文档文本内容
1 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题30 一元一次不等式组
（题型突破·举一反三）
题型01 一元一次不等式组的定义
题型02 利用数轴表示不等式组的解集
题型03 解一元一次不等式组
题型04 一元一次不等式组的整数解
题型05 错解复原问题
题型06 新定义问题
题型07 由不等式组的解集求参数
题型08 由不等式组的整数解求参数
题型09 程序问题
题型10 不等式有解、无解问题
题型11 不等式组与方程组结合问题
▌题型01 一元一次不等式组的定义
把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
【典例1】（2025 春•武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A．{𝑥＞3
𝑥＜1
B．{3𝑥＞7
2𝑥−1＜5
C．{𝑥−2＞3
𝑦+ 2＜0
D．{5𝑥−7＞3
2𝑥＞1
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
2 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
C、该不等式组中含有2 个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
故选：C．
【变式1-1】下列不等式组：①{𝑥≥−4
𝑥＞−3；②{𝑥＞0
𝑥+ 2＞4
；③{𝑥2 + 1＞0
𝑥+ 2＞4
；④{
𝑥+ 3＞0
1
𝑥＞0
；⑤{𝑥+ 1＞0
𝑦−1＞0
；⑥
{
𝑥+ 1＞3
2𝑥−1＞𝑥
3𝑥+ 2＞1 −𝑥
．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义可知①②⑥是一元一次不等式组．
故选：C．
【变式1-2】（2025 春•城关区校级月考）下列各式是一元一次不等式组的是（ ）
A．{
𝑥+ 4 = 0
1
𝑥−5＞0
B．{
𝑥2 −𝑥＞0
2
𝑥＞4
C．{ 𝑥＞2
𝑥＜−7
D．{𝑦+ 2＞0
𝑥+ 𝑦＜0
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可．
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义逐项判断如下：
A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意；
B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意；
C、是一元一次不等式组，故该选项符合题意；
D、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 ③④⑤ ．（填序号）
①{𝑥+ 2＜3𝑥
𝑦＞2
；
②{𝑥2 + 1＞2𝑥
𝑥＜1
；
③{2(𝑥−1)＞3𝑥
𝑥≤−2
；
④﹣4x≤x＜5；
3 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
⑤{
𝑥−1＞0
2𝑥+ 3＜0
𝑥−4＞2𝑥−1
；
⑥{
𝑥+ 6 ≤1
1
𝑥＞2
．
【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此进
行判断即可．
【解答】解：①中含有两个未知数，它不是一元一次不等式组；
②中x 的最高次数为2，它不是一元一次不等式组；
③符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组；
④符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组；
⑤符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组；
⑥中
1
𝑥不是整式，它不是一元一次不等式组；
综上，③④⑤是一元一次不等式组，
故答案为：③④⑤．
▌题型02 利用数轴表示不等式组的解集
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况
【典例1】（2026 春•青岛校级期中）不等式组{−2𝑥＞−4
𝑥+ 3 ≥2
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
4 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：原式为：{−2𝑥＞−4①
𝑥+ 3 ≥2②
，
∵计算①得：x＜2，计算②得：x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜2．
在数轴上表示为：﹣1 处为实心点向右，2 处为空心圈向左，取中间部分．观察选项，A 符合．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•武侯区校级期中）不等式组{2𝑥−3 ≤3
2 −𝑥＜0 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到各自解集．再取两个解集的公共部分，对照数轴选出对应
选项．
【解答】解：{2𝑥−3 ≤3①
2 −𝑥＜0②
，
解不等式①得，x≤3，
解不等式②得，x＞2，
∴不等式组的解集为：2＜x≤3．
把不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：
5 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•潜山市月考）不等式组{𝑥≤3
𝑥+ 2＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可．
【解答】解：解不等式x+2＞0 得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•亳州期末）不等式组{𝑥+ 2＞0
2 −𝑥≥1
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先分别求解不等式组里的两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集，最
后根据“大于用空心向右、小于等于用实心向左”在数轴上表示该解集即可．
6 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【解答】解：{𝑥+ 2＞0①
2 −𝑥≥1②
，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤1，
∴﹣2＜x≤1，
在数轴上表示为：
故选：A．
▌题型03 解一元一次不等式组
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）把各个不等式的解集在数轴上表示出来；
（3）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有公
共部分，那么说这个一元一次不等式组无解.
【典例1】（2026 春•富平县期末）解不等式组：{
4(𝑥−2)＜3𝑥−4
𝑥+4
3
≤𝑥+ 2
，并将解集在如图所示的数轴上表示出
来．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】解：解不等式4（x﹣2）＜3x﹣4 得：x＜4，
解不等式
𝑥+4
3
≤𝑥+ 2得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
数轴表示如下：
【变式1-1】（2026•海淀区校级模拟）解不等式组：{
3(𝑥−1) ≤4 + 2𝑥
𝑥−9
5 ＜2𝑥
．
7 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：{
3(𝑥−1) ≤4 + 2𝑥①
𝑥−9
5 ＜2𝑥②
，
解不等式3（x﹣1）≤4+2x，得x≤7，
解不等式
𝑥−9
5
＜2x，得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤7．
【变式1-2】（2026 春•蒲城县期末）解不等式组{
2(𝑥+ 1)＞𝑥−2
𝑥+3
2
≥2𝑥
，并在如图所示的数轴上表示其解集．
【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在
数轴上表示不等式组的解集即可．
【解答】解：{
2(𝑥+ 1)＞𝑥−2
①
𝑥+3
2
≥2𝑥
②
解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤1，
∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
其解集在数轴上表示如下，
．
【变式1-3】（2026 春•惠州期末）解不等式组及方程组：
（1）解不等式组：{
4(𝑥−1) ≥𝑥+ 2①
2𝑥+1
3
＞𝑥−1②．
（2）解方程组：{ 2𝑥−5𝑦= 7①
3𝑥+ 2𝑦= 12②．
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】解：（1）{
4(𝑥−1) ≥𝑥+ 2①
2𝑥+1
3
＞𝑥−1②．
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x＜4，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4；
（2）{ 2𝑥−5𝑦= 7①
3𝑥+ 2𝑦= 12②．
8 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
①×2+②×5 得19x＝74，
解得x= 74
19，
将x= 74
19代入①得2× 74
19 −5y＝7，
解得y= 3
19，
∴方程组的解为：{
𝑥= 74
19
𝑦= 3
19
．
▌题型04 一元一次不等式组的整数解
（1）先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。
（2）再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。
（3）数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。
（4）端点判断：注意端点是否包含（>或<含等号，>或<不含)，决定该端点整数是否可取。
【典例1】（2026 春•浦东新区校级期末）解不等式组{
5𝑥−1＞3(𝑥+ 3)
2𝑥−1
3
−𝑥
2 ≤1
，并写出该不等式组的所有整数解．
【分析】分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到解集后取公共部分，再从中找出整数解．
【解答】解：{
5𝑥−1＞3(𝑥+ 3)
2𝑥−1
3
−𝑥
2 ≤1
，
解不等式5x﹣1＞3（x+3）得：x＞5，
解不等式
2𝑥−1
3
−
𝑥
2 ≤1得：x≤8，
∴不等式组解集：5＜x≤8，
∴原不等式组的所有整数解：6，7，8．
【变式1-1】（2026•张掖校级三模）解不等式组：{
1 −𝑥−2
3
≥1
6 𝑥
1−𝑥
2 ＜𝑥
，并写出它的所有正整数解．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出正整数解
即可．
【解答】解：解不等式1−𝑥−2
3
≥1
6 𝑥得：𝑥≤10
3 ，
9 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解不等式
1−𝑥
2
＜𝑥得：𝑥＞1
3，
∴原不等式组的解集为：
1
3 ＜𝑥≤
10
3 ，
则原不等式组的正整数解为1，2，3．
【变式1-2】（2026 春•广元期末）解不等式组{
2𝑥+ 1 ≤3𝑥+ 3
𝑥+1
2 ＜𝑥
6 + 1
，把该不等式组的解集在数轴上表示出来，
并求出它的所有整数解的和．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+1≤3x+3 得：x≥﹣2，
解不等式
𝑥+1
2
＜
𝑥
6 + 1得：𝑥＜3
2，
∴不等式组的解集为−2 ≤𝑥＜3
2，
数轴表示如下：
∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0、1，和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
【变式1-3】（2026•信都区校级模拟）不等式组{
3𝑥−6＜5𝑥−1①
−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥②
，请按下列步骤完成解答．（1）解不等
式3x﹣6＜5x﹣1，并在图中所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥，并在图中所给的数轴上表示其解集；
（3）不等式组{
3𝑥−6＜5𝑥−1
−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥
的解集是 −5
2 ＜𝑥≤1 ；
（4）不等式组的最小负整数解是 ﹣2 ．
【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1 的步骤解不等式即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤解不等式即可；
（3）根据（1）（2）所求在数轴上表示出对应的解集即可；
（4）由不等式组的解集可得，最小负整数解，进行解答，即可．
【解答】解：（1）3x﹣6＜5x﹣1，
移项可得：3x﹣5x＜﹣1+6，
合并同类项得：﹣2x＜5，
10 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
系数化为1 得：𝑥＞−5
2；
解集在数轴上表示：
（2）−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥，
移项可得：−1
3 𝑥+ 𝑥≤2
3，
合并同类项得：
2
3 𝑥≤
2
3，
系数化为1 得：x≤1．
解集在数轴上表示：
（3）不等式组{
3𝑥−6＜5𝑥−1
−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥
的解集为：−5
2 ＜𝑥≤1．
故答案为：−5
2 ＜𝑥≤1．
（4）由解集可得，不等式组的最小负整数解为：﹣2．
故答案为：﹣2．
▌题型05 错解复原问题
（1）错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1 漏变号、移项忘变号等具体错误点；
（2）公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误；
（3） 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确；
（4）代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有
误。
【典例1】（2026•金凤区校级二模）请你阅读解题过程并完成相应任务．解不等式组：{
𝑥−3(𝑥−1) ≥5①
𝑥−3
5
−1＜𝑥+1
2 ②．
11 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
下面是某同学解不等式①的过程：
解：去括号，得x﹣3x+3≥5…第一步，
移项，得x﹣3x≥5﹣3…第二步，
合并同类项，得﹣2x≥2…第三步，
系数化为1，得x≥﹣1…第四步．
（1）该同学的解答过程中第 四 步出现了错误，错误原因是 不等式两边同时除以负数，不等号的方
向没有改变， ；不等式①的正确解集是x≤﹣1 ；
（2）解不等式②，并求出不等式组的解集．
【分析】（1）观察解答过程可得答案；
（2）根据解不等式的一般步骤求出不等式②的解集，再求不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）观察解答过程知，该同学的解答过程中第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同
时除以负数，不等号的方向没有改变，不等式①的正确解集是x≤﹣1；
故答案为：四；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变；x≤﹣1；
（2）去分母得：2（x﹣3）﹣10＜5（x+1），
去括号得：2x﹣6﹣10＜5x+5，
移项得：2x﹣5x＜5+6+10，
合并同类项得：﹣3x＜21，
两边同时除以﹣3 得：x＞﹣7，
∴不等式②的解集为x＞﹣7；
∴不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．
【变式1-1】（2026•丛台区校级模拟）以下为小颖在解不等式组{
𝑥−2＜2𝑥①
2𝑥+2
3
≤𝑥
2 + 1②
时草稿纸上演草的过程：
解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步
4x+4≤3x+1…第二步
4x﹣3x≤1﹣4…第三步
x≤﹣3…第四步
（1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 一 步开始出现错误；
（2）请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得 x＞﹣2 ，
解不等式②，得 x≤2 ，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为 ﹣2＜x≤2 ．
12 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据题目中的解答过程可知第一步出错了；
（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知，
第一步开始出现错误，理由是等号右边的1 没有乘6，
故答案为：一；
（2）解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤2，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2．
【变式1-2】（2026 春•惠州期末）以下是乐乐解不等式组{
𝑥−2＜2𝑥①
2𝑥+2
3
≤𝑥
2 + 1②
的部分过程．
解不等式①得，x﹣2x＜2．第一步
x＜﹣2．第二步
解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步
4x+4≤3x+1．第四步
4x﹣3x≤1﹣4．第五步
x≤﹣3．第六步
…
（1）填空：乐乐解不等式①从第 二 步开始出现错误；解不等式②从第 三 步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）根据不等式的性质即可判断；
（2）根据解不等式组的步骤即可求解，再把解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）解：乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变，
∴从第二步开始出现错误；
解不等式②，第三步去分母，1 漏乘了6，
∴从第三步开始出现错误．
故答案为：二；三；
（2）解不等式①，得x＞﹣2，
13 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
在数轴上表示不等式组解集为：
．
【变式1-3】（2026•蓬江区校级二模）下面是小林同学解不等式组{5 −1
2 𝑥≥3𝑥−6
2
①
3 + 𝑥＞4②
的部分过程，请认真
阅读并完成相应任务．
解：解不等式①：去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步
移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步
合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步
两边都除以﹣4，得x≥4．…第四步
任务一：上述解不等式①的过程中，第 四 步出现了错误，其原因是 不等式两边都除以﹣4，不等号
的方向应该改变 ；
任务二：请写出解这个不等式组的正确的完整解答过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解法是解决问题的关键．任务一第四步错误，不等式两边都
除以﹣4，不等号的方向应该改变；任务二先求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分，然后在数
轴上画出不等式组的解集即可．
【解答】解：任务一：
第四步错误，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变；
故答案为：四，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变，
故答案为：四；不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变；
任务二：
{5 −1
2 𝑥≥3𝑥−6
2
①
3 + 𝑥＞4②
，
解不等式①：x≤4，
解不等式②：得x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤4，
不等式组的解集在数轴上的表示如图所示：
．
14 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
▌题型06 新定义问题
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运
算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行。
【典例1】（2026 春•龙口市期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程
（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1 与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1 和不等式x+3＞0 的“梦想解”．
（1）x＝﹣1 是方程2x+3＝1 和下列不等式 ③ 的“梦想解”；（填序号）
①𝑥−1
2 ＞3
2，②2（x+3）＜4，③
𝑥−1
2
＜3．
（2）若关于x，y 的二元一次方程组{3𝑥−2𝑦= 3𝑚+ 2
2𝑥−𝑦= 𝑚−5
和不等式组{𝑥＞𝑦−5
𝑥−𝑦＜1
有“梦想解”，且m 为整数，
求m 的值．
【分析】（1）依据题意，根据“梦想解”的意义逐个计算可以得解；
（2）依据题意，解方程组得{𝑥= −𝑚−12
𝑦= −3𝑚−19，结合二元一次方程组和不等式组{𝑥＞𝑦−5
𝑥−𝑦＜1
有“梦想解”，
从而{𝑥= −𝑚−12
𝑦= −3𝑚−19是不等式组的解，可得{−𝑚−12＞−3𝑚−19 −5
−𝑚−12 −(−3𝑚−19)＜1
，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，①∵x−1
2 ＞3
2，
∴x＞1，故①不合题意；
②2（x+3）＜4，
∴2x＜﹣2，
∴x＜﹣1，故②不合题意；
③∵
𝑥−1
2
＜3，
∴x﹣1＜6，
∴x＜7，故③符合题意．
15 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：③；
（2）由题意，解方程组得{𝑥= −𝑚−12
𝑦= −3𝑚−19，
∵二元一次方程组和不等式组{𝑥＞𝑦−5
𝑥−𝑦＜1
有“梦想解”，
∴{𝑥= −𝑚−12
𝑦= −3𝑚−19是不等式组的解，
∴{−𝑚−12＞−3𝑚−19 −5
−𝑚−12 −(−3𝑚−19)＜1
，
∴﹣6＜m＜﹣3，
∵m 为整数，
∴m＝﹣5 或﹣4
【变式1-1】（2026 春•广元期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的
解是这个不等式的“内含解”．例如：方程3x﹣6＝0 的解是x＝2，同时x＝2 也是不等式2x+5＞0 的解，
则方程3x﹣6＝0 的解x＝2 是不等式2x+5＞0 的“内含解”．
（1）判断方程4x+5＝x﹣1 的解是不是不等式
𝑥−2
4
＞0的“内含解”，并说明理由；
（2）若关于x 的方程x﹣m＝0 的解是不等式组{ 𝑥+ 1＞0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”．且该不等式组恰好有3 个整
数解，求m 的取值范围．
【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可；
（2）先得出方程和不等式组的解分别为x＝m，−1＜𝑥≤8+𝑚
3 ，然后根据题意可得2 ≤8+𝑚
3
＜3，−1＜𝑚≤
8+𝑚
3 ，进而求解即可．
【解答】解：（1）不是，理由：
解方程4x+5＝x﹣1 得：x＝﹣2，
解不等式
𝑥−2
4
＞0得：x＞2，
∴x＝﹣2 不在x＞2 范围内，
∴方程4x+5＝x﹣1 的解不是不等式
𝑥−2
4
＞0的“内含解”；
（2）{ 𝑥+ 1＞0①
3𝑥−8 ≤𝑚②
，
由①可得：x＞﹣1，
由②可得：𝑥≤8+𝑚
3 ，
∴不等式组的解集为−1＜𝑥≤8+𝑚
3 ，
16 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵该不等式组恰好有3 个整数解，且该3 个整数解分别为0，1，2，
∴2 ≤8+𝑚
3
＜3，
解得：﹣2≤m＜1，
由方程x﹣m＝0 可得x＝m，且方程x﹣m＝0 的解是不等式组{ 𝑥+ 1＞0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”，
∴−1＜𝑚≤8+𝑚
3 ，
解得：﹣1＜m≤4，
综上所述：m 的取值范围为﹣1＜m＜1．
【变式1-2】（2026 春•赣榆区校级月考）对x，y 定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，
b 均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1．
（1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12．
①求a，b 的值；
②若关于m 的不等式组{
𝜃(2 −𝑚，𝑚+ 1) ≤1
𝜃(𝑚
4 ，1−𝑚
2 )＜𝑝
恰好有2026 个整数解，求实数p 的取值范围；
（2）若不论m，n 取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n 的值都是一个定值，请求出该定值．
【分析】（1）①根据题意可得方程组{−2𝑎−𝑏+ 1 = −2
6𝑎+ 𝑏+ 1 = 12
，求解方程组即可；
②将①中a、b 代入可得θ（x，y）＝4x+y+1，求解不等式组可得3≤m＜2p﹣3，再由不等式组恰好有2026
个整数解，2028＜2p﹣3≤2029，求出p 的范围即可；
（2）由题可得θ（n﹣m，3m+2）＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，则2a+1＝0，2a+3b＝0，求出a= −1
2，
b= 1
3，即可求定值为
1
3．
【解答】解：（1）①∵θ（x，y）＝2ax﹣by+1，
∴{−2𝑎−𝑏+ 1 = −2
6𝑎+ 𝑏+ 1 = 12
，
解得{𝑎= 2
𝑏= −1；
②∵a＝2，b＝﹣1，
∴θ（x，y）＝4x+y+1，
∴{
4(2 −𝑚) + 𝑚+ 1 + 1 ≤1
4 × 𝑚
4 + 1−𝑚
2
+ 1＜𝑝
，
解得3≤m＜2p﹣3，
∵不等式组恰好有2026 个整数解，
∴2028＜2p﹣3≤2029，
解得
2031
2
＜p≤1016；
17 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）θ（n﹣m，3m+2）＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，
∵不论m，n 取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n 的值都是一个定值，
∴2a+1＝0，2a+3b＝0，
解得a= −1
2，b= 1
3，
∴定值为
1
3．
【变式1-3】（2026 春•金湾区期末）阅读与思考
[新定义]
我们把非负实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n 为非负整数时，若n﹣0.5≤a
＜n+0.5，则[a]＝n；反之，若[a]＝n，则n﹣0.5≤a＜n+0.5．
例如：[0]＝[0.2]＝0，[3]＝3，[11.6]＝[12.4]＝12．
[问题解决]
（1）填空：[1.9]＝ 2 ，[π]＝ 3 ；
（2）若[x+2]＝5，求x 的取值范围；
（3）在关于x，y 的方程组{𝑥+ 2𝑦= 𝑚+ 1
2𝑥+ 𝑦= 3
中，若x，y 满足
3
2 ≤𝑦−𝑥＜
5
2，求[m]的值；
（4）下列结论正确的有： ③ ．（a，b 均为非负实数）
①[2a]＝2[a]；
②[a+b]＝[a]+[b]；
③[2026a+1]＝[2026a]+1．
【分析】（1）直接根据新定义即可得出结果；
（2）根据新定义，列出不等式组，进行求解即可；
（3）根据方程组的解的情况，求出m 的取值范围，再根据新定义，即可得出结果；
（4）根据新定义，逐一进行判断即可．
【解答】解：（1）直接根据新定义可得：
[1.9]＝2，[π]＝3；
故答案为：2，3；
（2）根据新定义，列出不等式组可得：
5﹣0.5≤x+2＜5+0.5，
∴4.5≤x+2＜5.5，
∴2.5≤x＜3.5．
（3）{𝑥+ 2𝑦= 𝑚+ 1①
2𝑥+ 𝑦= 3②
，
①﹣②得y﹣x＝m﹣2，
18 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵
3
2 ≤𝑦−𝑥＜
5
2，
∴
3
2 ≤𝑚−2＜
5
2，
∴
7
2 ≤𝑚＜
9
2，
∴[m]＝4；
（4）根据新定义，逐一进行判断如下：
①当a＝1.6 时，
∵[2a]＝[3.2]＝3，[a]＝2，
∴2[a]＝4，
∴[2a]≠2[a]，故①错误；
②当a＝3.6，b＝3.7 时，
∵[a+b]＝[7.3]＝7，[a]+[b]＝4+4＝8，
∴[a+b]≠[a]+[b]，故②错误；
③令[2026a]＝n，则有n﹣0.5≤2026a＜n+0.5，
∴n﹣0.5+1≤2026a+1＜n+0.5+1，
∴（n+1）﹣0.5≤2026a+1＜（n+1）+0.5，
∴[2026a+1]＝n+1，
即[2026a+1]＝[2026a]+1，故③正确．
故答案为：③．
▌题型07 由不等式组的解集求参数
（1） 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)；
（2）对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解；
（3）数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系；
（4）端点取舍：涉及“>”“<”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。
【典例1】（2026 春•榆林期末）若关于x 的不等式组{3𝑥−2＜10
𝑥+ 5＜𝑚
的解集是x＜4，则m 的取值范围为（ ）
A．m≥9
B．m≥4
C．m≤9
D．m＞4
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】解：解3x﹣2＜10 得：x＜4．
19 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解x+5＜m 得：x＜m﹣5．
∵不等式组的解集是x＜4，
∴m﹣5≥4，
解得m≥9．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•利津县期末）不等式组{2𝑥−5 ≤𝑥+ 1
𝑥＜𝑛
解集为x≤6，则n 取值范围是（ ）
A．n≥6
B．n≤6
C．n＜6
D．n＞6
【分析】解第一个不等式得出其解集，再根据题意求得n 的取值范围即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x≤6，
∵原不等式组的解集为x≤6，
∴n＞6，
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期末）若关于x 的不等式组{𝑥+ 𝑎＜3
𝑏−2𝑥＜0
的解集为1＜x＜2，则a+b 的值是
（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含a，b 的解集，再对照已知解集求出a，b 的值，最
后计算a+b 即可．
【解答】解：由{ 𝑥+ 𝑎＜3①
𝑏−2𝑥＜0②
可得{
𝑥＜3 −𝑎
𝑥＞𝑏
2
，
∵不等式组{𝑥+ 𝑎＜3
𝑏−2𝑥＜0
的解集为1＜x＜2，
∴3﹣a＝2，
𝑏
2 =1，
解得a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3，
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•临潼区校级期末）关于x 的不等式组{3(𝑥−2)＞0
𝑥+ 2＞3𝑚
的解集在数轴上的表示如图所示，
则m 的取值范围是（ ）
A．𝑚≥4
3
B．𝑚＞4
3
C．𝑚＜4
3
D．𝑚≤4
3
20 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，得到关于m 的
不等式，解出m 的范围即可选出正确选项．
【解答】解：{3(𝑥−2)＞0
𝑥+ 2＞3𝑚
，
解不等式3（x﹣2）＞0，得x＞2，
解不等式x+2＞3m，得x＞3m﹣2，
∵由图可知，不等式组的解集为x＞2，
∴3m﹣2≤2，
解得𝑚≤4
3．
故选：D．
▌题型08 由不等式组的整数解求参数
（1） 解不等式组；
（2）根据整数解个数，画出数轴定区间，先在数轴上标出所有满足条件的整数，再确定参数所在区间的大
致范围；
（3）列不等式组锁定参数范围；
（4）单独验证端点等号。
【典例1】（2026 春•自贡期末）若关于x 的不等式组{𝑥−3＜0
3𝑥+ 5＞𝑎−𝑥
恰好只有2 个整数解，则所有满足条件
的整数a 的值之和是（ ）
A．25
B．26
C．27
D．28
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰好只有2 个整数解确定a
的取值范围，找出范围内所有整数a，计算其和即可得到结果．
【解答】解：{𝑥−3＜0
3𝑥+ 5＞𝑎−𝑥
，
解不等式x﹣3＜0 得x＜3，
解不等式3x+5＞a﹣x 得𝑥＞𝑎−5
4 ，
∴不等式组的解集为
𝑎−5
4
＜𝑥＜3，
∴这2 个整数解为1，2，
21 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴0 ≤𝑎−5
4 ＜1，
∴5≤a＜9，
∴满足条件的整数a 为5、6、7、8，整数a 的和为5+6+7+8＝26．
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•青岛校级期中）若关于x 的不等式组{ 𝑥+ 𝑎＜3
3 −2𝑥≤7
有3 个整数解，则a 的取值范围为
（ ）
A．2＜a＜3
B．2≤a＜3
C．1＜a＜3
D．1＜a≤2
【分析】先将两个不等式解出结合即可．
【解答】解：解不等式x+a＜3，得：x＜3﹣a，
解不等式3﹣2x≤7，得：x≥﹣2，
∴﹣2≤x＜3﹣a，
∴这3 个整数解为﹣2，﹣1，0，
∴0＜3﹣a≤1，
由3﹣a＞0，得：a＜3，
由3﹣a≤1，得：a≥2，
∴a 的范围为：2≤a＜3．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•惠州期末）已知关于x 的不等式组{3𝑥−2𝑎＜4 −5𝑥
2(𝑥+ 1) ≥𝑥+ 3有且仅有三个正整数解，则a 的
取值范围为（ ）
A．10＜a＜14
B．10≤a＜14
C．10＜a≤14
D．10≤a≤14
【分析】解不等式组得到1 ≤𝑥＜𝑎+2
4 ，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列
出关于a 的不等式3＜𝑎+2
4
≤4；再解该不等式，得到a 的取值范围．
【解答】解：{3𝑥−2𝑎＜4 −5𝑥①
2(𝑥+ 1) ≥𝑥+ 3②
，
由①得8x＜4+2a，
∴𝑥＜𝑎+2
4 ，
由②得：x≥1，
∴不等式组的解集为：1 ≤𝑥＜𝑎+2
4 ，
∵关于x 的不等式组{3𝑥−2𝑎＜4 −5𝑥
2(𝑥+ 1) ≥𝑥+ 3有且仅有三个正整数解，
22 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴正整数解为 1，2，3．
∴3＜𝑎+2
4
≤4，
由 3＜𝑎+2
4 ，得 12＜a+2，即 a＞10；
由 4 ≥𝑎+2
4 ，得 16≥a+2，即 a≤14．
∴10＜a≤14．
故选：C．
【变式1-3】（2026 春•浠水县期末）如果关于x 的不等式组{
𝑥≥−3
𝑥≤3+𝑎
5
有且只有三个整数解，且关于x 的方
程1+a＝3x 有整数解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A．﹣5
B．﹣6
C．﹣10
D．﹣11
【分析】先根据不等式组整数解的个数确定a 的取值范围，再根据方程的解为整数找出符合条件的整数
a，最后计算和即可．
【解答】解：∵不等式组有且只有三个整数解，
∴三个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，
可得−1 ≤3+𝑎
5 ＜0，
不等式两边同乘5 得：
﹣5≤3+a＜0，
解得﹣8≤a＜﹣3，
∵方程1+a＝3x 有整数解，
∴𝑥= 1+𝑎
3 为整数，即1+a 是3 的倍数，
在﹣8≤a＜﹣3 的整数中，符合条件的a 为﹣7 和﹣4，
∴符合条件的所有整数a 的和为﹣7+（﹣4）＝﹣11．
故选：D．
▌题型09 程序问题
（1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式；
（2）列不等式；
（3）解一元一次不等式；
（4）结合题意写答案。
23 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【典例1】（2026 春•芜湖校级期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程
序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥17”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么
x 的取值范围是（ ）
A．x≥6
B．
10
3 ≤𝑥＜6
C．
7
3 ≤𝑥＜6
D．x＜6
【分析】根据程序运行两次就停止可得第一次输入x，其结果＜17；第二次输入（3x﹣1），其结果≥17，
据此建立一个关于x 的一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：由题意得：第一次输入x，其结果＜17；第二次输入（3x﹣1），其结果≥17，
即{3𝑥−1＜17
3(3𝑥−1) −1 ≥17，
解得
7
3 ≤𝑥＜6，
故选：C．
【变式1-1】（2026 春•姜堰区校级月考）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x 的
取值范围为 4≤x＜8 ．
【分析】由运算流程，结合题意可得关于x 的一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：第一次运算结果为3x﹣4，
第二次运算结果为（3x﹣4）×3﹣4＝9x﹣16，
根据题意可得{3𝑥−4＜20
9𝑥−16 ≥20
，
解得4≤x＜8，
故答案为：4≤x＜8．
【变式1-2】（2026 春•衡水校级期末）在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序：
按上述程序运行到“结果是否≥55”时，称为一次“操作”．
（1）若一次“操作”就输出结果，求x 的最小值；
24 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）若x＝5，则输出结果是 109 ；
（3）若三次“操作”才输出结果，求x 的取值范围．
【分析】（1）根据程序框图列式为3x﹣2≥55，解不等式并确定其最小值即可；
（2）根据程序框图列式计算，直至结果不小于55 即可；
（3）根据程序框图列得不等式组为{
3𝑥−2＜55
3(3𝑥−2) −2＜55
3[3(3𝑥−2) −2] −2 ≥55
，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵一次“操作”就输出结果，
∴3x﹣2≥55，
解得：x≥19，
则x 的最小值为19；
（2）若x＝5，
则3×5﹣2＝13＜55，返回继续运算，
3×13﹣2＝37＜55，返回继续运算，
3×37﹣2＝109＞55，输出结果，
故答案为：109；
（3）∵三次“操作”才输出结果，
∴{
3𝑥−2＜55
3(3𝑥−2) −2＜55
3[3(3𝑥−2) −2] −2 ≥55
，
解得：3≤x＜7．
【变式1-3】（2026 春•临潼区校级期末）编程课上，小宇设计了一个如图所示的运算程序图，按照程序进行
运算，程序运行到“判断结果是否大于19”为一次运行．
（1）若该程序只运行了1 次就停止了，求x 的取值范围；
（2）若该程序只运行了2 次就停止了，求x 的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得不等式2x﹣3＞19，解不等式即可得到答案；
（2）根据题意可得不等式组{2𝑥−3 ≤19
2(2𝑥−3) −3＞19，解不等式组即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，2x﹣3＞19，
解得x＞11；
（2）若该程序只运行了2 次就停止了，
由题意得，{2𝑥−3 ≤19①
2(2𝑥−3) −3＞19②，
25 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
解不等式①得x≤11，
解不等式②得x＞7，
∴原不等式组的解集为7＜x≤11，
∴x 的取值范围为7＜x≤11．
▌题型10 不等式有解、无解问题
（1）解不等式组；
（2）对比大小，列关系式
大于号的上界 ＜ 小于号的下界 ⇒ 有解
大于号的上界 ≥ 小于号的下界 ⇒ 无解；
（3）单独验证端点等号；
（4）写出参数范围。
【典例1】（2026 春•广元期末）已知关于x 的不等式组{𝑥−1＜2𝑥−7
𝑥＜𝑚
无解，那么m 的取值范围是（ ）
A．m≤6
B．m＞6
C．m＜6
D．m≥6
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：“同大取大、同小取小、大小小
大中间找、大大小小找不到”即可得出答案．
【解答】解：由不等式组{𝑥−1＜2𝑥−7
𝑥＜𝑚
可得{𝑥＞6
𝑥＜𝑚
，
∵不等式组{𝑥−1＜2𝑥−7
𝑥＜𝑚
无解，
∴m≤6，
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•巴中期末）若不等式组{
2𝑥−3＞5
𝑥−𝑎
3
≤1 有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a＜1
C．a≤1
D．a≥1
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组有解即两个解集存在公共部分，列出关于
a 的不等式即可求解．
26 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【解答】解：{
2𝑥−3＞5①
𝑥−𝑎
3
≤1②
解2x﹣3＞5 得：x＞4；
解
𝑥−𝑎
3
≤1得：x≤a+3；
∵不等式组有解，即两个解集存在公共部分，
∴4＜a+3，解得a＞1．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•张家川县校级期末）若不等式组{𝑥−𝑎＜0
1 −2𝑥＜2 −𝑥
有解，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1
B．a≥﹣1
C．a＜1
D．a≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式1﹣2x＜2﹣x，得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴﹣1＜x＜a，
∴a＞﹣1，
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•淮南期末）已知关于x 的不等式组{−𝑥+ 6＞0
𝑥≥𝑎+ 2
（其中a 是常数）．
（1）若该不等式组无解，则a 的最小值是 4 ；
（2）若该不等式组所有整数解的和是9，则a 的取值范围是 1＜a≤2 或﹣6＜a≤﹣5 ．
【分析】（1）先求出不等式组中两个不等式的解集，由不等式组无解得到a+2≥6，即可求解；
（2）根据题意确定不等式组的整数解为5，4 或5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，
然后得到不等式组3＜a+2≤4 或﹣4＜a+2≤﹣3，求解即可．
【解答】解：（1）由﹣x+6＞0，解得x＜6，
若该不等式组无解，则a+2≥6，
解得a≥4，
即a 的最小值是4；
故答案为：4；
（2）由（1）知a+2≤x＜6，
若该不等式组所有整数解的和是9，
则其整数解为5，4 或5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，
得3＜a+2≤4 或﹣4＜a+2≤﹣3，
解得：1＜a≤2 或﹣6＜a≤﹣5．
27 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：1＜a≤2 或﹣6＜a≤﹣5．
▌题型11 不等式组与方程组结合问题
（1） 解表参数：先将方程组用参数表示解；
（2）转化为不等式组：根据解的范围或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解；
（3）代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式；
（4）数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题筛选最终值。
【典例1】（2026 春•朝阳区校级月考）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3的解为正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）．
【分析】（1）根据题意，得出关于m 的不等式组，据此进行求解即可；
（2）结合绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）由{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3得，
{𝑥= 3𝑚+ 2
𝑦= −𝑚+ 5．
因为该方程组的解为正数，
所以{3𝑚+ 2＞0
−𝑚+ 5＞0
，
解得−2
3 ＜𝑚＜5；
（2）因为−2
3 ＜𝑚＜5，
则3m+2＞0，m﹣5＜0，
所以|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）＝3m+2﹣（﹣m+5）﹣2（2m﹣4）＝3m+2+m﹣5﹣4m+8＝5．
【变式1-1】（2026 春•科左后旗期末）已知关于x，y 的方程组{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑎
𝑥−𝑦= 3𝑎+ 1 的解中x≤0，y＜0．
（1）a 的取值范围为 ﹣2＜a≤3 ．
（2）化简：|a+2|+|3﹣a|．
（3）在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1 的解集为x＜1？
【分析】（1）把a 看作已知数表示出方程组的解，根据x≤0，y＜0，求出a 的范围即可；
28 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）根据（1）中的取值可解答；
（3）先根据不等式的基本性质求出a 的取值范围，再结合（1）中a 的取值范围即可得到整数a 的值．
【解答】解：（1）解方程组得{𝑥= 𝑎−3
𝑦= −2𝑎−4，
∵x≤0，y＜0，
∴{𝑎−3 ≤0①
−2𝑎−4＜0②，
解不等式①，得a≤3，
解不等式②，得a＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜a≤3，即a 的取值范围为﹣2＜a≤3；
故答案为：﹣2＜a≤3；
（2）由（1）可知，﹣2＜a≤3，
∴a+2＞0，3﹣a≥0，
∴原式＝a+2+3﹣a＝5；
（3）原不等式变形可得（2a+1）x＞2a+1．
∵不等式的解集为x＜1，
∴2a+1＜0，
解得𝑎＜−1
2，
又∵﹣2＜a≤3，
∴−2＜𝑎＜−1
2，
∵a 为整数，
∴a＝﹣1．
∴当a＝﹣1 时，不等式2ax+x＞2a+1 的解集为x＜1．
【变式1-2】（2026 春•牡丹江期末）已知方程组{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚的解满足x 为非正数，y 为负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1 的解为x＞1．求整数m 的值．
【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组得{𝑥= −3 + 𝑚
𝑦= −4 −2𝑚，由题意得，{−3 + 𝑚≤0
−4 −2𝑚＜0，然后解一元一
次不等式组即可；
（2）根据不等式的性质可知，2m+1＜0，然后求解作答即可．
【解答】解：（1）{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚①
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚②，
①+②得，2x＝﹣6+2m，
解得，x＝﹣3+m，
29 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
将x＝﹣3+m 代入①得，﹣3+m+y＝﹣7﹣m，
解得，y＝﹣4﹣2m，
∴{𝑥= −3 + 𝑚
𝑦= −4 −2𝑚，
∵x 为非正数，y 为负数，
∴{−3 + 𝑚≤0③
−4 −2𝑚＜0④，
解③得，m≤3；
解④得，m＞﹣2；
∴m 的取值范围为﹣2＜m≤3；
（2）∵（2m+1）x﹣2m＜1，
∴（2m+1）x＜2m+1，
∵不等式的解为x＞1，
∴2m+1＜0，即𝑚＜−1
2，
∴m 的取值为−2＜𝑚＜−1
2．
∵m 为整数，
∴m＝﹣1．
【变式1-3】（2026 春•九台区期末）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 5 −𝑚
𝑥−𝑦= −1 + 3𝑚，若x 的值为非负数，y 的
值为正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）在m 的取值范围内，当m 为何负整数时，不等式mx+x＜m+1 的解集为x＞1，求m 的值．
【分析】（1）先求出方程组的解，根据x 的值为非负数和y 的值为正数得出{2 + 𝑚≥0
3 −2𝑚＞0，求出m 的范围
即可；
（2）不等式变为（m+1）x＜m+1，根据不等式的解集为x＞1 求出m+1＜0，即可求出m 的范围是﹣2≤
m＜﹣1，再求出负整数m 即可．
【解答】解：（1）解方程组{𝑥+ 𝑦= 5 −𝑚
𝑥−𝑦= −1 + 3𝑚得：{𝑥= 2 + 𝑚
𝑦= 3 −2𝑚，
∵x 的值为非负数，y 的值为正数，
∴{2 + 𝑚≥0
3 −2𝑚＞0，
解得：﹣2≤m＜3
2，
即m 的取值范围是：﹣2≤m＜3
2；
（2）mx+x＜m+1，
30 / 30
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（m+1）x＜m+1，
∵不等式mx+x＜m+1 的解为x＞1，
∴m+1＜0，
∴m＜﹣1，
∵﹣2≤m＜3
2，
∴﹣2≤m＜﹣1，
∵m 为负整数，
∴m＝﹣2．
