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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十六章 整式的乘法
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列计算正确的是( )
A. a3 + a2 = a5
B. a3 ⋅a2 = a6
C. (a2)3 = a5
D. a6 ÷ a2 = a4
2.已知m，n是正整数，且满足3m ⋅3m ⋅3m = 3n，则m与n的关系正确的是( )
A. 3m = n
B. m3 = n
C. m + 3 = n
D. m + 1 = n
3.若(y + 3)(y−2) = y2 +my + n，则m，n的值分别为 ( )
A. 1，−6
B. 5，6
C. 1，6
D. 5，−6
4.已知9m = 3，27n = 4，则32m+3n = ( )
A. 1
B. 6
C. 7
D. 12
5.若(x−3)(2x2 +mx−5)的计算结果中x2项的系数为−3，则m的值为( )
A. −3
B. 3
C. −9
D. −1
3
6.当x = 1时，代数式ax3 +bx + 1的值为6，当x = −1时，代数式ax3 +bx + 1的值等于( )
A. 0
B. −3
C. −4
D. −5
7.观察下面图形，从图 ①到图 ②用式子表示为( )
A. (a + b)2 = a2 +2ab + b2
B. (a−b)2 = a2−2ab + b2
C. (a + b)(a−b) = a2−b2
D. a2−b2 = (a + b)(a−b)
8.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间
的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长度分别为m、n(m > n).若小正方形的面积为9，
(m + n)2 = 21，则大正方形的边长为( )
A. 2
3
B.
13
C.
14
D.
15
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.已知4m = 3，64n = 12，则3n−m的值为 ．
10.若am = 2，an = 3，则am−2n的值为 ．
11.如果(a2 + b2 +2)(a2 + b2−2) = 45，那么a2 + b2的值为 ．
12.给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式(x + 3)2 = ax2 +bx + c，当
x = 0时，可得32 = c，计算得c = 9.请你再给x赋不同的值，可计算得4a + 2b = ．
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10分)计算：
(1) (a−2)(a + 2)−(a−1)2．
(2)(−3x + 2y)2−(x−2y)(7x + 2y)．
14.(7分)定义一种运算：a △b = a3−b2 +ab + 1．
如：2 △(−3) = 23−(−3)2 +2 × (−3) + 1 = 8−9−6 + 1 = −6．
(1)计算：(−x) △(1−x).
(2)将(1)计算所得的多项式分解因式．
15.(10 分)已知xn = 2，yn = 3．
(1)求(−xy)2n ⋅1
4x2nyn的值．
(2)若x3n+1·y3n+1 = 64，求xy的值．
16.(12 分)现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”。Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，AC = b，
BC = a，AB = c，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：a2 + b2 = c2;
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a + b)2的值。
17.(12 分)
(1)如图1，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，
然后拼成一个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的
是
．
(2)根据下面四个算式：
52−32 = (5 + 3) × (5−3) = 8 × 2；
112−52 = (11 + 5) × (11−5) = 16 × 6 = 8 × 12；
152−32 = (15 + 3) × (15−3) = 18 × 12 = 8 × 27；
192−72 = (19 + 7) × (19−7) = 26 × 12 = 8 × 39．
请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式．
(3)用文字写出反映(2)中算式的规律，并证明这个规律的正确性．
18.(13 分)如图所示的两个长方形用不同形式拼成图①和图②两个图形．
(1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 .(用含字母a，b的代数式表示)
(2)由(1)你可以得到等式 ；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
①计算：6212−1482−769 × 373；
②解方程：(x + 1)2−(x−1)2 = −4．
