵CE
CD
^
，
∴
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
90
ACD
FCE
+
=
°
∠
∠
，
∴
ADC
FCE
Ð
= Ð
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFC
A
Ð
=
° = Ð ，
又∵CE
CD
=
，
∴
AAS
ADC
FCE
≌
△
△
，
∴EF
AC
=
，
又∵AC
AB
=
，
∴AB
EF
=
，
又∵
90 ,
BAM
EFM
AMB
FME
=
=
°
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
AAS
AMB
FME
△
≌△
，
∴BM
EM
=
，
∴点M 是线段BE 的中点．
【分析】（1）证明
AAS
ADC
FCE
V
V
≌
，即可得到AD
CF
=
；
（2）①由全等三角形的性质得到FE
AC
=
，则可得到
4
AF
AC
CF
=
-
=
，FE
AB
=
，证明
AMB
FME
V
V
≌
，
即可得到
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
；②证明
SAS
ABM
ACD
V
V
≌
，得到
ABM
ACD
S
S
=
△
△
，则可证明
BDN
CMN
S
S
=
△
△
，
进而得到
1
2
BCM
ABM
S
S
S
S
-
=
-
△
△
，据此根据三角形的面积公式求解即可；
（3）先证明ADC
FCE
V
V
≌
，得到EF
AC
=
，再证明
AMB
FME
V
V
≌
，即可得到BM
EM
=
．
【详解】（1）略
（2）解：①由（1）得ADC
FCE
V
V
≌
，
2
CF
AD
=
=
，
∴FE
AC
=
；
∵
6
AC
AB
=
=
，
∴
4
AF
AC
CF
=
-
=
，FE
AB
=
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFM
A
Ð
= Ð
=
° ，
又∵
AMB
FME
=
∠
∠
，
∴
AAS
AMB
FME
V
V
≌
，
∴
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
；
②由（2）①得
2
AM
AD
=
=
，
又∵
,
A
A AB
AC
=
=
∠
∠
，
∴
SAS
ABM
ACD
V
V
≌
，
∴
ABM
ACD
S
S
=
△
△
，
∴
ABM
ACD
ADNM
ADNM
S
S
S
S
-
=
-
△
△
四边形
四边形
，
∴
BDN
CMN
S
S
=
△
△
，
∴
1
2
S
S
-
1
2
CMN
BDN
S
S
S
S
=
+
-
+
V
V
BCM
ABM
S
S
=
-
△
△
1
1
6
6
2
6 2
2
2
=
´ ´
-
-
´ ´
6
=
；
（3）略
24．综合探究
【初步探索】
(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
90
B
ADC
Ð
= Ð
=
°，E ，F 分别是BC ，CD上的点，且EF
BE
FD
=
+
，
探究图1 中
BAE
Ð
，
FAD
Ð
，
EAF
Ð
之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，
使DG
BE
=
．再连接AG ，先说明ABE
ADG
V
V
≌
，再说明AEF
AGF
V
V
≌
，可得出结论，他的结论应是________．
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，
180
B
D
Ð + Ð
=
°，E ，F 分别是BC ，CD上的点，且EF
BE
FD
=
+
，
上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
(3)已知在四边形ABCD 中，
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，AB
AD
=
，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延
长线上，如图3 所示，仍然满足EF
BE
FD
=
+
，若
62
C
Ð
=
°，求
EAF
Ð
的度数．
【答案】(1)
EAF
BAE
FAD
Ð
= Ð
+Ð
(2)仍然成立，理由如下：
延长FD 到点H ，使得DH
BE
=
，如图所示：
∵
180
B
ADC
Ð + Ð
=
°，
180
ADH
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
B
ADH
Ð
= Ð
，
∵AB
AD
=
，
∴
ABE
ADH SAS
V
V
≌
，
∴
,
BAE
DAH AE
AH
Ð
= Ð
=
，
∵EF
BE
FD
DH
FD
HF
=
+
=
+
=
，AF
AF
=
，
∴
SSS
AEF
AHF
V
V
≌
，
∴
EAF
HAF
DAH
DAF
BAE
DAF
Ð
= Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
；
(3)121°
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）延长FD 到点H ，使得DH
BE
=
，由题意易得
ABE
ADH SAS
V
V
≌
，则有
,
BAE
DAH AE
AH
Ð
= Ð
=
，
然后可得
SSS
AEF
AHF
V
V
≌
，进而问题可求解；
（3）在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，由题意易得
SAS
ADG
ABE
V
V
≌
，则有AG
AE
=
，
DAG
BAE
Ð
= Ð
，然后可得
AEF
AGF SSS
V
V
≌
，进而可得
1
180
2
FAE
DAB
Ð
Ð
=
°-
，最后问题可求解．
【详解】（1）解：延长FD 到点G ，使DG
BE
=
．再连接AG ，如图1，
∵
90
B
ADC
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
ADG
B
Ð
=
° = Ð
，
∵AB
AD
=
，
∴
ABE
ADG SAS
V
V
≌
，
∴
,
BAE
DAG AE
AG
Ð
= Ð
=
，
∵EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，AF
AF
=
，
∴
AEF
AGF SSS
V
V
≌
，
∴
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
Ð
= Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
；
（2）略
（3）解：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，如图所示：
∵
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
180
ABC
ABE
Ð
+ Ð
=
°，
∴
ADC
ABE
Ð
Ð
=
，
∵AB
AD
=
，
∴
SAS
ADG
ABE
V
V
≌
，
∴AG
AE
=
，
DAG
BAE
Ð
= Ð
，
∵EF
BE
FD
DG
FD
GF
=
+
=
+
=
，AF
AF
=
，
∴
AEF
AGF SSS
V
V
≌
，
∴
FAE
FAG
Ð
= Ð
，
∵
360
FAE
FAG
GAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
2
360
FAE
GAB
BAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
2
360
FAE
GAB
DAG
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，即2
360
FAE
DAB
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
1
180
2
FAE
DAB
Ð
Ð
=
°-
，
∵
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，
360
ABC
ADC
DAB
BCD
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
62
C
Ð
=
°，
∴
180
118
DAB
C
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
1
180
118
121
2
FAE
Ð
=
°-
´
° =
°．
25．阅读以下材料，完成以下两个问题．
【阅读材料】已知：如图，ABC
V
（AB
AC
¹
）中，D、E 在BC 上，且DE
EC
=
，过D 作DF
BA
∥
交AE
于点F，DF
AC
=
．求证：AE 平分
BAC
Ð
．
结合此题，DE
EC
=
，点E 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转
移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE ，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2）所示
(1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明．
(2)根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC
V
中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，
90
BAE
CAF
Ð
= Ð
=
° ，AE
AB
=
，AC
AF
=
，证明：
^
AD
EF ；
(3) ABC
V
与AEF
V
面积之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长FE 至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，
在
DFE
△
和CGE
V
中，
DE
CE
DEF
CEG
EF
EG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
DFE
CGE
\V
V
≌
，
DF
CG
\
=
，
DFE
G
Ð
= Ð
，
DF
AC
=
Q
，
CG
AC
\
=
，
CAG
G
\Ð
= Ð
，
DF
AB
Q
∥
，
BAE
DFE
\Ð
= Ð
，
BAE
CAG
\Ð
= Ð
，
AE
\
平分
BAC
Ð
；
方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，
在
ACE
△
和
GDE
△
中，
AE
GE
AEC
GED
CE
DE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ACE
GDE
\V
V
≌
，
AC
DG
\
=
，
CAE
G
Ð
= Ð
，
DF
AC
=
Q
，
DG
DF
\
=
，
DFG
G
\Ð
= Ð
，
DF
AB
Q
∥
，
DFG
BAE
\Ð
= Ð
，
BAE
CAE
\Ð
= Ð
，
AE
\
平分
BAC
Ð
；
(2)如图，延长AD 至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，
AD
Q
是BC 边上的中线，
BD
CD
\
=
，
在ACD
V
和GBD
V
中，
CD
BD
ADC
GDB
AD
GD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ACD
GBD
\V
V
≌
，
BG
AC
\
=
，
ACD
GBD
Ð
= Ð
，
∴BG
AC
∥
，
∴
180
ABG
BAC
Ð
+ Ð
=
°，
AC
AF
=
Q
，
BG
AF
\
=
，
90
BAE
CAF
Ð
= Ð
=
°
Q
，
360
180
EAF
BAE
CAF
BAC
BAC
\Ð
=
° - Ð
- Ð
- Ð
=
° - Ð
，
180
ABG
ABC
GBD
ABC
ACD
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° - Ð
Q
，
EAF
ABG
\Ð
= Ð
，
在AEF
V
和
BAG
△
中，
AE
AB
EAF
ABG
AF
BG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
AEF
BAG
\V
V
≌
，
∴
AEF
BAG
Ð
= Ð
，
设AD 与EF 交于点H，
∵
90
BAE
Ð
=
° ，
∴
90
BAG
EAH
Ð
+ Ð
=
°，
又∵
AEF
BAG
Ð
= Ð
，
∴
90
AEF
EAH
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
AHE
Ð
=
°，
即
^
AD
EF ．
(3) ABC
V
与AEF
V
面积相等，理由如下；
由（2）可知ACD
GBD
V
V
≌
，
∴
ACD
GBD
S
S
=
V
V
，
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
ABG
ABD
GBD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
∴
ABC
ABG
S
S
=
△
△
，
由（2）可知AEF
BAG
V
V
≌
，
∴
AEF
ABG
S
S
=
V
V
，
∴
AEF
ABC
S
S
=
V
V
．
【分析】（1）方法①：延长FE 至点G ，使GE
FE
=
，连接CG ，证明
SAS
DFE
CGE
V
V
≌
，得到
DF
CG
=
，
DFE
G
Ð
= Ð
，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出
BAE
CAG
Ð
= Ð
，即可证明；方
法②：延长AE 至点G ，使GE
AE
=
，连接DG ，证明
SAS
ACE
GDE
V
V
≌
，得到AC
DG
=
，
CAE
G
Ð
= Ð
，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出
BAE
CAG
Ð
= Ð
，即可证明；
（2）延长AD 至点G ，使GD
AD
=
，连接BG ，证明
SAS
ACD
GBD
V
V
≌
，得到BG
AC
=
，
ACD
GBD
Ð
= Ð
，进而推出BG
AF
=
，
EAF
ABG
Ð
= Ð
，再证明
SAS
AEF
BAG
V
V
≌
，即可得出
AEF
BAG
Ð
= Ð
，设AD 与EF 交于点H，由
90
BAE
Ð
=
° ，即可得出
90
BAG
EAH
Ð
+ Ð
=
°，等量代换可得出
90
AEF
EAH
Ð
+ Ð
=
° ，由三角形内角和定理即可得出
90
AHE
Ð
=
°．
【详解】（1）证明：略；
（2）证明：略；
（3）解：略；
