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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测10
3.2-3.3 平面直角坐标系中的平移与对称
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．点
向上平移4 个单位，再向左平移3 个单位到点B，则点B 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查坐标的平移问题，熟悉坐标平移左减右加，上加下减是解题的关键．
由点
向上平移4 个单位，再向左平移3 个单位，得到
即可求解．
【详解】根据点
向上平移4 个单位，再向左平移3 个单位，得到
，
所以点
．
故选：D．
2．已知平面内不同的两点，点
，点
，关于直线
叙述一定正确的是（ ）
A．直线
轴
B．直线
轴
C．直线
轴
D．直线
轴
【答案】B
【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系．
【详解】∵点
，点
是平面内不同的两点，
∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线
上所有点的横坐标都为，
∴直线
一定垂直于轴，
当
时，直线
与
轴重合，不满足平行于
轴，因此C 不一定正确，
综上，一定正确的是B 选项．
3．在平面直角坐标系中，点
关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解．
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【详解】解：∵关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
又∵点
的坐标为
，其横坐标为，纵坐标为
，
的相反数为，
∴点
关于轴对称的点的坐标为
．
4．已知点
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PQ 平行于x 轴
B．直线PQ 平行于y 轴
C．点P 与点Q 关于x 轴对称
D．点P 与点Q 关于y 轴对称
【答案】B
【详解】已知点
，
，
∵点
和点
的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数，
∴直线
平行于
轴，不平行于轴，故A 不符合题意，B 符合题意．
若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，
与不互为相反数，故C 不符合题意．
若两点关于
轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D 不符合题
意．
选B．
5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对
称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点
的坐标为
，其关于
轴对称的点
的坐标为
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据关于
轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变得出
，
，然后代入
计算
即可．
【详解】解：∵点
的坐标
和点
的坐标
关于
轴对称，
∴
，
，
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∴
．
6．在一幅轴对称图形中，某点的坐标为
，其对称点的坐标为
，则该轴对称图形的对称轴是（ ）
A．x 轴
B．y 轴
C．直线
D．直线
【答案】B
【详解】解：
和
横坐标互为相反数，纵坐标相同，对称轴为y 轴．
7．如图，在平面直角坐标系中，动点
按图中箭头所示方向依次运动，第1 次从点
运动到点
，
第2 次运动到点
，第3 次运动到点
，…按这样的运动规律，动点
第2026 次运动到点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察图形可知，点
的运动规律：横坐标每运动一次就右移1 个单位；纵坐标以1，0，
，0 为
一个循环组，然后根据点
运动了2026 次进行求解即可．
【详解】解：
第1 次从点
运动到点
，第2 次运动到点
，第3 次运动到点
，第4 次
运动到点
，
点
的运动规律：横坐标每运动一次就右移1 个单位；纵坐标以1，0，
，0 为一个循环组，
∵点
运动了2026 次，
动点
的横坐标为
，
动点
的纵坐标：∵
，
∴动点
的纵坐标为0，
点
此时坐标为
．
8．在平面直角坐标系
中，点
，
，直线
与坐标轴平行，且
．两位同学进行探
究，小明发现：若
，则三角形
的面积为4；小丽发现：若
，则点B 一定在第四象限．请
对两位同学的发现作出评判（ ）
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A．小明正确，小丽错误
B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都错误
D．小明、小丽都正确
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：
平行于x 轴或
平行于y 轴．因为
，结合点A 的坐标，所以可分别
求出两种情况下点B 的坐标．对于小明的结论，若
，先确定符合条件的点B 坐标，再利用三角形面
积公式计算
的面积，判断结论是否成立．对于小丽的结论，若
，先确定符合条件的点B 坐标，
再判断点B 所在象限，判断结论是否成立．
【详解】解：∵
，直线
与坐标轴平行，
，
∴分两种情况列出所有可能的
点坐标：
若
轴，则
，
，
解得
或
，
∴
或
．
若
轴：则
，
，
解得
或
，
∴
或
．
评判小明的结论（
时，
）：
∵
，
∴
同号，
∴符合条件的
点为
和
：
当
：
，
在直线
上，原点到
的距离为，
．
当
时，
，
在直线
上，原点到
的距离为2，
．
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∴小明的结论不完全正确．
评判小丽的结论（
时，
一定在第四象限）：
∵
，
∴
异号，符合条件的
点为
和
，
两个点都满足横坐标正、纵坐标负，都在第四象限．
∴小丽的结论正确．
综上，小明错误，小丽正确．
9．如图，平面直角坐标系中，已知点
，
，
，
，动点
从点
出发，以每秒
2 个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形
的边做环绕运动；另一动点
从点
出发，以每秒3 个单
位长度的速度按顺时针方向沿四边形
的边做环绕运动，则第2026 次相遇点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据坐标与图形可得四边形
的各边长，结合点
、
的速度求得两点相遇点的坐标，找出
坐标变化规律即可求解．
【详解】解：∵点
，
，
，
，
，
，
∴四边形
的周长为
，
由题意，经过1 秒时，两点在点
处相遇，
随后，两点走的路程和是10 的倍数时，两点相遇，
相邻两次相遇间隔时间为
（秒），
∴第二次相遇点是边
的中点
；
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第三次相遇点是点
；
第四次相遇点为点
；
第五次相遇点为点
；
第六次相遇点为点
，
由此发现，每五次相遇点重合一次，
，
∴第2026 次相遇点与第一次相遇点重合，即点
．
10．如图,平面直角坐标系中,点
，
，
，连接
，并将线段
绕点
顺时针旋转
，
点
旋转到点
，连接
．则
周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点
作
轴于点
,过点
作
轴于点
,证明
，得出
，根
据
，
，得出
，说明点在直线
上，根据
为定值，得出当
最小时，
的周长最小，作点
关于直线
的对称点
,连接
交直线
于点
,连接
,根据两点
之间线段最短，当
在点
处时,
最小,且最小值为
的长度,根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：过点
作
轴于点
,过点
作
轴于点
,如图所示：
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则
,
根据旋转可知,
,
∴
,
,
,
,
∵
,
,
∴
,
,
∴点
在直线
上,
为定值,
∴当
最小时,
的周长最小,
如图,作点
关于直线
的对称点
,连接
交直线
于点
,连接
,
根据轴对称可知：
,
∴
,
∵两点之间线段最短,
∴当
在点
处时,
最小,且最小值为
的长度,
∴
最小值为：
,
的周长最小值为
.
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形
是长方形，
，
，点
在线段
上运动，当
与
全等时，点
的坐标为_________．
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【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
分两种情况根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵四边形
是长方形，
，
，
∴
，
，
当
与
全等时，
或
，
当
时，
，但此时
；
当
时，
，即点
的坐标为
；
12．在平面直角坐标系中，若点
在x 轴上，则a 的值为_________．
【答案】
【分析】根据点
在x 轴上，得到
，解方程即可；
【详解】解：∵点
在x 轴上，
∴
，
解得
；
13．在平面直角坐标系中，将点
向右平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，所得点的坐标
是______．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则．
根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2 个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标
；再向
下平移1 个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标
，由此求解即可．
【详解】解：∵将点
向右平移2 个单位长度，
∴此时点的坐标为
，即
，
再向下平移1 个单位长度，
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∴可得点的坐标为
，即
，
∴所得点的坐标是
．
故答案为：
．
14．在平面直角坐标系中，点A 与点
关于x 轴对称，点A 与点
关于y 轴对称，已知点
的坐标为
，
则点
的坐标为_____________
【答案】
【分析】关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y 轴对称的点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点
的坐标，再求点
的坐标即可．
【详解】解：
点
与点
关于轴对称，已知点
，
点
的坐标为
，
点
与点
关于
轴对称，
点
的坐标为
．
15．若点
和
关于x 轴对称，则点
到坐标原点的距离为___________．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出
和的值，再利用勾股定理计算点
到坐标原点的
距离．
【详解】解：由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得
，
解得
，
，
即点
的坐标为
，
点
到坐标原点
的距离，由勾股定理得
．
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16．如图，在平面直角坐标系中，
的直角边
，
分别在x 轴和y 轴上，其中
，E 是
上一点，将
以
为轴翻折，点A 刚好落在y 轴的点D 处，则点E
的坐标是______．
【答案】
【分析】先在
中，由勾股定理得
，根据翻折性质，
，
，
算出
．设
，在
中，由
列方程，解得
，得到点
坐标．
【详解】解：在
中，
，
，
∴
，
由翻折性质得：
，
．
，
在
轴上，
，即
．
设
，则
，
，
∴
．
在
中，
即
解得
，
∴点E 的坐标为
．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．如图，已知单位长度为1 的方格中有三角形
．
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(1)三角形
中任意一点
平移后的对应点为
，请画出三角形
平移后所得的三
角形
；
(2)若点A 的坐标为
，请在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点
的坐标；
(3)求三角形
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析；
(3)
【分析】本题平面直角坐标系，平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点平移的规律，进行解
答，即可．
（1）由平移规律
，平移以后得到
，可知：向右平移
个单位，向上平移个单位；
分别将点
、、
按此规则平移，得到对应点
、
、
，依次连接
、
、
，即得
；
（2）已知
，以点
所在竖直线为
轴，过
作水平直线为轴，建立平面直角坐标系．
（3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可．
【详解】（1）解：
即为所求．
（2）解：平面直角坐标系如下：
∴点
．
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（3）解：
．
18．如图，在边长为1 的正方形网格中，
中任意一点
经平移后对应点为
．已知
，
，
将
作同样的平移得到
．
(1)画出平移后的
；
(2)直接求出
的面积为___________；
(3)已知点
在
轴上，且
的面积等于
面积的一半，求
点的坐标．
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【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）由点
的坐标可知，三角形向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，依次连接，即可；
（2）直接利用割补法求出三角形面积，即可；
（3）
以
为底，高为点
到
轴的距离，则
，再根据
的面积等于
面积
的一半，即可．
【详解】（1）略
（2）
．
（3）∵
以
为底，高为点
到
轴的距离，
∴
，
∵
的面积等于
面积的一半，
∴
，
∴
，
∵点
，
∴
或
．
19．如图，解答下列问题：
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(1)写出A_______，B_______，C_____三点的坐标；
(2)若
各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘
，请你在同一坐标系中描出对应的点
，并依次
连接这三个点．
(3)已知P 为x 轴上一点，若
的面积是
的面积的4 倍，则
_____，此时点P 的坐标______．
【答案】(1)
；
；
(2)
解：
如图所示．
(3)5；
或
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，分割法求面积，是解题的关键．
（1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可；
（2）确定点
的坐标，描点即可；
（3）利用分割法求
的面积；设
的高为
点坐标为
，面积公式求出的值，进而求出点
的坐标即可．
【详解】（1）解：由图可知：
三点的坐标分别是
，
，
，
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故答案为：
；
；
；
（2）略
（3）解：
．
设
边
上的高为
点坐标为
，
，
∵
的面积是
的面积的 4 倍，
，
解得
，
∴当点
在轴负半轴时，
；
当点
在轴正半轴时，
，
∴点
的坐标为
或
．
故答案为：5；
或
．
20．如图，长方形
中，O 为平面直角坐标系的原点，A 点的坐标为
，C 点的坐标为
，点B
在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着
的路线移动（即：沿着
长方形移动一周）
(1)写出点B 的坐标（__，___）；
(2)当点P 移动了4 秒时，描出此时P 点的位置，并求出点P 的坐标；
(3)在移动过程中，当点P 到x 轴距离为4 个单位长度时，求点P 移动的时间．
【答案】(1)
(2)点P 的坐标为
，描点如下：
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(3)2 秒或5 秒
【分析】（1）根据图形及坐标的定义直接求解即可得到答案；
（2）根据时间得到路程即可得到点的坐标，再描点；
（3）根据距离列式求解即可得到答案.
【详解】（1）解：∵四边形
是长方形，A 点的坐标为
，C 点的坐标为
，
∴
，
∴
；
（2）解：当点P 移动了4 秒时，点P 移动了
个单位长度，
∵C 点的坐标为
，
∴
，
∴
，
∴此时，点P 的位置在线段
上，且
，
∴点P 的坐标为
．
画图略
（3）解：当点P 在
上时，
，
此时所用时间为
；
当点P 在
上时，
，
，
∵A 点的坐标为
，
∴
，
∵C 点的坐标为
，
∴
，
，
此时所用时间为：
；
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综上所述，当点P 移动2 秒或5 秒时，点P 到x 轴的距离为4 个单位长度．
21．如图，在以
为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形
，
，且
．
是
边上的一点，且
，动点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
运动，最终到达点
．设点
运动的时间为秒．
(1)填空：
_____，
_____；
(2)求出点
在运动过程中
的面积（用含的式子表示）；
(3)是否存在一点
，使
的面积等于20？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8，6
(2)
(3)存在，点
的坐标为
或
【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以可
据此求出m、n 的值．
（2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P 的运动路径分两种情况：P 在
上、P 在
上，分
别确定不同时间段t 的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出
的面积S．
（3）针对不同阶段的S 的表达式，分别令
，求解对应的t 值，再根据t 的取值范围判断解是否有效，
进而求出对应P 点的坐标．
【详解】（1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，
若和为0，
则绝对值和算术平方根均为0，
可得：
，
，
∴
，
解得
，
．
（2）解：
，
，点
运动速度为每秒2 个单位，分两种情况讨论：
①当点
在
上（
）：
，
的底为
，高为
的纵坐标，
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∴
②当点
在
上（
）：
坐标为
，
长方形
面积减去周围三个三角形面积，
可得：
．
综上，
．
（3）解：存在，点
的坐标为
或
，推导如下：
若
，令
，
解得
，符合范围，
此时
；
若
，令
，
解得
，符合范围，
此时
．
22．综合运用：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B 坐标分别为
，
，且a，b 满足
，点C 的坐标为
．
(1)填空：
__________，
__________；
(2)
是x 轴上的动点．
①用含m 的代数式表示线段
的长为__________；
②若三角形
的面积等于三角形
的面积的
，求点M 的坐标；
(3)直线l 是第一、三象限坐标轴的夹角平分线，如图2，点P 在l 上，三角形
的面积等于三角形
的
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面积，则点P 的坐标为__________．
【答案】(1)
，
(2)①
；②点M 的坐标为
或
(3)点P 的坐标为
或
【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b 的值即可；
（2）①根据题意可直接进行求解；
②利用三角形的面积公式列式得
，解方程即可求解；
（3）由题意可设
，由题意可分：当点P 在第一象限时，当点P 在第三象限时，然后分类进行求解即
可．
【详解】（1）解：∵
，且
，
∴
，
∴
；
（2）解：①由（1）可知
，
∵
，
∴
；
②∵
，
∴
，
∵点C 的坐标为
，
∴
，
∵三角形
的面积等于三角形
的面积的
，
∴
，
解得：
或
；
∴点M 的坐标为
或
；
（3）解：∵直线l 是第一、三象限坐标的轴夹角平分线，
∴点
到两坐标轴的距离相等，
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设
，由题意可分：当点P 在第一象限时，如图，过点P 分别作
轴，
轴，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵三角形
的面积等于三角形
的面积，
∴
，
解得：
，
∴点P 的坐标为
；
当点P 在第三象限时，如图，
同理可得：
，
，
∵三角形
的面积等于三角形
的面积，
∴
，
解得：
，
∴点P 的坐标为
；
综上所述：点P 的坐标为
或
．
23．在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中
、
，
满足
，
，
，其中点B 在x 轴正半轴上， 点C 在y 轴正半轴上，
交y 轴负半轴于点D．
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(1)如图1，若
，直接写出点B 的坐标为______，点C 的坐标为______．
(2)如图2，
交x 轴负半轴于点E， 连接
，
，
交
于点F．求证：
；
(3)在（2）的条件下，求证：点
是
的中点．
【答案】(1)
，
(2)证明：
，
，
，
，即
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；
(3)证明：如图3，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
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∵
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
同理可证
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
即点
是
的中点．
【分析】（1）由非负数的性质可求得c、b 的值，进而可得点B、C 的坐标；
（2）证明
即可；
（3）过点
作
于
，过点
作
于
，先证
，得
，再同理可证
明
，得
，则有
，进而再证明
，则得
．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
，
解得：
，
，
∴
，
；
（2）略
（3）略
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24．如图①，平面直角坐标系中，
，
，直线
轴交
轴于点
，动点
在直线
，
之间（不在直线
，
上）．
(1)若
，连接
，
，求
的面积；
(2)若
，在
轴上是否存在点
，使得
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)如图②，点
在射线
上运动，
为轴上点
右侧的一点，连接
，
，
，
，若
始
终平分
，且
，
，请直接写出
的值．
【答案】(1) ；
(2)存在，
或
；
(3)
．
【分析】（1）根据
得到
，根据三角形面积公式计算即可；
（2）分类讨论，当点P 在y 轴正半轴上时，当点P 在y 轴负半轴上时，根据面积关系列方程求解即可；
（3）设
，
，
，则
，
，根据平行线的性质可得
，由（1）可知
，即可求出n 值，进而得解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）解：同（1）得
，
∴
，
即
．
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当点P 在y 轴正半轴上时，如图，过点P，A，F 作
轴，
轴，
轴，
设
，
，
，
解得
，
则
；
当点P 在y 轴负半轴上时，如图，
，
，
解得
，
则
；
综上，
点的坐标为
或
；
（3）解：设
，
，
，则
，
，
始终平分
，
，
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，
，
，即
，
由（1）可知，
，
，即
，
，
，
，
，
∴
的值不会变化，
．
