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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测06
2.3 二次根式的定义、性质和乘除法运算
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．下列式子一定是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】一般地，形如
的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：
被开方数为负，
根指数为3，均不是二次根式．
当
时，
的被开方数小于0，不是二次根式．
∵
，
∴
∴
一定是二次根式．
2．下列二次根式，属于最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A．
，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
B．
的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
C．
是最简二次根式；
D．
，被开方数中含有分母，不是最简二次根式．
3．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质与算术平方根的非负性判断各选项正误．
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【详解】解：∵
，仅当
时结果为
，∴A 选项运算错误；
∵
表示25 的算术平方根，结果为，∴B 选项运算错误；
∵
，∴C 选项运算正确；
∵
有意义的条件为
，即
，此时
，∴D 选项运算错误．
4．若
是一个整数，则正整数m 的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据二次根式结果为整数的性质，得出
需为完全平方数，即可求出正整数
的最小值
【详解】解：
，
又
是整数，
是整数，即
为完全平方数，
要找最小的正整数
，
满足条件的最小正整数
5．下列运算：①
，②
，③
，④
，其中错误的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解：①化简得
，
，
①错误；
②根据二次根式乘法法则计算：
，
②错误；
③根据二次根式除法法则计算：
，
③正确；
④根据完全平方公式展开计算：
，
④错误；
综上，错误的运算共3 个.
6．化简
的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【详解】解：
．
7．如图，以
的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若
，则图中阴影部分的面积为
（
）
A．1.5
B．2
C．3
D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出
,然后再运用三角形的面积公式求阴影部分的面积即可．
【详解】解：在
中，
，
∴
．
8．最简二次根式
和
可以合并，那么
（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【详解】∵最简二次根式
和
可以合并，
∴
，
解得：
.
9．伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物
体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度
（m）之间满足关系式
，其中
（不
考虑空气阻力），当物体从
高处做自由落体运动时，下落的时间介于（
）
A．
和
之间
B．
和
之间
C．
和
之间
D．
和
之间
【答案】A
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【分析】将已知的h 和g 代入公式得到t 的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t 的范围即可
【详解】解：∵
，
，
代入公式
得：
，
又∵
，
，且
，
∴
，即
，
∴
介于
和
之间
10．已知矩形的长为
，面积为
，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积
是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为
，面积为
，
得矩形的另一边长为
，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积．
【详解】
矩形的长为
，面积为
，
矩形的宽为
，
，
，
，
，
正方形的最大边长为矩形的宽
，
正方形的最大面积为
，
故选：C．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．小红说：“因为
，所以
不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）．
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【答案】错
【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：根据二次根式的定义，形如
的式子叫做二次根式．
中被开方数为，满足
，
且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质．
故小红的说法是错误的．
故答案为：错．
12．当
时，二次根式
的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查求二次根式的值，解题思路为将已知
代入二次根式的被开方数，计算后得到结果．
【详解】解：将
代入
可得：
，
故答案为
13．
分母有理化后的结果是______
【答案】
【分析】要去掉分母中的根号得到有理化结果，给原式分子分母同乘分母的二次根式化简即可．
【详解】解：给
的分子分母同时乘以
，
可得
．
14．已知
，则
________．
【答案】
【分析】本题考查非负数的性质．根据二次根式和绝对值的非负性求出x、y 的值，即可代入原式计算．
【详解】解：∵
，
∴要使
，则
，
即
，
∴
，
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∴
，
故答案为：
．
15．若
是整数，则正整数
可能取值（写出一个即可）________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设
为正整数
，将等式平方整理得到
关于
的表达式，根据
为正整数，即可找出符合条
件的
的取值．
【详解】解：设
，其中
为正整数，
等式两边平方得：
，
整理得：
，
为正整数，
为正整数，且为
的倍数，
令
，得
，是正整数，符合题意，
正整数
可能取值为（答案不唯一）．
16．化简
______．
【答案】
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：原式
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
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程或演算步骤．
17．先化简，再求值：
，其中
，
【答案】
，
．
【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，以及平方差公式、完全平方公式的应用．熟练掌握平方差公
式、完全平方公式以及合并同类项的技巧是解题的关键．
利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项进行化简．化简完成后，再将给定的
和
的值代入化简后
的式子中，求出最终的结果．
【详解】解：
，
当
时，原式
．
18．已知
是实数，且满足
．
(1)求
和
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得
是解题关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可得x 的值，进而得出y 的值；
（2）将x，y 的值代入
计算即可
【详解】（1）
是实数，且满足
，
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解得
∴
；
（2）当
，
时，
；
19．计算：
．
【答案】
【分析】先根据二次根式的乘法计算，再去掉绝对值，同时根据二次根式的性质化简，最后根据二次根式
的加减法计算．
【详解】解：原式
．
20．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)用含m 的代数式表示该程序的运算过程并化简；
(2)当
时，求输出的结果．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键．
（1）直接利用运算程序进而得出关于m 的代数式；
（2）把已知数据代入求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：当
时，
，
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∴输出的结果是
．
21．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
．
解：隐含条件
，解得
．
，
原式
．
【启发应用】按照上面的解法，试化简
（结果保留
）；
【答案】
【分析】根据例子找出隐含条件，求出
的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化
简．
【详解】解：
，
∵隐含条件
，解得
，
∴
，
原式
．
22．综合与实践．
【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘．
【探究过程】
活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方
根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”．
活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1 的整数．
(1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”．
①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________；
(2)1，4，9 是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”．
(3)结论：若a，b，c 是“漂亮数”，则
，
，
（
，且k 是整数）________（填“是”或“不是”）
“漂亮数”，并说明理由．
【答案】(1)①是；②否；③是
(2)是
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(3)是，理由如下：
，
，
，
，
，是“漂亮数”，
，
，
是整数，
也是整数，
，
，
都是整数，
，
，
是“漂亮数”．
【分析】根据漂亮数的定义解题即可．
【详解】（1）解：①
，
，
，
∴1，9，16 是漂亮数；
②
，不是整数，
∴3，9，12 不是漂亮数；
③
，
，
，
∴5，20，45 是漂亮数；
（2）解：
，
，
，
∴2，8，18 是漂亮数；
（3）略
23．我们规定用
表示一对数对，其中
，
．给出如下定义：记
，
，将
称
为数对
的“衍生数对”．
例如：
的“衍生数对”为
；
(1)数对
的“衍生数对”是______；
(2)若数对
的“衍生数对”是
，求
的值；
(3)若数对
的“衍生数对”是
，当
时，比较
和
的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
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(3)解：
，理由如下：
由题意得：
，
，
∵数对
的“衍生数对”是
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【分析】（1）根据“衍生数对”的定义解答即可；
（2）根据“衍生数对”的定义求出
，
的值，代入计算即可；
（3）先得出
，
，再根据
可得
，
，然后计算
，判断与0 的
大小关系即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴数对
的“衍生数对”是
．
（2）解：∵数对
的“衍生数对”是
，
∴
，
，
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∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
（3）略．
24．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题
开展了数学活动．
(1)“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助边长为1 的小正方形网格解决问题．
在图1 中，所画的
的三边长分别是
，
，
；
的面积为．
(2)在图2 所示的正方形网格中画出
（顶点都在格点上），使
，
，
，并求
出
的面积．
(3)“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的课本的数学资料：
如果三角形的三边长分别为
，
，，那么其面积为：
其中（
）
或
一个三角形的三边长依次为
，
，
，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．
【答案】(1) ，
，
，
(2)如图所示，
即为所求；
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；4
(3)
【分析】（1）利用勾股定理计算
的三边长；利用
所在正方形的面积减去周围直角三角形的面积
可求其面积；
（2）仿照“毕达哥拉斯”小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出
，并利用割补法求其面积即
可；
（3）利用秦九韶公式，代入求值即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
的面积＝
．
（2）解：如图
∴
符合要求；
则
的面积
；
（3）解：将
，
，
代入秦九韶公式，得
．
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