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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第十四章 全等三角形·基础通关
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可．
【详解】解：由题意知，选项A、C、D 中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B 中的两个图形
能够完全重合，是全等图形；
故选：B．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的ABC
V
的是（ ）
A．
90
C
Ð
=
° ，
6
AC =
B．
2
AB =
，
3
BC = ，
50
A
Ð
=
°
C．
50
A
Ð
=
° ，
60
B
Ð
=
°，
2
AB =
D．
2
AB =
，
3
BC = ，
6
AC =
【答案】C
【详解】解：A 选项，只给出
90
C
Ð
=
° 和
6
AC =
，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一ABC
V
，不符合
题意；
B 选项，
2
AB =
，
3
BC = ，
50
A
Ð
=
° 属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，
不能画出唯一ABC
V
，不符合题意；
C 选项，
50
A
Ð
=
° ，
60
B
Ð
=
°，
2
AB =
，是两角及其夹边，符合全等三角形的ASA 判定定理，能画出唯一
ABC
V
，符合题意；
D 选项，
2
3
5
6
AB
BC
AC
+
=
+
=
<
=
，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，
不符合题意．
3．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，AD 平分
BAC
Ð
，若
3
CD =
，则点D 到AB 的距离为（ ）
A．4.5
B．4
C．3.5
D．3
【答案】D
【分析】先作DE
AB
^
，再根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】解：过点D 作DE
AB
^
，交AB 于点E，
∵AD 平分
BAC
Ð
，
90
C
AED
Ð
= Ð
=
°，
∴
3
DE
CD
=
=
，
所以点D 到AB 的距离是3．
4．如图，已知ABC
DEF
V
V
≌
，点C 在DE 边上，CD平分
BCA
Ð
，DF 与BC 交于点G ．若
30
D
Ð
=
°，
88
CGF
Ð
=
°，则
E
Ð
的度数是（ ）
A．34°
B．40°
C．44°
D．50°
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义得到
1
2
ACD
BCD
BCA
Ð
= Ð
=
Ð
，根据全等三角形的性质得到
30
D
A
Ð
= Ð
=
°，
根据三角形的外角性质求出
BCD
Ð
，再求出
B
Ð ，然后利用全等三角形的性质求
E
Ð
即可．
【详解】解：∵CD平分
BCA
Ð
，
1
2
ACD
BCD
BCA
\Ð
= Ð
=
Ð
，
ABC
DEF
QV
V
≌
，
30
D
A
\Ð
= Ð
=
° ，
CGF
D
BCD
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
58
BCD
CGF
D
\Ð
= Ð
- Ð
=
° ，
116
BCA
\Ð
=
°，
180
30
116
34
B
\Ð
=
°-
°-
° =
°，
ABC
DEF
QV
V
≌
，
34
E
B
\Ð
= Ð
=
°．
5．如图，在ABC
V
中，
40
ABC
Ð
=
° ，BE 为AC 边上的中线，延长BE 到点D ，使DE
BE
=
，连接AD ，则
BAD
Ð
的度数是（ ）
A．95°
B．120°
C．135°
D．140°
【答案】D
【分析】根据中线和已知条件，利用SAS 证明ADE
CBE
V
V
≌
，推出
DAE
BCE
Ð
= Ð
，根据三角形内角和
定理和等量代换即可求出
BAD
Ð
度数．
【详解】解：Q BE 为AC 边上的中线，
AE
CE
\
=
．
AED
CEB
Ð
= Ð
Q
，DE
BE
=
，
ADE
CBE
\V
V
≌
（SAS ），
DAE
BCE
\Ð
= Ð
．
40
ABC
Ð
=
°
Q
，
180
180
40
140
BAC
BCE
ABC
\Ð
+ Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，
140
BAD
BAC
DAE
BAC
BCE
\Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ．
6．如图，在四边形ABCD 中，
90
BCD
Ð
=
°，BD 平分
ABC
Ð
，
6
AB =
，
10
BC =
，
5
CD =
，则四边形ABCD
的面积是（ ）
A．40
B．42
C．46
D．48
【答案】A
【分析】过点D 作DE
AB
^
交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质得到DE
CD
=
，然后将四边形
ABCD 的面积转化为ABD
V
与BCD
V
的面积之和进行计算即可．
【详解】解：如图，过点D 作DE
AB
^
交BA 的延长线于点E ，
∵BD 平分
ABC
Ð
，
90
BCD
Ð
=
°，DE
AB
^
，
∴
5
DE
CD
=
=
，
∴
1
1
6 5
15
2
2
ABD
S
AB DE
=
×
=
´ ´
=
V
，
∴
1
1 10 5
25
2
2
BCD
S
BC CD
=
×
=
´
´
=
V
，
∴四边形ABCD 的面积为
15
25
40
ABD
BCD
S
S
+
=
+
=
V
V
．
7．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C 和点F 处，甲看向地面上点B 处的视线与
他自己身体的夹角为
BAC
Ð
，乙看向地面上点E 处的视线与他自己身体的夹角为
EDF
Ð
，已知AC
BE
^
于
点C ，DF
BE
^
于点F ，图中所有的点都在同一平面内．当AC
DF
=
，
BAC
EDF
Ð
= Ð
时，根据全等三角
形的知识可得到BC
EF
=
，这里直接判定ABC
V
和DEF
V
全等的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】C
【详解】根据题意整理已知条件：
由 AC
BE
^
，DF
BE
^
，可得
90
ACB
DFE
Ð
Ð
=
=
o ，
∵
BAC
EDF
Ð
Ð
=
，AC
DF
=
，
且AC 恰好是
BAC
Ð
和
ACB
Ð
的夹边，DF 恰好是
EDF
Ð
和
DFE
Ð
的夹边，
满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 ASA （角边角）判定依据．
8．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D 在同一直线上，
90
CAB
FDE
Ð
= Ð
=
° ，
ABC
DEF
Ð
= Ð
，AB
DE
=
．若
6
120cm
AD
CF
=
=
，则AC 的长为（ ）
A．40cm
B．50cm
C．60cm
D．100cm
【答案】B
【分析】先求出
100cm
AC
DF
+
=
，再证出ABC
DEF
V
V
≌
，则AC
DF
=
，由此即可得．
【详解】解：∵6
120cm
CF =
，
∴
20cm
CF =
，
∵
120cm
AD =
，
∴
100cm
AC
DF
AD
CF
+
=
-
=
，
在ABC
V
和DEF
V
中，
90
CAB
FDE
AB
DE
ABC
DEF
Ð
= Ð
=
°
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ASA
ABC
DEF
≌
△
△
，
∴AC
DF
=
，
∴
100cm
AC
AC
+
=
，
解得
50cm
AC =
．
9．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛
三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（ ）
A．三角形最长的边的中点处
B．三角形三条中线的交点处
C．三角形三条高线的交点处
D．三角形三条角平分线的交点处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即
可得出答案．
【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的
交点处．
10．如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，
38
B
Ð
=
° ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC
于点F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在
BAC
Ð
的内
部相交于点P ，画射线AP 与BC 相交于点D ，
3
CD =
，下列结论正确的是（ ）
A．AC
BD
=
B．
64
ADC
Ð
=
°
C．
CAD
B
Ð
= Ð
D．B 到AD 的距离是3
【答案】B
【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可．
【详解】解：由题意得AP 为
CAB
Ð
的平分线，
90
C
Ð
=
°
Q
，
38
B
Ð
=
° ，
90
90
38
52
CAB
B
\Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，
1
26
2
CAD
CAB
\Ð
=
Ð
=
° ，
CAD
B
\Ð
¹ Ð
，故C 不正确；
90
90
26
64
ADC
CAD
\Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，故B 正确；
如图，过点D 作DG
AB
^
，垂足为G ，
由角平分线定理可得
3
DC
DG
=
=
，无法推出AC
BD
=
，B 到AD 的距离是3，故A、D 不正确．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．如图，已知AD 平分
BAC
Ð
，连接BD 、CD，若要判定ABD
ACD
V
V
≌
，则需要添加的条件是：
________．（只写一个）
【答案】
ADB
ADC
Ð
= Ð
（或AB
AC
=
或
B
C
Ð
= Ð
，答案不唯一）
【分析】根据题意，可以选择ASA 判定，也可以选择SAS 、AAS判定，据此写出一个条件即可．
【详解】解：
AD
Q
是
BAC
Ð
的角平分线，
BAD
CAD
\Ð
= Ð
，
又
AD
AD
=
Q
，
\当添加
ADB
ADC
Ð
= Ð
或AB
AC
=
或
B
C
Ð
= Ð
时，ABD
ACD
V
V
≌
，分别属于ASA 、SAS 、AAS的判定
条件，答案不唯一，选择一种即可．
12．如图，在2 2
´ 的方格纸中，
1
2
Ð + Ð = __________ ．
【答案】
90°
【分析】取格点A 、B 、C 、D 、E ，证明
ABC
DAE SAS
V
V
≌
，则1
BAC
Ð = Ð
，结合
2
90
BAC
Ð + Ð
=
°可
得，
1
2
90
Ð + Ð =
° ．
【详解】解：如图，
在ABC
V
和DAE
V
中，
AB
DA
ABC
DAE
BC
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ABC
DAE SAS
V
V
≌
，
∴1
BAC
Ð = Ð
，
∵
2
180
90
BAC
ABC
Ð + Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
1
2
90
Ð + Ð =
° ．
13．如图，OP 平分
AOB
Ð
，PC
OA
^
于点C，点D 在OB 上，若
2
PC =
，
4
OD =
，则POD
V
的面积为_______．
【答案】4
【分析】过点P 作PE
OB
^
于E ，根据角平分线的性质求出PE ，再根据三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点P 作PE
OB
^
于E ，
∵OP 平分
,
,
,
2
AOB PC
OA PE
OB PC
Ð
^
^
=
，
2
PE
PC
\
=
=
，
1
1
4 2
4
2
2
POD
S
OD PE
\
=
×
=
´ ´
=
V
．
14．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸A 、B 两点间的距离”设计了
如下方案：如图，在点A 所在河岸同侧的平地上取点O 和点C ，使得点B 、A 、O 在同一直线上，且
OA
OC
=
；在OC 的延长线上确定一点D ，借助测角仪测得
OCB
OAD
Ð
= Ð
，测得
8m
OD =
，
2m
OA =
，则
AB 的长为______ m ．
【答案】
6
【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解．
【详解】解：在OAD
V
与OCB
V
中，
BOC
DOA
OA
OC
OCB
OAD
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
= Ð
î
Ð
∴
ASA
OCB
OAD
V
V
≌
，
∴
8m
OB
OD
=
=
，
∴
8
2
6m
AB
OB
OA
=
-
=
-
=
．
15．如图，
ABC
ADE
△
≌△
，
90
CAE
Ð
=
° ，连接BD ，若
5
AD =
，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】12.5
【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到
阴影面积等于ABD
V
的面积，再利用面积公式即可求解．
【详解】解：∵
ABC
ADE
△
≌△
，
5
AD =
，
∴
ABC
ADE
S
S
=
V
V
，
5
AB
AD
=
=
，
BAC
DAE
Ð
= Ð
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，即
BAD
CAE
Ð
= Ð
，
∵
90
CAE
Ð
=
° ，
∴
90
BAD
CAE
Ð
= Ð
=
°，
∴
1
1
5 5
12.5
2
2
ABD
S
S
AB AD
=
=
×
=
´ ´
=
V
阴影
．
16．如图，已知线段
80
AB =
米，射线AC
AB
^
于点A ，射线BD
AB
^
于B ，M 点从B 点向A 运动，每秒
走2米，N 点从B 点向D 运动，每秒走3米，M 、N 同时从B 出发，若射线AC 上有一点P ，使得某时刻
PAM
△
和
MBN
△
全等，则线段AP 的长度为________米．
【答案】32或60
【分析】设t 秒时，
PAM
△
和
MBN
△
全等，则
2
BM
t
=
米，
3
BN
t
=
米，
80
2
AM
t
=
-
米，再分两种情况：
①PAM
MBN
V
V
≌
，②MAP
MBN
V
V
≌
，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设t 秒时，
PAM
△
和
MBN
△
全等，则
2
BM
t
=
米，
3
BN
t
=
米，
∵
80
AB =
米，
∴
80
2
AM
AB
BM
t
=
-
=
-
米，
∵射线AC
AB
^
，射线BD
AB
^
，
∴
90
A
B
Ð
= Ð
=
° ，
则分以下两种情况：
①当PAM
MBN
V
V
≌
时，
∴
2
AP
BM
t
=
=
，AM
BN
=
，
∴80
2
3
t
t
-
=
，
解得
16
t =
，
∴
2 16
32
AP =
´
=
（米）；
②当MAP
MBN
V
V
≌
时，
∴
3
AP
BN
t
=
=
，AM
BM
=
，
∴80
2
2
t
t
-
=
，
解得
20
t =
，
∴
3 20
60
AP = ´
=
（米）；
综上，线段AP 的长度为32 米或60 米．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．如图，ADF
BCE
V
V
≌
，
40
B
Ð
=
°，
22
F
Ð
=
°．
(1)求1
Ð 的度数；
(2)若
30
AB =
，
18
AC =
，求CD的长．
【答案】(1)62°
(2)6
【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到
22
E
F
Ð
= Ð
=
°，然后利用三角形外角的性质求解；
（2）首先求出
30 18
12
BC
AB
AC
=
-
=
-
=
，然后由全等三角形的性质得到
12
AD
BC
=
=
，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵ADF
BCE
V
V
≌
，
22
F
Ð
=
°，
∴
22
E
F
Ð
= Ð
=
°，
∴
1
22
40
62
E
B
Ð = Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ；
（2）解：∵
30
AB =
，
18
AC =
，
∴
30 18
12
BC
AB
AC
=
-
=
-
=
，
∵ADF
BCE
V
V
≌
，
∴
12
AD
BC
=
=
，
∴
18 12
6
CD
AC
AD
=
-
=
-
=
．
18．如图，在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，点D 为ABC
V
外一点，DAB
BAC
Ð
= Ð
，AD
AB
=
，过点D 作DE
AB
^
于点E，延长DE 交BC 于点F．
(1)求证：DE
BC
=
；
(2)连接AF，若
36
D
Ð
=
°，求
EAF
Ð
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)27°
【分析】（1）证明
AAS
ADE
ABC
V
V
≌
，即可得证；
（2）证明
Rt
Rt
HL
AEF
ACF
V
V
≌
，得到
EAF
CAF
Ð
= Ð
，进行求解即可.
【详解】（1）证明：在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，又DE
AB
^
于点E，
∴
90
ACB
AED
Ð
= Ð
=
° ．
在ADE
V
和ABC
V
中，
,
,
,
AED
ACB
DAB
BAC
AD
AB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴
AAS
ADE
ABC
V
V
≌
，
∴DE
BC
=
．
（2）解：由（1）得
ADE
ABC
≌
△
△
，
∴AE
AC
=
，
DAE
BAC
Ð
= Ð
．
∵
90
ACB
AEF
Ð
= Ð
=
°，AF
AF
=
，
∴
Rt
Rt
HL
AEF
ACF
V
V
≌
，
∴
EAF
CAF
Ð
= Ð
，
∵
36
D
Ð
=
°，
∴
90
36
54
DAE
BAC
Ð
= Ð
=
°-
° =
° ，
∴
1
27
2
EAF
BAC
Ð
°
=
Ð
=
．
19．如图，点A 在线段CD上，已知BC
DE
∥
，BC
CD
=
，
BAC
E
Ð
Ð
=
．
(1)求证：
ABC
ECD
≌
△
△
(2)若
5
DE =
，
13
BC =
，求AD 的长．
【答案】(1)证明：∵BC
DE
∥
，
∴
ACB
D
Ð
= Ð
，
在ABC
V
和ECD
V
中，
ACB
D
BAC
E
BC
CD
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABC
ECD
V
V
≌
．
(2)8
【分析】（1）先得出
ACB
D
Ð
= Ð
，再根据AAS定理即可得证；
（2）得出
13
CD
BC
=
=
，
5
AC
DE
=
=
，即可得AD 的长．
【详解】（1）略．
（2）解：由（1）已证：
ABC
ECD
≌
△
△
，
∴CD
BC
=
，AC
DE
=
，
∵
5
DE =
，
13
BC =
，
∴
5
AC =
，
13
CD =
，
∴
13
5
8
AD
CD
AC
=
-
=
-
=
．
20．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架AD
BC
^
，垂足为点O，DE
DF
=
，AD
平分
EDF
Ð
，这样设计能够保证两翼宽度一致（即OB
OC
=
），从而平稳飞行．
(1)请说明这样设计的理由；
(2)要给骨架贴上布面，连接BD 、CD，若风筝主骨架AD 的长为40 cm ，
50 cm
BC =
，则需要的布料面积
（即四边形ABDC 的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带）
【答案】(1)
解：∵AD 平分
EDF
Ð
，
∴
EDA
FDA
Ð
= Ð
，
在ADE
V
和ADF
V
中，
DE
DF
EDA
FDA
DA
DA
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ADE
ADF SAS
V
V
≌
，
∴
EAD
FAD
Ð
= Ð
，
∵AD
BC
^
，垂足为点O，
∴
90
AOB
AOC
Ð
= Ð
=
°，
在ABO
V
和ACO
V
中，
BAO
CAO
AO
AO
AOB
AOC
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ABO
ACO ASA
V
V
≌
，
∴OB
OC
=
；
(2)
2
1000cm
【分析】（1）证明
ADE
ADF SAS
V
V
≌
，再证明
ABO
ACO ASA
V
V
≌
，即可求解；
（2）根据面积的计算得到
1
2
ABDC
S
BC AD
=
×
四边形
，代入计算即可．
【详解】（1）略；
（2）解：根据题意，连接
,
BD CD ，
∵AD
BC
^
，
∴
1
·
2
ABC
S
BC OA
=
V
，
1
2
BCD
S
BC OD
=
×
V
，
∵
ABC
BCD
ABDC
S
S
S
=
+
V
V
四边形
∴
2
1
1
1
1
1
50 40
1000
2
2
2
2
2
ABDC
S
BC OA
BC OD
BC
OA
OD
BC AD
cm
=
×
+
×
=
×
+
=
×
=
´
´
=
四边形
．
21．如图，DE
AB
^
于点E ，DF
AC
^
于点F．若BD
CD
=
，BE
CF
=
．
(1)求证：AD 平分
BAC
Ð
．
(2)已知
10
AB =
，
2
CF =
，求AC 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)14．
【分析】（1）由垂直定义可得
90
E
DFC
Ð
= Ð
=
° ，然后证明
Rt
Rt
HL
BDE
CDF
△
≌
△
，所以DE
DF
=
，再
由角平分线的判定方法即可求证；
（2 ）证明
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
△
△
，所以
12
AF
AE
=
=
，然后通过AC
AF
CF
=
+
即可求解．
【详解】（1）证明：∵DE
AB
^
，DF
AC
^
，
∴
90
E
DFC
Ð
= Ð
=
° ，
在Rt
BDE
△
与Rt CDF
V
中，
BD
CD
BE
CF
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt
Rt
HL
BDE
CDF
△
≌
△
，
∴DE
DF
=
，
又∵DE
AB
^
，DF
AC
^
，
∴AD 平分
BAC
Ð
；
（2）解：∵
2
BE
CF
=
=
，
∴
10
2
12
AE
AB
BE
=
+
=
+
=
，
在Rt
ADE
△
与Rt
ADF
△
中，
AD
AD
DE
DF
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
△
△
，
∴
12
AF
AE
=
=
，
∴
12
2
14
AC
AF
CF
=
+
=
+
=
．
22．如图，ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
6 cm
AC =
，
8 cm
BC =
，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点
A 出发沿AC 边向终点C 运动；动点Q 从点B 出发沿BC 边向终点C 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s
和2
/
cm s ，两点同时出发并开始计时，设运动时间为t 秒，当点Q 到达终点C 时，点P 也随之停止运动．
(1) AP = ________cm ，CQ = ________cm （用含t 的代数式表示）；
(2)当
ABP
ACQ
S
S
=
△
△
时，求t 的值；
(3)分别过点P 和点Q 作PE
l
^ 于点E ，QF
l
^ 于点F ，则当t = ________秒时，PEC
V
与QFC
V
全等．
【答案】(1)
, 8
2
t
t
-
(2)
2.4
t =
(3) 2
【分析】（1）由题意，结合路程= 速度´时间求解即可；
（2）在（1）所求线段基础上，由三角形面积公式表示出
ABP
ACQ
S
S
△
△
、
，根据
ABP
ACQ
S
S
=
△
△
列方程求解即可；
（3）由题意得出需要PEC
V
与QFC
V
有一组对应边相等即可确定PEC
V
与QFC
V
全等，从而得到PC
CQ
=
，
由此列出关于t 的方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意可得
cm
AP
t
=
，
8
2
cm
CQ
CB
BQ
t
=
-
=
-
；
（2）解：如图所示：
1
1
8
4
2
2
ABP
S
AP BC
t
t
\
=
×
=
´ =
V
，
1
1 8
2
6
24
6
2
2
ACQ
S
CQ AC
t
t
=
×
=
-
´
=
-
V
，
当
ABP
ACQ
S
S
=
△
△
时，4
24
6
t
t
=
-
，解得
2.4
t =
；
（3）解：如图所示：
Q PE
l
^ ，QF
l
^ ，
90
PEC
QFC
\Ð
= Ð
=
° ，
则
90
PCE
CPE
Ð
+ Ð
=
°，
在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，则
90
PCE
QCF
Ð
+ Ð
=
°，
CPE
QCF
\Ð
= Ð
，
由两个三角形全等的判定定理，只需要PEC
V
与QFC
V
有一组对应边相等即可确定PEC
V
与QFC
V
全等，
\当PC
CQ
=
时，
PEC
CFQ
△
≌△
，此时AC
AP
CQ
-
=
，
6
8
2
t
t
\ - =
-
，解得
2
t =
．
23．完成以下问题
(1)【感知】如图①，OC 是
AOB
Ð
的平分线，点P 是OC 上任一点，作PD
OA
^
，PE
OB
^
，垂足分别为D
和E ，若
5
PD =
，则PE = __________；
(2)【探究】如图②，在ABC
V
中，AD 是它的角平分线．若
7 5
AB AC =
∶
∶．求ABD
V
与ACD
V
的面积比；
(3)【应用】如图③，ABC
V
的周长是13．BO 、CO 分别平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，OD
BC
^
于点D ．若
3
OD =
，求ABC
V
的面积．
【答案】(1)5
(2)7 5
∶
(3) 39
2
【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可；
（2）根据角平分线的性质，可知ABD
V
与ACD
V
的高相等，面积比等于底边长的比；
（3）确定O 为ABC
V
三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将ABC
V
面积分割为三个小三角形面
积之和，利用周长和距离计算总面积．
【详解】（1）解：∵OC 是
AOB
Ð
的角平分线，PD
OA
^
，PE
OB
^
，
∴
5
PE
PD
=
=
；
（2）解：作DE
AB
^
，DF
AC
^
，垂足分别为E 和F ，
∵AD 是ABC
V
的角平分线，
∴DE
DF
=
．
设DE
DF
h
=
=
，
则
Δ
Δ
1
1
,
2
2
ABD
ACD
S
AB
h S
AC
h
=
´
´
=
´
´ ，
∴
:
:
ABD
ACD
S
S
AB AC
=
V
V
．
∵
7 5
AB AC =
∶
∶，
∴ABD
V
与ACD
V
的面积比为7 5
∶．
答：ABD
V
与ACD
V
的面积比为7 5
∶；
（3）解：作OE
AB
^
，OF
AC
^
，垂足分别为E 和F ，连接OA，
∵BO 、CO 分别平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，OD
BC
^
，
∴
3
OE
OD
=
=
，
3
OF
OD
=
=
．
ABC
V
的面积可分割为AOB
V
、BOC
V
、AOC
V
的面积之和（如图），
即
ABC
AOB
BOC
AOC
S
S
S
S
=
+
+
△
△
△
△
1
1
1
3
3
3
2
2
2
AB
BC
AC
=
´
´ +
´
´ +
´
´
3
2 AB
BC
AC
=
+
+
．
∵ABC
V
的周长是13，即
13
AB
BC
AC
+
+
=
，
∴
39
2
ABC
S
=
V
．
24．【提出问题】
数学课上老师提出如下问题：如图①，在ABC
V
中，AD 是BC 边上的中线，
3
AB =
，
2
AD =
，若AC
边的长为整数，求AC 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 至点
E ，使DE
AD
=
，连接BE ，能得到EDB
ADC
V
V
≌
，所以AC
BE
=
，进而利用三角形的任意两边之和大于
第三边解决问题．
【思考发现】
(1)如图①，EDB
ADC
V
V
≌
的理由是 ；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)根据小明的方法思考，可得AC 的长可能为 ；（写出一个即可）
【类比迁移】
(3)如图②，AD 是ABC
V
的中线，BG 交AC 于点G ，交AD 于点F ，AC
BF
=
．
求证：AG
FG
=
．
以下是部分证明过程：
证明：如图③，延长AD 至点E ，使DE
AD
=
，连结BE ．
⋯⋯
请完成上述证明过程．
【学以致用】
(4)如图④，在ABC
V
和
CDE
△
中，
90
ACB
DCE
Ð
= Ð
=
° ，CA
CB
=
，CD
CE
=
，连结AD 、BE ，取
AD 的中点F ，连结CF ．若
2
CF =
，则BE = ．
【答案】(1)B
(2)2（或3，4，5，6 之一）
(3)证明：如图③，延长AD 至点E ，使DE
AD
=
，连接BE ．
同（1），可证
EDB
ADC SAS
V
V
≌
，
∴BE
AC
GAF
E
=
Ð
= Ð
，
，
∵AC
BF
=
，
∴BE
BF
=
，
∴
E
BFE
Ð
= Ð
，
∵
BFE
AFG
Ð
= Ð
，
∴
AFG
GAF
Ð
= Ð
；
∴AG
FG
=
．
(4)4
【分析】（1）由题意知AD
DE
=
，
ADC
EDB
Ð
= Ð
，CD
BD
=
，可得
EDB
ADC SAS
V
V
≌
；
（2）由EDB
ADC
V
V
≌
得BE
CA
=
，在ABE
V
中，根据三角形三边关系可得AE
AB
BE
AE
AB
-
<
<
+
，进而
即可求解；
（3）倍长AD 至E，连 BE ，同（1）可证
EDB
ADC SAS
V
V
≌
， 得出BE
AC
GAF
E
=
Ð
= Ð
，
，结合
AC
BF
=
，可得BE
BF
=
，由等边对等角可得
E
BFE
AFG
Ð
= Ð
= Ð
，等量代换后可得
AFG
GAF
Ð
= Ð
，根
据等角对等边即可得出结论；
（4）倍长 CF 至G，连DG ，同（1），可证
DFG
AFC SAS
V
V
≌
，进而证明
BCE
GDC SAS
V
V
≌
，可得
2
BE
CG
CF
=
=
.
【详解】（1）解：在EDB
V
和ADC
V
中，
AD
DE
ADC
EDB
CD
BD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\
EDB
ADC SAS
V
V
≌
，
故选：B；
（2）解：Q
EDB
ADC
V
V
≌
，
\ BE
CA
=
，
Q 在ABE
V
中，
3
AB =
，
2
4
AE
AD
=
=
，AE
AB
BE
AE
AB
-
<
<
+
，，
∴4
3
4
3
BE
-
<
<
+
， 即1
7
BE
<
<
，
∵AC 为整数，BE
CA
=
，
∴AC 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一.
（3）略
（4）解：如图，延长CF 至点G ，使FG
CF
=
，连DG ，
∴
2
4
CG
CF
=
=
，
同（1），可证
DFG
AFC SAS
V
V
≌
，
∴
,
DG
AC
GDF
CAF
=
Ð
= Ð
.
∵CA
CB
=
，
∴DG
BC
=
，
∵
90
ACB
DCE
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
ACD
BCE
°
Ð
+ Ð
=
.
在ACD
V
中，
180
ACD
CAD
ADC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
BCE
CAD
ADC
GDF
ADC
GDC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
，
又∵DC
CE
=
，
∴
BCE
GDC SAS
V
V
≌
，
∴
4
BE
GC
=
=
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性
质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键．
25．如图1，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
°，AC
BC
=
，直线l 经过点C，过A 作AD
l
^ ，垂足为D，过B
作BE
l
^ ，垂足为E．
(1)求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)若
5
AD =
，
13
DE =
，求BE 的长；
(3)如图2，延长AD 至F ，连接CF ，过点C 作CG
CF
^
，且CG
CF
=
，连接BG 交直线l 于点H，若
12
CGH
SV
=
，
6
CD =
，求AF 的长．
【答案】(1)证明：Q直线l 经过点C ，AD
l
^ ，垂足为D ，BE
l
^ ，垂足为E ，
90
ADC
CEB
\Ð
= Ð
=
°，
90
ACB
°
Ð
=
Q
，
90
CAD
BCE
ACD
Ð
Ð
Ð
\
=
=
°-
，
在ADC
V
和CEB
V
中，
CAD
BCE
ADC
CEB
AC
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
ADC
CEB
\△
≌△
；
(2)8
(3)8
【分析】（1）由AD
l
^ ，BE
l
^ ，得
90
ADC
CEB
Ð
= Ð
=
° ，因为
90
ACB
Ð
=
°，所以
90
CAD
BCE
ACD
Ð
= Ð
=
°- Ð
，而AC
CB
=
，即可根据AAS 证明△
≌△
ADC
CEB ；
（2）由全等三角形的性质得
5
AD
CE
=
=
，因为
13
DE =
，所以
8
CD
BE
DE
CE
=
=
-
=
；
（3）作GL
l
^ 于点L ，则
90
CLG
FDC
BEH
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，由CG
CF
^
，推导出
LCG
F
Ð
= Ð
，而GC
CF
=
，
可证明CLG
FDC
V
V
≌
，得
6
GL
CD
=
=
，CL
FD
=
，则GL
BE
=
，再证明GHL
BHE
V
V
≌
，得HL
HE
=
，由
1
6
12
2
CGH
S
CH
=
´
=
V
，求得
4
CH =
，则
2
8
CE
CL
CH
+
=
=
，即可求得
8
AF =
．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得△
≌△
ADC
CEB ，
5
AD
CE
\
=
= ，CD
BE
=
，
13
DE =
Q
，
13
5
8
CD
BE
DE
CE
\
=
=
-
=
-
=
，
BE
\
的长是8 ．
（3）解：如图2 ，作GL
l
^ 于点L ，则
90
CLG
FDC
BEH
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
CG
CF
^
Q
，
90
FCG
\Ð
=
°，
90
LCG
F
FCD
\Ð
= Ð
=
°- Ð
，
在CLG
V
和
FDC
V
中，
CLG
FDC
LCG
DFC
CG
FC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
CLG
FDC
\V
V
≌
，
6
GL
CD
\
=
=
，CL
FD
=
，
CD
BE
=
Q
，
GL
BE
\
=
，
在GHL
V
和
BHE
△
中，
GHL
BHE
GLH
BEH
GL
BE
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
GHL
BHE
\V
V
≌
，
HL
HE
\
=
，
小学
初中
Q
1
1
6
12
2
2
CGH
S
CH GL
CH
=
×
=
´
=
V
，
4
CH
\
=
，
CE
CH
HE
=
-
Q
，CL
CH
HL
CH
HE
=
+
=
+
，
2
8
CE
CL
CH
HE
CH
HE
CH
\
+
=
-
+
+
=
=
，
AD
CE
=
Q
，FD
CL
=
，
8
AF
AD
FD
CE
CL
\
=
+
=
+
=
，
\线段AF 的长为8 ．
