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专题30 一元一次不等式组
（题型突破·举一反三）
题型01 一元一次不等式组的定义
题型02 利用数轴表示不等式组的解集
题型03 解一元一次不等式组
题型04 一元一次不等式组的整数解
题型05 错解复原问题
题型06 新定义问题
题型07 由不等式组的解集求参数
题型08 由不等式组的整数解求参数
题型09 程序问题
题型10 不等式有解、无解问题
题型11 不等式组与方程组结合问题
▌题型01 一元一次不等式组的定义
把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
【典例1】（2025 春•武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A．{𝑥＞3
𝑥＜1
B．{3𝑥＞7
2𝑥−1＜5
C．{𝑥−2＞3
𝑦+ 2＜0
D．{5𝑥−7＞3
2𝑥＞1
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【变式1-1】下列不等式组：①{𝑥≥−4
𝑥＞−3；②{𝑥＞0
𝑥+ 2＞4
；③{𝑥2 + 1＞0
𝑥+ 2＞4
；④{
𝑥+ 3＞0
1
𝑥＞0
；⑤{𝑥+ 1＞0
𝑦−1＞0
；⑥
{
𝑥+ 1＞3
2𝑥−1＞𝑥
3𝑥+ 2＞1 −𝑥
．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】（2025 春•城关区校级月考）下列各式是一元一次不等式组的是（ ）
A．{
𝑥+ 4 = 0
1
𝑥−5＞0
B．{
𝑥2 −𝑥＞0
2
𝑥＞4
C．{ 𝑥＞2
𝑥＜−7
D．{𝑦+ 2＞0
𝑥+ 𝑦＜0
【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 ．（填序号）
①{𝑥+ 2＜3𝑥
𝑦＞2
；
②{𝑥2 + 1＞2𝑥
𝑥＜1
；
③{2(𝑥−1)＞3𝑥
𝑥≤−2
；
④﹣4x≤x＜5；
⑤{
𝑥−1＞0
2𝑥+ 3＜0
𝑥−4＞2𝑥−1
；
⑥{
𝑥+ 6 ≤1
1
𝑥＞2
．
▌题型02 利用数轴表示不等式组的解集
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况
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【典例1】（2026 春•青岛校级期中）不等式组{−2𝑥＞−4
𝑥+ 3 ≥2
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2026 春•武侯区校级期中）不等式组{2𝑥−3 ≤3
2 −𝑥＜0 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2026 春•潜山市月考）不等式组{𝑥≤3
𝑥+ 2＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026 春•亳州期末）不等式组{𝑥+ 2＞0
2 −𝑥≥1
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌题型03 解一元一次不等式组
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）把各个不等式的解集在数轴上表示出来；
（3）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有公
共部分，那么说这个一元一次不等式组无解.
【典例1】（2026 春•富平县期末）解不等式组：{
4(𝑥−2)＜3𝑥−4
𝑥+4
3
≤𝑥+ 2
，并将解集在如图所示的数轴上表示出
来．
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【变式1-1】（2026•海淀区校级模拟）解不等式组：{
3(𝑥−1) ≤4 + 2𝑥
𝑥−9
5 ＜2𝑥
．
【变式1-2】（2026 春•蒲城县期末）解不等式组{
2(𝑥+ 1)＞𝑥−2
𝑥+3
2
≥2𝑥
，并在如图所示的数轴上表示其解集．
【变式1-3】（2026 春•惠州期末）解不等式组及方程组：
（1）解不等式组：{
4(𝑥−1) ≥𝑥+ 2①
2𝑥+1
3
＞𝑥−1②．
（2）解方程组：{ 2𝑥−5𝑦= 7①
3𝑥+ 2𝑦= 12②．
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▌题型04 一元一次不等式组的整数解
（1）先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。
（2）再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。
（3）数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。
（4）端点判断：注意端点是否包含（>或<含等号，>或<不含)，决定该端点整数是否可取。
【典例1】（2026 春•浦东新区校级期末）解不等式组{
5𝑥−1＞3(𝑥+ 3)
2𝑥−1
3
−𝑥
2 ≤1
，并写出该不等式组的所有整数解．
【变式1-1】（2026•张掖校级三模）解不等式组：{
1 −𝑥−2
3
≥1
6 𝑥
1−𝑥
2 ＜𝑥
，并写出它的所有正整数解．
【变式1-2】（2026 春•广元期末）解不等式组{
2𝑥+ 1 ≤3𝑥+ 3
𝑥+1
2 ＜𝑥
6 + 1
，把该不等式组的解集在数轴上表示出来，
并求出它的所有整数解的和．
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【变式1-3】（2026•信都区校级模拟）不等式组{
3𝑥−6＜5𝑥−1①
−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥②
，请按下列步骤完成解答．（1）解不等
式3x﹣6＜5x﹣1，并在图中所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥，并在图中所给的数轴上表示其解集；
（3）不等式组{
3𝑥−6＜5𝑥−1
−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥
的解集是 ；
（4）不等式组的最小负整数解是 ．
▌题型05 错解复原问题
（1）错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1 漏变号、移项忘变号等具体错误点；
（2）公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误；
（3） 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确；
（4）代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有
误。
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【典例1】（2026•金凤区校级二模）请你阅读解题过程并完成相应任务．解不等式组：{
𝑥−3(𝑥−1) ≥5①
𝑥−3
5
−1＜𝑥+1
2 ②．
下面是某同学解不等式①的过程：
解：去括号，得x﹣3x+3≥5…第一步，
移项，得x﹣3x≥5﹣3…第二步，
合并同类项，得﹣2x≥2…第三步，
系数化为1，得x≥﹣1…第四步．
（1）该同学的解答过程中第 步出现了错误，错误原因是 ；不等式
①的正确解集是 ；
（2）解不等式②，并求出不等式组的解集．
【变式1-1】（2026•丛台区校级模拟）以下为小颖在解不等式组{
𝑥−2＜2𝑥①
2𝑥+2
3
≤𝑥
2 + 1②
时草稿纸上演草的过程：
解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步
4x+4≤3x+1…第二步
4x﹣3x≤1﹣4…第三步
x≤﹣3…第四步
（1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 步开始出现错误；
（2）请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为 ．
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【变式1-2】（2026 春•惠州期末）以下是乐乐解不等式组{
𝑥−2＜2𝑥①
2𝑥+2
3
≤𝑥
2 + 1②
的部分过程．
解不等式①得，x﹣2x＜2．第一步
x＜﹣2．第二步
解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步
4x+4≤3x+1．第四步
4x﹣3x≤1﹣4．第五步
x≤﹣3．第六步
…
（1）填空：乐乐解不等式①从第 步开始出现错误；解不等式②从第 步开始出
现错误；
（2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来．
【变式1-3】（2026•蓬江区校级二模）下面是小林同学解不等式组{5 −1
2 𝑥≥3𝑥−6
2
①
3 + 𝑥＞4②
的部分过程，请认真
阅读并完成相应任务．
解：解不等式①：去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步
移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步
合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步
两边都除以﹣4，得x≥4．…第四步
任务一：上述解不等式①的过程中，第 步出现了错误，其原因是 ；
任务二：请写出解这个不等式组的正确的完整解答过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
．
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▌题型06 新定义问题
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运
算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行。
【典例1】（2026 春•龙口市期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程
（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程2x﹣3＝1 与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x
﹣3＝1 和不等式x+3＞0 的“梦想解”．
（1）x＝﹣1 是方程2x+3＝1 和下列不等式 的“梦想解”；（填序号）
①𝑥−1
2 ＞3
2，②2（x+3）＜4，③
𝑥−1
2
＜3．
（2）若关于x，y 的二元一次方程组{3𝑥−2𝑦= 3𝑚+ 2
2𝑥−𝑦= 𝑚−5
和不等式组{𝑥＞𝑦−5
𝑥−𝑦＜1
有“梦想解”，且m 为整数，
求m 的值．
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【变式1-1】（2026 春•广元期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的
解是这个不等式的“内含解”．例如：方程3x﹣6＝0 的解是x＝2，同时x＝2 也是不等式2x+5＞0 的解，
则方程3x﹣6＝0 的解x＝2 是不等式2x+5＞0 的“内含解”．
（1）判断方程4x+5＝x﹣1 的解是不是不等式
𝑥−2
4
＞0的“内含解”，并说明理由；
（2）若关于x 的方程x﹣m＝0 的解是不等式组{ 𝑥+ 1＞0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”．且该不等式组恰好有3 个整
数解，求m 的取值范围．
【变式1-2】（2026 春•赣榆区校级月考）对x，y 定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，
b 均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1．
（1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12．
①求a，b 的值；
②若关于m 的不等式组{
𝜃(2 −𝑚，𝑚+ 1) ≤1
𝜃(𝑚
4 ，1−𝑚
2 )＜𝑝
恰好有2026 个整数解，求实数p 的取值范围；
（2）若不论m，n 取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n 的值都是一个定值，请求出该定值．
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【变式1-3】（2026 春•金湾区期末）阅读与思考
[新定义]
我们把非负实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n 为非负整数时，若n﹣0.5≤a
＜n+0.5，则[a]＝n；反之，若[a]＝n，则n﹣0.5≤a＜n+0.5．
例如：[0]＝[0.2]＝0，[3]＝3，[11.6]＝[12.4]＝12．
[问题解决]
（1）填空：[1.9]＝ ，[π]＝ ；
（2）若[x+2]＝5，求x 的取值范围；
（3）在关于x，y 的方程组{𝑥+ 2𝑦= 𝑚+ 1
2𝑥+ 𝑦= 3
中，若x，y 满足
3
2 ≤𝑦−𝑥＜
5
2，求[m]的值；
（4）下列结论正确的有： ．（a，b 均为非负实数）
①[2a]＝2[a]；
②[a+b]＝[a]+[b]；
③[2026a+1]＝[2026a]+1．
▌题型07 由不等式组的解集求参数
（1） 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)；
（2）对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解；
（3）数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系；
（4）端点取舍：涉及“>”“<”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。
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【典例1】（2026 春•榆林期末）若关于x 的不等式组{3𝑥−2＜10
𝑥+ 5＜𝑚
的解集是x＜4，则m 的取值范围为（ ）
A．m≥9
B．m≥4
C．m≤9
D．m＞4
【变式1-1】（2026 春•利津县期末）不等式组{2𝑥−5 ≤𝑥+ 1
𝑥＜𝑛
解集为x≤6，则n 取值范围是（ ）
A．n≥6
B．n≤6
C．n＜6
D．n＞6
【变式1-2】（2026 春•朝阳区校级期末）若关于x 的不等式组{𝑥+ 𝑎＜3
𝑏−2𝑥＜0
的解集为1＜x＜2，则a+b 的值是
（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．﹣3
【变式1-3】（2026 春•临潼区校级期末）关于x 的不等式组{3(𝑥−2)＞0
𝑥+ 2＞3𝑚
的解集在数轴上的表示如图所示，
则m 的取值范围是（ ）
A．𝑚≥4
3
B．𝑚＞4
3
C．𝑚＜4
3
D．𝑚≤4
3
▌题型08 由不等式组的整数解求参数
（1） 解不等式组；
（2）根据整数解个数，画出数轴定区间，先在数轴上标出所有满足条件的整数，再确定参数所在区间的大
致范围；
（3）列不等式组锁定参数范围；
（4）单独验证端点等号。
【典例1】（2026 春•自贡期末）若关于x 的不等式组{𝑥−3＜0
3𝑥+ 5＞𝑎−𝑥
恰好只有2 个整数解，则所有满足条件
的整数a 的值之和是（ ）
A．25
B．26
C．27
D．28
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【变式1-1】（2026 春•青岛校级期中）若关于x 的不等式组{ 𝑥+ 𝑎＜3
3 −2𝑥≤7
有3 个整数解，则a 的取值范围为
（ ）
A．2＜a＜3
B．2≤a＜3
C．1＜a＜3
D．1＜a≤2
【变式1-2】（2026 春•惠州期末）已知关于x 的不等式组{3𝑥−2𝑎＜4 −5𝑥
2(𝑥+ 1) ≥𝑥+ 3有且仅有三个正整数解，则a 的
取值范围为（ ）
A．10＜a＜14
B．10≤a＜14
C．10＜a≤14
D．10≤a≤14
【变式1-3】（2026 春•浠水县期末）如果关于x 的不等式组{
𝑥≥−3
𝑥≤3+𝑎
5
有且只有三个整数解，且关于x 的方
程1+a＝3x 有整数解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A．﹣5
B．﹣6
C．﹣10
D．﹣11
▌题型09 程序问题
（1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式；
（2）列不等式；
（3）解一元一次不等式；
（4）结合题意写答案。
【典例1】（2026 春•芜湖校级期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程
序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥17”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么
x 的取值范围是（ ）
A．x≥6
B．
10
3 ≤𝑥＜6
C．
7
3 ≤𝑥＜6
D．x＜6
【变式1-1】（2026 春•姜堰区校级月考）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x 的
取值范围为 ．
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【变式1-2】（2026 春•衡水校级期末）在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序：
按上述程序运行到“结果是否≥55”时，称为一次“操作”．
（1）若一次“操作”就输出结果，求x 的最小值；
（2）若x＝5，则输出结果是 ；
（3）若三次“操作”才输出结果，求x 的取值范围．
【变式1-3】（2026 春•临潼区校级期末）编程课上，小宇设计了一个如图所示的运算程序图，按照程序进行
运算，程序运行到“判断结果是否大于19”为一次运行．
（1）若该程序只运行了1 次就停止了，求x 的取值范围；
（2）若该程序只运行了2 次就停止了，求x 的取值范围．
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▌题型10 不等式有解、无解问题
（1）解不等式组；
（2）对比大小，列关系式
大于号的上界 ＜ 小于号的下界 ⇒ 有解
大于号的上界 ≥ 小于号的下界 ⇒ 无解；
（3）单独验证端点等号；
（4）写出参数范围。
【典例1】（2026 春•广元期末）已知关于x 的不等式组{𝑥−1＜2𝑥−7
𝑥＜𝑚
无解，那么m 的取值范围是（ ）
A．m≤6
B．m＞6
C．m＜6
D．m≥6
【变式1-1】（2026 春•巴中期末）若不等式组{
2𝑥−3＞5
𝑥−𝑎
3
≤1 有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a＜1
C．a≤1
D．a≥1
【变式1-2】（2026 春•张家川县校级期末）若不等式组{𝑥−𝑎＜0
1 −2𝑥＜2 −𝑥
有解，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1
B．a≥﹣1
C．a＜1
D．a≤1
【变式1-3】（2026 春•淮南期末）已知关于x 的不等式组{−𝑥+ 6＞0
𝑥≥𝑎+ 2
（其中a 是常数）．
（1）若该不等式组无解，则a 的最小值是 ；
（2）若该不等式组所有整数解的和是9，则a 的取值范围是 ．
▌题型11 不等式组与方程组结合问题
（1） 解表参数：先将方程组用参数表示解；
（2）转化为不等式组：根据解的范围或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解；
（3）代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式；
（4）数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题筛选最终值。
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【典例1】（2026 春•朝阳区校级月考）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3的解为正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）．
【变式1-1】（2026 春•科左后旗期末）已知关于x，y 的方程组{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑎
𝑥−𝑦= 3𝑎+ 1 的解中x≤0，y＜0．
（1）a 的取值范围为 ．
（2）化简：|a+2|+|3﹣a|．
（3）在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1 的解集为x＜1？
【变式1-2】（2026 春•牡丹江期末）已知方程组{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚的解满足x 为非正数，y 为负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1 的解为x＞1．求整数m 的值．
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【变式1-3】（2026 春•九台区期末）已知关于x、y 的方程组{𝑥+ 𝑦= 5 −𝑚
𝑥−𝑦= −1 + 3𝑚，若x 的值为非负数，y 的
值为正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）在m 的取值范围内，当m 为何负整数时，不等式mx+x＜m+1 的解集为x＞1，求m 的值．
