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第二章
实数
知识点一平方根和立方根
1.
算术平方根
若�2 = � (�> 0)，则�是�的算术平方根，记作
�。算术平方根一定是非负数，0 的算术平
方根是0。只有非负数才有算术平方根。
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2.
平方根
若�2 = �，则�叫做�的平方根。正数有两个平方根，互为相反数；0 的平方根是0；负数没有
平方根。书写格式：正数平方根为±
�。
3.
重要公式
( �)2 = � (�≥0)，�2 = |�|（重点易错：开方出来必须非负）
4.
立方根
若�3 = �，则�为�的立方根，记作
3 �。任意实数都有唯一立方根：正数立方根为正，负数立
方根为负，0 的立方根为0。满足
3 −�=−
3 �。
5.
平方根与立方根最大区别
平方根：负数无；两个互为相反数；结果非负。
立方根：全体实数都有；一数一立方根；符号与原数一致。
知识点二无理数与实数
1.
有理数
整数和分数统称有理数，对应有限小数、无限循环小数，可以写成分数形式。
2.
无理数
无限不循环小数叫做无理数，不能写成分数。四类常考：①开方开不尽的数；②含�的数；③
无限不循环构造小数；④部分特殊根式。
3.
实数分类
实数= 有理数+ 无理数
4.
实数核心性质
实数和数轴上的点一一对应；实数都有相反数、绝对值、倒数；有理数的运算法则、运算律全部适
用于实数。
5.
实数大小比较
数轴右侧数更大；正数大于0 大于负数；两负数比较，绝对值大的反而小；根式比较可平方后比
较。
知识点三二次根式的相关概念和性质
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1.
定义与有意义条件
形如
� (�≥0) 的式子叫二次根式。双重非负性：被开方数�≥0，根式结果
�≥0（考试高频
考点）。
2.
最简二次根式标准（必须同时满足）
①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
3.
同类二次根式
几个二次根式化成最简后，被开方数相同，即为同类二次根式，可以合并。
4.
三大基本性质
①( �)2 = � (�≥0)
②
�2 = |�|
③积、商的开方性质：��=
�⋅
�(�, �≥0)，
�
�=
�
�(�≥0, �> 0)
知识点四二次根式的运算
1.
二次根式加减
口诀：先化简、再合并。先全部化为最简二次根式，再只合并同类二次根式，非同类不能合并。
2.
二次根式乘除
乘法：�⋅
�=
��
除法：
�
�=
�
�
运算后必须化简为最简根式。
3.
分母有理化
目的：去掉分母中的根号，是二次根式化简必考步骤。单根式分母直接分子分母同乘根式；多项式
分母利用平方差公式有理化。
4.
混合运算规则
运算顺序与有理数一致：先乘方开方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；可灵活使用交换律、
结合律、平方差、完全平方公式简便运算。
5.
最终答题要求
所有二次根式计算题，结果必须是最简二次根式，含分母根号、未开尽方全部扣分。
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易错点1
二次根式化简求值
易错提醒
易错点总结
1. 混淆两个核心公式：把
�2 直接等于�，忽略绝对值，符号出错。
2. 忽略二次根式双重非负性（被开方数≥0、根式值≥0），导致取值范围、参数求解错误。
3. 根式加减运算中，对非同类二次根式强行合并，化简错误。
3. 含字母根式化简时，不判断字母正负，直接去根号。
5. 求值题不化简直接代值，计算量大、极易算错、步骤扣分。
注意事项总结
1. 牢记公式区别：( �)2 = �(�≥0)；�2 = |�|（必考）。
2. 只要出现二次根式，先保证被开方数非负，利用非负性求参数。
3. 根式运算原则：先化简为最简二次根式，只有同类根式可合并。
4. 含字母开根号：先判正负，再去绝对值，不能盲目开方。
5. 求值严格遵守：先化简、后代入，负数、分数代入必须加括号。
【对点训练】1．计算：
(1)
3
2 12
5 2
4
(2)
2 3
6
2 3
6
【答案】(1) 3 2
10
(2)6
【分析】（1）利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
3
1
2 2 3
4
5 2
，
3
5 2
，
3 2
10
；
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（2）解：原式
2
2
(2 3)
( 6)
，
12 6
，
6
．
易错点2
勾股定理与实数
易错提醒
易错点总结
1. 勾股计算得出根式结果，不化简、不分母有理化，答案不标准扣分。
2. 混淆边长与边长平方，算出平方值直接当作边长写答案。
3. 三角形边长为无理数时，不会比较大小，误判斜边，公式代错边。
4. 折叠、最短路径、网格题中，算出实数结果不整理，留有未开尽方、分母带根号。
注意事项总结
1. 几何计算含根式，最终结果必须是最简二次根式。
2. 求边长必须开方，求面积、平方关系不用开方，看清题目要求。
3. 无理数比大小：优先比较平方值，避免近似小数出错。
4. 勾股与实数综合题，最后必须检查：无分母根号、无开不尽方、格式规范。
【对点训练】2．如图，4 4
的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶
点都在格点上的直角三角形．
(1)直角三角形的三边中有一边长是无理数；
(2)直角三角形的三边中有两边长是无理数；
(3)直角三角形的三边长都是无理数．
【答案】(1)
如图①，ABC
即为所求；
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(2)
如图②，ABC
即为所求；
(3)
如图③，ABC
即为所求；
【分析】（1）构造边长为2 ，3，13 的直角三角形即可（答案不唯一）；
（2）构造边长为2 2 ，2 2 ，4 的直角三角形即可（答案不唯一）；
（3）构造边长为2 2 ，
2 ，10 的直角三角形即可（答案不唯一）．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
易错点3
复合二次根式的化简
易错提醒
易错点总结
1. 不会拆分
�± 2 �型复合根式，盲目开方。
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2. 找不出满足和、积条件的两个数，配方错误。
3. 化简后正负判断错误，忽略算术平方根结果必须为正。
4. 多层根式运算顺序混乱，从外层开始化简，导致全盘错误。
注意事项总结
1. 复合根式标准配方：�± 2 �=
�±
�，满足�+ �= �，��= �。
2. 先凑”2 倍根号”结构，没有2 倍先变形构造，再配方化简。
3. 化简结果一定为正数，配方后舍去负根。
4. 多层根式：由内向外逐层化简，每层都化为最简根式再计算。
【对点训练】3．阅读材料：把根式
2
x
y
进行化简，若能找到两个数
,
m n ，使
2
2
m
n
x
，mn
y
，
即把
2
x
y
变成
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
，从而可以对根式
2
x
y
进行化简．
例如：化简：
5
2 6
．
解：
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
3
2
2
3
2
，
2
5
2 6
3
2
3
2
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：
6
4 2
．
(2)化简：
2
1
m
m
．
(3)计算：19
8 3
10
4 6
．
【答案】(1)2
2
(2)
1
1
m
(3)6
3
6
【分析】（1）仿照例题即可求解；
（2）将
2
1
m
m
化为
2
1 1
m
，再利用二次根式的性质化简计算；
（3）将19
8 3
10
4 6
变形为
2
2
4
3
6
2
，再利用二次根式的性质化简计算．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
6
4 2
2
2 2
2
2
2
2
，
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∴
2
6
4 2
2
2
2
2
；
（2）解：∵
2
1
m
m
1
2
1 1 1
m
m
2
2
1
2
1 1 1
m
m
2
1 1
m
，
而
1
0
m
，则
1 1
0
m
∴
2
2
1
1
1
1
1
m
m
m
m
；
（3）解：19
8 3
10
4 6
2
2
4
3
6
2
4
3
6
2
4
3
6
2
6
3
6
．
易错点4
与实数相关的规律题
易错提醒
易错点总结
1. 只观察数字变化，忽略符号、根号结构、循环特征。
2. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一通项公式写错。
3. 无理数、根式序列不会整理结构，找不到变化规律。
4. 写出规律公式后不验证，代入前几项对不上仍直接使用。
注意事项总结
1. 实数规律四要素：符号、根号内数字、系数、项数奇偶性。
2. 正负交替统一用( −1)�或( −1)�+1 表示。
3. 根式规律保持结构统一，先整理最简根式再找变化。
4. 通项公式写出后，必须代入�= 1、�= 2 验证无误。
【对点训练】4．阅读下列解题过程：
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①
2
3
1
1
1
1
4
4
2
2
；
②
2
5
4
2
2
1 9
9
3
3
；
③
2
7
9
3
3
1 16
16
4
4
；
……
(1)请写出第④个等式：____________；
(2)猜想：
2
2
1
1
1
n
n
=______；（n 为正整数，填最后结果）
(3)根据你所发现的规律，计算：
3
5
7
19
1
1
1
1
4
9
16
100
．
【答案】(1)
2
9
16
4
4
1
25
25
5
5
(2)
1
n
n
(3) 1
10
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用式子的规律解答即可；
（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
【详解】（1）略
（2）解：理由如下：
2
2
1
1
1
n
n
2
2
2
2
2
2
(
1)
2
1
2
1 2
1
(
1)
(
1)
(
1)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
；
（3）解：原式
1
2
3
9
1
2
3
4
10
10
．
易错点5
新定义下的实数运算
易错提醒
易错点总结
1. 惯性使用常规运算，不按题目新定义公式计算。
2. 负数、根式、分数代入新定义公式时，位置代反、漏括号、符号错乱。
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3. 多层嵌套新运算，顺序颠倒，先算外层再算内层。
4. 运算结束后不化简根式，结果不规范，遗漏分母有理化。
注意事项总结
1. 新定义题核心：题目规则优先，禁止自创运算。
2. 固定解题步骤：抄写新公式→对应位置代数→实数运算→根式化简。
3. 所有负数、根式参与运算必须加括号，规避符号错误。
4. 多层运算从内到外，最终结果务必化为最简二次根式。
【对点训练】
5．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：
2
2
8
2
2
2
2
2
3
3
3
3
，这个根号里的2 经过适当的演变，竟
然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
3
3
3
3
8
8
，
4
4
4
4
15
15
等．
(1)【猜想】
5
5 24 ___________，并证明你的猜想；
(2)【推理证明】请你用一个正整数n （n 为“穿墙”数，
2
n
）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
(3)【创新应用】按此规律，若
9
9
a
a
b
b
（a ，b 为正整数），求2a
b
的平方根.
【答案】(1)解：
5
5
5
5
24
24
，
证明如下：
2
5
24 5
5
5
5
5
5
5
24
24
24
24
.
(2)解：
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
，
证明如下：
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
（
2
n
，n 为正整数）；
(3) 7 2
【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，猜想符合定义的结果并证明即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用
2
n n
表示，再证明即可；
（3）根据“穿墙”的定义，分别求出a ，b 的值，进一步求解平方根．
【详解】（1）略
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（2）略
（3）解：∵
9
9
a
a
b
b
∴根据（2）规律可得：
2
9
1
a
a
b
，
解得：
9
80
a
b
，
∴2
98
a
b
，
∴
2
98
7 2
a
b
．
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一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
50
B．
45
C．3
D．12
【答案】C
【分析】最简二次根式的定义：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次
根式，即为最简二次根式，对各选项逐一化简判断即可．
【详解】解：对于选项A：50
25 2
5 2
，被开方数含能开得尽方的因数25 ，故A 不是最简二次根
式；
对于选项B：
45
9 5
3 5
，被开方数含能开得尽方的因数9，故B 不是最简二次根式；
对于选项C：3 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故C 是最简
二次根式；
对于选项D：12
4 3
2 3
，被开方数含能开得尽方的因数4 ，故D 不是最简二次根式．
2．已知
2
2
2
2
43
1849,44
1936,45
2025,46
2116.
若n 为整数且
1
2026
,
n
n
则n 的值为（
）
A．43
B．44
C．45
D．46
【答案】D
【分析】本题根据已知平方数确定
2026 的范围，结合题目给出的不等式即可求出整数n 的值，用到正数
大小比较与算术平方根大小比较的关系：若正数a
b
，则
a
b
．
【详解】∵
2
45
2025
，
2
46
2116
，
又∵
2026
2116
2025
，
∴
2025
2026
2116
，
即45
2026
46
．
∵
1
2026
n
n
，且n 为整数，
∴
46
n
．
3．下列说法正确的是（
）
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A．16 的平方根是4
B．
2
2 是分数
C．3 是无理数
D．无限小数是无理数
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义，无理数与有理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、16
4
的平方根是2
，原说法错误，不符合题意；
B、
2
2 是无理数，而分数属于有理数，故
2
2 不是分数，原说法错误，不符合题意；
C、3 是无理数，原说法正确，符合题意；
D、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意．
4．实数a，b 是连续整数，如果
26
a
b
，那么a
b
的值是（
）
A．9
B．7
C．8
D．11
【答案】D
【分析】找到与26 相邻的两个完全平方数，确定
26 的范围，进而得到连续整数a 和b 的值，计算a
b
即
可．
【详解】解：
25
26
36
，
25
26
36
，即5
26
6
，
26
a
b
，且a ，b 是连续整数，
5
a
，
6
b
，
5
6
11
a
b
．
5．定义：对于任意的实数a ，b ，当a
b
时，有
2
3
a
b
a
b
；当a
b
时，
2
3
a
b
a
b
，则
1
8
（
）
A．7
B．1
C．7
D．1
【答案】D
【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可
得到结果．
【详解】解：由题意得，运算中
1
a ，
8
b
1
8
，满足a
b
，
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按定义得
2
3
1
8
a
b
，
代入计算
2
3
1
8
( 1)
8
1 2
1
.
二、填空题
6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有
2
2
a
b
a
ab
，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如
2
1
1=1
2 1 1=
1
．请计算
2
1
______．
【答案】8
【分析】根据给出的定义新运算，列出算式求解．
【详解】解：
2
2
1
2
2
2
1
4
4
8
．
7．小明编写了一个程序，如图．若输入
8
x
，则输出的数为___________．
【答案】1
2
【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解．
【详解】解：输入
8
x
，
则
2
28
64
x
，
然后3 64
4
，
4 的倒数为1
4 ，
然后得到
1
1
4
2
，
∴输出的数为1
2 ．
8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第8 行第6 个数是_________．
【答案】
62
【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可．
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【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数
的算术平方根，
且第1 行的第1 个数是1 的算术平方根，而1 1 0 1
，
第2 行的第1 个数是3 的算术平方根，而3
2 1 1
，
第3 行的第1 个数是7 的算术平方根，而7
3 2 1
，
第4 行的第1 个数是13 的算术平方根，而13
4 3 1
，
……
第8 行的第1 个数是8 7 1
57
的算术平方根，即57 ，
第6 个数是8 7
6
62
的算术平方根，即
62 ．
9．若一个正数的两个不同平方根是
7
a
和2
4
a
，则a 的立方根为________．
【答案】1
【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程求出a 的值，再计算a 的立方根即可.
【详解】解：一个正数的两个不同平方根互为相反数，
7
2
4
0
a
a
，
去括号，合并同类项得
3
3
0
a
，
解得
1
a ，
3
( 1)
1
，
1
a
的立方根为1
.
10．若8n 是整数，正整数n 的最小值是_______．
【答案】2
【分析】先化简二次根式8n ，根据二次根式的性质，若二次根式的结果为整数，则被开方数需为完全平
方数，据此找出满足条件的最小正整数n ．
【详解】解：8
4 2
2 2
n
n
n
，
8n
是整数，n 是正整数，
2n
必须是完全平方数，
∴最小的正整数n 为2 ．
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三、解答题
11．计算：
(1)
0
3 8
π
1
3
3
；
(2)
2
5
2
48
3
．
【答案】(1)0
(2)3
2 10
【详解】（1）解：原式
2 1 3
0
；
（2）解：原式
5
2 10
2
4
3
2 10
．
12．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解
决．请阅读并完成下列问题：
(1)如图1，过数轴上表示2 的点A ，作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB ，连接OB ，以点O为圆心，
以OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点C ，请直接
．．写出点C 表示的数．
(2)如图2 ，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示10 的点P ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1) 5
(2)如图，点P 即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求出
5
OB
，即可得出答案．
（2）过数轴上表示3的点A ，作数轴的垂线，并截取长度为1的线段AB ，连接OB ，以点O为圆心，以OB
为半径画弧，与数轴正半轴交于点P ．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数是2 ，
∴
2
OA
，
∵
1
AB ，AB
OA
，
∴
2
2
2
2
2
1
5
OB
OA
AB
，
∵以点O为圆心，以OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点C ，
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∴
5
OC
OB
，
∴点C 表示的数为5 ．
（2）解：∵
3
OA ，
1
AB ，AB
OA
，
∴
2
2
2
2
3
1
10
OB
OA
AB
，
∴点P 即为所求．
13．阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在
一起，得到的大正方形面积为
2
2 1
，其边长
2 就是原边长为1 的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中A0 纸的面积为1 平方米，将A0 纸沿长边对折、剪开，
便成A1 纸；将A1 纸沿长边对折、剪开，便成A2 纸；将A2 纸沿长边对折、剪开，便成A3 纸；将A3 纸
沿长边对折、剪开，便成A4 纸，如图2，我们日常使用的A4 纸就是这样由A0 纸多次对折裁开得到
的．
将A4 纸按如图3 所示的方式折叠，则A4 纸的长:宽__________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5 纸的面积是__________平方米．
(2)A4 纸的长:宽__________．
(3)按照图2 的A 系列纸生成过程，经过探究发现，A 系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都
相等．请你估算面积为1 平方米的A0 纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2
1.414, 0.7072
0.841
）
【答案】(1) 1
32
(2)
2 :1
(3)A0 纸的长为1189mm ，宽为841mm
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【分析】（1）根据A 系列纸的面积规律即可求出答案；
（2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案；
（3）设A0 纸的宽为m
x
，则长为
2 m
x
，则
2
1
x
x
，运算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，A0 纸的面积为1 平方米，
A1 纸的面积为1
2 平方米，
A2 纸的面积为
2
1
1
2
4
平方米，
A3 纸的面积为
3
1
1
2
8
平方米，
A4 纸的面积为
4
1
1
2
16
平方米，
A5 纸的面积是
5
1
1
2
32
平方米．
（2）解：如图，
由折叠的性质可知AC
AB
，由材料一可知，在图3 折叠得到正方形中
2 1
AB AF
∶
∶，
2 1
AC AF
∶
∶，即A4 纸的长宽之比为
2 1
∶；
（3）解：设A0 纸的宽为m
x
，则长为
2 m
x
，
依题意得
2
1
x
x
，
2
1
2
x
，
∵
2
1.414
，
∴
2
0.7072
x
，
∵
0.7072
0.841
x
（负值不合题意，舍去），
∴
0.841m
841mm
x
，
∴
2
1.414 841mm
1189 mm
x
，
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答：A0 纸的长为1189mm ，宽为841mm ．
14．类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次
方根、五次方根的相关知识：
若
2
0
x
a a
，则x 叫a 的二次方根；若
3x
a
，则x 叫a 的三次方根；
若
4
0
x
a a
，则x 叫a 的四次方根，记作
4
x
a
，例如：16 的四次方根记为
4 16
2
．
请认真阅读上面的材料，回答下列问题：
(1)①类似地，若_______________，则x 叫a 的五次方根，记作_______________；
②32 的五次方根为_______________；
(2)若4
1
1
0
8
4
a
b
，则5 ab _______________；
(3)求x 的值：
4
3
2
243
0
x
．
【答案】(1)①
5x
a
，
5
x
a
；②2
(2) 1
2
(3)
5
x
或
1
x
【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可；
（2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且4
1
1
0
8
4
a
b
，得
1
0
8
a
，
1
0
4
b
，故
1
8
a
，
1
4
b
，
最后代入5 ab 计算，即可作答．
（3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得
4
2
81
x
，即可作答．
【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若
5x
a
，则x 叫a 的五次方根，记作
5
x
a
．
②∵
52
32
，
∴32 的五次方根为2．
（2）解：∵4
1
0
8
a
，
1
0
4
b
，且4
1
1
0
8
4
a
b
，
∴
1
0
8
a
，
1
0
4
b
，
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解得
1
8
a
，
1
4
b
，
∴
1
1
1
8
4
32
ab
，
∵
5
1
1
2
32
，
∴5
5 1
1
32
2
ab
．
（3）解：∵
4
3
2
243
0
x
，
∴
4
3
2
243
x
，
∴
4
2
81
x
∴
4
2
81
x
，
∴
2
3
x
，
解得
1
5
x
，
2
1
x ．
15．观察下列等式：
第1 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
；
第2 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
；
第3 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
；
第4 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7 个等式：______________________________；
(2)写出第n 个等式：______________________________；（用含n 的等式表示）
(3)根据上面的结论计算：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
．
【答案】(1)
2
2
1
1
1
1
1
1
7
8
7
8
(2)
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2
2
1
1
1
1
1
1
(
1)
1
n
n
n
n
（n 为正整数）
(3)
2025 2027
2026
【分析】（1）根据规律写出第7 个等式；
（2）根据规律写出第n 个等式；
（3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算．
【详解】（1）解：第1 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
，
第2 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
，
第3 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
，
第4 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
，
，
第7 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
7
8
7
8
；
（2）解：第n 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
（n 为正整数）；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
1
2026
2026
2
2026
1
2026
2025 2027
2026
．
