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第七章 证明
考点一 为什么要证明
1. 观察、实验、归纳的局限性
依靠眼睛观察、测量、少量例子归纳得到的结论不一定正确，必须通过逻辑推理证明，才能确认结
论普遍成立。
2. 检验数学结论是否正确的常用方法
实验验证、举出反例、推理证明。
考点二 定义与命题
1. 定义
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。
例：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。
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2. 命题
1) 概念：判断一件事情的句子，叫做命题。
注意：疑问句、祈使句、感叹句不是命题。
2) 命题结构：条件 + 结论，一般写成“如果……，那么……”形式。
“如果”后面是条件，“那么”后面是结论。
3) 命题分类
真命题：条件成立，结论一定成立。
假命题：条件成立，结论不一定成立；假命题用举反例证明。
3. 公理、定理、证明
• 公理（基本事实）：公认正确，不需要证明的真命题，作为推理的原始依据。
• 定理：经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。
• 证明：推理的过程叫做证明。
证明每一步都要有依据：定义、公理、定理、已知条件。
考点三：平行线的判定
由角的关系 ⇒ 两直线平行
1. 同位角相等，两直线平行。
2. 内错角相等，两直线平行。
3. 同旁内角互补，两直线平行。
4. 补充推论：
① 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行（同一平面内）。
易错：条件是角相等/互补，结论是平行；不要写反因果。
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考点四：平行线的性质
由两直线平行 ⇒ 角的关系
1. 两直线平行，同位角相等。
2. 两直线平行，内错角相等。
3. 两直线平行，同旁内角互补。
判定 VS 性质对比
• 判定：角 → 平行（证平行用）
• 性质：平行 → 角（已知平行，求角度用）
易错点1 归纳与类比
易错提醒
易错点总结
1. 归纳规律时只看前几项表面特征，找错周期、找错通项，规律不通用。
2. 类比推理乱套用，把甲知识点的性质错误迁移到不适用的乙知识点。
3. 归纳出规律后不验证后面项，直接套用导致错解。
4. 混淆归纳（由特殊推一般）和类比（由相似推相似）。
注意事项总结
1. 归纳规律必须至少验证3 组，确保通用，不能凭前两项下结论。
2. 类比只能迁移结构相同、性质相同的知识点，不能盲目照搬。
3. 归纳是“特殊→一般”，类比是“相似→相似”，题型方法完全不同。
4. 最终结果一定要代入原式检验。
【对点训练】1．找规律
观察下列各式：
；
；
；
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(1)说明等式左边三个数之间的关系；
(2)根据以上规律，写出第
个式子；
(3)根据以上规律，写出第
（
为正整数）个式子，并说明理由．
【答案】(1)第三个数比第一个数大，且第一个数与第三个数的乘积等于第二个数
(2)
(3)
，
理由如下：
左边
；
右边
；
左边
右边，
∴
．
【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，数字类规律题，熟练掌握完全平方公式，因式分解是解题的
关键．
( )根据观察等式左边三个数即可解答；
(
)根据题意列出式子即可；
( )根据以上所的规律列出等式即可得，再利用整式的混合运算验证左右两边是否相等即可．
【详解】（1）解：第三个数比第一个数大，且第一个数与第三个数的乘积等于第二个数；
（2）解：
；
（3）略
易错点2 猜想与证明
易错提醒
易错点总结
1. 只写猜想结论，不写推理证明过程，考试直接扣分。
2. 猜想结论正确，但证明逻辑混乱、跳步、理由缺失。
3. 不会分类讨论，特殊情形猜对，一般情形不成立。
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4. 证明过程循环论证，用结论证明条件。
注意事项总结
1. 猜想题必须：先猜想、再严谨证明，缺一不可。
2. 每一步推理必须写清依据（定义、公理、性质）。
3. 几何、代数猜想都要考虑是否存在多情况、特殊值。
4. 严禁跳步、严禁循环论证。
【对点训练】2．在整数除法体系中，一个正整数除以3 的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．
若我们把一个正整数a 除以3 所得的余数记作“a 模3”，例如：
记作“12 模
”；
记作“16 模
”；
记作“11 模
”．
(1)直接写出结果：36 模
；360 模
．
(2)①命题：如果a 模
，其中a 为正整数，那么
模
．这个命题是真命题，证明过程如下：
证明：若a 模
，其中a 为正整数，则a 能被3 整除，可以设
；
则
；
所以
能被3 整除，
即
模
．
②命题：如果a 模
，其中a 为正整数，那么
模
．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举
例说明；
(3)证明：如果a 模
，b 模
，其中a、b 为正整数，那么
模
．
【答案】(1)0；0
(2)②正确，证明见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据新定义解答即可求解；
（2）根据命题①的证明方法解答，即可求解；
（3）根据题意设
，可得
，即可解答．
【详解】（1）解：
，
∴36 模
；360 模
；
（2）解：②正确，
证明：若a 模
，其中a 为正整数，则a 除以3 余1，可以设
，
则
，
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因为
能被3 整除，10 除以3 余1，
所以
模
，
即
模
；
（3）证明：因为a 模
，b 模
，
所以设
，
，
所以
模
，
所以
能被整除，
所以
模
．
易错点3 以几何为背景的推理与论证
易错提醒
易错点总结
1. 几何推理不会写规范步骤，条件、结论颠倒。
2. 看图臆造角度相等、线段相等，无依据乱推。
3. 混淆几何判定与性质：用判定当性质、用性质当判定。
4. 无图题不分类讨论，漏解、少情况。
注意事项总结
1. 几何推理口诀：由已知推可知，由求证找需知。
2. 性质：已知位置关系→得数量关系；
判定：已知数量关系→证位置关系。
3. 绝不看图凭感觉，所有相等必须有依据。
4. 无图必分类，点、射线、位置不确定要讨论全。
【对点训练】3．【综合与实践】
阅读材料：课本第
页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形
叫做“筝形”．
我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形
边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究：
第一步：根据定义剪出一个“筝形”；
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第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论；
第三步：通过证明得到性质．
解答问题：
(1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来．
(2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质．
(3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式．
【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直；
(2)
已知：四边形
是“筝形”，
，
，对角线
相交于点
．
求证：
．
证明：∵
，
∴
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
(3)“筝形”的面积等于对角线积的一半．
【分析】（）根据题意写出答案即可；
（
）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“
”可证明
，得到
，
利用“
”可证明
，即可证明“筝形”的对角线互相垂直；
（）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式；
本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直；
（2）略
（3）∵
，
∴
，
∴“筝形”的面积等于对角线积的一半．
易错点4 以代数为背景的推理与论证
易错提醒
易错点总结
1. 代数式规律、整除推理过程不严谨，随意下结论。
2. 不会整体代换、配方、因式分解等推理方法。
3. 特殊值代替一般证明，只用一两个数举例就判定结论成立。
4. 参数范围推理不全面，漏掉限制条件。
注意事项总结
1. 特例不能证明一般，必须用代数式恒等变形推理。
2. 代数推理常用方法：因式分解、配方、作差比较、整体代入。
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3. 推导结论必须写出恒等变形过程，不能口头猜想。
4. 注意隐含条件：分母不为0、平方非负、整数条件等。
【对点训练】4．桌子上有7 张反面向上的纸牌，每次翻转n 张（n 为正整数）纸牌，多次操作后能使所有
纸牌正面向上吗？用“
”、“
”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到
总和，我们的目标是将总和从
变化为
．
(1)当
时，每翻转1 张纸牌，总和的变化量是2 或
，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上；
(2)当
时，每翻转2 张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，
最少需要几次操作？若不能，简要说明理由．
【答案】(1)7
(2)14
【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案；
（2）根据三种情况进行分析，进而得出答案．
【详解】（1）解：总变化量：
，
次数（至少）：
，
故答案为：7；
（2）解：①两张由反到正，变化：
；
②两张由正到反，变化：
；
③一正一反变一反一正，变化
，
要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14，
∵14 无法由4，
，0 相加得到，
∴不能全正，故不能所有纸牌全正；
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的
正面向上，根据“奇数
奇数
偶数，偶数
奇数
奇数”进行解答即可．
易错点5 平行线的判定与性质综合应用
易错提醒
易错点总结
1. 性质和判定严重混淆：已知平行用性质、证平行用判定，经常用反。
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2. 复杂折线几何，找不准同位角、内错角、同旁内角。
3. 多拐点模型不会作辅助平行线，角度关系找错。
4. 推理跳步，不写平行条件直接写角度相等。
注意事项总结
1. 已知平行 → 用性质（得角相等/互补）
证平行 → 用判定（由角相等/互补推平行）
2. 折线、拐点题型必须过拐点作平行线。
3. 严格区分三类角：同位角、内错角、同旁内角。
4. 角度推导步步有依据，不能直接跳步。
【对点训练】5．如图，
，
．
(1)延长线段
，
交于点
，请根据题意补全图形；
(2)在（1）的条件下，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若
平分
，
于点
，
，求
的度数．
【答案】(1)补全图形如图所示；
(2)证明：
，
．
，
，
．
(3)
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【分析】（1）按照题目要求延长线段
与
交于点
，补全几何图形即可．
（2）根据已知
得到同旁内角互补，结合
进行等量代换得到内错角相等，进而证明
．
（3）利用平行线的性质得到对应角相等，结合角平分线定义、垂直的定义，通过角的和差计算求出
的
度数．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：
，
，
，
．
平分
，
．
，
．
，
，
，
．
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一、单选题
1．如图，直线
，
相交于点
，
于
，
交
于点
，若
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质得出
的度数，结合垂直定义及角的和差关系计算
．
【详解】解：
，
，
，
，
．
2．将一块三角板
（
，
）按如图方式放置，使
，两点分别落在直线
，上，
添加下列一个条件，不能
．．判定直线
的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导
时
与
的数量关系，再逐
项验证．
【详解】解：
，
，
，
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点
在直线
上，
，
，
要使
，则需要
，即
；
A、若
，
，满足
，
，不符合题意；
B、若
，即
，
，不符合题意；
C、若
，则
，整理得
，
，不符合题意；
D、若
，无法推出
（仅当
时成立），
不能判定
，符合题意．
3．某市开展青少年足球比赛，5 所中学各派1 支球队参加．每2 支球队之间都要进行一场比赛，规定：胜
一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分．比赛结束后，各球队积分都不相同．已知各场比赛均分出了
胜负，则这5 支球队积分的中位数是（ ）
A．3 分
B．6 分
C．9 分
D．12 分
【答案】B
【分析】先计算总比赛场数和每支球队的比赛场数，结合题干条件推出各队的积分，排序后即可求出中位
数．
【详解】解：∵共有5 支球队，每2 支球队之间赛1 场，
∴每支球队共进行
场比赛，总比赛场数为
场，所有比赛共产生
个胜场．
∵各场比赛都分出胜负，胜一场得分，负一场得
分，
∴每支球队的积分
胜场数，必为的倍数．
又∵各队积分互不相同，胜场数只能取
，对应总胜场数为
，刚好等于总胜场数，
符合题意，
∴把5 支球队的积分从小到大排列为
，
∵个数的中位数为从小到大排列的第个数，
∴积分的中位数为
，故选B．
4．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，如图①是翻花绳中的“蝴蝶”图案，图②是其平面示意图，已知
，
，
，则
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
与
交于点G，过点G 作
，根据平行线的性质得出
，
，再根据平行线的判定得出
，最后根据平行线的性质，求出结果即可．
【详解】解：设
与
交于点G，过点G 作
，如图所示：
则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
5．
，
，
，
，
，
六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一
天时，统计出
，
，
，
，五队已分别比赛了5，4，3，2，1 场球，由此可知，队比赛场数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5 场的规则，从比赛场次最多的A 出发逐
步推理，结合各队已知场次推出F 的比赛场数．
【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5 队各赛1 场，即每个队最多比赛5 场，
∵A 已比赛5 场，
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15 /
∴A 与B，C，D，E，F 都已比赛过；
∵E 仅比赛1 场，
∴E 只和A 比赛过，未与B，C，D，F 比赛；
∵B 已比赛4 场，B 已和A 比赛，未和E 比赛，
∴B 与A，C，D，F 都已比赛过，刚好满足4 场；
∵D 已比赛2 场，D 已和A、B 比赛过，刚好满足2 场，因此D 未和C，E，F 比赛；
∵C 已比赛3 场，C 已和A，B 比赛，未和E，D 比赛，
∴C 只能和F 比赛，满足3 场要求；
统计F 的比赛场次：F 分别和A，B，C 各赛1 场，共3 场，
因此F 队比赛场数是3，选B．
二、填空题
6．如图，
平分
，
的延长线
平分
，
，
，已知
，则
的度数为___________．
【答案】
【分析】由平行线的性质可得
，由角平分线的定义可得
，延长
交
于点
，再由平行线的性质得出
，由角平分线的定义可得
，最后
再由平行线的性质即可得出结果．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
如图，延长
交
于点
，
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16 /
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
．
7．由
中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D 四个同学分别进行了
猜测，密码提供者作出了相应评判．
A：
，评判：号码都错误；
B：
，评判：两个号码正确，但位置都错误；
C：
，评判：三个号码正确，位置都错误；
D：
，评判：两个号码正确，位置都正确．
据此你推断正确的密码应为____________．
【答案】0148
【分析】先根据A 的猜测结果排除错误数字，再结合C 的评判确定密码包含的三个数字，接着结合B 的评
判排除剩余错误数字得到密码的全部四个数字，最后根据各猜测的位置要求推理得到正确位置，得到密码.
【详解】第一步，确定排除的数字：
因为A 猜测
，所有号码都错误，因此密码中不含
；
第二步，确定密码中的三个数字：
C 猜测
，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含
；
第三步，确定密码的第四个数字：
B 猜测
，两个号码正确，位置都错误，因为
已排除，因此正确号码只能在
中选两个，已知密码
已经包含
，因此正确号码为
，因此密码不含
；
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17 /
D 猜测
，两个号码正确，位置都正确，已知
已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为
，
即密码含
；
因此密码的四个数字为
；
第四步，推理各数字位置：
D 中正确号码为
和，位置都正确，D 中
在第三位，在第四位，因此密码第三位为
，第四位为，剩
余第一位和第二位分配
和；
B 中正确号码为
和，位置都错误，B 中
在第二位，因此
不能在第二位，故
在第一位，剩余在第二
位；
因此密码为
.
8．如图，一张长方形台球桌
的桌面，
，
，一个球从点
滚出，沿
撞击
于点
，
反弹后沿
撞击
于点
，反弹后沿
撞击
于
，反弹规律：入射角等于反射角，即
，
，
，
．以下结论：①
；②若
，则
；
③若
反弹后沿
撞击
于点
，
，则
；④若
反弹后沿
撞击
于点
，
，则直线
直线
；其中正确的结论是_______________（填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据
，
，
，得到
，得到
，结合题意推出
，可判断①；根据垂直的定义求出
，根据题意推出
，根据平
行线的性质可判断②；过点
作
，则
，根据平行线的性质可得
，进而得到
，推出
，得到
，求出
，再求出
，可判断③；推出
，进而得到
，推出
，结合
，可判断④．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
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18 /
，即
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
如图，过点
作
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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19 /
，
即
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
9．桌上有6 张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4 张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另
一面向上，至少翻动______次后，能使6 张扑克牌都反面向上；若桌上有（
）张正面向上的扑克牌，
按同样的翻动方式，每次翻动其中任意
张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上．
【答案】
【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1
次和2 次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3 次可满足条件，因此最少翻动次数为3.
【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次；
当共6 张牌，每次翻动4 张时：
若翻动1 次，仅4 张被翻动，剩余2 张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2 次，最多仅能使4 张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求；
构造3 次翻动：第一次不翻第1、2 张，翻其余4 张；第二次不翻第1、3 张，翻其余4 张；第三次不翻第2、
3 张，翻其余4 张；各牌翻动次数为1 次或3 次，均为奇数，可使所有牌反面向上，
故至少翻动3 次；
当共
张牌，
，每次翻动
张时：
若翻动1 次，仅
张被翻动，剩余2 张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2 次，最多仅能使4 张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求；
构造3 次翻动：第一次不翻第1、2 张，翻其余
张；第二次不翻第1、3 张，翻其余
张；第三次不
翻第2、3 张，翻其余
张； 各牌翻动次数：第1、2、3 张各翻动1 次，其余牌各翻动3 次，所有次数
都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3 次.
10．某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6 个班进行单循环比赛（即每班都与
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其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）
班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，
第五天与（3）班比赛的是_____班．
【答案】 5 6
【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5 个班各赛一场，每天进行3 场比赛，先计算总天数，再
根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果．
【详解】解：6 个班进行单循环比赛，总比赛场次为
，每天同时进行3 场比赛，因此总天数为
；
根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为：
第一天：
，
第二天：
，
第三天：
，
第四天：
，
剩余第五天未进行的比赛为：
因此第五天与（3）班比赛的是（6）班．
三、解答题
11．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形
象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图①，
，E 为
、
之间一点，连接
、
，请你写出
与
、
之间的数量
关系，并说明理由；
(2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题．
①【类比探究】如图②，
，线段
与线段
相交于点E，
，
平分
交直线
于点F，则
__________ ；
②【拓展延伸】如图③，
，线段
与线段
相交于点E，
，过点D
作
交直线
于点G，
平分
，
平分
，求
的度数．
【答案】(1)解：
与
、
之间的数量关系为：
，理由如下：
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如图
，
过点
作
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
与
、
之间的数量关系为：
．
(2)①
②
【分析】
（1）过点
作
，根据平行线公理及推论得
，根据平行线性质即可得
相等，
相等， 进一步根据角的和差计算即可得
与
、
之间的数量关系．
（2）
根据“猪蹄模型”，结合（1）得：
等于
，再根据角平分线的定义即可求出
的度数．
过点
作
，根据平行线公理及推论得
，根据平行线性质得
，根据
角平分线定义求出
，等量代换可得
，再根据
求出
，
再根据角平分线定义求出
，再根据
求出
，再后根据
计算即可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：①如图
，
根据“猪蹄模型”，结合（1）得：
，
∵
，
，
∴
，
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∵
平分
，
∴
．
②如图
，
过点
作
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
的度数为
．
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23 /
12．【问题提出】
(1)如图，点
在
上，点
在
、
之间，连接
、
、
，
，
．
①如图1，求证：
；
②如图2，连接
，过点F 作
，若
，
，
平分
，求
的度数．
【问题解决】
(2)如图3，为治理河道污染，环保工作人员在河岸直线
上选取监测点
、
，
与
为两条污水导
流管道，已知管道夹角满足
，导流管道
与河岸
保持平行，为了测量管道的延伸
角度，工作人员在
上取一点
，连接
，
平分
，过点
作
交
的延长线于点
，
经测量，
，求导流管道
与河岸
的夹角
的度数．（河岸、管道的宽度均忽略不计）
【答案】(1)①证明：
，
，
，
，
;
②
；
(2)导流管道
与河岸
的夹角
的度数为
【分析】（1）①根据平行线的性质可得
，进而推出
，即可得证；②由题意
得
，
，根据平行线的性质可得
，
，进而
求出
，再根据角平分线的定义得到
，进而求出
，最后根据
，即可求解；
（2）根据
，
，推出
，根据平行线的性质可得
，结合垂直的定义可求出
，根据角平分线的定义求出
，最后根据
，即可求解．
【详解】（1）①略
②解：
，
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，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
即导流管道
与河岸
的夹角
的度数为
．
13．综合与实践：探秘“一笔画图形”．
【问题情境】“一笔画图形”是指笔尖不离纸，且不走重复路线，能够一笔画出的图形．我们把画图时，笔尖
的起点、终点以及所画出的线与线的交点叫做“一笔画图形”的“点”，把由“点”分成的每一条线叫做“边”，把
“边”将平面分成的每一部分叫做“区域”．图①、②、③、④都是“一笔画图形”，图①的“点”是
，“边”
是
部分，“区域”是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分．
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【探索活动】
（1）请你在图⑤的方框中画出一个与图①、②、③、④都不同的“一笔画图形”，并完成表格；
序号
“点”数
序号“边”数
“区域”数
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
（2）写出
、
、
之间的关系式 ．
【解决问题】（3）图⑥是“一笔画图形”，已知该图形中有
个“区域”，除了“起点”和“终点”，其余每个“点”
都连着
条“边”，该图形有多少条“边”？
【答案】（1）见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）观察图形，得出结论，填表即可；
（2）观察上表格，即可得出结论；
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（3）设共有个
点，则由（2）得
，由图可知起点连条边，终点连条边，其余每个“点”都连着
条“边”，则
，继而建立方程求解．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
序号
“点”数
序号“边”数
“区域”数
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
（2）解：由表格中数据可得，中间数列数据等于两边数列数据之和减去
，
∴
、
、
之间的关系式为：
；
（3）解：设共有个
点，
则由（2）得
，
∵由图可知起点连条边，终点连条边，其余每个“点”都连着
条“边”，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴该图形有
条“边”．
14．阅读下面材料，并填空：
我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公
式、完全平方公式．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：
【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：
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阴影部分可以看成个
的正方形，总面积
，得到
阴影部分可以看成
个
的正方形，总面积
，得到
（1）如图，阴影部分可以看成个
的正方形，总面积
，得到
______
；
【解决问题】
（2）归纳猜想（不需要证明）：
______
______ （用含
的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）根据以上结论，计算：
______（直接写答案）．
【答案】（1）
；（2）
；
；（3）
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论．
（1）如图构造正方形：A 表示一个
的正方形，
表示
个
的正方形，
表示个
的
正方形，而
恰好可以拼成一个边长为
的大正方形，根据大正方形面积的两种表示
方法，可以得出
；
（2）由以上几何图形的面积规律可猜测出
；
（3）提公因数
即可转化为本题已经探究出的规律进行求解．
【详解】解：（1）如图，
A 表示一个
的正方形，
表示
个
的正方形，
表示个
的
正方形，而
恰好可以拼成一个边长为
的大正方形，根据大正方形面积的两种表示
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方法，可以得出
，
故答案为：
；
（2）根据以上规律可知，
为一个边长为
的正方形面积，
故
，
故答案为：
；
；
（3）
，
故答案为：288800．
15．【阅读材料】
两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是
，对于这种特殊关系的两位数相
乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联．例如：
，它们乘积的前两位
是
，等于
，它们乘积的后两位是
，等于
，用速算方法计算可得：
，
，它们乘积的前两位是12，等于
，它们乘积的后
两位是9，等于
，不足两位，就将9 写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：
．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性．
(1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算
；
(2)推理与解释：
①对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字是b（a 表示1～9 的整数、
b 表示0～9 的整数），则该两位数可表示为
，另一个两位数可表示为 ；
②用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为： ；
③请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由．
【答案】(1)
(2)①
；
②
；
③等号左边
，
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等号右边
，
所以左边=右边，
因此这个等式成立，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果．
【分析】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键．（1）根据
题中所给计算方法进行计算即可；（2）根据所设未知数，用含a，b 的代数式表示出另一个两位数，结合题
中所给计算方法发现规律并说明理由即可．
【详解】（1）解：
结果的前两位为：
，后两位是
，
所以
，
故答案为：
；
（2）解：①由题意可得，另一个两位数的十位数字为
，个位数字为b，
则另一个两位数可表示为：
，
故答案为：
；
②由题中所给速算方法可得，这两位数相乘可得到结果可以表示为：
，
故答案为：
；
③略
