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第一章 勾股定理
复习要点
1. 理解勾股定理的内容，掌握其符号语言与几何语言的表达，能区分定理与逆定理的条件
与结论。
2. 掌握勾股定理的多种验证方法（如赵爽弦图、面积法等），理解其中蕴含的数形结合思
想。
3. 掌握勾股定理的逆定理，能利用它判断一个三角形是否为直角三角形，能区分勾股数与
满足定理的普通数组。
4. 掌握利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的方法，如折叠问题、最短路径（立体图形
展开）及测量等问题。
复习重难点
重点
勾股定理及其逆定理的应用，包括求边长、判定直角三角形和解决实际问题。
难点
灵活运用勾股定理解决综合问题（如折叠、最短路径），熟练运用分类讨论、方程、转化
等数学思想，避免因斜边不明、忽视定理前提而出现错误。
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知识点
勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为a，b ，斜边为c ，那么
2
2
2
a
b
c
+
=
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
注意：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆
2
2
2
a
b
c
+
=
时，此关系只有当c 是斜边时才成立．若
b 是斜边，则关系式是
2
2
2
a
c
b
+
=
；若a 是斜边，则关系式是
2
2
2
b
c
a
+
=
．
2．直角三角形斜边上的高
①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
②根据直角三角形的面积不变，即1
1
2
2
ab
ch
=
，求出h．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就
将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，
，
.
要点速测
2
2
2
a
c
b
=
−
2
2
2
b
c
a
=
−
(
)
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
−
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1．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）在
中，
，a，b，c 分别是
，
，
的对
边，若
，则
的值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
2．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对
这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即
），折断后竹梢触地，触地点
到根
部
的距离
尺，断点
到触地点
的距离
尺，则
_____尺．
3．
（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，在
中，
为
边上的高，已知
，
，
，
求
，
的长．
知识点
勾股数
满足不定方程
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果(
)是勾股数，当为正整数时，以
为三角形的三
边长，此三角形必为直角三角形
要点速测
4．（25-26 八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
B．2，3，5
C．3，4，5
D．4，6，8
2
2
2
x
y
z
+
=
x
y
z
、、
a
b
c
、、
t
at
bt
ct
、、
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5．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．8，15，17
B．1.5，2，2.5
C．0.3，0.4，0.5
D．7，11，13
6．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股
数．观察下列勾股数：、
、；、
、
；
、
、
；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦
与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________．
知识点
勾股定理的逆定理
1．勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别为a b c
，，，且
2
2
2
a
b
c
+
=
，那么这个三角形是直角三角形．
注意：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足
2
2
2
a
b
c
+
=
时，c 是斜边，
C
是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方
及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
要点速测
7．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，
的顶点都在正方形网格的格点上，则
的形状是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
8．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，在
中，
，
，
，则
的面积为______．
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9．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，
是王奶奶家的一块菜地，中间用小路
隔开，分别
种植不同的蔬菜，经测量，
，
，
，
．求
区域的面积．（小
路
的宽度忽略不计）
题型1 用勾股定理理解三角形
▌例1 （25-26 八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点
起飞，先垂直上升40 米到达
点，再
水平飞行30 米到达
点，则点
到点
的距离为（ ）
A．50 米
B．60 米
C．65 米
D．70 米
▌迁移练1-1（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，在
中，
，
，
，过点
解题要点
• 勾股定理仅适用于直角三角形，分清斜边与直角边，准确写出三边关系式，避免斜边、
直角边混淆。
• 遇到线段求值，先寻找或构造直角三角形；已知两边求第三边，留意分类讨论斜边不确
定的情况。
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作
，交
的延长线于点
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练1-2（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）在
中，
，
，
，
__________．
▌迁移练1-3（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，在
中，
，
，
，则
正方形
的面积是________．
题型2 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
▌例2 （25-26 八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形
中，
于点
，那么下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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▌迁移练2-1（25-26 八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形
中，
，那么下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练2-2（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形
中，对角线分别为
，
，且
于点
，若
，
，则
_______．
▌迁移练2-3（23-24 八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图
所示的“垂美”四边形
，对角线
交于点
．若
，则
________________．
解题要点
• 依托直角三角形建立平方关系式，找准直角边与斜边，灵活变形勾股公式，实现线段平
方和、平方差相互转化。
• 遇到斜边上线段、动点问题，善于构造直角三角形，把所求线段放入直角模型中进行代
换计算。
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题型3 勾股定理的证明方法
▌例3 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能
．．用来证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练3-1（25-26 八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的
面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练3-2（24-25 八年级上·甘肃天水·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为
“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等
式是________________．（任选1 图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）
解题要点
• 弄清证明核心思路：利用图形面积相等，通过割补法列出面积等式，再化简推导出三边
平方关系。
• 准确找出图形中大正方形、小正方形与直角三角形边长联系，规范写出面积表达式，避
免边长对应出错。
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▌迁移练3-3（24-25 八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾
股定理，如图，设直角三角形的边长分别是
，
，斜边的长为，作三个边长分别为
，，的正
方形，把它们拼成如图所示形状，使
，，三点在一条直线上．若
，四边形
与
面积之和为37，则正方形
的面积为_____．
题型4 用勾股定理构造图形解决问题
▌例4 （25-26 八年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高
广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，
不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出
尺；竖着放，比门高
长出
尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为
尺，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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▌迁移练4-1（24-25 八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高
的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃
及
以内时，即
，
门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高
的学生走到D 处，即
，门铃恰
好自动响起，则
的长为（ ）
A．2 米
B．3 米
C．4 米
D．5 米
▌迁移练4-2（25-26 八年级上·四川成都·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今
有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十
尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6 尺远，则折断处离地面的高度为________尺．
▌迁移练4-3（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问
题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：
今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺，斜放，
竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x 尺，则可列关于x 的方程为___________．
解题要点
• 分析已知线段长度，根据数值特征构造直角三角形，合理确定直角边，将待求线段转化
为直角三角形的斜边。
• 借助网格、垂线搭建图形，理清各线段位置关系，准确运用勾股定理列式，注意多种构
造情况分类讨论。
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题型5 判断三边能否构成直角三角形
▌例5 （25-26 八年级下·贵州安顺·期末）在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下
列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练5-1（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2、3、4
B．3、4、5
C．8、15、16
D．11、12、13
▌迁移练5-2（25-26 八年级下·山东济宁·阶段检测）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，
这个论断的依据是____________．
▌迁移练5-3（25-26 八年级上·山西临汾·期末）小明同学用长度是
的木棒拼
三角形，一共能拼出____个直角三角形．
题型6 利用勾股定理的逆定理求解
▌例6 （25-26 八年级上·福建漳州·期末）在
中，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
解题要点
• 先找出三条边中最长线段，把它当作潜在斜边，再验证两条较短边的平方和是否等于最
长边的平方。
• 注意边长数据顺序，不要随意套用公式；遇到含字母的边长，准确区分最长边，必要时
分类讨论。
解题要点
• 先确定三边里最长边，计算三边平方，检验较短两边平方和是否等于最长边平方，以此
判定直角三角形。
• 判定后找准直角位置，再结合勾股定理、面积公式进一步计算边长与面积。
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12 /
▌迁移练6-1（25-26 七年级上·山东威海·期末）如图，在四边形
中，
，
，四边形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
▌迁移练6-2（25-26 八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E 在边长为13 的正方形
内，
，
，
求出图中阴影部分的面积是______．
▌迁移练6-3（25-26 八年级下·天津·期中）已知
，
，
，
，
，连
接
，则
的度数为______ ．
难点一 勾股定理与网格问题
• 难以在网格中准确构造直角三角形，不会利用横向、纵向格距求线段平方，容易直接目测
线段长度，忽略运用勾股定理进行计算。
• 判断网格内三角形形状时，不能快速算出三边平方；处理最短路径、角度问题时，缺少数
形结合思维，难以建立线段间的数量关系。
难点精练
1．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形网格中，点A，B 均在格
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13 /
点上，则线段
的长度为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．10
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，
的顶点
，，
在边长为的正方形网格的格点上，
于点
，则
的长为________．
3．（25-26 八年级上·河南周口·期末）如图，四边形
的四个顶点都在网格上，每个小正方形的边
长为1．
(1)求四边形
的面积；
(2)求
的度数．
难点二 勾股定理与折叠问题
• 不能抓住折叠核心性质：折叠前后对应边、对应角相等，难以准确设未知数，常找不对等
量线段，无法建立直角三角形的边长关系。
• 不易识别图中隐藏的直角三角形，容易选错直角边与斜边；列式时等量关系梳理混乱，计
算方程时容易出错，复杂图形更容易遗漏条件。
难点精练
4．（25-26 八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片
按如图方式折叠，使顶点
和
点重合，
折痕为
．若
，
，则
的长度是（ ）
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14 /
A．6
B．8
C．10
D．12
5．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形
中，
，
，若把长方形
沿
折叠，使点
落在点
处，点
落在点
处，则
_______．
6．（25-26 八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片
，
，
，
．将
纸片沿直线
折叠，使点A 与B 重合，求
的长．
难点三 勾股定理的应用
• 难以从实际情境中抽象出直角三角形模型，无法区分水平、竖直、倾斜线段，常常找不准
直角，不能快速确定直角边与斜边。
• 部分题目存在多种情况，容易忽略分类讨论；建立方程求解时，等量关系梳理不清，审题
遗漏关键条件，导致列式错误，最终计算出现偏差。
难点精练
7．（25-26 七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区
边上安装一个饮水点P，经测
量
米，
米，
米，则饮水点
到三角形顶点C 的最小距离为（ ）
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15 /
A．6 米
B．4.8 米
C．4 米
D．9.6 米
8．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动
分米，测得顶端从点
沿墙下滑分米到点
，那么竹竿长度为________分米．
9．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄
，从村庄
到
公路原有两个出口
、
，其中
，
，由于暴雨导致
到
的小路路面塌陷，现已不
通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路
（
，，在同一条直线上），测得
，
．
(1)从村庄
到公路，请通过计算说明
是否为距离最近的路；
(2)求新修的路
比原来的路
短多少？
难点四 立体图形中的最短路径问题
• 不会将立体图形侧面展开为平面图形，空间转化能力薄弱，容易直接在立体图上连线求解，
不理解 “两点之间线段最短” 适用平面。
• 展开方式不唯一时，容易遗漏多种展开情况，缺少对比计算意识；难以准确确定展开图中
直角三角形两条直角边长，造成勾股定理列式出错。
难点精练
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16 /
10．（25-26 八年级下·广西玉林·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为
，底面周长为
，在杯内壁离
杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁
从外壁
处到内壁
处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
、
、
，
和
是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从
点沿着台阶面爬到
点，其爬行的最短距离是
________dm．
12．（25-26 八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
，
，
，
和
是这个三级台阶两个相对的端点，若
点有一只蚂蚁，想到
点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬行到
点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接
，经过计算得到
长度即为最短路程，则
．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点
出发沿
着玻璃杯的侧面到与点
相对的点
处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为
，底面周长为
，在杯内壁离杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁从外壁
处到内壁
处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
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17 /
难点五 以弦图为背景的计算
• 难以理清弦图中大正方形、小正方形与直角三角形边长之间的联系，不能灵活结合勾股定
理建立等式，容易混淆斜边、直角边与正方形边长。
• 不会利用整体思想进行代换计算，遇到面积相关条件时，难以转化出两直角边的和、差关
系；字母型综合题不会设未知数，找不到有效的解题突破口。
难点精练
13．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）第14 届数学教育大会（ICME-14）会标如图1 所示，会标中心
图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2 所示的“弦图”是由4 个全等的直角三角形和一个小
正方形拼成的大正方形．若
，
，
，则正方形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角
形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1 中大正方形
的面积为40，小正方形
的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2 的形状，则图2 中大正方形
的面积为______．
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18 /
15．（25-26 八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部
分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同
的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理
．
(1)请用图1 推导勾股定理，并写出推导过程．
(2)现将图1 中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若
，
，求空白部分的面积．
(3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4 个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已
知外围轮廓（实线）的周长为
，
，求该风车状图案的面积．
基础达标
一、单选题
1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代
著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．
，，
B．
，，
C．
，
，
D．，
，
2．（25-26 八年级下·重庆荣昌·期末）下列各组数不能
．．作为直角三角形三边长的是（ ）
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A．3，4，5
B．4，7，9
C．5，12，13
D．6，8，10
3．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两
隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6 尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各
是多少？（1 丈
尺）如果我们假设门的宽为
尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）如图，以
的两边往外作的正方形，其面积分别为
，
，
若
，
，则
边长为（ ）
A．64
B．16
C．8
D．4
5．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐
角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，若正方形
、
、
、
的面积分别是
、
、、，则最大正方形
的面积
是_________．
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7．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三角形支架中，
，垂足为
，
，
，
，则
的长为_______
．
8．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立
着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3 尺，牵着绳索退
行，在离木柱根部8 尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x 尺，根据题意，可列方程为______．
9．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高
为4，
是上底的直
径，一只蚂蚁从点
出发，沿着圆柱的侧面爬行到
，则爬行的最短距离是________．
10．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，在
中，
，
，
．将
分别沿
，
折叠，使点A，C 都与点B 重合，若
，则
________．
三、解答题
11．（25-26 七年级上·山东威海·期末）在长方形
中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），
，
．点E 在边
上，沿
折叠，点D 落在边
的F 处．求
的面积．
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21 /
12．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中
的度
数应为
．连接
，现测得
，
，
，
，
．在不考虑
其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即
的度数是否为
）．
13．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制
作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为
，高为
．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长
度太短了，不能搅拌到底部．
(1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口
才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少
需要
；
(2)如图②，老师新买的一根长为
的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为
，你能求出h 的取值
范围吗？
14．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形
是某农场一块试验田的示意图，对角线
是
一条小路（宽度忽略不计），已知
，
，
，
，
，求这块
试验田的面积（即四边形
的面积）．
15．（25-26 八年级下·吉林松原·期末）综合与实践
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学校花园有一个不规则的池塘，
，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量
，间的距
离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
实践任
务
测量池塘两端
，
间的距离
测量工
具
皮尺
测量方
案及测
量数据
如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段
延长线的方向，在池塘边的空地
上选点
，使
；第二步：在
的一侧选点
，使点
能直接到达
，
，
三点，测
得
，
，
．
问题解决：
(1)试判断
的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端
，
之间的距离．
能力进阶
一、单选题
1．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）如图，
中，
，
，
，沿
折叠，
使点
与点
重合，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为
的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的
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顶端位于墙面的点
处，底端位于地面的点
处，点
到墙面的距离
为
．如果将梯子底端沿
向
外移动
，那么梯子顶端沿墙
下滑（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数
学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“
的城市”
为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、
服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安
装路灯的示意图．已知
为吊车起重臂，长为20 米，点
到路灯杆的水平距离
为16 米，点
到地面
的竖直距离为2 米，则起重臂顶端
离地面的高度为（ ）
A．12 米
B．14 米
C．16 米
D．18 米
5．（24-25 八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高
为．在其
侧面从点
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点
停止，则彩条的最短长度为（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，
所有的四边形都是正方形，若
，
，
，
，则正方形E 的面积为_______．
7．（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入
口B，C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道
，为方便游客观景，分散人
流，决定新修道路
（点D 在
上）．经测量：
，
，
．则
是否
为从A 到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）．
8．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径
，高
，
为
的中点．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱的表面爬到P 点的最短距离为_________．
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9．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在
中，
，
，
，将
折叠，使点C 与点A 重合，得折痕
，则
的周长等于_______
．
三、解答题
10．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）如图，某景区内有一个露营区
，湖边
上原有两个观景台
和
，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台
（点
、
、在同一直线上），连接
、
、
，测得
，
，
，
，求观景台
与观景台
之间的距离
．（露
营区和观景台的大小均忽略不计）
11．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）图1 是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆
作
为支撑，在点A 处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2 所示，其中
米，
米，
米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）．
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(1)通过计算判断此时
是否与
垂直；
(2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A 处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D 在
的延长线上）．若
米，求
的长度．
12．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面
与地面平行，点
到墙
面（墙面与地面垂直）的距离为
．图1 中，一扫帚的一端与墙角
重合，另一端靠在点
处，
．
(1)求课桌的高度；
(2)在图2 中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点
重合，另一端挂在墙上的点
处．若
，彩带
比桌宽
长
，求桌宽
的长度．
13．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如果把
看作关于
，，的方程，那么满足这个方程
的正整数解
，，通常叫作勾股数组，可以记作
．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公
式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：
；
；
；…
分析这些勾股数组可以发现，
，
，
，…
(1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组；
(2)小红将
移项并因式分解得
，请写出满足上述规律的第
个勾股数组
(用含
的式子表示)，并尝试用小红的方法证明；
(3)若
是满足上述规律的一组勾股数组，求
的值．
14．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾
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股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长
，，都是正整数，则
，，
为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数：
3，4，5
7，24，25
11，60，61
15，112，113
…
4，3，5
n，15，17
12，p，37
16，63，65
…
5，12，13
9，12，15
13，84，85
17，144，145
…
m，8，10
10，24，26
14，48，50
18，80，82
…
(1)请补全上表中的勾股数：
________，
________，
________．
(2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形．
①已知格点
三边长度为
、
、
，计算
的面积．
②请在下面的网格中画出三边长度为
、
、
的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
15．（25-26 八年级下·广东·期末）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的
取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高
为12 厘米，底面直径
为6 厘米，在圆柱下底圆周上的A 点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物．
素材2 如图3 所示的实践活动器材包括：底面直径为6 厘米，高为10 厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借
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助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线
路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度
沿路线一路程x
沿路线二路程y
比较x 与y 的大小
5
11
10.3
4
10
9.85
3
a
9.49
b
(1)若蚂蚁沿图1 中的折线A→C→B 爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是
厘米．将
圆柱沿着
将侧面展开得到图2，请在图2 中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时
最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
(2)填空：表格中a 的值是________；表格中b 表示的大小关系是_________；
(3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r 不变的情况下，当圆柱半径为r 与
圆柱的高度h 存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？
