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专题28 一元一次不等式及解法
（题型突破·举一反三）
题型01 判断是否为一元一次不等式
题型02 根据一元一次不等式的定义求参数
题型03 不等式的解
题型04 数轴上表示不等式的解集
题型05 解一元一次不等式
题型06 求一元一次不等式的整数解
题型07 根据一元一次不等式的解集求参数
题型08 解不等式时过程出错
题型09 一元一次不等式与二元一次方程组
题型10 整数解（含参）问题
题型11 新定义问题
题型12 程序问题
题型13 一元一次方程与不等式问题
题型14 解|x|＜a 型不等式
▌题型01 判断是否为一元一次不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式。
【典例1】（2026 春•西和县校级期末）下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．3x+y＜0
B．x+1＜3
C．2x+1＝4
D．4＞3
【变式1-1】（2026 春•封开县期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
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A．2x﹣1＞0
B．﹣1＜2
C．3x﹣2y≤﹣1
D．y2+3＞5
【变式1-2】（2026 春•庐阳区校级期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x﹣3
B．x﹣1＝2
C．x+y＞1
D．x﹣3＞5
【变式1-3】（2026 春•铁西区校级月考）下列不等式：①√2𝑥+ 3＞2𝑥；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④
𝑥−1
𝜋
≥
5𝜋；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有 （填序号）．
▌题型02 根据一元一次不等式的定义求参数
1. 只含一个未知数；
2. 未知数的次数是1；
3. 不等号两边都是整式；
4. 未知数系数不能为0。
【典例1】（2026 春•零陵区期末）若（m+1）x|m+2|+4＜0 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣3 或﹣1
【变式1-1】（2026 春•盐城月考）若（m﹣1）x+3≤0 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值不可以为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．0
【变式1-2】
（2026 春•巴中期末）若不等式（k﹣3）x|k|﹣2＞0 是关于x 的一元一次不等式，则k＝ ．
【变式1-3】（2026 春•鲤城区校级期末）若2x2m﹣3+4＞﹣1 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值
为 ．
▌题型03 不等式的解
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．
【典例1】（2026•香洲区三模）下列各数中，是不等式2x+1＜3 的一个解的是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．﹣3
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【变式1-1】（2026 春•闵行区期末）在以下各数中，是不等式x＜﹣1 的解的是（ ）
A．x＝﹣2
B．x＝﹣1
C．x＝0
D．x＝1
【变式1-2】（2026 春•盐田区期末）下列x 的值是不等式x＞﹣2 的解的是（ ）
A．x＝0
B．x＝﹣2
C．x＝﹣2.5
D．x＝﹣3
【变式1-3】（2026•二道区校级模拟）若x＝5.5 是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A．x＜4
B．x＜5
C．x＞5
D．x＞6
▌题型04 数轴上表示不等式的解集
1. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集
的过程叫作解不等式．
2. 用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上
直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）．
不等式的解集
数轴表示
x>a
x<a
x≥a
x≤a
不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的
所有的数值都在该解集中．
【典例1】（2026 春•锦江区校级期中）不等式2x﹣4＜0 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2026•遵义一模）不等式2x＞6 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
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B．
C．
D．
【变式1-2】（2026 春•玄武区期末）不等式4﹣3x＜1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026 春•广州校级月考）不等式x﹣3＞0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌题型05 解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；系数化为1；①其中当
系数是负数时，不等号的方向要改变。
（1）去分母：根据不等式的性质2 和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的
小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改
变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右
边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2 或3，特别要注意系数化为1 时，系数是负数，不等
号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左。
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【典例1】（2026 春•衡山县期末）解不等式
𝑥
3 −
𝑥−1
2
≥1，并把它的解集表示在数轴上．
【变式1-1】（2026•秦都区校级模拟）解不等式
1−𝑥
3
−1 ≤
2+𝑥
2 ，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来．
【变式1-2】（2026 春•冷水江市期末）解不等式：
1+2𝑥
5
＞
3+𝑥
2
−1，并在如图的数轴上表示出它的解集．
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【变式1-3】（2026 春•滁州期末）解不等式
2𝑥−1
3
−
9𝑥+2
6
≤1，并把解集在数轴上表示出来．
▌题型06 求一元一次不等式的整数解
（1）解不等式，按一元一次不等式解法，求出解集；
（2）在数轴上标出范围；
（3）在解集范围内找整数，从边界开始，依次写出满足条件的整数；
（4）检验端点．
【典例1】（2026 春•寿县期末）不等式2x+9≥3（x+2）的非负整数解的个数（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式1-1】（2025 春•锡山区期末）不等式2（x﹣1）≤8 的非负整数解有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
【变式1-2】（2025 春•五华县期中）不等式7﹣3x＞2x﹣8 的正整数解有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-3】（2026 春•茄子河区期末）不等式5x＜3x+8 的最大整数解是 ．
▌题型07 根据一元一次不等式的解集求参数
（1）解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>号）。
（2）对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。
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（3）系数化1 定方向：注意系数含参时，化1 步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。
（4）端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。
【典例1】（2025 春•鲤城区校级期中）若关于x 的不等式（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是x＜1，则m 的取值范
围是（ ）
A．m＞0
B．m＞1
C．m＜1
D．m＜0
【变式1-1】（2026•船营区校级模拟）如果关于x 的不等式2x﹣a≤1 的解集为x≤3，那么实数a 的值为
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式1-2】（2026 春•西安校级期末）已知关于x 的不等式3x﹣2a＜4﹣5x 的解集为x＜a﹣1，则a 的值是
（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【变式1-3】（2026 春•北京期末）已知（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＜2
C．m≥2
D．m≤2
▌题型08 解不等式时过程出错
根据不等式的性质，解一元一次方程常见易错点进行分析求解。
【典例1】（2026•龙华区校级三模）下面是小明同学解不等式
2𝑥−1
3
＞
3𝑥−2
2
−1的过程，请阅读并完成相应
任务．
解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步
去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步
移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步
合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步
系数化为1 得：x＞2．…第五步
任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因
是 ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集： ．
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任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：
𝑥−2
5
−
𝑥+1
2
＞1．
【变式1-1】（2026 春•龙亭区校级期末）下面是小亮解不等式
𝑥+5
3
−
3𝑥−1
2
≤1的过程，请认真阅读并完成
任务．
解：去分母，得2（x+5）﹣3（3x﹣1）≤6．第一步
去括号，得2x+10﹣9x+3≤6．第二步
移项，得2x﹣9x≤6﹣10﹣3．第三步
合并同类项，得﹣7x≤﹣7．第四步
系数化为1，得x≤1．第五步
（1）解题过程中，第 步出现了错误，错误的原因是 ．
（2）直接写出该不等式的解集，并在如图所示的数轴上表示出来．
【变式1-2】（2026 春•平城区校级期末）小明解不等式
𝑥+2
6
≥
2𝑥−3
4
的过程如下：
解：去分母，得2（x+2）≥3（2x﹣3）…第一步
去括号，得2x+4≥6x﹣9…第二步
移项、合并同类项，得﹣4x≤﹣13…第三步
两边同时除以﹣4，得𝑥≥13
4 ⋯第四步
（1）小明的解法是从第 步开始出错的，第四步的依据是 ；
（2）请写出正确的解题过程．
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【变式1-3】（2025 秋•永康市期末）下面是小数同学解一元一次不等式
1+𝑥
2
＜
1+2𝑥
3
+ 1的过程，请认真阅
读并完成下列问题．
解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步
去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步
移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步
合并同类项，得7x＜11．第四步
系数化为1，得x＜11
7 ．第五步
（1）以上解题过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误．
（2）请你写出正确解答过程．
▌题型09 一元一次不等式与二元一次方程组
（1）先解方程组，用含 a 的式子表示 x,y；
（2）代入不等式 x>0；
（3）解关于 a 的一元一次不等式。
【典例1】（2026 春•颍东区期末）已知关于x，y 的方程组{𝑥+ 3𝑦= 7 −𝑚
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚．
（1）若x+y＝2，求m 的值；
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（2）若y 为负数，求m 的取值范围．
【变式1-1】（2026 春•晋江市期末）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77 页的部分内容．
7．已知关于x 方程3k﹣5x＝﹣9 的解是非负数，求k 的取值范围．
请写出这道题完整的解题过程．
【拓展】若关于x、y 的方程组{5𝑥+ 2𝑦= 6
𝑥−2𝑦= 4𝑚的解满足x+y≥2，求m 的最大整数解．
【变式1-2】（2026 春•牡丹江期末）已知关于x，y 的二元一次方程组{𝑥−2𝑦= 4𝑎−6①
𝑥+ 2𝑦= 2𝑎+ 8②的解满足x≥2y 且
y 是非负数．
（1）求a 的取值范围；
（2）当a 为整数时，不等式ax﹣3x﹣a＞﹣3 的解集为x＜1，求满足所有条件a 的值．
【变式1-3】（2026 春•定边县校级期末）数学思维课堂上，张老师在黑板上写了一个关于x，y 的二元一次
方程组{4𝑥+ 𝑦= 3𝑎−2
𝑥−2𝑦= 7
，然后让同学们自己添加一个条件，提出问题并解答．请你完成下面两名同学的
问题．
（1）小辰：若该方程组与二元一次方程2x﹣y＝8 的解相同，求a 的值；
（2）阳阳：若x+y＜5，求a 的取值范围．
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▌题型10 整数解（含参）问题
（1）解不等式，用参数表示解集；
（2）根据“整数解”条件，在数轴上锁定范围，把已知的整数解标在数轴上，写出：最小整数解、最大整
数解，从而确定𝑥所在的区间范围；
（3）列“含参不等式组”求参数范围，让参数解集 刚好“包住”这些整数解，不多也不少；
（4）解关于参数的不等式，写出范围。
【典例1】（2026 春•襄城区期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，若该不等式恰好只有两个负
整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜﹣2
B．﹣3＜a＜﹣2
C．﹣2≤a＜﹣1
D．﹣3＜a≤﹣2
【变式1-1】（2026 春•顺义区校级月考）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式
恰有2 个非负整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．2≤a＜3
B．1＜a≤2
C．1≤a＜2
D．1≤a≤2
【变式1-2】（2026 春•花山区校级期末）若关于x 的不等式x＜m 有且只有两个正整数解，则m 的值不能是
（ ）
A．2
B．2.5
C．2.8
D．3
【变式1-3】（2025 春•武城县期末）关于x 不等式x﹣a＞2 有且只有2 个负整数解，那么a 的取值范围是
（ ）
A．﹣5≤a＜﹣4
B．﹣5＜a＜﹣4
C．﹣5≤a≤﹣4
D．﹣5＜a≤﹣4
▌题型11 新定义问题
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运
算；
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（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常计算。
【典例1】（2026 春•玉泉区期末）对于任意实数a，b，定义一种运算“※”：a※b＝ab﹣a+b﹣2，例如，
2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜4，则该不等式的解集是（ ）
A．𝑥＜9
4
B．x＜2
C．x＞0
D．𝑥＞9
4
【变式1-1】（2026 春•城关区校级期末）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x 的不等式x⊗m
＜3 的解集为x＜﹣1，则m 的值为（ ）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
【变式1-2】（2026 春•潜山市月考）阅读材料，回答问题：
两个解集不同的一元一次不等式，如果不等式①的解集内的所有数都在不等式②的解集范围内，则称不
等式①是不等式②的“真子不等式”．
例如：不等式①x+2＞0 的解集为x＞﹣2，不等式②x+3＞0 的解集为x＞﹣3，x+2＞0 是x+3＞0 的“真子
不等式”．
（1）判断不等式①5（x﹣1）＞2x﹣5 是否为不等式②
2𝑥+1
3
−
𝑥
2 ≤
2𝑥+1
6
的“真子不等式”，并说明理由；
（2）若
3𝑥−𝑎
2
＞𝑎是2x+a＞1 的“真子不等式”，求a 的取值范围．
【变式1-3】（2026 春•铁西区校级月考）定义，关于同一个未知数的不等式A 和B，若A 的解都是B 的解，
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则称A 与B 存在“雅含”关系，且A 不等式称为B 不等式的“子式”；如A：x＜0，B：x＜1，满足A 的
解都是B 的解，所以A 与B 存在“雅含”关系，A 是B 的“子式”．
（1）若关于x 的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A 与B 是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁
是谁的“子式”；
（2）已知关于x 的不等式C：
𝑥−1
2
＜
𝑎+1
3 ，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C 与D 存在“雅含”关系，且C 是
D 的“子式”，求a 的取值范围．
▌题型12 程序问题
（1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式；
（2）列不等式；
（3）解一元一次不等式；
（4）结合题意写答案。
【典例1】（2025 秋•西固区校级期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操
作，若输入x 后经过第1 次程序操作未能输出结果，则可推断x 的取值范围为 ．
【变式1-1】（2026•石家庄二模）甲、乙两人输入相同的x 值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所
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得结果大者胜出．
（1）当甲得到的计算结果为10 时，求x 的值以及乙的计算结果；
（2）若甲胜出，求x 的取值范围．
【变式1-2】（2025•正定县三模）一计算程序如图1 所示，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y．
（1）若输入x 的值为2，求输出y 的值；
（2）若输出的y 落在如图2 所示的范围内，求输入x 的最大整数值．
【变式1-3】（2025 春•丹凤县校级月考）如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚．
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（1）若“■”内的数字为﹣4，求输入的实数为101 时最后输出的结果．
（2）当开始输入的实数为100 时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正
整数，求“■”内的数字的最小值．
▌题型13 一元一次方程与不等式问题
（1）求出一元一次方程的解；
（2）列不等式；
（3）解一元一次不等式；
（4）结合题意写答案。
【典例1】（2025 春•成都期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解，则称该一
元一次方程为该不等式的相伴方程．若方程9﹣x＝2x，7 + 𝑥= 2(𝑥+ 1
2)都是关于x 的不等式x＜2x﹣m 的
相伴方程，则m 的取值范围为 ．
【变式1-1】（2025 春•咸阳校级月考）若关于x 的一元一次方程x﹣2m+1＝0 的解是负数，则m 的取值范
围是（ ）
A．m≤2
B．m＜2
C．m≤1
2
D．𝑚＜1
2
【变式1-2】（2026 春•晋江市期中）关于x 的一元一次方程
𝑥−𝑚
2
=
1
3 +x 的解大于1，求m 的取值范围．
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【变式1-3】（2026 春•曲阜市期末）我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种
特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当
一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”．
（1）组合{2𝑥−4 = 0
5𝑥−2＜3 是 ；（填梦想解或无缘解）
（2）若关于x 的组合{
3𝑥−6 = 0
𝑥−𝑎
2 ＞𝑎
是“梦想解”，求a 的取值范围；
（3）若关于x 的{
2 −𝑥= 𝑥−2𝑚
𝑥−𝑚
3
+ 1＜𝑥+ 𝑚是“无缘解”，则m 的取值范围为 ．
▌题型14 解|x|＜a 型不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式。
【典例1】（2026 春•深圳期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3 和|x|＞3 的解集的过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1 的数轴上看：大于﹣3 而小于3 的数的绝对值小3，所以|x|＜3 的解集为
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﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2 的数轴上看：小于﹣3 或大于3 的数的绝对值大于3，所以|x|＞3 的解集
为x＜﹣3 或x＞3．
（1）求绝对值不等式|x﹣3|＞2 的解集；
（2）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a 的解集为b＜x＜3，求a﹣2b 的值；
（3）已知关于x、y 的二元一次方程组{2𝑥−𝑦= 3𝑚−4
𝑥+ 4𝑦= −6𝑚+ 1的解满足|x+y|≤2，其中m 是负整数，求m 的
值．
【变式1-1】（2026 春•汾阳市期末）阅读与思考
请仔细阅读下面材料并完成相应的任务．
【定义概念】我们定义：形如|x|≤m，|x|≥m，|x|＞m，|x|＜m（m 为非负数）的不等式
称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值
不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
（i）解不等式|x|＜2．如图1，从数轴上可以发现，大于﹣2 而小于2 的数的绝对值
小于2，所以|x|＜2 的解集应为﹣2＜x＜2．
（ii）满足|x|＞2 的数用数轴表示如图2 所示，也就是说，小于﹣2 的数或大于2 的数
的绝对值大于2，所以|x|＞2 的解集应为x＜﹣2 或x＞2．
任务：
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【简单运用】
（1）①不等式|x|＜3 的解集是 ；
②不等式|x|＞5 的解集是 ；
【拓展探究】
（2）①已知绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0）的解集为3＜x＜b，则a＝ ；b＝ ；
②请求出绝对值不等式|x﹣2|+3≥4 的解集．
【变式1-2】（2026 春•平顶山月考）先阅读绝对值不等式|x|＜6 和|x|＞6 的解法，再解答问题．
①因为|x|＞6，从数轴上（如图1）可以看出只有小于﹣6 的数和大于6 的数的绝对值大于6．所以|x|＞6
的解集为x＜﹣6 或x＞6．②因为|x|＜6，从数轴上（如图2）可以看出只有大于﹣6 且小于6 的数的绝对
值小于6，所以|x|＜6 的解集为﹣6＜x＜6．
（1）|x|＜3 的解集为 ；
（2）解不等式|2x﹣3|＞1．
【变式1-3】（2026 春•朝阳区校级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B 在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B 之间的距离可表示
为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1 与3 对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4．
（1）点A，B，C 在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点B 到点C 的距离为 ，点A 到
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点B 的距离与点A 到点C 的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：当x 满足 时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值为 ；
（3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图（1）可得出：绝对值不等式|x|＞1 的解集是x＜﹣1 或x＞1；
由图（2）可得出：绝对值不等式|x|≤3 的解集，是﹣3≤x≤3；
则，不等式|x|≥4 的解集是 ；
②利用数轴直接写出不等式|x+1|+|x﹣3|＞8 的解集是 ．
