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培优专题03 一元一次方程的构造
（题型突破·举一反三）
题型01 根据一元一次方程的定义构造
题型02 根据相反数、倒数的性质构造
题型03 根据同类项的概念构造
题型04 根据一元一次方程解的定义构造
题型05 根据一元一次方程解的情况构造
题型06 巧设辅助未知数构造
题型07 根据图形之间的等量关系构造
题型08 根据新定义构造
题型09 看错系数（错解复原）构造方程
题型10 根据表格信息构造一元一次方程
题型11 根据天平/实物等量关系构造方程
题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程
▌题型01 根据一元一次方程的定义构造
【典例1】（24-25 七年级下·四川巴中·期中）如果
是一元一次方程，那么
______，则
______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得
，即得
，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵
是一元一次方程，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：，
．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·课后作业）已知关于x 的方程
是一元一次方
程，则多项式：
的值是_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键．
根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a 的值，然后代入
多项式求值即可．
【详解】解：∵方程
为一元一次方程，
∴二次项系数
，且一次项系数
，
∴
∴多项式
．
故答案为
．
【变式2】（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）已知
（k 是整数）是关于x 的一元一次方程，
当
______时，方程的解为正整数．
【答案】0
【分析】本题考查一元一次方程的定义和解一元一次方程．
先整理方程得到x 的表达式，再根据方程的解是正整数，结合k 为整数求解即可．
【详解】解：对原方程去分母，得
，
去括号，得
，
移项，合并同类项，得
，
因为方程是关于
的一元一次方程，
所以
，
系数化为1，得
，
因为方程的解
是正整数，且
为整数，
所以
是
的正因数，
的可能取值为1、2、4，
当
时，解得
，符合要求；
当
时，解得
，不是整数，舍去；
当
时，解得
，不是整数，舍去；
故答案为：0．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西宝鸡·期末）若两个关于
的一元一次方程
与
的解相同，则
的值是_____．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据一元一次方程的定义，求出
的值，进而求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程求解
的值即可．
【详解】解：∵关于
的一元一次方程
，
∴
，
解得
，
则一元一次方程为
，
解得
，
代入
到
，得
，
解得
．
故答案为：
．
▌题型02 根据相反数、倒数的性质构造
【典例2】（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）当
________时，代数式
与
互为相反数．
【答案】
【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，建立一元一次方程求解.
【详解】解：∵代数式
与
互为相反数，
∴
解得
，
所以当
时，代数式
与
互为相反数．
【变式1】（2026·河南安阳·二模）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代
数式互为相反数，则
的值为（ ）
A．14
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】先依据正方体展开图的特征确定互为相对的面，再结合“相对面上的数或代数式互为相反数”这一
性质建立方程，通过解方程求出
、
的具体值，最后代入代数式计算出结果．
【详解】解：由正方体展开图的相对面规律，
与
相对，
与
相对，与
相对．
∴
，
．
解得
，
；
∴
．
【变式2】（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知
与
互为相反数，则k 的值为（ ）
A．
B．11
C．
D．
【答案】A
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到k 的
值．
【详解】解：∵
与
互为相反数，
∴
，
方程两边同乘5 去分母，得
合并同类项得
解得
.
【变式3】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若
的值与
互为倒数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了倒数的定义，一元一次方程的应用．根据“乘积是1 的两个数互为倒数”即可得到关于
的方程，求解即可．
【详解】解：∵
的值与
互为倒数，
∴
，
解得：
．
故选：A．
【变式4】（20-21 七年级上·重庆·期末）如果方程
与关于
的方程
的解互为倒数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解是使方程左右两边相
等的未知数的值．
先解方程
，求出它的解，再根据方程
与关于
的方程
的解互为倒数，求出方程
的解，最后代入方程
，求出
即可．
【详解】解：
，
，
方程
与关于
的方程
的解互为倒数，
关于
的方程
的解为：
，
把
代入方程
得：
，
解得：
，
故选：B．
▌题型03 根据同类项的概念构造
【典例3】（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知单项式
与
是同类项，则关于x 的方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据同类项的定义求出a 和b 的值，再代入一元一次方程求解即可，用到同类项定义和一元一次
方程的解法．
【详解】解：∵ 单项式
与
是同类项，
∴
，
解得：
，
∴关于x 的方程
，
解得：
．
【变式1】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）若合并同类项
与
的结果为0，则下列关于
、
、
的说法正确的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义及合并同类项的性质，解一元一次方程，根据合并结果为0 可知两项是同类
项且系数互为相反数，据此列等式求解a、m、n 的值．
【详解】解：∵
与
合并同类项结果为0，
∴两项是同类项且系数互为相反数，
∴对于x 的指数：
，
对于y 的指数：
，解得
，
对于系数：
，解得：
，
∴
，
，
，
故选：C．
【变式2】（24-25 七年级上·河南驻马店·期末）多项式
合并同类项后不含
项，则
_____．
【答案】4
【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，解题的关键是掌握合并同类项法则．
合并同类项后不含
项，则合并后
项的系数为0，由此可解．
【详解】解：
，
∵合并同类项后不含
项，
∴
，
解得：
，
故答案为：4．
【变式3】（24-25 七年级上·全国·期末）若单项式
的次数是4，则m 的值是（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【答案】D
【分析】本题考查单项式的次数，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据题意，得到
，求解即可．
【详解】解：∵单项式
的次数是4，
∴
，
解得
．
故选D．
【变式4】（24-25 七年级下·陕西榆林·开学考试）已知关于
，的多项式
与多项式
的次数相同，那么
的值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键．根据多项式的次数的定义，列出
方程求解即可．
【详解】解：
关于
，
的多项式
与多项式
的次数相同，
．
解得：
．
故选：C．
▌题型04 根据一元一次方程解的定义构造
【典例4】（24-25 七年级上·河北石家庄·期末）已知
是方程
的解，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的解的定义进行计算．
【详解】解：
是方程
的解，
，
整理得：
，
解得：
．
【变式1】（25-26 七年级上·全国·期末）若
是关于x 的方程
的解，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．将
代入方程求得
的值，再整体代入代数式计算即可．
【详解】解：∵
是方程
的解，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：D．
【变式2】（24-25 六年级下·全国·单元测试）若不论
取什么数，关于
的方程
（
，
是常数）的解总是
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解一元一次方程（三）——去分母等知识点，解题关键是掌握
上述知识点并能运用其来求解．．
先把
代入方程
，整理成关于k 的一元一次方程，根据方程的解与k 无关，得到关于k
的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列方程解答即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∵不论k 取什么数，关于x 的方程
（m、n 是常数）的解总是
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
故选：A．
【变式3】（25-26 六年级下·山东泰安·期末）关于
的方程
的一个解是
，则
____________．
【答案】
【详解】解：∵关于
的方程
的一个解是
，
∴
，
∴
，
∴
．
▌题型05 根据一元一次方程解的情况构造
【典例5】（24-25 六年级上·上海·阶段检测）已知关于
的方程
无解，则
的值为______．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
方程整理后，由方程无解得到x 前的系数为0 即可得到关于
的方程，求出a 的值即可．
【详解】解：
，
，
，
∵关于
的方程
无解，
∴
，
解得：
，
故答案为：
．
【变式1】（22-23 七年级下·吉林长春·阶段检测）关于
的方程
与
的解相同，则
的
值为_____．
【答案】2
【分析】先求出第二个一元一次方程的解，再将解代入第一个方程， 即可求出
的值．
【详解】解：解方程
，
移项得，
，
系数化为，得
，
∵两个方程的解相同，
∴把
代入
得
，
整理，得
，
移项，得
，
系数化为，得
．
【变式2】（25-26 七年级下·福建漳州·期中）已知方程
的解比关于x 的方程
的解小1，
则a 的值为____．
【答案】
【分析】先求出方程
的解，进而得到方程
的解，代入
即可求出a 的值．
【详解】解：解
得
，
∵方程
的解比关于x 的方程
的解小1，
∴方程
的解为
，
∴
，
解得：
．
【变式3】（25-26 七年级下·河南驻马店·期中）若关于
的方程
的解为
，则关于
的方程
的解为________．
【答案】
【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的
看作第一个方程中的
，结合已知第一个方程的解求
解
．
【详解】解：设
，则方程
可化为
，
∵方程
的解为
，
∴方程
的解为
，
即
，
解得
．
▌题型06 巧设辅助未知数构造
【典例6】（24-25 七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是
多少．设______，列方程为______．
【答案】
宽为
【分析】此题考查了列方程．设宽为
，则长为
，根据周长为50 列方程即可．
【详解】解：设宽为
，则长为
，
，
故答案为：宽为
；
．
【变式1】（24-25 六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的
样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了
，则圆的面积是_____．（
取
）
【答案】
【分析】本题考查了圆的周长和面积公式，设圆的半径是，然后表示出拼成的长方形的长与宽，再根据长
方形的周长公式与圆的周长公式列式即可求出圆的半径，再根据圆的面积公式即可求解，掌握长方形的上下
两边的长度和为圆的周长，左右两边的长度的和为圆的直径是解题关键．
【详解】解：设圆的半径是
，
则
，
∴
，
∴圆的面积是
，
故答案为：
．
【变式2】（20-21 六年级下·上海徐汇·期末）长方形的长与宽之比为
，它的周长为56 厘米，它的面
积是______．
【答案】
/160 平方厘米
【分析】根据题意，设长为
，宽为
，列出方程求解得出
，
，依据面积公式求
解即可得
【详解】解：∵长方形的长与宽之比为
，
∴设长为
，宽为
，
根据题意得：
，
解得：
，
∴
，
，
∴面积为
，
故答案为：
．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式3】（24-25 七年级上·广东清远·期中）观察图和所给表格回答．当图形的周长为
时，梯形的个
数为_____
梯形个数
1
2
3
4
5
．．．，
图形周长
5
8
．．．
【答案】
【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，已知字母的值求代数式的值，数字问题(一元一次方程
的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
从表格中可以看出：图形周长变化为3，求得
，再将
代入，解方程即可得出
答案．
【详解】解：周长分别是5，8，
，
…
可以看出：第一项为
，后项比前一顶大，
，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
▌题型07 根据图形之间的等量关系构造
【典例7】（24-25 七年级上·全国·随堂练习）几何直观 有一玻璃密封器皿如图①所示，测得其底面直径
为
，高
，内装蓝色溶液若干．如图②所示放置，测得液面高
：如图③所示放置，测得液面高
16 厘米．则该玻璃密封器皿的总容量为（ ）
A．
立方厘米
B．
立方厘米
C．
立方厘米
D．
立方厘米
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程、圆柱的体积公式，找到等量关系是解题的关键．
根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】解：设该玻璃密封器皿总容量为
，依题意，得
，
解得
．
故该玻璃密封器皿的总容量为
立方厘米．
故选D．
【变式1】（24-25 七年级下·河南南阳·期中）如图，老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子
的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高
度是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设桌子高度为
，长方体木块长为
，宽为
，根据图①和图②列出关于
、、
的等式，再通过
等式运算求出
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题建立方程并通过方程运算求解是解题的
关键．
【详解】解：设桌子的高度为
，长方体木块的长为
，宽为
由图①可得
；由图②可得
．
∴
，即
，
解得
，
故选：C．
【变式2】（24-25 七年级上·全国·期末）如图1，两个正方形分别由①、②两种规格小长方形纸片拼成，
现将它们放入一个长为
，宽为
的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则阴影部分的面积
为__________（用含
的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了平面图形拼接中边长关系的分析与方程思想的应用；解题的关键是通过设未知数表示小
长方形的边长，利用阴影正方形边长的两种不同表达式建立等量关系，进而求出阴影部分的面积．
设②规格小长方形的宽为未知数，根据其拼成的正方形边长确定长；结合大长方形的长和宽，用两种方式表
示阴影正方形的边长并建立方程；求解方程得到未知数与 a、b 的关系，代入阴影正方形边长的表达式计算
面积．
【详解】解：设②规格的长方形纸片的宽为
，则由两个②规格的长方形纸片拼成的正方形的边长为
，
∴阴影部分正方形的边长可表示为
或
．
．
．
∴阴影部分的面积为
．
故答案为：
．
【变式3】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）如图1 是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高
度为
，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽．如图2，若乙槽内放入高度为
的圆柱形铁块，当
甲槽内水位高度下降到
时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位
高度是
．若乙槽的底面积是
，则铁块的底面积为_____
．
【答案】8
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，根据体积关系列方程．
根据图形得出乙槽水位上升
，甲槽水位下降
，然后根据乙槽的底面积是
列式计算即可得出
甲槽的底面积；设铁块的底面积为
，根据乙槽内水位刚好到达铁块高度时，倒入乙槽中的水等于从甲
槽中倒出的水，列出方程，解方程即可；
【详解】解：∵当甲槽内水位高度下降到
时，乙槽内水位刚好到达铁块高度，当甲槽内的水全部注入乙
槽时，乙槽的水位高度是
．
∴乙槽水位上升
，甲槽水位下降
，
∵乙槽的底面积是
，
∴甲槽底面积为：
；
设铁块的底面积为
，
根据题意得：
，
解得：
，
∴铁块底面积为
．
故答案为：8．
▌题型08 根据新定义构造
【典例8】（26-27 七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：
，已知
，则
_________．
【答案】9
【分析】根据定义得到
的表达式，列出关于
的方程，解方程即可得到
的值．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
，
．
【变式1】（25-26 七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中定义：若点
满足
，则称
点
为“等值点”．已知点
是“等值点”，则
________．
【答案】
或
【分析】根据新定义“等值点”的条件，列出关于
的绝对值方程，利用绝对值的性质分类讨论求解即可．
【详解】解：
点
是“等值点”，
∴
，
∴
或
，
当
时，解得
，
当
时，解得
，
∴
或
．
【变式2】（25-26 七年级上·辽宁丹东·期末）定义一种新运算：规定
，若
恒成立，则
______．
【答案】2
【分析】本题考查了新定义运算，一元一次方程的应用，代数式求值．
根据新运算定义，将
代入表达式，得到等式
，由于该等式对所有
和
成立，因
此对应指数相等，列出关于
和
的方程并求解．
【详解】解：由
得
，即
根据指数相等原则，有：
，
解得
，
∴
，
故答案为：2．
【变式3】（25-26 七年级上·河南新乡·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为10，我们就称这
两个方程为“十全十美方程”，例如：方程
与
是“十全十美方程”．
(1)若关于
的方程
与
是“十全十美方程”，求
的值；
(2)若关于
的方程
与
是“十全十美方程”，求关于
的方程
的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．
（1）分别解一元一次方程，根据“十全十美方程”的定义列出关于m 的方程，解方程即可求解；
（2）先解出已知方程的解，根据“十全十美方程”的定义得出另一个含参数的方程的解，再利用整体代换
法求出关于y 的方程的解．
【详解】（1）解：由方程
可得
，
因为关于
的方程
与
8 是“十全十美方程”，
所以方程
的解为
，
将
代入方程
，
得
，
解得：
．
（2）由方程
可得
，
因为关于
的方程
与
是“十全十美方程”，
所以方程
的解是
，
又因为关于
的方程
可化为
，
所以
，
所以
，
所以关于
的方程
的解为
．
▌题型09 看错系数（错解复原）构造方程
【典例9】（25-26 六年级下·山东青岛·期中）小明解方程
时，去分母时方程右边的1 忘
记乘6，得到错误解
，则方程正确的解
_____．
【答案】7
【分析】先根据小明错误的解法求出
，从而可得原方程为
，再解一元一次方程即可得
出结果．
【详解】解：∵小明解方程
时，去分母时方程右边的1 忘记乘6，得到错误解
，
∴
，
∴将
代入
可得
，
解得：
，
∴原方程为
，
去分母可得：
，
解得：
．
【变式1】（24-25 七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“
”时，将“
”中的“ ”
抄漏了，得出
，则原方程正确的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出
的值是解此题的关键．小强漏抄
负号后解得的
可求出k 的值，再代入原方程求解即可．
【详解】小强将方程抄为
，解得
，
则将
代入错误方程得：
，
解得：
．
原方程为：
，
移项得：
，
即
，
解得：
．
故选：A．
【变式2】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）小琳在解关于x 的方程
时，把
“
”抄成了“
”，求得方程的解为
，求a 的值和原方程的解．
【答案】
，原方程的解为
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，通过错误方程的解
求出a 的值，
再代入原方程求解．
【详解】解：小琳抄错的方程为
，
∵错误方程的解为
，
∴代入得
，
解得：
，
∴原方程为
，
整理得
，
两边同乘6 得
，
展开得
，
即
，
移项得
，
即
，
∴
．
▌题型10 根据表格信息构造一元一次方程
【典例10】（25-26 七年级上·山东日照·期末）整式
的值随
取值的不同而不同，表格是当
取不
同值时整式
对应的值，则关于
的方程
的解为（ ）
－3
－2
－1
0
1
2
8
6
4
2
0
－2
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，
将方程
变形为
，再利用表格中
时
求得
，从而
，
设其等于4 得
，最后从表格中查找使
的
值．
【详解】解：∵方程
可变形为
，
又由表格，当
时
，
即
，
∴
，
于是
，
设
，则
，
∴
，
从表格中，当
时
，
∴方程的解为
．
故选：D．
【变式1】（25-26 七年级上·广西梧州·期末）将正整数从1 开始依次填入下表，带阴影的“H”型框在此
表格中移动，若“H”型框框住的七个数字之和为3017，那么这七个数中最小的数是___________．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
设这七个数中最小的数是x，然后依次表示出这七个数字，根据和为3017 列方程求解即可．
【详解】解：设这七个数中最小的数是x，
则“H”型框框住的七个数字从小到大依次为：
，
，
，
，
，
，
，
由题意得：
，
解得：
，
所以这七个数中最小的数是
，
因为
，
所以
在第四列，满足题意，
故答案为：
．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，
背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九
宫格，将9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3 个数之和相等．右侧的
表格是一个未完成的幻方，则a 的值为_____．
【答案】10
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是先利用已知行求出幻方和，再根据“每一列和相等”
的性质，直接列方程求解
．
根据“每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3 个数之和相等”列出方程，先通过第二行
确
定幻方和为18，再根据第二列
直接计算出
求解即可．
【详解】解：根据幻方性质，每一行的和都等于幻方和 18．
观察第二列，已知数字为 2 和 6，
因此：
故答案为：10
【变式3】（24-25 七年级下·河南新乡·期中）为提高青少年体质，某地组织当地各校篮球队进行了联赛，
比赛的部分积分情况如表：
球队编号
比赛场次
胜场数
负场数
积分
10
6
4
16
10
3
7
13
10
0
10
10
…
…
…
…
…
根据表格数据，可知胜一场积___________分．某球队参加了10 场比赛，积分为15 分，则该球队的胜场数
为___________．
【答案】
2
5
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．
由C 球队的积分可知负一场积1 分，再由A 球队的积分可知胜一场积2 分；设某球队胜
场，则负场数为
场，根据积分是15 分，列出方程求解，即可解题．
【详解】解：由
可知负一场积
分，
再结合
可知，胜一场积
分，
某球队参加了10 场比赛，积分为15 分，设该球队的胜场数为
场，则负场数为
场，
，
解得
，
该球队的胜场数为场；
故答案为：
；．
▌题型11 根据天平/实物等量关系构造方程
【典例11】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）已知
，
，
(
)．
【答案】108
【分析】已知
，
，把
换成3 个
，计算出
，代入数值，即可解答．
【详解】解：根据题意可得
可得
所以
所以
．
【变式1】（2025 七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，
前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是___________
【答案】6
【分析】本题考查等式的性质，由题意得出
，
，则
，即可作答．
【详解】解：由题意可得
，
，
∴
，
，
∴
则
，
故答案为：6
【变式2】（24-25 七年级下·河南南阳·期中）若
，则
的值是__________．
【答案】
【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．把
等号两边同时除以4 得出
，等号两边再同时减去即可得答案．
【详解】解：
，
等号两边同时除以4 得：
，
所以
，
所以
的值是．
【变式3】（25-26 七年级上·上海·阶段检测）若
，则
______．
【答案】
或
【分析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为
，并利用等式性质，分
和
两种情况讨论即可．
【详解】解：设
，则
（1）
（2）
（3）
将（1）、（2）、（3） 相加得：
，
左边合并同类项：
，
右边：
，
所以
，
若
，则
，
若
，则从（1）式得
，代入
，
同理其他分式也等于
，故
，
因此，比值为
或
，
故答案为：
或
．
【变式4】（24-25 七年级上·新疆巴州·期末）如图，用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”
“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y 之间的数量关
系是________．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，首先设“▲”的质量是，根据两个天秤可得两个等式
，
，等量代换可得
与
的关系．
【详解】解：设“▲”的质量是，
根据第一个天秤可得：
，
根据第二个天秤可得：
，即
把
代入
，
得到：
，
故答案为：
．
▌题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程
【典例12】（24-25 七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有
三点，点
在数轴上对应的数为
，
点
对应的数为
，且
满足
，点
在数轴上对应的数为
，且
是方程
的
解．
(1)数轴上点
表示的数分别为_______、_______、_______；
(2)如图1，若动点
从
点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点
从点
出发，以
每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点
同时出发，经过多少秒时，
之间的距离恰好
等于
？
(3)如图2，若动点
同时从
出发，向右匀速运动，同时动点
从点
出发，向左匀速运动．已知点
的速度是个单位长度/秒，点
的速度是点
速度的
倍，点
的速度是点
速度的倍少个单位长
度．经过
秒时，
三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值．
【答案】(1)
；
；
(2)
秒或
秒
(3)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点所表
示的数．
（1）由
，得
，
，解
，得
，即
表示的数为
；
（2）设运动时间为秒，根据点
，
之间的距离恰好等于
，得
，即可解得答案；
（3）运动
秒后，点
表示的数为
，点
表示的数为
，点
表
示的数为
，分三种情况列方程并检验可得答案．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，即
表示的数为
，
故答案为：
；
；
；
（2）设运动时间为秒，则点
表示的数为
，点
表示的数为
，
点
，
之间的距离恰好等于
，
，
即
或
，
解得
或
，
经过
秒或
秒时，点
，
之间的距离恰好等于
；
（3）根据题意，点
的运动速度为每秒个单位长度，点
的速度是每秒
个单位长度，点
的速度是每
秒
个单位长度，
运动
秒后，点
表示的数为
，点
表示的数为
，点
表示的数
为
，
若
为
的中点，则
，
解得
若
为
的中点，则
，
解得
(舍去)
若
为
的中点，则
，
解得
(此时点
的速度为
，不符合题意，舍去)；
综上所述，的值为
【变式1】（24-25 七年级上·山西晋中·期末）综合与实践
已知数轴上有A、B、C 三点，点A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，且a、b 满足
，点C 在数轴上对应的数为x，且x 是方程
的解
(1)数轴上点A、B、C 表示的数分别为________、________、________；
(2)如图1，若动点P 从A 点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q 从点B 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，当t 为何值时，P、Q 之间的距离
恰好等于8 个单位长度？
(3)如图2，若动点P、Q 两点同时从A、B 出发，向右匀速运动，同时动点R 从点C 出发，向左匀速运动，
已知点P 的速度是点R 的速度的6 倍，点Q 的速度是点R 的速度2 倍少5 个单位长度/秒．经过5 秒时，P、
Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R 的运动速度．
【答案】(1)
，30，10
(2)22 秒或18 秒
(3)动点R 的运动速度为
个单位/秒或10 个单位/秒或
个单位/秒
【分析】（1）由
，得
，解
得
，即可得到答案；
（2）由题意易得P 表示的数为
，Q 表示的数为
，可得
，即可解得答案；
（3）设动点R 的运动速度为v 个单位/秒，则P 的速度是
个单位/秒，Q 的速度是
个单位/秒，运
动5 秒后，P 表示的数为
；Q 表示的数为
，R 表示的数为
，
分三种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）解：∵
，且
，
∴
，
∴
，
∴A 表示的数是
，B 表示的数是30；
解方程
得
，
∴C 表示的数为10；
故答案为：
，30，10；
（2）解：由题意得：P 表示的数为
，Q 表示的数为
，
∵P、Q 之间的距离恰好等于8 个单位长度，
∴
，
即
或
，
解得
或
；
∴经过22 秒或18 秒时，P、Q 之间的距离恰好等于8 个单位长度；
（3）解：设动点R 的运动速度为v 个单位/秒，则P 的速度是
个单位/秒，Q 的速度是
个单位/秒，
则有：
运动5 秒后，P 表示的数为
；Q 表示的数为
，R 表示的数为
，
若P 为
中点，则
，
解得
；
若Q 为
的中点，则
，
解得
；
若R 为
中点，则
，
解得
；
∴动点R 的运动速度为
个单位/秒或10 个单位/秒或
个单位/秒．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及分类讨论
思想的应用．
【变式2】（24-25 七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示
的点A 开始移动，第一次先向左移
动1 个单位，再向右移动2 个单位到达
点；第二次从
点先向左移动3 个单位，再向右移动4 个单位到达
点C；第三次从点C 先向左移动5 个单位，再向右移动6 个单位…
(1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点
与点
间的距离为 ．
(2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A 与点C 间的距离为 ．
(3)若第n 次移动后到达N 点则这个点在数轴上表示的数为 ；点
与点
间的距离为 ．
(4)若第
次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m 的值．
【答案】(1)2；1
(2)3；2
(3)
(4)
【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键．
（1）点从数轴上表示
的点先向左移动个单位，再向右移动
个单位，等于向右移动个单位，移动后这
个点表示的数为
，
；
（2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动
个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数
为，
；
（3）根据题意得出规律：第
次移动后点
表示的数是
，
；
（4）根据移动规律得出
，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：点
表示的数为
，
，
故答案为：
；
（2）解：点
表示的数为
，
，
故答案为：
；
（3）解：点
表示的数为
，
，
故答案为：
；
（4）解：∵
，
∴
．
【变式3】（23-24 七年级上·山东济南·期末）已知数轴上有A、B、C 三点，点A 在数轴上对应的数为a，
点B 对应的数为b，且a、b 满足
，点C 在数轴上对应的数为x，且x 是方程
的根．
(1)数轴上点A、B、C 表示的数分别为 、 、 ；
(2)如图1，若动点P 从A 点出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q 从点B 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发，经过多少秒时，P、Q 之间的距离
恰好等于4？
(3)如图2，若动点P、Q 两点同时从A、B 出发，向右匀速运动，同时动点R 从点C 出发，向左匀速运动，
已知点P 的速度是点R 的速度的6 倍，点Q 的速度是点R 的速度2 倍少5 个单位长度/秒．经过5 秒时，P、
Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R 的运动速度．
【答案】(1)
，30，10，
(2)经过19 秒或21 秒时，P、Q 之间的距离恰好等于4
(3)10 单位长度/秒
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质：
（1）根据几个非负数的和为0，那么这几个 非负数的值都为0 求出a、b 的值，再解方程即可求出c 的值
即可得到答案；
（2）设运动时间为t 秒，则运动t 秒后点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，根据题意可得方
程
，解方程即可得到答案；
（3）设点R 的运动速度为x 个单位长度/秒，则点P 的运动速度为
个单位长度/秒，点Q 的运动速度为
个单位长度/秒，则运动5 秒后点R 表示的数为
，点P 表示的数为
，点Q 表示的数
为
，再分当点R 为P、Q 的中点时， 当点P 为R、Q 的中点时，当点Q 为P、R 的中点时，三种情
况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
解方程
得
，
∴
，
故答案为：
，30，10；
（2）解：设运动时间为t 秒，
由题意得，运动t 秒后点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，
∵P、Q 之间的距离恰好等于4，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
或
，
∴经过19 秒或21 秒时，P、Q 之间的距离恰好等于4；
（3）解：设点R 的运动速度为x 个单位长度/秒，则点P 的运动速度为
个单位长度/秒，点Q 的运动速度
为
个单位长度/秒，
∴运动5 秒后点R 表示的数为
，点P 表示的数为
，点Q 表示的数为
，
当点R 为P、Q 的中点时，则
，
解得
（舍去）；
当点P 为R、Q 的中点时，则
，
解得
（舍去）；
当点Q 为P、R 的中点时，则
，
解得
；
综上所述，点R 的运动速度为10 个单位长度/秒
