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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十四章 全等三角形
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。
1.下列说法正确的是( )
A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B. 一个锐角和两条边对应相等的两个三角形全等
C. 两条边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
D. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定条件，区分易错判
定误区。
【详解】
A. 两个锐角对应相等的直角三角形，只有角相等、无边对应相等，只能判定相似，不能判定全等，错误；
B. 一个锐角和两条边对应相等，未明确边的位置，无法保证全等，错误；
C. 两边和其中一边的对角对应相等（SSA），是全等判定误区，无法判定三角形全等，错误；
D. 两条直角边对应相等的直角三角形，满足SAS 判定定理，可判定全等，正确。
故选：D。
2.图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径CD，考古学家
将两根等长的细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到CD的长度，其依据是( )
A. SAS
B. SSS
C. ASA
D. AAS
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形判定的实际应用，根据题意找出相等边和夹角，匹配对应判定定理。
【详解】
两根细木条等长且中点固定，可得两组对应边相等，对顶角相等即两边夹角相等，满足SAS 全等判定条件，
因此可通过AB 长度得到CD 长度。
故选：A。
3. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，∠B = ∠E = 90∘，AB = DE，要根据“HL” 判定
Rt △ABC≌Rt △DEF，还需要添加的一个条件是( )
A. AD = CF
B. ∠BCA = ∠F
C. BC//EF
D. ∠BAC = ∠EDF
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形HL 全等判定定理，HL 特指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全
等。
【详解】
已知∠B=∠E=90°，AB=DE（一组直角边相等），要使用HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF，需添加斜边相等即AC=DF。
由AD=CF，可得AD+DC=CF+DC，即AC=DF，满足HL 判定条件；其余选项均为角条件，无法用HL 判
定。
故选：A。
4.根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是 ( )
A. AB = 10，BC = 6，CA = 5
B. AB = 10，BC = 6，∠A = 30°
C. AB = 10，BC = 6，∠B = 60°
D. AB = 10，BC = 6，∠C = 90°
【答案】B
【分析】本题考查三角形的唯一性作图，根据全等判定定理，满足判定条件则三角形唯一，反之不唯一。
【详解】
A. 三边确定（SSS），可画出唯一三角形；
B. 两边及其中一边的对角（SSA），无法确定唯一三角形，可画出两个不同三角形；
C. 两边及夹角（SAS），可画出唯一三角形；
D. 直角、斜边、直角边，满足HL，可画出唯一三角形。
故选：B。
5.在△ABC中，∠B = ∠C = 50∘，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等判定，结合已知∠B=∠C=50°，逐一分析剪切后三角形的边角对应关系。
【详解】
A、B、C 选项剪切后的三角形，均能通过ASA、AAS 或SAS 判定全等；
D 选项剪切后，仅满足SSA 不确定条件，边角无法严格对应，剪下的两个三角形不一定全等。
故选：D。
6.如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，
木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个试验说明( )
A. △ABC与△ABD全等
B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形易错点，通过动态旋转模型，区分SAS 与SSA 的判定差异。
【详解】
实验中AB、AC 长度固定，∠ABC 与∠ABD 为两边的对角，角度不同，两个三角形不全等，说明有两边和
其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
故选：D。
7.如图，已知∠AOB = 90∘，∠AOC = 56∘，以点O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OB，OC于点M，
N；再以点N为圆心，MN的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD.则∠COD的度数为( )
A. 22°
B. 32°
C. 34°
D. 56°
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图原理与角度计算，作图可得等弦对等角，结合已知角度推导未知角。
【详解】
由作图步骤可知：OM=ON=OD，MN=DN，△OMN≌△ODN（SSS），
已知∠AOB=90°，∠AOC=56°，可得∠BOC=90°−56°=34°，
因此∠COD=34°。
故选：C。
8.如图，在△ABC和△AEF中，AB = AE，BC = EF，∠ABC = ∠AEF，∠EAB = 40°，AB交EF于点D，连
接EB.下列结论：①∠FAC = 40°；②AF = AC；③∠EBC = 110°；④AD = AC；⑤∠EFB = 40°.其中正确
的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质综合应用，先判定三角形全等，再推导对应角、对应边相等，逐一判
断结论。
【详解】
已知AB=AE，∠ABC=∠AEF，BC=EF，可得△ABC≌△AEF（SAS）。
① ∠EAB=∠FAC=40°，正确；② AF=AC（全等对应边相等），正确；
③ 由角度计算可得∠EBC=110°，正确；④ AD 与AC 无相等依据，错误；
⑤ ∠EFB≠40°，错误。综上正确结论共3 个。
故选：C。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.如图，点E，C在BF上，BE = CF，∠A = ∠D = 90°，请添加一个条件： ，使△ABC≌△DFE．
【答案】AC=DE（答案不唯一）
【分析】本题考查直角三角形全等的条件补充，结合已知条件匹配ASA、AAS、HL、SAS 判定定理即可。
【详解】
由BE=CF 可得BC=EF，∠A=∠D=90°，
添加AC=DE，可通过HL 判定Rt△ABC≌Rt△DFE；
也可添加∠B=∠DEF、∠ACB=∠DFE 等条件。
10.如图，△ABC≌△CDE.若∠D = 35∘，∠ACB = 45∘，则∠DCE的度数为 ．
【答案】100°
【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，结合三角形内角和定理计算角度。
【详解】
∵ △ABC≌△CDE，∴ ∠B=∠D=35°，
在△CDE 中，∠DCE=180°−∠D−∠DEC=180°−35°−45°=100°。
11.如图，PO是∠AOB的平分线，C为PO上一点，CE ⊥OB于点E，OC = 6，CE = 2.在射线OA上有一动点Q，
则在运动过程中，点Q到点C的最短距离是 ．
【答案】2
【分析】本题考查角平分线的性质与垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等，点到直线的最短
距离为垂线段长度。
【详解】
∵ PO 平分∠AOB，CE⊥OB，∴ 点C 到OA 的距离=CE=2，
根据垂线段最短，OA 上动点Q 到C 的最短距离为2。
12.如图，E为△ABC的边AC上一点，且CE = CB，CD平分∠ACB，与BE相交于点D，∠A = ∠ABE.若
AC = 5，BC = 3，则BD的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查角平分线、等腰三角形性质综合，结合全等三角形判定与线段等量代换求解。
【详解】解：∵CD平分∠ACB，CE = CB，，
∴BD = DE = 1
2 BE
又∵∠A = ∠ABE，
∴AE = BE．
∴BD = 1
2BE = 1
2AE = 1
2(AC−CE) = 1
2(AC−BC)．
∵AC = 5，BC = 3，
∴BD = 1
2(5−3) = 1．
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10 分)
如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE//CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF．
(2)若AE = 13，AF = 7，求DE的长．
【答案】
(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD = CD，
∵BE//CF，
∴∠DBE = ∠DCF，
在▵BDE和▵CDF中，
∠DBE = ∠DCF
BD = CD
∠BDE = ∠CDF
，
∴▵BDE≌▵CDF(ASA)；
(2)解：∵AE = 13，AF = 7，
∴EF = AE−AF = 13−7 = 6，
∵▵BDE≌▵CDF，
∴DE = DF，
又∵DE + DF = EF = 6，
∴DE = 3．
14.(7 分)
如图，小明和小芳以相同的速度分别从点A，B同时出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达点
C，D.若CB ⊥AB，DA ⊥AB，则CB与DA相等吗?为什么?
【答案】
解：相等.
理由：由题意易知AC = BD．
∵CB ⊥AB，DA ⊥AB，
∴∠DAB = ∠CBA = 90∘．
在Rt △DAB和Rt △CBA中，
BD = AC,
AB = BA,
∴Rt △DAB≌Rt △CBA(HL)．
∴DA = CB．
15.(10 分)
如图，两个全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF的一边重叠地放在直线l上，AC，DE交于点P．
(1)判断△PCE的形状，并说明理由．
(2)连接AF，BD，求证：AF = BD．
【答案】
(1) 解：△PCE 是等边三角形．
理由如下：
∵△ABC 和△DEF 都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DEF＝60°．
∴△PCE 是等边三角形．
(2)证明：
∵△ABC，△DEF 是两个全等的等边三角形，
∴AB＝DF，∠ABC＝∠DFE＝60°．
在△AFB 和△DBF 中，
AB = DF,
∠ABF = ∠DFB,
FB = BF,
∴△AFB≌△DBF(SAS)．
∴AF＝BD．
16.(12 分)
如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB于点E，点F在AC上，且BD = DF．
(1)求证：CF = EB．
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】
(1) 证明：
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE．
在Rt△FCD 和Rt△BED 中，
DF = DB,
DC = DE,
∴Rt △FCD≌Rt △BED(HL)．
∴CF＝EB．
(2)解：AB＝AF+2EB．
理由如下：
在Rt△ACD 和Rt△AED 中，
AD = AD,
DC = DE,
∴Rt △ACD≌Rt △AED(HL)．
∴AC＝AE．
∴AB＝AE+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．
17.(12 分)
(1)如图1，CA = CD，CB = CE，∠ACD = ∠BCE = 90∘，AE交CD于点F，交BD于点G.求证：
①AE = BD;
②AE ⊥BD．
(2)将(1)中条件“∠ACD = ∠BCE = 90∘”改为“∠ACD = ∠BCE = m∘”，如图2．
①(1)中的结论 ①____(填“成立”或“不成立”)．
②(1)中的结论 ②是否仍然成立?若不成立，请求出AE与DB的夹角∠AGD的度数．
【答案】
(1) 解:
①证明:
∵∠ACD=∠BCE=90∘,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.在△ACE 和△DCB 中
,
AC = DC,
∠ACE = ∠DCB,
CE = CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS).
∴AE=BD.
②证明:
∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
又∠AFC=∠DFG,
∴∠DGF=∠ACD=90∘,
∴AE ⊥BD.
(2)①成立
②不一定成立.
同(1)可得△ACE≌△DCB,
∴∠CDB=∠CAE.
又∠AFC=∠DFG,
∴∠AGD=∠ACD=m∘.
18.(13 分)
在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = 120°，∠B = ∠ADC = 90°，E，F分别是BC，CD上的点，且
∠EAF = 60°，试探究图1中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小亮同学认为：延长FD到点G，使DG = BE，连接AG，如图1，先证明△ABE≌△ADG，再证明
△AEF≌△AGF，则可得到BE，EF，FD之间的数量关系： ．
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B + ∠D = 180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF = 1
2
∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】
(1)EF＝BE+DF
(2)结论EF＝BE+DF 仍然成立．
理由：如图，延长FD 到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE 和△ADG 中，
BE = DG,
∠B = ∠ADG,
AB = AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF = 1
2∠BAD，
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD−∠EAF = 1
2∠BAD = ∠EAF，
在△AEF 和△AGF 中，
AE = AG,
∠EAF = ∠GAF,
AF = AF,
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
