文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 16
2026-2027 学年八年级上学期数学周周测07
2.3 二次根式的加减运算及应用
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
与
、
均不是同类二次根式，不能直接合并，故A、B 错误；
，故C 正确；
，故D 错误.
2．小明的作业本上有以下四题，做错的题是（
）
①
；②
；③
；④
．
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可．
【详解】解：①
，计算正确；
②
，计算正确；
③
，计算错误；
④
，计算正确．
3．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单
位：m）近似满足公式
（不考虑风速的影响）．记从
高空抛物到落地所需时间为
，从
高空
抛物到落地所需时间为
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 16
【分析】根据
求出
、
的值，进而计算即可．
【详解】解：当
时，
（秒）；
当
时，
（秒）；
∴
．
4．若
，则代数式
的值是（
）
A．2022
B．-2022
C．2023
D．-2023
【答案】C
【分析】本题可先利用完全平方公式化简所求代数式，再代入
的值计算，简化运算过程．
【详解】解：∵
，
又∵
，
∴
，
∴原式
．
5．在如图所示的网格中，小正方形的边长为
，
，
，
三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确
的是（
）
A．
B．
的周长为
C．
到直线
的距离为
D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出
，
，
，根据勾股定理逆定理判断
为直角三
角形，
，然后逐项进行验证即可．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 16
【详解】解：根据勾股定理得：
，
，
，
∵
，
∴
为直角三角形，
，
∴
，故A 正确，不符合题意；
的周长为
，故B 正确，不符合题意；
设点A 到
的距离为h，则
，
即
，
解得：
，
即点A 到
的距离为4，故C 正确，不符合题意；
∵
，
，
，
∴
，故D 错误，符合题意．
6．计算
的结果是（
）
A．
B．3
C．6
D．
【答案】A
【详解】解：原式
．
7．已知
，
，则化简求
的值是（
）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b 都小于0，则可先化简二次根式
得到
，进一步通分得到
，再代值计算即可．
【详解】解：∵
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 16
∴a、b 同号，
∵
，
∴a、b 都小于0，
∴
，
∵
，
，
∴原式
，
故选：B．
8．如图，在数学课上，老师用5 个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长
方形的长为
，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（
）
A．大长方形的长为
B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为
D．大长方形的面积为
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图
形可知大长方形的长既是小长方形宽的3 倍，又是小长方形长的2 倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的
和，由此即可判断．
【详解】解：由题意，小长方形的长为
，
大长方形的长为
，
小长方形的宽为
，
大长方形的宽为
，
即小长方形的长为
，宽为
；大长方形的长为
，宽为
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 16
大长方形的周长为
，
大长方形的面积为
，
选项A、B、D 正确，不符合题意；选项C 错误，符合题意；
故选：C．
9．设
的小数部分是
，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先估算
的取值范围，得到
的整数部分，进而求出小数部分
，再代入
化简计算即可．
【详解】
，
，
，
的整数部分为
，小数部分
，
将
代入
得：
．
10．观察以下等式：
，
，
，…根据上述三个等式呈现的规律，下列字
母n（n 为大于1 的正整数）表示的通用规律中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据已知等式分析各部分与
的关系，再通过化简验证得到通用规律．
【详解】解：当
时，
，分母
；
当
时，
，分母
；
当
时，
，分母
；
由此可得，对大于1 的正整数
，根号内被开方数为
，等式右侧为
，
．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 16
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．比较大小：
_______
(填“
”“
”或“
”)
【答案】
【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小．
【详解】解：
，
．
，且
，
，
．
12．若
，则
的值___________．
【答案】
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
13．先化简
，再求得它的近似值为_________．（结果精确到
）
【答案】
【分析】本题先将所有二次根式化为最简二次根式，再去括号合并同类二次根式，最后代入
的近似值计
算得到结果．
【详解】解：原式
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 16
，
，
．
故答案为：
．
14．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，
则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为
的三角形，求解即可；
【详解】解：大正方形的边长为：
，小正方形的边长为：1；
阴影部分的面积为：
；
故答案为：
.
【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键.
15．在《数书九章》中，南宋数学家秦九韶提出了解决“已知三角形的三边，求三角形面积”这个问题的
办法，即著名的“三斜求积术”．用字母表示这个方法就是：若三角形的三边为
，，，那么三角形的面
积的计算公式为
（
）．若
，
，
，则的值为_______．
【答案】
【分析】本题直接将已知的三边长代入给出的面积公式，按照实数运算顺序计算即可得到结果．
【详解】解：已知
，
，
，
将各值代入公式
先计算各边的平方，得
，
，
计算
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 16
计算
，可得
将结果代入公式，得
16．如图，从一个大正方形中截去面积为
和
的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是
和
，则
的值为__________．
【答案】27
【分析】设
和
的两个小正方形的边长为a，b，则
，
，根据题意可知，
，
，即
，由完全平方公式求得
即可．
【详解】解：设
和
的两个小正方形的边长为a，b，则
，
，
根据题意可知，
，
，即
，
由
得：
，
∴
．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．计算：
(1)
；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 16
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．实验中学有一块长方形的文化长廊
（如图），该文化长廊的长
为
，宽
为
，
现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为
．除去放置展台的区域、其余区域
（阴影部分）全部需要刷上涂料．
(1)这个文化长廊的周长是多少米？
(2)刷涂料的面积是多少平方米？
【答案】(1)该长方形的文化长廊区域
的周长为
米
(2)刷涂料的面积为
平方米
【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 / 16
（2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积．
【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长
（米），
答：该长方形的文化长廊区域
的周长为
米；
（2）解：
（平方米）
答：刷涂料的面积为
平方米．
19．计算或求值
(1)计算：
．
(2)已知
，
，从下列式子选择一个式子求值．
①
；②
；③
【答案】(1)1
(2)选①，
；选②：
；选③：4
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：选①：
；
选②：
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
11 / 16
；
选③：
．
20．如图，在
中，
是边
上一点，
，
，
，
．
(1)
________；
________．
(2)求
的周长．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）先求
、再求
即可；
（2）根据勾股逆定理可得
，再利用勾股定理求出
，进而得到
的周长．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，又
，即
，
，
，
，
的周长
．
21．定义：若含有二次根式的式子
，
满足
，且是有理数，则称
与
是关于的“和谐二次根
式”．
(1)若
与
是关于
的和谐二次根式，求
；
(2)若
与
是关于
的和谐二次根式，求
．
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12 / 16
【分析】
由
与
是关于
的和谐二次根式，得
，然后通过二次根式除法即可求出
的值；
根据题意得
，然后通过解方程即可求出
的值．
【详解】（1）解：∵
与
是关于
的和谐二次根式，
∴
，
∴
；
（2）解：根据题意得
，
，
，
，
∴
．
22．如图，A，B 两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的
整式各项改变符号并乘以2 后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
(1)若抽中的卡片是A．
①求整式C；
②当
时，求整式C 的值．
(2)若无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
【答案】(1)①
；②
(2)当抽中的卡片是A 时，
由②得
∴无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，符合题意；
当抽中的卡片是B 时，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
13 / 16
∵
，
，
∴
，
∵无论x 取何值，整式C 的值都是非正数，
∴不符合题意，
综上所述，抽中的卡片是A．
【分析】（1）①根据题意并结合整式的混合运算法则，计算即可得出结果；②将①中的C 进行变形，再代
入
计算即可得出结果；
（2）分两种情况，根据整式的混合运算法则计算即可得出结果．
【详解】（1）解：①∵
，
，
∴
；
②
，
当
时，
；
（2）略．
23．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到
这种分母中含有无理数的式子．
【分析问题】对形如
这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是
这类式子无法直接计算，
我们可以用之前所学乘法公式来解决．
【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算：
请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题：
(1)计算：
___________．
(2)计算：
；
(3)求：
的值．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
14 / 16
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘
即可得到结果；
（2）分子分母同乘
，利用平方差公式化简即可得到结果；
（3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：对任意正整数
，对
分母有理化得
，
因此，
．
24．阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
15 / 16
一起，得到的大正方形面积为
，其边长
就是原边长为1 的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，
系列纸为长方形，其中A0 纸的面积为1 平方米，将A0 纸沿长边对折、剪开，
便成A1 纸；将A1 纸沿长边对折、剪开，便成A2 纸；将A2 纸沿长边对折、剪开，便成A3 纸；将A3 纸
沿长边对折、剪开，便成A4 纸
，如图2，我们日常使用的A4 纸就是这样由A0 纸多次对折裁开得到
的．
将A4 纸按如图3 所示的方式折叠，则A4 纸的长宽
__________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5 纸的面积是__________平方米．
(2)A4 纸的长宽
__________．
(3)按照图2 的
系列纸生成过程，经过探究发现，
系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都
相等．请你估算面积为1 平方米的A0 纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，
）
【答案】(1)
(2)
(3)A0 纸的长为
，宽为
【分析】（1）根据
系列纸的面积规律即可求出答案；
（2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案；
（3）设
纸的宽为
，则长为
，则
，运算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，A0 纸的面积为1 平方米，
A1 纸的面积为
平方米，
A2 纸的面积为
平方米，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
16 / 16
A3 纸的面积为
平方米，
A4 纸的面积为
平方米，
A5 纸的面积是
平方米．
（2）解：如图，
由折叠的性质可知
，由材料一可知，在图3 折叠得到正方形中
，
，即A4 纸的长宽之比为
；
（3）解：设
纸的宽为
，则长为
，
依题意得
，
，
∵
，
∴
，
∵
（负值不合题意，舍去），
∴
，
∴
，
答：
纸的长为
，宽为
．
小学
初中
