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第一章 勾股定理
复习要点
1. 理解勾股定理的内容，掌握其符号语言与几何语言的表达，能区分定理与逆定理的条件
与结论。
2. 掌握勾股定理的多种验证方法（如赵爽弦图、面积法等），理解其中蕴含的数形结合思
想。
3. 掌握勾股定理的逆定理，能利用它判断一个三角形是否为直角三角形，能区分勾股数与
满足定理的普通数组。
4. 掌握利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的方法，如折叠问题、最短路径（立体图形
展开）及测量等问题。
复习重难点
重点
勾股定理及其逆定理的应用，包括求边长、判定直角三角形和解决实际问题。
难点
灵活运用勾股定理解决综合问题（如折叠、最短路径），熟练运用分类讨论、方程、转化
等数学思想，避免因斜边不明、忽视定理前提而出现错误。
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知识点
勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为a，b ，斜边为c ，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
注意：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆
2
2
2
a
b
c
+
=
时，此关系只有当c 是斜边时才成立．若
b 是斜边，则关系式是
2
2
2
a
c
b
+
=
；若a 是斜边，则关系式是
2
2
2
b
c
a
+
=
．
2．直角三角形斜边上的高
①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
②根据直角三角形的面积不变，即1
1
2
2
ab
ch
=
，求出h．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就
将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，
，
.
要点速测
2
2
2
a
c
b
=
−
2
2
2
b
c
a
=
−
(
)
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
−
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1．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）在
中，
，a，b，c 分别是
，
，
的对
边，若
，则
的值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【详解】解：∵如图，在
中，
，
，
，分别是
，
，
的对边，且
，
∴
．
2．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对
这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即
），折断后竹梢触地，触地点
到根
部
的距离
尺，断点
到触地点
的距离
尺，则
_____尺．
【答案】
【详解】解：∵
，
尺，
尺，
∴
尺．
3．
（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，在
中，
为
边上的高，已知
，
，
，
求
，
的长．
【答案】
，
【分析】根据勾股定理求解即可．
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【详解】解：∵
为
边上的高，
∴
，
在
中，
，
在
中，
．
知识点
勾股数
满足不定方程
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果(
)是勾股数，当为正整数时，以
为三角形的三
边长，此三角形必为直角三角形
要点速测
4．（25-26 八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
B．2，3，5
C．3，4，5
D．4，6，8
【答案】C
【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方.
【详解】解：A.
，不是勾股数.
B.
，不是勾股数.
C.
，是勾股数.
D.
，不是勾股数.
5．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．8，15，17
B．1.5，2，2.5
C．0.3，0.4，0.5
D．7，11，13
【答案】A
【详解】解：勾股数定义为：三个正整数
，
，（为最大数），满足
．
选项A，，
，
均为正整数，且
，
，∴
，因此，
，
2
2
2
x
y
z
+
=
x
y
z
、、
a
b
c
、、
t
at
bt
ct
、、
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是勾股数；
选项B，
，
，
不是正整数，不是勾股数；
选项C，
，
，
不是正整数，不是勾股数；
选项D，
，
，
均为正整数，但
，
，
，因此
，
，
不是
勾股数．
6．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股
数．观察下列勾股数：、
、；、
、
；
、
、
；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦
与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________．
【答案】
【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：设该勾股数的股为
，则弦为
，
根据勾股定理可得
，
展开等式右边得
，
消去
后整理得
，
解得
，
因此弦为
．
知识点
勾股定理的逆定理
1．勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别为a b c
，，，且
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形是直角三角形．
注意：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足
2
2
2
a
b
c
+
=
时，c 是斜边，
C
是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方
及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
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要点速测
7．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，
的顶点都在正方形网格的格点上，则
的形状是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出
，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解．
【详解】解：由网格得，
，
，
，
∵
，
∴
是直角三角形．
8．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，在
中，
，
，
，则
的面积为______．
【答案】24
【详解】已知在
中，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，且
，
的面积为
．
9．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，
是王奶奶家的一块菜地，中间用小路
隔开，分别
种植不同的蔬菜，经测量，
，
，
，
．求
区域的面积．（小
路
的宽度忽略不计）
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【答案】
区域的面积为
．
【分析】先判定
是直角三角形，根据勾股定理求出
的长，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：在
中，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，且
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
题型1 用勾股定理理解三角形
▌例1 （25-26 八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点
起飞，先垂直上升40 米到达
点，再
水平飞行30 米到达
点，则点
到点
的距离为（ ）
A．50 米
B．60 米
C．65 米
D．70 米
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据题意得到直角三角形，利用勾股定理计算O 到B 的距离即可
【详解】由题意得
，
米，
米，
为直角三角形，
，
米， 即点
到点
的距离为50 米．
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▌迁移练1-1（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，在
中，
，
，
，过点
作
，交
的延长线于点
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，则
，然后利用勾股定理构建方程求出
，再利用勾股定理计算
的长即可．
【详解】解：设
，则
，
∵
于点
，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
，
解得：
，
∴
．
▌迁移练1-2（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）在
中，
，
，
，
__________．
【答案】13
【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边
的长度即可．
【详解】解：∵在
中，
，
解题要点
• 勾股定理仅适用于直角三角形，分清斜边与直角边，准确写出三边关系式，避免斜边、
直角边混淆。
• 遇到线段求值，先寻找或构造直角三角形；已知两边求第三边，留意分类讨论斜边不确
定的情况。
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∴
，
，
，
．
▌迁移练1-3（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，在
中，
，
，
，则
正方形
的面积是________．
【答案】5
【分析】利用勾股定理求出
的值，再根据正方形的面积公式可得答案．
【详解】解：∵在
中，
，
∴由勾股定理得
，
∴正方形
的面积
．
题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
▌例2 （25-26 八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形
中，
于点
，那么下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
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10 /
在
中，
，
，
，
，
只有C 选项结论正确
▌迁移练2-1（25-26 八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形
中，
，那么下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设
与
交于点
，根据勾股定理得到
，
，
，
，则
，整理得
，据此求
解即可．
【详解】解：设
与
交于点
，
解题要点
• 依托直角三角形建立平方关系式，找准直角边与斜边，灵活变形勾股公式，实现线段平
方和、平方差相互转化。
• 遇到斜边上线段、动点问题，善于构造直角三角形，把所求线段放入直角模型中进行代
换计算。
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11 /
∵
，
∴
，
，
，
，
∴
，
整理得
，
故选：D．
▌迁移练2-2（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形
中，对角线分别为
，
，且
于点
，若
，
，则
_______．
【答案】
【分析】
、
分别是两个直角三角形的斜边。
在
中，
，
在
中，
，
进而求解．
【详解】在
中和
中，
，
，
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12 /
故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
▌迁移练2-3（23-24 八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图
所示的“垂美”四边形
，对角线
交于点
．若
，则
________________．
【答案】17
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
【详解】解：∵
，
由勾股定理得，
故答案为：17．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定
理是解题的关键．
题型3 勾股定理的证明方法
▌例3 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能
．．用来证明勾股定理的是（ ）
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13 /
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出
，若不能则符合题意．
【详解】解：A、大正方形的面积
边长为
的正方形面积
边长为
的正方形面积
个长宽分别为
、
的长方形面积，
，该式属于完全平方公式，
图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意；
B、
梯形面积
3 个三角形面积之和，
，
整理得
，
能证明勾股定理，不符合题意；
C、
大正方形面积
中间小正方形面积
个直角三角形面积，
，
整理得
，
能证明勾股定理，不符合题意；
D、
大正方形面积
中间小正方形面积
个直角三角形面积，
，
整理得
，
能证明勾股定理，不符合题意．
故选A．
解题要点
• 弄清证明核心思路：利用图形面积相等，通过割补法列出面积等式，再化简推导出三边
平方关系。
• 准确找出图形中大正方形、小正方形与直角三角形边长联系，规范写出面积表达式，避
免边长对应出错。
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14 /
▌迁移练3-1（25-26 八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的
面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理．
【详解】解：选项
：图形为直角梯形，面积可表示为
，也可表示为
，
则
，可得
，可以证明勾股定理；
选项
：图形为正方形，面积可表示为
，也可表示为
，则
，无法证明勾股定理；
选项
：图形为正方形，面积可表示为
，也可表示为
，则
，
可得
，可以证明勾股定理；
选项
：图形为正方形，面积可表示为
，也可表示为
，则
，可以
证明勾股定理．
▌迁移练3-2（24-25 八年级上·甘肃天水·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为
“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等
式是________________．（任选1 图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）
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15 /
【答案】
(图1) ；
(图2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键．
直接利用等面积法列出等式并整理即可解答．
【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得
；
故答案为：
(图1)；
如图2，
，整理得：
故答案为：
(图2)．
▌迁移练3-3（24-25 八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾
股定理，如图，设直角三角形的边长分别是
，
，斜边的长为，作三个边长分别为
，，的正
方形，把它们拼成如图所示形状，使
，，三点在一条直线上．若
，四边形
与
面积之和为37，则正方形
的面积为_____．
【答案】58
【分析】作
于点
，根据四边形
、四边形
、四边形
都是正方形，得
，
，
，证明
，由题意得
，
，证
明
，再证明
，得出
，根据
，
，
通过计算可得
，
．
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16 /
【详解】解：如图，作
于点
，则
，
四边形
、四边形
、四边形
都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
①，
，
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17 /
②，
由①
②得
，
，
，
故答案为：
．
【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，
正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
题型4 用勾股定理构造图形解决问题
▌例4 （25-26 八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高
广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，
不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出
尺；竖着放，比门高
长出
尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为
尺，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设门的对角线长度为
尺，则竹竿的长度为
尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可．
【详解】解：设门的对角线长度为
尺，则竹竿的长度为
尺，
将竹竿横着放，比门宽长出
尺；竖着放，比门高长出
尺，
门宽
尺；竖着放，门高
尺，
则由勾股定理可得
．
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18 /
▌迁移练4-1（24-25 八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高
的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃
及
以内时，即
，
门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高
的学生走到D 处，即
，门铃恰
好自动响起，则
的长为（ ）
A．2 米
B．3 米
C．4 米
D．5 米
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知
，
，
，则
，再由勾股定理求出
的长，即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，
，
，
，则
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
米，
即门铃恰好自动响起，则
的长为4 米，
故选：C．
▌迁移练4-2（25-26 八年级上·四川成都·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今
有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十
尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6 尺远，则折断处离地面的高度为________尺．
解题要点
• 分析已知线段长度，根据数值特征构造直角三角形，合理确定直角边，将待求线段转化
为直角三角形的斜边。
• 借助网格、垂线搭建图形，理清各线段位置关系，准确运用勾股定理列式，注意多种构
造情况分类讨论。
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19 /
【答案】3.2
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的
关键．
设折断处离地面的高度为x 尺，则折断处离竹梢的距离为
尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可
求解．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则折断处离竹梢的距离为
尺，
则由勾股定理可得，
，
解得
，
即折断处离地面的高度为3.2 尺，
故答案为：3.2．
▌迁移练4-3（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问
题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：
今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺，斜放，
竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x 尺，则可列关于x 的方程为___________．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．根
据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定
理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据题意，得
，
故答案为：
．
题型5 判断三边能否构成直角三角形
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20 /
▌例5 （25-26 八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下
列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等．
【详解】解： A、
，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意；
B、
，
，
，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、
，
，
，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、
，
，
，能构成直角三角形，符合题意．
▌迁移练5-1（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2、3、4
B．3、4、5
C．8、15、16
D．11、12、13
【答案】B
【分析】找出每组数的最大数，验证其平方是否等于另两个数的平方和即可．
【详解】解：A、
，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、
，三条线段能组成直角三角形，故选项符合题意；
C、
，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、
，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
▌迁移练5-2（25-26 八年级下·山东济宁·阶段检测）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，
这个论断的依据是____________．
【答案】勾股定理的逆定理
【详解】解：∵
，
，
，
∴根据勾股定理的逆定理，三边长分别为
、、
的三角形不是直角三角形，
解题要点
• 先找出三条边中最长线段，把它当作潜在斜边，再验证两条较短边的平方和是否等于最
长边的平方。
• 注意边长数据顺序，不要随意套用公式；遇到含字母的边长，准确区分最长边，必要时
分类讨论。
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21 /
∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理的逆定理．
▌迁移练5-3（25-26 八年级上·山西临汾·期末）小明同学用长度是
的木棒拼
三角形，一共能拼出____个直角三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，
据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该
三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴能构成三角形的组合为
，
，
，
，
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
∴能构成直角三角形的组合为
，
，
∴一共能拼出2 个直角三角形，
故答案为：2．
题型6 利用勾股定理的逆定理求解
▌例6 （25-26 八年级上·福建漳州·期末）在
中，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为
，且满足
，则该三角形是直角三角形，
边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解．
【详解】解：∵在
中，满足
，
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22 /
根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角，
∴
是斜边，斜边
所对的角是
，
因此
．
▌迁移练6-1（25-26 七年级上·山东威海·期末）如图，在四边形
中，
，
，四边形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
是解题的关键．
连接
，根据
，用勾股定理求出
的长度，再用勾股定理的逆定理，证
是直角三角形，
根据四边形
的面积等于
和
面积之差，即可求解．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
又
，
，
是直角三角形，
解题要点
• 先确定三边里最长边，计算三边平方，检验较短两边平方和是否等于最长边平方，以此
判定直角三角形。
• 判定后找准直角位置，再结合勾股定理、面积公式进一步计算边长与面积。
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23 /
四边形
的面积为
．
故选：D．
▌迁移练6-2（25-26 八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E 在边长为13 的正方形
内，
，
，
求出图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】根据题意证明
，得到
，据此根据
进行求解即可．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
∴
∴
．
▌迁移练6-3（25-26 八年级下·天津·期中）已知
，
，
，
，
，连
接
，则
的度数为______ ．
【答案】
【分析】先使用勾股定理计算出
，再根据勾股定理的逆定理判断出
．
【详解】解：在
中，
，
∵
，
∴
．
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24 /
难点一 勾股定理与网格问题
• 难以在网格中准确构造直角三角形，不会利用横向、纵向格距求线段平方，容易直接目测
线段长度，忽略运用勾股定理进行计算。
• 判断网格内三角形形状时，不能快速算出三边平方；处理最短路径、角度问题时，缺少数
形结合思维，难以建立线段间的数量关系。
难点精练
1．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，点A，B 均在格
点上，则线段
的长度为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．10
【答案】B
【详解】解：由图，可得
．
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，
的顶点
，，
在边长为的正方形网格的格点上，
于点
，则
的长为________．
【答案】
【分析】根据勾股定理，得
，边
上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可；
【详解】解：根据题意，得
，边
上的高为4，
，
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25 /
故
，
故
；
3．（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，四边形
的四个顶点都在网格上，每个小正方形的边
长为1．
(1)求四边形
的面积；
(2)求
的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，图形面积计算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据
计算即可；
（2）连接
，由勾股定理得
，
，可得
，即求得
的度数．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：连接
，
由勾股定理得
，
，
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26 /
，
．
难点二 勾股定理与折叠问题
• 不能抓住折叠核心性质：折叠前后对应边、对应角相等，难以准确设未知数，常找不对等
量线段，无法建立直角三角形的边长关系。
• 不易识别图中隐藏的直角三角形，容易选错直角边与斜边；列式时等量关系梳理混乱，计
算方程时容易出错，复杂图形更容易遗漏条件。
难点精练
4．（25-26 八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片
按如图方式折叠，使顶点
和
点重合，
折痕为
．若
，
，则
的长度是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【分析】由折叠可知
，
，
，设
，则
，在
中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：
四边形
为长方形，
，
，
，
，
根据折叠的性质可得，
，
，
，
设
，则
，
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27 /
在
中，
，
，
解得：
，
．
5．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形
中，
，
，若把长方形
沿
折叠，使点
落在点
处，点
落在点
处，则
_______．
【答案】
【分析】利用折叠的性质，设
，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
，
设
，则
，
在
中，
，
，
解得：
，即
．
6．（25-26 八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片
，
，
，
．将
纸片沿直线
折叠，使点A 与B 重合，求
的长．
【答案】
【分析】设
，先利用勾股定理逆定理证明
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设
，
∵
，
，
，
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∴
，
，
∴
，
∴
，
∵折叠，
∴
，
∴
，
解得
，即
．
难点三 勾股定理的应用
• 难以从实际情境中抽象出直角三角形模型，无法区分水平、竖直、倾斜线段，常常找不准
直角，不能快速确定直角边与斜边。
• 部分题目存在多种情况，容易忽略分类讨论；建立方程求解时，等量关系梳理不清，审题
遗漏关键条件，导致列式错误，最终计算出现偏差。
难点精练
7．（25-26 七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区
边上安装一个饮水点P，经测
量
米，
米，
米，则饮水点
到三角形顶点C 的最小距离为（ ）
A．6 米
B．4.8 米
C．4 米
D．9.6 米
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明
，当
时，
的值最小，然后利用等面积法求解．
【详解】解：∵
米，
米，
米，
∴
，
∴
，
∵点P 在
上，
∴当
时，
的值最小，
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∴此时
，
∴
，
∴
，
∴饮水点
到三角形顶点C 的最小距离为4.8 米．
8．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动
分米，测得顶端从点
沿墙下滑分米到点
，那么竹竿长度为________分米．
【答案】
【分析】设竹竿的长度为
分米，利用勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：设竹竿的长度为
分米，
由勾股定理可得，
，
解得
，
∴竹竿的长度为
分米．
9．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄
，从村庄
到
公路原有两个出口
、
，其中
，
，由于暴雨导致
到
的小路路面塌陷，现已不
通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路
（
，，在同一条直线上），测得
，
．
(1)从村庄
到公路，请通过计算说明
是否为距离最近的路；
(2)求新修的路
比原来的路
短多少？
【答案】(1)解：∵
，
，
，
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∴
，
，
∵
∴
∴
是直角三角形，
∴
∴从村庄
到公路，
是距离最近的路；
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出
是直角三角形，得到
，即可说明；
（2）利用勾股定理运算出
的长，再作比较即可．
【详解】（1）略
（2）∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
是直角三角形，
∴在
中，
，
∴
．
难点四 立体图形中的最短路径问题
• 不会将立体图形侧面展开为平面图形，空间转化能力薄弱，容易直接在立体图上连线求解，
不理解 “两点之间线段最短” 适用平面。
• 展开方式不唯一时，容易遗漏多种展开情况，缺少对比计算意识；难以准确确定展开图中
直角三角形两条直角边长，造成勾股定理列式出错。
难点精练
10．（25-26 八年级下·广西玉林·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为
，底面周长为
，在杯内壁离
杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁
从外壁
处到内壁
处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将该圆柱的侧面展开，作
关于
的对称点
，可得
即为最短距离，在直角
中，根据
勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作
关于
的对称点
，
则
，
连接
，则
即为最短距离，
在直角
中，由勾股定理得：
．
11．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
、
、
，
和
是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从
点沿着台阶面爬到
点，其爬行的最短距离是
________dm．
【答案】
【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从
点到
点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股
定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
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32 /
，
，
，
即蚂蚁爬行的最短线路为
．
12．（25-26 八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
，
，
，
和
是这个三级台阶两个相对的端点，若
点有一只蚂蚁，想到
点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬行到
点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接
，经过计算得到
长度即为最短路程，则
．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点
出发沿
着玻璃杯的侧面到与点
相对的点
处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为
，底面周长为
，在杯内壁离杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁从外壁
处到内壁
处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；（3）蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短路程为
．
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
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性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作
点纵向的对称点
，
点与对称点
的连线，即为蚂蚁从外壁
处到内壁
处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为
，宽为
，
则蚂蚁沿台阶面爬行到
点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到
点最短路程为
，
由勾股定理得：
，
解得：
．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到
点的最短路程是
．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：
，
，
，
该蚂蚁爬行的最短路程25 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作
点纵向的对称点
，
连接
，
即为蚂蚁从外壁
处到内壁
处的最短路程，
，
，
，
，
根据勾股定理有：
，
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蚂蚁从外壁
处到内壁
处的最短路程为
．
难点五 以弦图为背景的计算
• 难以理清弦图中大正方形、小正方形与直角三角形边长之间的联系，不能灵活结合勾股定
理建立等式，容易混淆斜边、直角边与正方形边长。
• 不会利用整体思想进行代换计算，遇到面积相关条件时，难以转化出两直角边的和、差关
系；字母型综合题不会设未知数，找不到有效的解题突破口。
难点精练
13．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）第14 届数学教育大会（ICME-14）会标如图1 所示，会标中心
图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2 所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小
正方形拼成的大正方形．若
，
，
，则正方形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：由题意可知：正方形
的面积为
．
14．（25-26 八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角
形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1 中大正方形
的面积为40，小正方形
的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2 的形状，则图2 中大正方形
的面积为______．
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35 /
【答案】72
【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为
、
（
），先根据图1 大正方形面积求出直角三角形
的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到
的值，进而求出
的
值．分析图2 中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为
，所以面积为
，
展开后代入已得的
和
的值即可计算．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为
、
（
），
图1 中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：
；
图1 中小正方形的边长为
，因此小正方形面积满足：
，
展开得：
，
将
代入上式，得
，
解得
．
图2 中大正方形的边长为
，
因此大正方形面积为：
．
15．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部
分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同
的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理
．
(1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程．
(2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若
，
，求空白部分的面积．
(3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已
知外围轮廓（实线）的周长为
，
，求该风车状图案的面积．
【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为
，大的正方形的面积又可以表示为
，
∴
，
∴
，
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∴
．
(2)
(3)
【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为
，大的正方形的面积又可以表示为
，
联立等式即可求解；
（2）根据空白部分的面积=边长为c 的正方形的面积
个直角三角形的面积
，即可求解；
（3）根据风车状图案的周长求出
的长，在直角三角形
中，利用勾股定理求出
的长，进而
确定出
的长，求出三角形
面积，即可确定出所求．
【详解】（1）略
（2）解：空白部分的面积
边长为c 的正方形的面积
个直角三角形的面积
，
∵
，
，
∴空白部分的面积
；
（3）解：根据题意得：
，
，即
，
在
中，根据勾股定理得：
，即
，
解得：
，
∴
，
∴
，
∴该风车状图案的面积
．
基础达标
一、单选题
1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代
著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．
，，
B．
，，
C．
，
，
D．，
，
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【答案】D
【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股
数，据此逐一验证选项即可．
【详解】解： A 选项：
，
，
，不符合勾股数定义，A 错误；
B 选项：
，
，
，不符合勾股数定义，B 错误；
C 选项：
，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C 错误；
D 选项：
，
，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义．
2．（25-26 八年级下·重庆荣昌·期末）下列各组数不能
．．作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5
B．4，7，9
C．5，12，13
D．6，8，10
【答案】B
【分析】计算每组数中两较短边的平方和与最长边的平方，判断二者是否相等．
【详解】解：A、∵
，∴，
，能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B、∵
，
，
，∴
，
，不能作为直角三角形三边长，符合题意；
C、∵
，∴，
，
能作为直角三角形三边长，不符合题意；
D、∵
，∴
，，
能作为直角三角形三边长，不符合题意．
3．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两
隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6 尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各
是多少？（1 丈
尺）如果我们假设门的宽为
尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用
表示出门的高，由于门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：设门的宽为
尺，高比宽多
尺，则门的高为
尺，
根据勾股定理可得
．
4．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）如图，以
的两边往外作的正方形，其面积分别为
，
，
若
，
，则
边长为（ ）
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A．64
B．16
C．8
D．4
【答案】C
【分析】利用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
，
在
中，
，
∴
．
5．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐
角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离．
【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为
，
，斜边为．
这是一个直角三角形，
由勾股定理得：
．
原路程为
，
少走的距离为
．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，若正方形
、
、
、
的面积分别是
、
、、，则最大正方形
的面积
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39 /
是_________．
【答案】
25
【分析】先根据勾股定理求出
，同理可得正方形H 的面积是9，则此题可解．
【详解】解：如图所示，令正方形A 的边长为a，正方形B 的边长为b，正方形G 的边长为c，
根据勾股定理，得
，
即
，
∴正方形G 的面积是16，同理可得正方形H 的面积是9，
所以正方形E 的面积是
．
7．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三角形支架中，
，垂足为
，
，
，
，则
的长为_______
．
【答案】
【分析】先推导出
，再根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
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40 /
∴
，
∴
．
8．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立
着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3 尺，牵着绳索退
行，在离木柱根部8 尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x 尺，根据题意，可列方程为______．
【答案】
【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设木柱长为
尺，由题意可知绳索长度为
尺，
根据题意可得：
．
9．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高
为4，
是上底的直
径，一只蚂蚁从点
出发，沿着圆柱的侧面爬行到
，则爬行的最短距离是________．
【答案】5
【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题．
【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点
出发，沿着线段
爬行时，距离最短；
由题意知，
，
为圆柱体底面周长的一半，即
，
∴
，
即爬行的最短距离是．
10．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，在
中，
，
，
．将
分别沿
，
折叠，使点A，C 都与点B 重合，若
，则
________．
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41 /
【答案】
【分析】根据折叠计算可得
，设
，则
，利用勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
∴
，
设
，则
，
在
中，
，
，
解得
，
．
三、解答题
11．（25-26 七年级上·山东威海·期末）在长方形
中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），
，
．点E 在边
上，沿
折叠，点D 落在边
的F 处．求
的面积．
【答案】
．
【分析】根据折叠的性质可得
，接着在
中，利用勾股定理求得
，设
，
在
中利用勾股定理列式计算求得
，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由折叠可得
，
∴
，
，
∵四边形
是长方形，
，
，
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42 /
∴
，
，
，
在
中，
，
∴
，
设
，则
，
在
中，得
，
解得，
，
∴
的面积为
．
12．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中
的度
数应为
．连接
，现测得
，
，
，
，
．在不考虑
其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即
的度数是否为
）．
【答案】符合标准，理由如下：
，
，
，
在
中，由勾股定理，得
，
在
中，
，
，
该零件符合标准．
【分析】由勾股定理求出
，再由勾股定理的逆定理证明
，即可得出结论．
【详解】略
13．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制
作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为
，高为
．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长
度太短了，不能搅拌到底部．
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43 /
(1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口
才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少
需要
；
(2)如图②，老师新买的一根长为
的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为
，你能求出h 的取值
范围吗？
【答案】(1)18
(2)
【分析】
（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为
，即杯内搅拌棒长度为
，题目要求长出杯口
，
两者相加即可解答；
（2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据
此求解即可；
【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要
；
（2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长
；
由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为
，
露在杯子外面的长
；
．
14．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形
是某农场一块试验田的示意图，对角线
是
一条小路（宽度忽略不计），已知
，
，
，
，
，求这块
试验田的面积（即四边形
的面积）．
【答案】这块试验田的面积是
【分析】在
中由勾股定理求出
，再证明
是直角三角形，再根据
解答即可．
【详解】解：
，
，
，
．
在
中，
，
，
，
∴
，
，
，
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44 /
，
是直角三角形，
，
，
这块试验田的面积是
．
15．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）综合与实践
学校花园有一个不规则的池塘，
，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量
，间的距
离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
实践任
务
测量池塘两端
，
间的距离
测量工
具
皮尺
测量方
案及测
量数据
如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段
延长线的方向，在池塘边的空地
上选点
，使
；第二步：在
的一侧选点
，使点
能直接到达
，
，
三点，测
得
，
，
．
问题解决：
(1)试判断
的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端
，
之间的距离．
【答案】(1)解：
是直角三角形，理由如下：
在
中，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
(2)池塘两端
，
之间的距离为
【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
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45 /
【详解】（1）略；
（2）解：
是直角三角形，点
，
，
在同一直线上，
，
，
即池塘两端
，
之间的距离为
．
能力进阶
一、单选题
1．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）如图，
中，
，
，
，沿
折叠，
使点
与点
重合，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理可知
，根据折叠的性质得到
，设
，根据勾股定理求出
，进而根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
∵沿
折叠，使点
与点
重合，
∴
，
设
，
则
，
∵
，
，
∴
，
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46 /
解得
，
∴
，
∴
．
2．（25-26 八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为
的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的
顶端位于墙面的点
处，底端位于地面的点
处，点
到墙面的距离
为
．如果将梯子底端沿
向
外移动
，那么梯子顶端沿墙
下滑（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】梯子顶端沿墙
下滑的距离为
．利用勾股定理求出
，
．即可得到
答案．
【详解】解：在
中，根据勾股定理得
，
在
中，根据勾股定理得
，
所以，
．
因此，当梯子底端向外移动
时，梯子顶端下滑
．
3．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数
学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
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47 /
C．
D．
【答案】D
【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出
，以此判断各图能否
证明勾股定理，最终选出符合要求的选项．
【详解】A、梯形的面积为
，
三个直角三角形的面积之和为
，
令二者相等，两边乘
化简得
，
即
，故A 选项可以证明勾股定理．
B、大正方形的面积为
，
四个三角形与中间小正方形的面积之和为
令二者相等，展开化简得
，
即
，故选项B 可以证明勾股定理．
C、大正方形的面积为
，
四个三角形与中间小正方形的面积之和为
，
令二者相等，得
，故选项C 可以证明勾股定理．
D、大正方形的面积为
，
其余各部分面积之和为
，
令二者相等，得
，故选项D 不能证明勾股定理．
4．（25-26 八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“
的城市”
为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、
服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安
装路灯的示意图．已知
为吊车起重臂，长为20 米，点
到路灯杆的水平距离
为16 米，点
到地面
的竖直距离为2 米，则起重臂顶端
离地面的高度为（ ）
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A．12 米
B．14 米
C．16 米
D．18 米
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出
，再计算起重臂顶端
离地面的高度即可．
【详解】解：∵
米，
米，
，
米，
∵点
到地面的竖直距离为2 米，
米，
∴起重臂顶端
离地面的高度为14 米．
5．（24-25 八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高
为．在其
侧面从点
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点
停止，则彩条的最短长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查的勾股定理的实际应用，平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面
图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解
决问题．
【详解】解：将长方体的侧面沿
展开，取
的中点
，取
的中点
，连接
，
，则
为所求最短彩条长，
由题意得，
，
，
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49 /
由勾股定理得
，
同理可得
，
∴
，
即：所用彩条最短长度是41．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，
所有的四边形都是正方形，若
，
，
，
，则正方形E 的面积为_______．
【答案】9
【详解】解：∵所有的四边形都是正方形，
∴图中所有三角形都为直角三角形，
由勾股定理得：正方形E 的面积
．
【点睛】
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50 /
7．（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入
口B，C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道
，为方便游客观景，分散人
流，决定新修道路
（点D 在
上）．经测量：
，
，
．则
是否
为从A 到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）．
【答案】是
【分析】可证明
，则可得到
，再由垂线段最短可得答案．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，且
，
∴
，
由垂线段最短可知
是从A 到河边的最近道路．
8．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径
，高
，
为
的中点．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为_________．
【答案】13
【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵
为
的中点，高
，
∴
，
将圆柱侧面展开，如图所示：
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51 /
∵这个圆柱的底面圆的直径为
，
∴在侧面展开图中，
，
，
∴在
中，
，
即一只蚂蚁从
点出发沿着圆柱的表面爬到
点的最短距离为13．
9．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在
中，
，
，
，将
折叠，使点C 与点A 重合，得折痕
，则
的周长等于_______
．
【答案】7
【分析】根据勾股定理，可得
的长，根据翻折的性质，可得
与
的关系，根据三角形的周长公式，
可得答案．
【详解】解：在
中，
，
，
，
由勾股定理，得
，
由翻折的性质，得
．
的周长
．
三、解答题
10．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）如图，某景区内有一个露营区
，湖边
上原有两个观景台
和
，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台
（点
、
、在同一直线上），连接
、
、
，测得
，
，
，
，求观景台
与观景台
之间的距离
．（露
营区和观景台的大小均忽略不计）
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52 /
【答案】观景台
与观景台
之间的距离
为
【分析】先根据勾股定理的逆定理证明
，再用勾股定理解
即可．
【详解】解：在
中，
，
，
，
，
，
，
∴在
中，由勾股定理，得
．
答：观景台
与观景台
之间的距离
为
．
11．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）图1 是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆
作
为支撑，在点A 处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2 所示，其中
米，
米，
米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）．
(1)通过计算判断此时
是否与
垂直；
(2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A 处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D 在
的延长线上）．若
米，求
的长度．
【答案】(1)解：在
中，
，
，
，
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，
，
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53 /
∴
；
(2)
【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可；
（2）在
中，根据勾股定理可得
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：在
中，
，
根据勾股定理得
，
∴
（米），
即
的长度为
米．
12．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面
与地面平行，点
到墙
面（墙面与地面垂直）的距离为
．图1 中，一扫帚的一端与墙角
重合，另一端靠在点
处，
．
(1)求课桌的高度；
(2)在图2 中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点
重合，另一端挂在墙上的点
处．若
，彩带
比桌宽
长
，求桌宽
的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图①，过
作
垂直于墙面，垂足为点
，然后利用勾股定理求解即可；
（2）如图②，延长
交墙面于点
，则
，设
，则
，
，
求出
，然后利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：如图①，过
作
垂直于墙面，垂足为点
，
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54 /
由题意可知，
，
∵桌面
与地面平行，
∴
，
在
中，由勾股定理得
，
答：课桌的高度为
；
（2）解：如图②，延长
交墙面于点
，则
，
设
，则
，
，
∵
，
，
∴
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，
解得
，
答：桌宽
的长度为
．
13．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如果把
看作关于
，，的方程，那么满足这个方程
的正整数解
，，通常叫作勾股数组，可以记作
．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公
式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：
；
；
；…
分析这些勾股数组可以发现，
，
，
，…
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55 /
(1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组；
(2)小红将
移项并因式分解得
，请写出满足上述规律的第
个勾股数组
(用含
的式子表示)，并尝试用小红的方法证明；
(3)若
是满足上述规律的一组勾股数组，求
的值．
【答案】(1)
(2)第
个勾股数组为
．
证明：由题意可知：第
个勾股数组的最小数字(第一个数字)是
，
令
，
，
，
则𝑐2 −𝑏2 = (𝑐+ 𝑏)(𝑐−𝑏) = (4𝑛2 + 4𝑛+ 1) × 1 = (2𝑛+ 1)2 = 𝑎² ，
即
，
所以
是满足上述规律的第
个勾股数组．
(3)
的值为
【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组；
（2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第
个勾股数组的最小数字(第一个数字)是
，再利用题干中等式规律可知第
个勾股数组的第二个数字是
即
，则
第
个勾股数组的第三个数字
，从而总结出第
个勾股数组为
．验证
是否成立即可证明．
（3）因为
是满足上述规律的一组勾股数组，故令
，则
，利用作差法消元求出n 和m，继而求出x．
【详解】（1）由
，
，
的规律可知：下一个等式是
，
则对应的勾股数组是
；
（2）略
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56 /
（3）因为
是满足上述规律的一组勾股数组，
故令
，则
，
∴
，
，
∴
，
，
解得：
(负值舍去)，
，
∴
，
，
此时
，符合题意，
所以，
的值为
14．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾
股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长
，，都是正整数，则
，，
为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数：
3，4，5
7，24，25
11，60，61
15，112，113
…
4，3，5
n，15，17
12，p，37
16，63，65
…
5，12，13
9，12，15
13，84，85
17，144，145
…
m，8，10
10，24，26
14，48，50
18，80，82
…
(1)请补全上表中的勾股数：
________，
________，
________．
(2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形．
①已知格点
三边长度为
、
、
，计算
的面积．
②请在下面的网格中画出三边长度为
、
、
的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
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57 /
【答案】(1)6，8，35
(2)①24；②
【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出
的值；
（2）①根据三角形面积公式进行计算即可；
②在线段
所在网格线上，且在点
的右侧取格点
，使
，连接
，则
即为所求．
【详解】（1）解：∵勾股数满足
，
∴
，
解得
，
∵勾股数是正整数，
∴
；
∵勾股数满足
，
∴
，
解得
，
∵勾股数是正整数，
∴
；
∵勾股数满足
，
∴
，
解得
，
∵勾股数是正整数，
∴
；
（2）解：①
的面积
；
②略
15．（25-26 八年级下·广东·期末）综合与实践
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58 /
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的
取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高
为12 厘米，底面直径
为6 厘米，在圆柱下底圆周上的A 点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物．
素材2 如图3 所示的实践活动器材包括：底面直径为6 厘米，高为10 厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借
助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线
路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度
沿路线一路程x
沿路线二路程y
比较x 与y 的大小
5
11
10.3
4
10
9.85
3
a
9.49
b
(1)若蚂蚁沿图1 中的折线A→C→B 爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是
厘米．将
圆柱沿着
将侧面展开得到图2，请在图2 中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时
最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
(2)填空：表格中a 的值是________；表格中b 表示的大小关系是_________；
(3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r 不变的情况下，当圆柱半径为r 与
圆柱的高度h 存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？
【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图
15；二；
(2) ，
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59 /
(3)
【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿
爬行的路程长并比较大小；
（3）构造方程
即可得到结论．
【详解】（1）解：展开后，半圆长为
，
此时最短路程是
厘米，
∵
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
（2）解：
，
∵
，
∴表格中b 表示的大小关系是
；
（3）解：根据题意可得
，
即
，
∴
，
故当
时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
