文档内容
19.3 二次根式的加法与减法（第 1 课时）教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，研究二次根式的加减运算。二次根式的运算方法
与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用。
2. 内容分析
本节课是二次根式运算的核心内容之一，承接二次根式的乘除运算与化简，是实数运算体系在根式领
域的延伸。其核心逻辑是类比数的加减运算本质，将二次根式的加减转化为“同类二次根式的合并”，这
与整式加减中“同类项的合并”的思想一脉相承。同时，实数的运算律（交换律、结合律、分配律）是二
次根式加减运算的依据，既巩固了“运算律通用于实数系”的认知，也为后续更复杂的根式混合运算奠定
基础，在初中代数运算教学中起到承上启下的关键作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加
减运算。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索二次根式加减运算的方法和步骤，发展推理能力。
（2）会进行二次根式的加减运算，发展运算能力。
2. 目标解析
（1）聚焦过程性学习，强调学生不是被动接受“先化简，再合并”的步骤，而是通过自主探究、类
比迁移，理解二次根式加减运算的本质。引导学生类比整式加减中同类项的概念，自主归纳同类二次根式
的定义，实现从“数的加减”到“式的加减”的迁移推理；通过具体例子的计算，让学生提炼出“先化简
二次根式，再合并同类二次根式”的运算步骤，培养逻辑推理与归纳概括能力。
（2）聚焦技能掌握，要求学生能熟练运用运算步骤解决具体问题，同时深化运算能力的培养。能准
确判断同类二次根式，熟练完成二次根式的化简；能处理含括号的二次根式加减运算，合理运用运算律简
化计算，同时通过运算过程培养严谨的数学思维习惯。
三、教学问题诊断分析
具体表现：一是误将不同类二次根式直接合并；二是对同类二次根式的判断存在局限，认为只要根号
下的数字不同就不是同类二次根式，无法识别需要化简后才能判断的同类二次根式。
诊断分析：学生对同类二次根式的本质内涵理解不到位，混淆了二次根式的加减运算与被开方数的加
减运算，同时二次根式化简技能不熟练，不能将非最简二次根式转化为最简形式，进而无法准确判断同类
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学科网（北京）股份有限公司二次根式。
应对策略：教学中可采用类比教学法，将同类二次根式与整式中的同类项概念进行对比，明确二者
“本质属性一致才能合并”的共性，帮助学生建立知识关联；总结“先化简，再看被开方数；被开方数相
同，才能合并”的口诀，强化学生的判断逻辑；设计对比辨析练习题，选取典型题目，让学生分组判断并
阐述理由，加深对概念的理解。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确判断同类二次根式。
四、教学过程设计
（一）复习引入
前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算.
设计意图：明确学习脉络：清晰呈现二次根式的学习框架（概念→性质→运算→应用），帮学生梳理
已有知识（乘法、除法），同时引出本节课重点 —— 二次根式的加减运算。启发学习方法：渗透“类比
学习”的思路，让学生意识到可以将已有知识的学习方法迁移到新内容的探究中，培养知识迁移能力。
（二）合作探究
思考 如何计算√27+√12？
追问1 如何化简√27和√12？
答：√27+√12=3√3+2√3.
追问2化简后的两个二次根式有什么特征？
这两个二次根式的被开方数相同，我们称它们为同类二次根式．
追问3 类比整式运算中的合并同类项，你能计算3√3+2√3吗？
√27+√12
=3√3+2√3 化成最简二次根式
=(3+2)√3 利用分配律合并
=5√3.
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的
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学科网（北京）股份有限公司二次根式合并.
简记为：“一化简、二判断、三合并”
设计意图：从具体问题切入：以具体的计算为载体，让学生在实际运算需求中自然进入二次根式加减
的学习，避免抽象概念的生硬灌输。分层拆解难点：通过3个追问，逐步拆解二次根式加减的核心步骤；
渗透数学思想：通过“类比整式的合并同类项”，强化知识迁移的学习方法，同时借助“分配律”体现代
数运算的共性逻辑。
（三）典例分析
概念辨析 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ D ）
A．√8与√3 B．√2与√12 C．√5与√15 D．√75与√27
例1 计算：
（1）√80−√45 ； （2）√9a+√25a ； （3）2√12−6
√1
+3√48.
3
解：(1)√80−√45=4√5−3√5=√5.
(2)√9a+√25a=3√a+5√a=8√a.
√1
(3)2√12−6 +3√48=4√3−2√3+12√3=(4−2+12) √3=14√3.
3
追问 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论?
例2 计算：
1 3
（1）(√12+√20)+2(√3−√5) ； （2） (√3−√2)− (√2−√27) .
2 4
解：（1）(√12+√20)+2(√3−√5)=2√3+2√5+2√3−2√5=4√3.
1 3 1 1 3 9 11 5
（2） (√3−√2)− (√2−√27) = √3− √2− √2+ √3= √3− √2.
2 4 2 2 4 4 4 4
例3 有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别
是8 dm²和18 dm²的正方形木板?
分析 由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长
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学科网（北京）股份有限公司的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
解：大正方形木板的边长为√18 dm.因为√18<5，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为(√8+√18) dm，而
√8+√18=2√2+3√2=(2+3)√2=5√2.
由√2<1.5可知5√2<7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求裁出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板.
设计意图：概念巩固：通过“概念辨析”题，让学生快速检验对“同类二次根式”的理解，强化“先
化简再判断”的核心逻辑。方法落地：例1聚焦基础运算，分不同形式练习“化简→合并”的步骤，帮学
生熟练掌握二次根式加减的基本操作；例2拓展到含括号的运算，类比整式的去括号法则，让学生迁移运
算经验，掌握更复杂的二次根式加减运算。联系实际应用：例3将二次根式加减与实际问题结合，既巩固
运算技能，又让学生体会数学的实用价值，提升应用意识。
（四）巩固练习
1.下列计算是否正确?为什么?
(1)√4+√9=√4+9；错误：√4+√9=2+3=5
(2)√8−√3=√8−3；错误：√8−√3=2√2−√3
(3)3√2−√2=2√2. 正确
2.计算：
(1)2√7−6√7； (2)√12+√27−3
√1
； (3)√18+(√98−√27)； (4)
3
√1
(√24+√0.5)−( −√6).
8
解：(1)2√7−6√7=−4√7.
√1 √3
(2)√12+√27−3 =2√3+3√3−3× =4√3.
3 3
(3)√18+(√98−√27) =3√2+(7√2−3√3) =3√2+7√2−3√3 =10√2−3√3.
(4)
√1 √1 √1 √2 √8 √2 2√2 √2
(√24+√0.5)−( −√6) =(2√6+ )−( −√6) =2√6+ − +√6=3√6+ − =3√6+ .
8 2 8 2 8 2 8 4
3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3.求圆环的宽度d(π取3.14).
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
由题意得：πR2=141.3，πr2=62.8，
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学科网（北京）股份有限公司解得：R=3√5，r=2√5，
∴d=R−r=3√5−2√5=√5.
答：圆环的宽度d为√5.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2023年山东烟台）下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ C ）
A．√4 B．√6 C．√8 D．√12
2．（2023年山东青岛）下列计算正确的是（ C ）
A．√2+√3=√5B．2√3−√3=2 C．√2×√3=√6 D．√12÷3=2
3．（2025年广东广州）下列运算正确的是（ D ）
A．a2 ⋅a3=a15 B．(−2ab)3=8a3b3
C．√a−√b=√a−b(a≥b≥0) D．2√a+5√a=7√a(a≥0)
4．（2023年山东临沂）设m=5
√1
−√45，则实数m所在的范围是（ B ）
5
A．m<−5 B．−5−3
5．（2025年四川自贡）计算：√18−3√2= 0 ．
6．（2023年江苏南京）计算 √12×√6−√18的结果是 3√2 ．
7．（2024年山东淄博）计算：√27−2√3= √3 ．
8．（2024年山东威海）计算：√12−√8⋅√6= −2√3 ．
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学科网（北京）股份有限公司设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题19.3 第1，2题.
2.探究性作业：习题19.3 第4，7题.
五、教学反思
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