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第三章 代数式
知识点一 代数式的定义
1.
概念：用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子。
2.
特例：单独一个数字、单独一个字母，都属于代数式。
3.
判断关键：式子中不能出现等号、不等号；含这些符号的是等式、不等式，不属于代数式。
知识点二 代数式的书写规则
1.
数字与字母相乘：数字写在前面，省略乘号；系数为 1 或 ― 1 时，省略数字 1。
2.
字母和字母相乘：直接省略乘号，一般按英文字母先后顺序书写。
3.
带分数与字母相乘：带分数不能直接和字母相乘，要先转化为假分数。
4.
除法运算：全部改写成分数形式，不使用除号”÷“。
5.
单位书写：代数式是加减组合且后面带单位时，整个代数式添加括号再写单位，如 (𝑥+ 3)kg。
6.
乘方简化：多个相同字母相乘，统一写成乘方形式简化书写。
知识点三代数式代入求值
1.
标准解题步骤：抄写代数式 → 替换字母 → 负数/分数添括号 → 按运算顺序计算。
2.
两类常考题型
① 直接代入：已知每个字母的具体数值，逐一代入计算；
② 整体代入：无法求出单个字母的值，把已知式子整体替换，简化计算。
3.
高频易错点
代入负数、分数时不加括号，导致乘方、符号计算错误；
不遵循“先乘方，再乘除，后加减”的运算顺序。
易错点1 代数式书写方法易错问题
易错提醒
一、易错点总结
1.系数为 1、-1 时不会省略 1，出现 1x、-1a 等不规范写法。
2.带分数直接与字母相乘，书写不规范。
3.运算符号乱用：保留“×、÷”，未省略乘号、未把除法改为分数形式。
4.加减代数式带单位时，忘记给整体加括号。
6.数字、字母顺序颠倒，写成 a3、xy2 等错误格式。
二、注意事项总结
1.系数 1、-1 必须省略 1，只保留符号和字母。
2.带分数一律先化成假分数再书写。
3.乘号全部省略，除法一律写成分数形式。
4.数字在前、字母在后，相同字母写成乘方形式。
5.多项式带单位必须整体加括号。
【对点训练】1．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处；
(1)
20
a´
；
(2) 1
13 x ；
(3) 1mn
-
；
(4) s
t
¸ ；
【答案】(1)20a
(2) 4
3 x
(3) mn
-
或nm
-
(4) s
t
【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分
数等．
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“g”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（2）带分数要写成假分数的形式；
（3）1 通常省略不写；
（4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．
【详解】（1）解：
20
a´
不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为20a ．
故答案为：20a ．
（2）解：1
13 x 不规范，带分数应写成假分数，即4
3 x ．
故答案为：4
3 x ．
（3）解：1mn
-
不规范，1 应省略不写，应写为mn
-
或nm
-
．
故答案为：mn
-
或nm
-
．
（4）解：s
t
¸ 不规范，除法应写成分数形式，即s
t ．
故答案为：s
t ．
易错点2 用代数式表示数、图形的规律问题
易错提醒
一、易错点总结
1.只观察数字变化，忽略符号规律，正负交替写错。
2.找规律时项数对应错误，第 n 项公式与序号不匹配。
3.图形规律只会数个数，不会抽象成含 n 的代数式。
4.总结出规律后不验证，第 1、2 项代入不成立仍直接使用。
二、注意事项总结
1.规律探究固定顺序：先看符号 → 再看数字 → 最后定项数。
2.图形规律优先列出前 3 项数值，对比变化差值，归纳通用公式。
3.写出第 n 项代数式后，必须代入前两项验证对错。
4.正负交替规律优先用( 1)n
-
或
1
( 1)n+
-
表示。
【对点训练】2．如图所示的汉诺塔是一种经典的益智玩具，在平板上固定有三根标号为A ，B ，C 的柱子，
其中A 柱有大小不等的n 个圆盘（n 为正整数）自上而下从小到大摆放．其游戏规则是：
①每次只能移动一个圆盘到另一根柱子上；
②同一根柱子上的小圆盘始终在大圆盘的上方；
③最终将A 柱上的圆盘完整地移到C 柱上．
（1）当
3
n =
时，最少的移动次数为__________；
（2）对任意的n ，最少的移动次数为__________．（用含n 的式子表示）
【答案】
7
2
1
n -
【分析】（1）先将最小的圆盘放在C 上，再将中圆盘放在B 上，接着把小圆盘放在B 上，接着把大圆盘放
在C 上，接着把小圆盘放在A 上，接着把中圆盘放在C 上，最后把小圆盘放在C 上，据此可得答案；
（2）根据题目已知条件分别得出当A 柱上有1 个圆盘时最少需要移动的次数，当A 柱上有2 个圆盘时最少
移动的次数，从而推出当A 柱上有n 个圆盘时需要移动的次数．
【详解】解：（1）先将最小的圆盘放在C 上，再将中圆盘放在B 上，接着把小圆盘放在B 上，接着把大圆
盘放在C 上，接着把小圆盘放在A 上，接着把中圆盘放在C 上，最后把小圆盘放在C 上，故当
3
n =
时，最
少的移动次数为7 次；
（2）当
2
n =
时，先将小圆盘放在B 柱上，大圆盘放在C 柱上，再将B 柱上的小圆盘放在C 柱上，故当
2
n =
时，最少的移动次数为3 次；
当
1
n = 时，最少的移动次数为
12
1
1
- = ；
当
2
n =
时，最少的移动次数为
2
2
1
3
- =
次；
当
3
n =
时，最少的移动次数为
32
1
7
- =
次；
……，
以此类推，可知对任意的n ，最少的移动次数为2
1
n - ．
易错点3 已知式子的值，整体代入求代数式的值问题
易错提醒
一、易错点总结
1. 习惯性想单独求出字母的值，不会整体代换，导致题目无法解出。
2. 整体变形错误：添括号、变号出错，式子结构拆分不对。
3. 倍数关系看错，原式扩大、缩小倍数不对应。
4. 代入后符号混乱，负号漏变、多变。
二、注意事项总结
1. 题目无法单独求字母值时，立刻判断用整体代入。
2. 先观察“已知式”和“求式”的倍数、加减关系，再变形。
3. 添括号整体变形时，严格注意变号规则。
4. 整体替换后，按有理数混合运算顺序计算，重点核对符号。
【对点训练】3．对于实数x，y，给出定义：
,
f x y
ax
by
c
=
+
+ ，例如
1,1
1
1
f
a
b
c
a
b
c
=
´ + ´ +
=
+
+
．已
知
1, 1
2
f
-
=
，
3,1
4
f
=
，则
8,6
f
=________．
【答案】9
【分析】先根据新的定义可得2
3
a
c
+
=
，
1
a
b
+
= ，再作为整体代入计算即可．
【详解】解：∵
1, 1
2
f
-
=
，
3,1
4
f
=
，
∴
2
3
4
a
b
c
a
b
c
-
+
=
ì
í
+
+
=
î
①
②，
由①+ ②得：4
2
6
a
c
+
=
，即2
3
a
c
+
=
，
由②- ①得：2
2
2
a
b
+
=
，即
1
a
b
+
= ，
∴
8,6
8
6
6
2
6 1 3
9
f
a
b
c
a
b
a
c
=
+
+
=
+
+
+
=
´ +
=
．
易错点4 程序流程图与代数式求值问题
易错提醒
一、易错点总结
1. 看错流程图判断条件，满足、不满足走反分支。
2. 循环计算跳步、少算、多算次数，结果偏差。
3. 每次代入新数值不重新计算，直接套用旧结果。
4. 代入负数、分数不加括号，导致乘方、符号错误。
5. 不会判断终止条件，提前停止或过度循环。
二、注意事项总结
1. 先读懂流程：判断条件、运算公式、终止条件三步标记。
2. 循环运算一步一写、分步计算，绝不跳步。
3. 每次输入新数值都重新完整代入计算。
4. 负数、分数代入必须加括号，严格遵循运算顺序。
5. 最后结果必须满足终止条件方可输出。
【对点训练】4．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加
密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出
3
a =
，
2
b =
时，解密后mn = __________．
【答案】11
【分析】先分别将
3
a =
、
2
b =
代入
2
2
2
1
4
m
a
ab
b
=
+
+
、
2
2
3
4
2
2
n
a b
a
a
=
-
¸ -
求得m、n 的值，最后求mn
的值即可．
【详解】解：∵
3
a =
、
2
b =
，
∴
2
2
2
9
2
1
1
3
3 2
2
4
12
2
m
´
=
´
+
+
+
=
=
+
，
2
2
3
1
4 3
2
2 3
2 3
72
54
36
2
n =
´
´ - ´
¸ - ´
=
-
¸
=
，
∴
1
22
11
2
mn =
´
=
．
一、单选题
1．已知
2,
3
a
b
= -
=
，则
2
a
b
-
的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．7
D．7
-
【答案】A
【分析】直接将a，b 的值代入代数式，再计算求出答案即可．
【详解】解：∵
2
3
a
b
= -
=
，
，
∴
2
2
2
3
4
3
1
a
b
-
= -
-
=
-
= ．
2．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
2
x
y
´
+
，
2
1a b
-
，
2
ab
c
¸
，
3
xy × ，2
13 xy ，
5
7
a
b
+
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘
号通常省略不写或写为g ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为1
± 时1省略不写；带分
数需化为假分数．
【详解】解：逐个判断式子：∵
2
x
y
´
+
保留乘号´ ，不符合书写要求；
2
1a b
-
中系数1
- 的1未省略，不符合书写要求；
2
ab
c
¸
未将除法写为分数形式，不符合书写要求；
3
xy × 中数字3未写在字母前方，不符合书写要求；
2
13 xy 未将带分数化为假分数，不符合书写要求；
只有
5
7
a
b
+
符合所有书写要求，共1个符合要求．
3．若
2
4
4
0
x
x
-
-
=
，则
2
2
8
14
x
x
-
+
+
的值为（ ）
A．6
-
B．6
C．22
D．22
-
【答案】B
【分析】先根据已知等式得到
2
4
4
x
x
-
= ，再将所求代数式变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
2
4
4
0
x
x
-
-
=
，
∴
2
4
4
x
x
-
= ，
∴
2
2
2
8
14
2
4
14
2 4 14
6
x
x
x
x
-
+
+
= -
-
+
= - ´ +
=
．
4．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1 个图案用了9 根木棍，第2 个图案用了14 根木棍，第3 个
图案用了19 根木棍，第4 个图案用了24 根木棍…按此规律排列下去，则第8 个图案需要木棍的根数是
（ ）
A．44
B．49
C．54
D．59
【答案】A
【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n 个图案的木棍数的规律．
【详解】解：由题意可知，第1 个图案用了9
4
5 1
=
+ ´ 根木棍，
第2 个图案用了14
4
5
2
=
+ ´ 根木棍，
第3 个图案用了19
4
5 3
=
+ ´ 根木棍，
第4 个图案用了24
4
5 4
=
+ ´ 根木棍，
\第n 个图案用的木棍根数是4
5n
+
，
当
8
n =
时，木棍根数为4
5 8
44
+ ´ =
．
5．按一定规律排列的代数式：2a
b
-
，
2
4a
b
+
，
3
6a
b
-
，
4
8a
b
+
，
5
10a
b
-
，…，则第n 个代数式是（）
A．2
n
na
b
±
B．2
( 1)
n
n
na
b
+ -
C．2
( 1)
n
n
a
b
+ -
D．
1
2
( 1)
n
n
na
b
+
+ -
【答案】B
【分析】分别分析第n 个代数式的系数，a 的次数，b 的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。
【详解】解：按顺序拆分观察规律：
∵第1 个代数式：
1
1
2
2 1
( 1)
a
b
a
b
-
=
´
+ -
第2 个代数式：
2
2
2
4
2 2
( 1)
a
b
a
b
+
=
´
+ -
第3 个代数式：
3
3
3
6
2 3
( 1)
a
b
a
b
-
=
´
+ -
第4 个代数式：
4
4
4
8
2 4
( 1)
a
b
a
b
+
=
´
+ -
……
∴归纳可得，第n 个代数式中，系数为2n ，a 的次数为n ，b 的系数为( 1)n
-
，整理得第n 个代数式是
2
( 1)
n
n
na
b
+ -
．
二、填空题
6．已知
2
2,
x
y
-
= -
则5
10
9
x
y
-
+
= __________．
【答案】1
-
【详解】解：
5
10
9
5
2
9
5
2
9
10
9
1
x
y
x
y
-
+
=
-
+
= ´ -
+
= -
+
= - ．
7．在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”．以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三
等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，
图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①®②）．
（1）如果一个边长是27 厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是_______
厘米．
（2）如果一个边长为a 厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是_______厘
米．（用含有a 的式子表示）
【答案】
144
256
27
a / 256
27 a
【分析】（1）根据每次“生长”的图形周长比原来的图形周长多1
3 ，即可求解；
（2）根据题意可推出第n 次“生长”，得到图形的周长是
4
3
3
n
a æ
ö
´ç
÷
è
ø
厘米，即可求解．
【详解】（1）边长是27 厘米的等边三角形，周长是27 3
81
´ =
（厘米），
第一个“生长”得到图形的周长是
1
4
81 81
81
108
3
3
+
´
=
´
=
（厘米），
第二次“生长”得到图形的周长是
4
108
144
3
´
=
（厘米），
因此一个边长是27 厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是144厘米；
（2）边长为a 厘米的等边三角形，周长是3a 厘米，
第一次“生长”得到图形的周长是
4
3
4
3
a
a
´
=
（厘米），
第二次“生长”得到图形的周长是
2
4
16
3
3
3
a
a æ
ö
´
=
ç
÷
è
ø
（厘米），
第三次“生长”得到图形的周长是
3
4
64
3
3
9
a
a
æ
ö
´
=
ç
÷
è
ø
（厘米），
LL，
以此类推，第n 次“生长”得到图形的周长是
4
3
3
n
a æ
ö
´ç
÷
è
ø
（厘米）
\第四次“生长”得到图形的周长是
4
4
256
3
3
27
a
a æ
ö
´
=
ç
÷
è
ø
（厘米），
因此一个边长为a 厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是256
27
a 厘米．
8．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1 个图案中有4
个等边三角形，第2 个图案中有6 个等边三角形，第3 个图案中有8 个等边三角形，…依此规律，第2026
个图案中有____个等边三角形．
【答案】4054
【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2026 个图案中三角形的个数．
【详解】解：第①个图案有4 个三角形，即4
2 1 2
=
´ +
第②个图案有6 个三角形，即6
2
2
2
=
´
+
第③个图案有8 个三角形，即8
2
3
2
=
´ +
¼
第n 个图案三角形个数为2
2
n +
，
所以第2026 个图案有三角形的个数为2 2026
2
4054
´
+
=
．
9．如图是一个运算程序，若开始输入x 的值为25，则第2025 次输出的结果为__________．
【答案】5
【分析】根据运算程序图可知输出结果按5 和1 一循环，然后问题可求解．
【详解】解：由运算程序图可知：
第一次输出结果为1
25
5
5 ´
=
，第二次输出结果为1
5
1
5 ´
= ，第三次输出结果为1
4
5
+
=
，第四次输出结果为
1
5
1
5 ´
= ，…..；由此可知：输出结果按5 和1 一循环，
∵2025
2
1012
1
¸
=
×××× ，
∴第2025 次输出的结果为5．
10．按一定规律排列的数：
2
4
1
5
3
-
=
，
2
7
1
16
3
-
=
，
2
10
1
33
3
-
=
，
2
13
1
56
3
-
=
，⋯，以此规律排列，第7 个
数是___．
【答案】161
【分析】先观察已知数中分子底数的变化规律，推导出第n 个数的表达式，再将
7
n =
代入计算即可．
【详解】解：观察已知排列的数：第1个数：
2
2
4
1
(3 1 1)
1
5
3
3
-
´ +
-
=
=
，
第2 个数：
2
2
7
1
(3 2 1)
1
16
3
3
-
´ +
-
=
=
，
第3个数：
2
2
10
1
(3 3 1)
1
33
3
3
-
´ +
-
=
=
，
第4 个数：
2
2
13
1
(3 4 1)
1
56
3
3
-
´ +
-
=
=
，
由此可得规律，第n 个数为
2
(3
1)
1
3
n +
- ，
当
7
n =
时，代入得：
2
2
(3 7 1)
1
22
1
484 1
483
161
3
3
3
3
´ +
-
-
-
=
=
=
=
．
三、解答题
11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序．
(1)用含x 的代数式表示输出的结果；（结果化为最简）
(2)当输入x 的值为6
- 时，求输出的值．
【答案】(1)5
5
x -
(2)输出的值为35
-
【分析】本题考查程序框图与代数式求值：
（1）根据程序框图，列出代数式即可；
（2）把
6
x = - 代入（1）中的代数式进行求解即可．
【详解】（1）解：
4
3
2
x
x
-
-
+ -
4
3
2
x
x
=
- +
-
5
5
x
=
- ．
所以用含x 的代数式表示输出的结果为5
5
x - ．
（2）解：当输入x 的值为6
- 时，输出的值为6 5
5
35
- ´ -
= -
．
12．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是4，求
2
2
a
b
m
cd
m
+
+
-
的值．
【答案】14
【分析】先求出
0
a
b
+
=
，
1
cd = ，
4
m =
，则
4
m = ± ，再代入计算即可．
【详解】解：∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是4，
∴
0
a
b
+
=
，
1
cd = ，
4
m =
，
∴
4
m = ± ，
当
4
m =
时，
2
2
0
2
4
2 1
14
4
a
b
m
cd
m
+
+
-
=
+
- ´ =
；
当
4
m = - 时，
2
2
0
2
4
2 1
14
4
a
b
m
cd
m
+
+
-
=
+ -
- ´ =
-
；
综上，
2
2
a
b
m
cd
m
+
+
-
的值为14．
13．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m ，n ，p ，
总满足
2
p
m
n
=
-
，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2 ，1
- ，a ，4
- ，b ，¼，是理想数列，则a = ，b = ；
(2)若数列x ，3x ，4 ，¼，是理想数列，求代数式
2
2
6
3
x
x
-
+ 的值．
【答案】(1)5 ，29
(2)11
【分析】（1）根据理想数列的定义计算出a 、b 的值即可；
（2）根据理想数列的定义可知
2
3
4
x
x
-
=
，再利用整体代入法求出代数式的值．
【详解】（1）解：由题意可知，
2
2
1
5
a =
- -
=
，
又
2
4
1
1 5
a
- = -
-
= -
Q
，
\相邻的三个数1
- ，5 ，4
- 符合规律，
2
2
4
5
4
29
b
a
\ =
- -
=
+
=
；
（2）解：Q数列x ，3x ，4 ，¼，是理想数列，
2
4
3
x
x
\
=
-
，
即
2
3
4
x
x
-
=
，
\
2
2
2
6
3
2
3
3
2 4
3
11
x
x
x
x
-
+
=
-
+
=
´
+
=
．
14．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为n ，半圆形弯道
的直径为m ，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部
分），具体长度如图．
(1)用含m ，n 的代数式表示跑道的周长为_____；（用含m
n
，的代数式表示，结果保留π）
(2)用含m ，n ，r 的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积S （阴影部分面积的和）
【答案】(1) π
2
m
n
+
(2)
2
1
π
40
80
2
r
mn
m
r
+
-
+
【分析】（1）跑道的周长等于两个半圆的弧长加上直道的长度；
（2）阴影面积等于“铁饼投掷”项目的面积和“掷标枪”项目面积之和．
【详解】（1）解：跑道的周长为π
2
m
n
+
；
（2）解：“铁饼投掷”项目的面积为
2
πr ，“掷标枪”项目的面积为
1
1
2
80
2
2
mn
m
r
-
´
-
´
，
2
2
1
1
1
π
2
80
π
40
80
2
2
2
S
r
mn
m
r
r
mn
m
r
\
=
+
-
-
´
=
+
-
+
．
15．观察下面日历图，思考下列问题：
(1)日历图中的数有什么规律？
(2)日历图的套色方框中的9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
(4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示．
【答案】(1)同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大1；
同一列中，下方的数比上方相邻的数大7 ；
(2)套色方框中的9 个数之和等于方框正中间数的9 倍
(3)成立，理由如下：
设方框正中间的数为x ，根据日历的数字规律，方框内9 个数可表示为：
上一行：
8,
7,
6
x
x
x
-
-
- ，
中间行：
1, ,
1
x
x x
-
+ ，
下一行：
6,
7,
8
x
x
x
+
+
+ ，
9 个数相加得，
8
7
6
1
1
6
7
8
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
，
所以9 个数的和恒等于中间数的9 倍，只要该月日历能框出3×3 的9 个日期，这个关系就成立，对任意月
份的日历都适用．
(4)对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3 倍，
设方框正中间的数为x ，
左上到右下：
8
8
3
x
x
x
x
-
+
+
+
=
．
右上到左下：
6
6
3
x
x
x
x
-
+
+
+
=
．
【分析】（1）根据日历中的数写出规律即可；
（2）求出套色方框中的9 个数之和与中间的数比较即可；
（3）设方框正中间的数为x ，根据日历中相邻日期数的规律，可表示出其余8 个数，将这9 个数相加，得
9x ，故9 个数的和恒等于中间数的9 倍；
（4）由（3）设中间数为x ，两条对角线上的数分别可表示为
8, ,
8
x
x x
-
+
和
6, ,
6
x
x x
-
+
，相加均得3x，即
可得出对角线的规律．
【详解】（1）略
（2）解：日历图的套色方框中的9 个数的总和为：2
3
4
9 10 11 16 17 18
90
+ +
+
+
+
+
+
+
=
，
方框正中间的数为10，可得90
9 10
= ´
，
因此套色方框中9 个数的和，等于方框正中间数的9 倍．
（3）略
（4）略
