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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测05
2.2 立方根、实数的运算与估算
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．下列说法正确的是（
）
A．
的平方根是
B．8 的立方根是
C．4 的平方根是2
D．
是2 的平方根
【答案】D
【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果．
【详解】A．
，所以，的平方根是
，因此本选项错误，不符合题意；
B．
，所以，的立方根是
，因此本选项错误，不符合题意；
C．
，所以，
的平方根是
，因此本选项错误，不符合题意；
D．
，所以，
是
的平方根，因此本选项正确，符合题意；
2．有下列实数：
，
，
，
，
，其中无理数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】先计算算术平方根，然后根据无理数的定义即可求解
【详解】解：
，
∵
、
、
均为有理数，
、
均为无理数，
∴无理数共有2 个
3．若
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先需要找到哪个数的立方等于
，计算结果即可．
【详解】解：
，
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，
．
4．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据计算器按键功能，
表示开立方运算，
表示分数输入，确定算式为
，计
算即可．
【详解】解：由按键顺序可知，该算式为
，
，
∴
．
5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数
有2 个；④16 的平方根是
，用式子表示是
；其中正确的是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【详解】解：
实数和数轴上的点是一一对应的，
说法①正确，符合题意；
无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分，
说法②错误，不符合题意；
立方根等于它本身的数有
和0，共3 个，
说法③错误，不符合题意；
的平方根是
，用式子表示是
，
说法④错误，不符合题意．
6．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1 的正方体礼盒的表面积为
，图2 的正方体礼盒的体积比
图1 的正方体礼盒的体积大
，则图2 的正方体礼盒的表面积为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由图1 表面积求棱长及体积，再由体积差求图2 体积及棱长，最后求图2 表面积．
【详解】解：设图1 正方体棱长为
，图2 正方体棱长为
，
图1 正方体表面积为
，
，
解得
，
图1 正方体体积为
，
图2 正方体体积比图1 大
，
图2 正方体体积为
，
，
解得
，
图2 正方体表面积为
．
7．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，
并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为
，
由此可估计该正方体铁块的棱长位于（
）两个相邻的整数之间
A．3 和4
B．4 和5
C．5 和6
D．6 和7
【答案】A
【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相
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邻整数的立方之间即可得到解．
【详解】解：
正方体的体积为棱长的三次方，
该正方体铁块的棱长为
，
，
，
，
该正方体铁块的棱长位于3 和4 之间．
8．已知
是整数，则满足条件的正整数
最小是（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】先得出
是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数
最小解答即可．
【详解】解：∵
是整数，
∴
是一个整数的立方，
又∵要求满足条件的正整数
最小，
∴正整数
最小是
，此时
，符合题意．
9．已知
的平方根是
；
的立方根为
；c 是
的整数部分．求
的值（
）
A．
B．3
C．8
D．
【答案】A
【详解】解：∵
的平方根是
，
∴
，解得
；
∵
的立方根是
，
∴
，解得
；
∵
，
∴
，
∴
的整数部分
，
∴
.
10．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（
）
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①当输出值
为
时，输入值
为3 或9；
②当输入值
为16 时，输出值
为
；
③存在这样的正整数
，输入
之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出
值；
④对于任意的正无理数
，都存在正整数
，使得输入
后能够输出
．
A．①②③
B．②③
C．①③④
D．②④
【答案】B
【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解．
【详解】解：①∵输出值
为
时，
∴输入值
为或或
等，故①错误；
②当
时，∵
是有理数，
∴重新输入
，
∵
是有理数，
∴重新输入
，
∵
是无理数，
∴输出值
为
，故②正确；
③当
时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出
值，故③正确；
④当
为正无理数
时，不存在正整数
，使得
，故④错误；
综上，说法正确的是②③．
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二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．把一个长、宽、高分别为
，
，
的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁
块的棱长为__________
．
【答案】
【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念
即可求出棱长．
【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为
，
设立方体铁块的棱长为
，
根据立方体体积公式得
，
因此
即锻造成的立方体铁块的棱长为
．
12．一个数的立方等于
，那么这个数是_____．
【答案】
【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念．
根据立方根的定义求解．
【详解】解：因为
，
所以这个数是
．
故答案为：
．
13．在实数
、
、
中，无理数有________个．
【答案】2
【详解】解：
，是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
开立方后是无限不循环小数，属于无理数，
因此无理数共有
个．
14．比较大小：
________
（填“>”“<”或“=”）．
【答案】
【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果．
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【详解】解：∵
，
又∵
，
∴
，
∴
．
15．若一个正数的两个平方根是
和
，这个数的立方根是______．
【答案】
【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出
的值，再
确定这个正数，最后计算该数的立方根即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是
和
，
∴
，
整理得
，
解得
，
∴
，
∴这个正数为
，
∴这个数的立方根是
．
16．正整数
、
分别满足
、
，则
___________．
【答案】
【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到
值是解答的关
键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解．
【详解】解：∵
，
，
，
，
又∵
，
是正整数，
∴
，
，
∴
，
故答案为：
．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
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程或演算步骤．
17．计算：
．
【答案】
【详解】解：原式
．
18．求下列各式中x 的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）解：
，
两边同除以4 得：
，
开平方得：
，
解得：
或
；
（2）解：
，
移项得：
，
开立方得：
，
解得：
．
19．已知正数
的算术平方根是，
的立方根是
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的平方根．
【答案】(1)
(2)±
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【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得
，解方程即可得到答案；
（
）根据（）所求求出
的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，
，
；
（2）解：
，
，
的平方根为
．
20．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间
可以用公式
来估计，其中d
是雷雨区域的直
径．
(1)如果某场雷雨区域的直径是
，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号）
(2)如果这场雷雨持续了
，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到
；参考数据：
）
【答案】(1)这场雷雨大约能持续
(2)这场雷雨区域的直径大约是
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
（1）根据
，其中
是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；
（2）根据
，其中
，是雷雨持续时间，开立方，可得答案．
【详解】（1）解：把
代入
，得
．
∴
答：这场雷雨大约能持续
；
（2）解：
把
代入
，得
．
∴
．
答：这场雷雨区域的直径大约是
．
21．阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数
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是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．
【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319 的？
【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？
【分析问题】
因为
，
，
所以
是两位数．
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
的
个位
数字
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
由上表，因为59319 的个位数字是9，所以
的个位数字是9．
因为
，
．所以
，即
的十位数字是3．故
．
【解决问题】阅读上面材料回答问题：
(1)已知103823 是整数的立方，计算
___________；
(2)已知7921 是整数的平方，求
的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由．
【答案】(1)47
(2)
，理由见解析
【分析】（1）先确定
是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可；
（2）思路方法同（1）．
【详解】（1）解：因为
，
，且
，所以
是两位数；
因为103823 的个位数字是3，所以
的个位数字是7，
因为
，
，且
，
∴
的十位数字是4．
因此
；
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（2）解：因为
，
，
所以
是两位数；
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
的
个位
数字
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
由上表，因为7921 的个位数字是1，所以
的个位数字是1 或9，
因为
，即
，所以
的十位数字是8，
故
的值可能是81 或89，
∵
，
，
∴
，
所以
．
22．如图，一只蚂蚁从点
沿数轴向右爬行了2 个单位长度到达点
，点
表示
，设点
所表示的实
数为
．
(1)实数
的值是__________；
(2)化简：
_________；
(3)若在数轴上有
两点分别表示实数
，且
与
互为相反数，求
的立方根．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）由图可知
，则
，
，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出c、d 的值，再代入
，进而求其立方根．
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【详解】（1）解：由题意得，
，
∵点
表示
，点
所表示的实数为
，
∴
；
（2）解：由图可知，
，
∴
，
，
∴
；
（3）解：
与
互为相反数，
，
又
，
，
解得
，
，
，
的立方根为
．
23．魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974 年发
明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如
图1 是一个4 阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64 个小立方体组成，体积为
．
(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形
，求出该正方形的面积和边长．
(3)把正方形
放在数轴上，如图2，使得点
与1 重合，那么点
在数轴上表示的数是___________．
【答案】(1)
(2)正方形
的面积为
，边长为
(3)
【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴等，熟练掌握以上知识点是关键．
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（1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可；
（2）利用利用割补法求出正方形面积，再根据1 算术平方根求出正方形的边长即可；
（3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】（1）解：
，
组成这个4 阶魔方的小正方体的棱长为
；
（2）解：正方形
的面积为
，正方形
的边长为
，；
（3）解：∵
，点A 表示的数为1，
∴点D 表示的数为
．
故答案为：
．
24．根据以下材料，探索完成任务：
寻找合适的礼品盒
素材1
母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送
给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面
积为
，高为
．
素材2
为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为
的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚
度忽略不计）．
问题解决
(1)任务1：根据素材1 可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________
；
(2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长；
(3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能装下，理由：
圆柱形蛋糕的直径为
，
，
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，即
，
，
，
，即
，
这个礼品盒不能装下这块蛋糕．
【分析】（1）设圆柱形蛋糕的半径为
，根据题意得
，然后通过算术平方根的定义即可求解；
（2）通过立方根的定义即可求解；
（3）通过无理数的估算，实数比较大小即可求解．
【详解】（1）解：设圆柱形蛋糕的半径为
，
，
（负数舍去），
（2）解：
，
答：这个正方体礼品盒的棱长为
；
（3）略
