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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 24 第十三章 三角形 知识点一 三角形的概念及分类 1. 定义：三条不在同一直线上的线段首尾顺次封闭相接形成三角形，具备 3 个顶点、3 条边、3 个 内角。 2. 按角划分 锐角三角形：三内角均为锐角； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24 直角三角形：有一个直角，剩余两角互余； 钝角三角形：有一个钝角。 3. 按边划分 不等边三角形：三边长度互不相等； 等腰三角形：两条边相等；特殊等腰三角形为等边三角形，三边相等，内角均 60°。 知识点二 三角形中三边关系 1. 两条核心不等式： ① 任意两边之和大于第三边； ② 任意两边之差小于第三边。 2. 取值范围：已知两边长 𝑚、𝑛 (𝑚> 𝑛)，第三边 𝑥 取值范围：𝑚−𝑛< 𝑥< 𝑚+ 𝑛。 3. 用途：判断线段能否组成三角形、求第三边取值、求整数边长。 知识点三 三角形的高线、中线、角平分线 1. 高：过顶点作对边垂线，顶点到垂足线段；三条高交于垂心，钝角三角形两条高在形外。 2. 中线：顶点连接对边中点；三条中线交于重心，任意一条中线把三角形分成面积相等两部分。 3. 角平分线：平分三角形内角，交对边；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。 4. 统一性质：任意三角形都各有三条高、中线、角平分线，且各自交于一点。 知识点四 三角形的内角和定理 1. 核心结论：三角形内角和恒等于 180∘。 2. 重要推论：直角三角形两个锐角相加等于 90∘；若三角形两内角互余，则为直角三角形。 3. 常见题型：角度计算、含未知数角度求值、证明角度相等。 知识点五 三角形的外角定义和定理 1. 外角定义：三角形一条边与另一边延长线形成的角，每个顶点有一对相等外角。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 24 2. 外角定理 1：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角相加。 1. 外角定理 2：三角形一个外角大于任意一个不相邻的内角。 2. 拓展：三角形三个外角相加总和为 360∘。 易错点1 画三角形的高线易错问题 易错提醒 一、易错点总结 1. 只会画锐角三角形高，不会画直角、钝角三角形的高。 2. 钝角三角形两条高在三角形外部，学生习惯性画在内部，导致完全错误。 3. 画高不垂直、不标直角符号，没有从顶点出发，随意画线。 4. 混淆“高”与“中线、角平分线”，误画成平分线段或平分角。 二、注意事项总结 1. 高的唯一标准：过顶点、垂直对边（或对边延长线）。 2. 锐角三角形：三条高全在内部；直角三角形：两条高与直角边重合；钝角三角形：钝角两条邻边上的 高在外部。 3. 外部高必须先延长对边，再作垂线。 4. 作图必须标注直角符号，保证规范得分。 【对点训练】1．如图， 90 E F ADC = = = ，以下说法不正确的是（） A．AD是ABC 的边BC 上的高 B．CE 是 ACE △ 的边AC 上的高 C．AF 是 ABF △ 的边BF 上的高 D．BF 是ABC 的边AC 上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 24 段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵ 90 ADC = ， ∴AD BC ⊥ ， ∴AD是ABC 的边BC 上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵ 90 E = ， ∴CE AE ⊥ ， ∴CE 是 ACE △ 的边AE 上的高，不是边AC 上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵ 90 F = ， ∴AF BF ⊥ ， ∴AF 是 ABF △ 的边BF 上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵ 90 F = ， ∴BF AC ⊥ ， ∴BF 是ABC 的边AC 上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题 易错提醒 一、易错点总结 1.折叠题只算一种情况，忽略多解（折叠后顶点可落在三角形内部或外部）。 2.不会利用“折叠前后角度相等”，找不到等量关系。 3.角度推导混乱，乱用内角和、平角、对顶角关系。 4.忽略折叠后产生的重叠角、两倍角关系，计算出错。 二、注意事项总结 1.折叠核心：折叠前后对应角相等，所有重合角度完全一样。 2.遇折叠题型必须分类：落点在内部、落点在外部两种情况，防止漏解。 3.解题固定套路：找相等角 → 利用平角/内角和 180 → 列方程求解。 4.出现折叠夹角问题，优先使用“两倍关系”快速解题。 【对点训练】2．在ABC 中，已知 80 A = ， 30 C = ，现把 CDE △ 沿DE 进行不同的折叠得C DE ，对 折叠后产生的夹角进行探究： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 24 (1)如图（1）把 CDE △ 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求1 2 +的和； (2)如图（2）把 CDE △ 沿DE 折叠覆盖 A ，则求1 2 +的和； (3)如图（3）把 CDE △ 沿DE 斜向上折叠，探求1 、 2 、 C 的关系． 【答案】(1)60 (2)50 (3) 2 1 2 C −= 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为 全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，1 180 2 CDE = − ， 2 180 2 CED = − ，再根据三角形内角和定理 比可求出答案； （2）连接DG ，将 ADG AGD + 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将 2 看作180 2 CED − ，1 看作2 180 CDE − ，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知： 2 CDC CDE = ， 2 CEC CED = ， 30 C = ， 1 2 180 2 180 2 CDE CED += − + − ( ) 360 2 CDE CED = − + ( ) 360 2 180 C = − − 2 C = 60 = ； （2）解：连接DG ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 24 由折叠性质可知： 30 C C = = ， 80 A = ， ( ) 1 2 180 C ADG AGD + = − − + ( ) 180 30 180 80 = − − − 50 = ； （3）解： ( ) 2 1 180 2 2 180 CED CDE −= − − − ( ) 360 2 CDE CED = − + ( ) 360 2 180 C = − − 2 C = ， 所以： 2 1 2 C −= ． 易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题 易错提醒 一、易错点总结 1.混淆内角平分线、外角平分线模型，公式乱用。 2.不会区分“相邻内角、不相邻内角”，外角定理使用错误。 3.多角叠加题型，角度推导逻辑混乱，跳步导致错结果。 4.二级结论记混：内角平分线夹角、内外角平分线夹角公式记错。 二、注意事项总结 1.严格区分：外角只等于两个不相邻内角和，绝不包含相邻内角。 2.角平分线题型优先标出相等小角，设未知数解方程最稳妥。 3.熟记两大必考模型： ① 两内角平分线夹角 = 90^∘+1/2 顶角 ② 一内一外平分线夹角 = 1/2 顶角 4.综合题先找外角、再找等分角、最后用内角和收尾，步骤不乱、不丢分。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 24 【对点训练】3．如图，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的平分线交于 1A ． (1)如图1，若 70 A = ，则 1A = ． (2)如图2 ，四边形ABCD中，ABC 的角平分线及外角 DCE 的角平分线相交于点F ，若 230 A D + = ， 求 F 的度数． (3)如图3，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的角平分线交于 1A ，若E 为BA延长线上一动点，连 接EC ， AEC 与 ACE 的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论： 1 Q A + ① 的值为定值； 1 Q A − ② 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)35 (2)25 (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ，再由三角形外角的性质得到 ( ) 1 1 2 A ACD ABC = − ， 70 ACD ABC BAC − = = ，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ，根据三角形外角的性质得到 ( ) 1 2 F DCE ABC = − ，利用四边形内角和定理得到 130 ABC BCD + = ，则 50 DCE ABC − = ，由 此即可求出 25 F = ； （3）同理可得 1 1 2 A BAC = ， 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ，利用三角形内角和定理得到 ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ，再由三角形外角的性质得到 BAC AEC ACE = + ，即可得到 1 180 2 Q BAC = − ，由此即可得到结论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 24 【详解】（1）解：∵ 1 BA 平分 1 ABC CA ， 平分 ACD ， ∴ 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ， ∵ 1 1 1 A ACD ABC = − ， ∴ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 A ACD ABC ACD ABC = − = − ， ∵ 70 BAC = ， ∴ 70 ACD ABC BAC − = = ， ∴ 1 1 70 35 2 A = = ， 故答案为：35； （2）解：∵BF 平分 ABC CF ， 平分 DCE ， ∴ 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ， ∴ ( ) 1 2 F FCE FBC DCE ABC = − = − ， ∵ 230 A D + = ， ∴ ( ) 360 130 ABC BCD A D + = −+ = ， ∴ ( ) 180 130 ABC DCE + − = ， ∴ 50 DCE ABC − = ， ∴ ( ) 1 25 2 F DCE ABC = − = ； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得 1 1 2 A BAC = ， ∵EQ 平分 AEC CQ ， 平分 ACE ， ∴ 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ， ∵ ( ) 180 Q QEC QCE = − + ， ∴ ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ， ∵ BAC AEC ACE = + ， ∴ 1 180 2 Q BAC = − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 24 ∵ 1 1 2 A BAC = ， ∴ 1 1 1 180 180 2 2 Q A BAC BAC + = − + = ， ∴ 1 Q A + 的值为定值，①正确，其值是180． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 一、单选题 1．如图，在ABC 中，BC 边上的高是（ ） A．线段CE B．线段AB C．线段BF D．线段AD 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，BC 边上的高是线段AD． 2．在平面直角坐标系中，有点 ( ) 0,3 D 、 ( ) 0, 2 E − 、 ( ) 6, 2 F − ，则DEF 是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点 ( ) 0,3 D 、 ( ) 0, 2 E − 、 ( ) 6, 2 F − ， ∴DE EF ⊥ ， 5 DE = ， 6 EF = ， ∴ 90 DEF = ， ∴ DEF 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C 符合题意． 3．如图，已知MN PQ ∥ ，点B 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，点A在直线MN 上方，点E 在DB的延长 线上．若 : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = ， A = ，则 E =（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / A． B． 1 36 5 + C．90 − D． 4 144 5 − 【答案】B 【分析】延长DE 交PQ 于点F ，AC 交MN 于点G ，根据 : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = 可设设 4 ABD x = ， DBN x = ， 4 ACE y = ， ECP y = ，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出 180 5 x y + + = ，再由MN PQ ∥ 即可得出结论． 【详解】解：如图，延长DE 交PQ 于点F ，AC 交MN 于点G ， : 4:1 ABD DBN = ， : 4:1 ACE ECP = ， 设 4 ABD x = ， DBN x = ， 4 ACE y = ， ECP y = ， 5 ABN ABD DBN x = + = ， 5 ACP ACE ECP y = + = ， ABN 是ABG 的一个外角， 5 AGB ABN A x = −= − ， MN PQ ∥ ， 5 ACQ AGB x = = − ， 180 ACP ACQ = − ， ( ) 5 180 5 y x = − − ， 即 180 5 x y + + = ， MN PQ ∥ ， EFC DBN x = = ， 180 1 36 5 5 BEC EFC ECP x y + = + = + = = + ， 即 1 36 5 E = + ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 4．如图，把ABC 纸片沿着DE 折叠，使点A落在四边形BCDE 内部点A处，已知 B C = ，1 2 60 += ， 则 B 的度数是（ ） A．75 B．70 C．65 D．60 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出 ADE ADE = ，AED AED = ，利用平角的定义推导出 1 2 2 A + = ， 从而求出 A 的度数，最后根据三角形内角和定理及 B C = 求解即可. 【详解】解：∵把ABC 纸片沿着DE 折叠，点A 落在四边形BCDE 内部点A处， ∴ ADE ADE = ， AED AED = ， ∵ 1 180 2 ADE = − ， 2 180 2 AED = − ， ∴ ( ) 1 2 360 2 ADE AED + = − + ， 在ADE 中， 180 ADE AED A + = − ， ∴ ( ) 1 2 360 2 180 2 A A + = − − = ， 1 2 60 + = ， ∴2 60 A = ， ∴ 30 A = ， 在ABC 中， 180 A B C + + = ，且 B C = ， ∴2 180 180 30 150 B A = − = − = ， ∴ 75 B = ． 5．如图，在ABC 中， 8 AC BC = = ， 24 ABC S = ，P 为AB 边上一动点（不与A，B 重合），PE AC ⊥ 于点 E，PF BC ⊥ 于点F，则PE PF + 的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 【分析】连接CP ，利用面积法将ABC 的面积表示为APC 与BPC 的面积之和，结合AC BC = 即可求出 PE PF + 的值． 【详解】解：如图，连接CP ， ABC APC BPC S S S = + ， 1 1 2 2 ABC S AC PE BC PF = + ， 8 AC BC = = ， 24 ABC S = ， 1 1 24 8 8 2 2 PE PF = + ， 24 4( ) PE PF = + ， 6 PE PF + = ． 二、填空题 6．如图，在ABC 中， 8 AB = ， 7 BC = ，AE 为BC 边上的高， 6 AE = ，P 为AB 上一动点，则PC 的最小 值为________． 【答案】21 4 【分析】先求出ABC 的面积，根据垂线段最短可得当PC AB ⊥ 时，PC 有最小值，据此根据三角形的面积 公式求解即可． 【详解】解：∵在ABC 中， 7 BC = ，AE 为BC 边上的高， 6 AE = ， ∴ 1 21 2 ABC S AE BC = = ； ∵P 为AB 上一动点， ∴由垂线段最短可知，当PC AB ⊥ 时，PC 有最小值， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 此时有 1 21 2 ABC S AB PC = = ， ∵ 8 AB = ， ∴此时 21 4 PC = ，即PC 的最小值为21 4 ． 7．如图，已知1l 平行于2l ，ABC 是等腰直角三角形， 90 BAC = ，顶点A，B 分别在1l ，2l 上，当 1 70 = 时， 2 =__________． 【答案】65 【详解】解：如图， ∵1l 平行于2l ， ∴ 3 1 70 = = ， ∵ABC 是等腰直角三角形， ∴ 45 ABC = ， ∴ 2 180 3 65 ABC = − −= ． 8．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，连接AD，点E 在AD上，且 3 DE AE = ，连接BE，CE ．若BDE 的面积为36，则 AEC △ 的面积为__________． 【答案】 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 【分析】先根据D 是BC 的中点，得出BDE 和CDE 面积相等，求出CDE 的面积；然后根据 3 DE AE = ， 利用等高三角形面积比等于底边比，求出AEC 的面积． 【详解】解：∵D 是BC 的中点， BD CD = ， 36 CDE BDE S S = = ， ∵点E 在AD上，且 3 DE AE = ， 1 3 AE DE = ， AEC 和DEC 的高相等，均为点C 到AD的距离， 1 3 AEC DEC S AE S DE = = ， 1 1 36 12 3 3 AEC DEC S S = = = ． 9．如图，将一块含有45角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果 2 65 = ，那么1 的度数为 ________． 【答案】20 【分析】直尺上下两边互相平行，利用平行线的内错角相等，先求出三角板下方与 2 对应的内错角，再结 合等腰直角三角板的45角，通过角的差计算出1 ． 【详解】解：直尺的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，三角板下方与 2 相等的内错角为65． 已知三角板含45锐角，由角的和差关系： 1 65 45 20 = − = ． 10．如图，将直角三角形纸片ABC 的直角C 沿EF 折叠，点C 落到纸片内部的点C处．如果 40 FEC = ， 那么 BFC =____________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / 【答案】80 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 C FE 的度数，再结合平角的定 义计算即可． 【详解】解： EFC 由 EFC 翻折得到， 90 C = ， 90 C C = = ， CFE C FE = ， 180 180 90 40 50 CFE C FE C FEC = = − − = − − = ， 180 180 50 50 80 BFC CFE C FE = − − − = = − ． 三、解答题 11．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组 得到了一个结论：已知ABC ，如图1，若点P 是 ABC 和 ACB 的角平分线的交点，则 1 90 2 P A = + ． 证明如下： BP ，CP 是 ABC 和 ACB 的角平分线， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， ( ) 2 180 A PBC PCB + + = ， 1 90 2 PBC PCB A + = − ， ( ) 1 1 180 180 90 90 2 2 P PBC PCB A A = − + = − − = + ． 【问题解决】 (1)如图2，若点P 是外角 CBF 和 BCE 的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证 明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在ABC 中， ABC 、 ACB 的角平分线交于点P ，将ABC 沿DE 折叠使得点A与点P 重合， 若1 2 76 += ，求 BPC 的度数． 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为 1 90 2 P A = − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / 证明： BP ，CP 是 CBF 和 BCE 的角平分线， 1 2 PBC CBF = ， 1 2 PCB BCE = ， ( ) 1 1 1 180 180 180 2 2 2 P PBC PCB CBF BCE CBF BCE = − − = − − = − + ， 又 CBF A ACB = + ， BCE A ABC = + ， ( ) ( ) 1 1 1 180 180 180 90 2 2 2 P A ACB A ABC A A = − + ++ = − + = − ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为 1 90 2 P A = − ． (2)109 【分析】 （1）由角平分线的定义得 1 2 PBC CBF = ， 1 2 PCB BCE = ，由外角的性质得 CBF A ACB = + ， BCE A ABC = + ，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接AP ，由外角的性质得1 EAP EPA = + ，2 DAP DPA = + ，由折叠的性质得：EAD EPD = ， 即可求出 EAD 的度数，再根据题干的结论 1 90 2 BPC EAD = + ，即可求出 BPC 的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接AP ， 1 EAP EPA = + ， 2 DAP DPA = + ， 1 2 EAP EPA DAP DPA EAD EPD += + + + = + ， 由折叠的性质得： EAD EPD = ， 1 2 2 76 EAD += = ， 38 EAD = ， 由题干的结论得： 1 90 2 BPC EAD = + ， 1 90 38 109 2 BPC = + = ． 12．如图，CD、CE 分别是ABC 的高和中线，若 5cm AC = ， 12 BC cm = ， 13cm AB = ， 90 ACB = 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / (1)求CD的长 (2)求BCE 与 ACE △ 的周长差 【答案】(1) 60 cm 13 (2)7cm 【分析】( ) 1 根据三角形的面积公式解答即可； ( ) 2 利用三角形中线的定义可得AE BE = ，即得BCE 的周长 ACE − 的周长 BC AC = − ，代入已知数据即可 求解． 【详解】（1）解：∵CD是ABC 的高， 90 ACB = ， ∴ 1 1 2 2 ABC S AB CD AC BC = = ， ∵ 5cm AC = ， 12 BC cm = ， 13cm AB = ， ∴1 1 13 5 12 2 2 CD = ， ∴ 60 cm 13 CD = ； （2）解：∵CE 是ABC 的中线， ∴AE BE = ， ∴BCE 的周长 ACE − 的周长 ( ) BC CE BE AC CE AE = + + − + + BC AC = − 12 5 = − 7cm = ． 13．数学探究 在ABC 中，已知 A = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / (1)如图1， ABC ， ACB 的平分线相交于点P ． ①当 70 = 时， BPC = ________；（直接写出结果） ② BPC 的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，ABC ，ACB 的平分线相交于点P ，作ABC 外角 MBC ，NCB 的角平分线交于点Q ．求 BQC 的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC 内部和外部，且满足 ABC n PBC = ，ACB n PCB = ，MBC n QBC = ，NCB n QCB = ．分别求 BPC ，BQC 的度数． （用 含、n 的代数式表示） 【答案】(1)①125；② 1 90 2 + (2) 1 90 2 − (3) ( ) 1 180 n BPC n − + = ； ( )1 180 n BQC n − − = 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：①BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， 1 1 180 ( ) 180 ( 18 1 1 1 ) 90 2 0 (180 ) 18 2 0 ( 80 ) 2 2 PBC PCB A C B ACB BP C A + = + = = − − − − = − + − = ， 当 70 = 时， 1 90 70 125 2 BPC + = = ； ②由①可知， 1 90 2 BPC = + ． （2）解： MBC A ACB = + ， = + NCB A ABC ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 2 180 MBC NCB A ABC ACB + = + + = + ． 点Q 是ABC 的外角 MBC ， NCB 的角平分线的交点， 1 2 QBC MBC = ， 1 2 QCB NCB = ， 1 1 1 (180 ) 90 2 2 2 ( ) QBC QCB MBC NCB + = + = + = + ， 1 1 180 180 90 ( ) 90 2 2 BQC QBC QCB = − + = − + = − ． （3）解： 180 A ABC ACB + + = ， 180 180 ABC ACB A + = −= − ． ABC n PBC = ， ACB n PCB = ， 1 1 ( ) 80 PBC PCB ABC ACB n n − + = + = ， ( ) 1 180 18 ( ) 0 n BPC PBC PCB n − + = − + = ． 由（2）可知， =180 MBC NCB + + ． MBC n QBC = ， NCB n QCB = ， ( ) 1 180 QBC QCB MBC NCB n n + + = + = ， ( ) 1 180 18 ( ) 0 n BQC QBC QCB n − − = − + = ． 14．探究以下问题： (1)探究一：如图（a），BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，请确定 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ，请确定 A 与 E 的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ，请确定 A 与 F 的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在ABC 中， 56 A = ，BD，CD分别平分 ABC ，ACB ，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 MBC ，BCN ，BF ，CF 分别平分 EBC ，ECQ ，则 F = ________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 【答案】(1) 1 90 2 D A = + ， 理由：∵BD平分 ABC ，CD平分 ACB ， ∴设 DBC DBA = = ， DCB DCA = = ， ∴ ( ) 180 D = − + ， ( ) 180 2 A = − + ， ∴ 180 D + = − ， 1 90 2 A + = − ， ∴ 1 180 90 2 D A − = − ， ∴ 1 90 2 D A = + ． (2) 1 2 = E A (3) 1 90 2 F A = − (4)15 5. 【分析】 （1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出 D 和 A 与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出 A 和 E 与α， β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出 A 和 F 与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ， ∴设 ABE CBE = = ， ACE MCE = = ， 由三角形外角的性质可得：2 2 A = + ， E = + ， ∴ 2 2 A = − ， = − E ， ∴ 1 2 = E A． （3）解：∵BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ， ∴设 PBF CBF = = ， QCF BCF = = ， 由三角形外角的性质可得：2 2 180 A ACB A ABC A + = + + + = + ， 180 F + = − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / ∴ 1 90 2 A + = + ， ∴ 1 90 180 2 A F + = − ， ∴ 1 90 2 F A = − ． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得： 1 90 118 2 D A = + = ， ∴ 1 90 31 2 E D = − = ， ∴ 1 15.5 2 F E = = ． 15．【初步认识】 (1)如图1，在ABC 中，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，若 70 A = ，则 ABC ACB + = _____；BPC = _____； 【继续探索】 (2)如图2， ABE ，ACE 的平分线BF ，CF 相交于点F ，若 70 A = ， 130 BEC = ，求 BFC 的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在ABC 中，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，BN 平分外角 EBC ，CN 平分外角 FCB ，延 长BP，NC 交于点M ．在BMN 中，有一个内角为30，直接写出 A 的度数． 【答案】(1)110，125； (2)100； (3)60或120． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 110 ABC ACB + = ，根据角平分线的定义得到 55 PBC PCB + = ，根据三角形内角和定理可知 125 BPC = ； （2）根据三角形内角和定理求出 180 50 EBC ECB BEC + = − = ，进而求出 ( ) 180 60 EBA ECA EBC ECB A + = − + − = ，根据角平分线的定义得到 ( ) 1 30 2 EBF ECF EBA ECA + = + = ，根据三角形内角和定理计算即可； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / （3）根据角平分线的定义求出 90 MBN = ，可知30只能是 M 或 BNM ，根据三角形外角的性质得到 180 EBC FCB A + = +，根据角平分线的定义求出 1 90 2 NBC NCB A + = + ，根据三角形内角和定理 求出 1 90 2 BNM A − = ，则 1 2 M A = ，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵ 70 A = ， ∴ 180 180 70 110 ABC ACB A + = −= − = ， ∵BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， ∴ 1 ( ) 55 2 PBC PCB ABC ACB + = + = ， ∴ ( ) 180 125 BPC PBC PCB = − + = ； （2）解：如图，连接BC ， ∵ 130 BEC = ， ∴ 180 50 EBC ECB BEC + = − = ， ∵ 70 A = ， ∴ ( ) 180 60 EBA ECA EBC ECB A + = − + − = ， ∵ ABE ， ACE 的平分线BF ，CF 相交于点F ， ∴ ( ) 1 30 2 EBF ECF EBA ECA + = + = ， ∴ ( ) ( ) 180 100 BFC EBC ECB EBF ECF = − + − + = ； （3）解：∵BP平分 ABC ，BN 平分外角 EBC ， 180 ABC EBC + = ， ∴ 1 1 90 2 2 PBN ABC EBC = + = ，即 90 MBN = ， 因此30只能是 M 或 BNM ． 根据三角形外角的性质得到 180 EBC A ACB A ABC A FCB + + = ++ = +， ∵BN 平分外角 EBC ，CN 平分外角 FCB ， ∴ 1 90 2 NBC NCB A + = + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / ∴ ( ) 1 180 90 2 BNC NBC NCB A = − + = − ，即 1 90 2 BNM A − = ， ∴ 1 180 2 M MBN BNM A = − − = ， 分情况讨论： 若 30 M = ，则1 30 2 A = ，解得 60 A = ； 若 30 BNM = ，则 1 90 30 2 A − = ，解得 120 A = ； 综上所述， A 的度数为60或120．
