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专题08 一元一次方程中含参数问题（六大类型）
重难点题型归纳
【题型1： 一元一次方程的定义】
【题型2：一元一次方程的解】
【题型3：一元一次方程-整体法】
【题型4： 一元一次方程-同解】
【题型5：一元一次方程-错解】
【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】
【题型1： 一元一次方程的定义】
【典例1】已知关于x的方程 是一元一次方程．
(m−3)x|m)−2+12n=0
(1)求m的值；
(2)已知：x=2是该一元一次方程的解，求n的值．
【答案】(1)m=−3
(2)n=1
【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解．
（1）根据一元一次方程的定义可得m−3≠0，|m)−2=0，求解即可；
（2）把x=2代入方程，求解即可．
【详解】（1）∵关于x的方程 是一元一次方程，
(m−3)x|m)−2+12n=0
∴|m)−2=1且m−3≠0
∴m=−3；
（2）由（1）得，该一元一次方程为−6x+12n=0，
∵x=2是该方程的解，
∴−12+12n=0，
∴n=1．
【变式1-1】已知关于x的方程 是一元一次方程，求：
(m−2)x|m−1)+18=0(1)m的值是多少？
(2)2(5m+2)−3(2m−1)的值．
【答案】(1)m=0
(2)7
【分析】本题考查一元一次方程的定义，求代数式的值．
（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解；
（2）根据去括号，合并同类项化简代数式，再将m的值代入求解．
【详解】（1）解：根据一元一次方程的定义可得：
|m−1)=1且m−2≠0，
解得m=0或m=2，且m≠2，
故m=0；
（2）解：原式=10m+4−6m+3
=4m+7，
∵ m=0，
∴4m+7=7，
∴ 2(5m+2)−3(2m−1)的值为7．
【变式1-2】如果关于x的方程3x2m−1−m=5是一元一次方程，求方程的解．
【答案】x=2
【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次
数为1的整式方程是一元一次方程．
根据一元一次方程的定义，得到m的值，代入再解方程即可求解．
【详解】解：由题意可知：2m−1=1，
解得：m=1．
把m=1代入原方程，得：3x−1=5，
解得：x=2．
【变式1-3】已知方程 是关于 的一元一次方程．
(3m−4)x2−5x4n−3−7=−6m x
(1)求m、n的值；
(2)若关于 的一元一次方程 的解与关于 的一元一次方程 的解
x (3m−4)x2−5x4n−3−7=−6m x a+3x=1
互为倒数，求a的值．
4
【答案】(1)m= ,n=1
3(2)a=−14
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义．
（1）根据一元一次方程的定义，得到3m−4=0，4n−3=1求解即可；
4
（2）由（1）知m= ,n=1，即−5x−7=−8，求出x，取x的倒数代入a+3x=1即可求解a的值．
3
【详解】（1）解： 方程 是关于 的一元一次方程，
∵ (3m−4)x2−5x4n−3−7=−6m x
∴ 3m−4=0,4n−3=1，
4
解得：m= ,n=1；
3
（2）解：由（1）可知，原方程为−5x−7=−8，
1
解得x= ．
5
方程 的解与关于 的一元一次方程 的解互为倒数，
∵ (3m−4)x2−5x4n−3−7=−6m x a+3x=1
∴关于x的一元一次方程a+3x=1的解为x=5，
将x=5，代入方程中，得a+3×5=1，
解得a=−14．
【题型2：一元一次方程的解】
5
【典例2】已知x=2是关于x的方程 x−2a=0的解，则代数式2a−1的值是（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把x=2代入方程可得2a=5，再代入代数式计算即可求解，
掌握方程解的定义是解题的关键．
5
【详解】解：∵x=2是关于x的方程 x−2a=0的解，
2
5
∴ ×2−2a=0，
2
∴2a=5，
∴2a−1=5−1=4，
故选：B．
【变式2-1】若关于x的方程3x−a−9=0的解是x=2，则a的值为（ ）A．−3 B．3 C．0 D．−6
【答案】A
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，把x=2代入方程求解即可．
【详解】解：把x=2代入方程得：6−a−9=0，
∴a=−3；
故选：A．
【变式2-2】已知x=2是关于x的方程2x−a=0的解，则常数a的值为（ ）
A．2 B．−2 C．4 D．−4
【答案】C
【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是
方程的解．
把x=2代入2x−a=0即可求出a的值．
【详解】解：把x=2代入2x−a=0得4−a=0，
解得：a=4，
故选：C．
【变式2-3】若x=2是关于x的方程2x+3m−1=0的解，则m的值是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．0.3
【答案】A
【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把x=2代入方程可得关于
m的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：把x=2代入方程，得：
∴2×2+3m−1=0，
解得：m=−1，
故选：A．
x
【变式2-4】x=2是方程 +a=x−1的解，则a= ．
2
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一
次方程的解．根据一元一次方程的解的概念解答即可．
x
【详解】∵x=2是方程 +a=x−1的解，
22
∴ +a=2−1，
2
解得a=0，
故答案为：0．
【变式2-5】x=−1是方程3x−m−1=0的解，则m的值是 ．
【答案】−4
【分析】此题考查了一元一次方程的解，将x=−1代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方
程的解的概念及应用．
【详解】把x=−1代入方程3x−m−1=0得，3×(−1)−m−1=0，
解得：m=−4，
故答案为：−4．
【变式2-6】若x=3是关于x的方程5x+a=3(x+3)的解，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】把解代入方程，求得a值即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知
数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键．
【详解】∵x=3是关于x的方程5x+a=3(x+3)的解，
∴15+a=18
解得a=3，
故答案为：3．
【题型3：一元一次方程-整体法】
【典例3】关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1，则2024−a−b=（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到a+b=−1，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1，
∴a+b+1=0，即a+b=−1，
∴2024−a−b=2024−(a+b)=2024−(−1)=2025．
故选A．
【变式3-1】已知 是关于x的一元一次方程 的解，则 的值是
x=3 (m−1)x+m2=1 2026−2m2−6m
．【答案】2018
【分析】先根据方程解的定义得到关于m的等式，再整体代入求值．本题考查了一元一次方程，掌握方
程解的意义及整体代入的思想方法是解决本题的关键．
【详解】解：把 代入关于 的一元一次方程，得 ，
x=3 x (m−1)×3+m2=1
整理，得m2+3m=4．
∴−2m2−6m=−8．
∴2026−2m2−6m
=2026−8
=2018．
故答案为：2018．
【变式3-2】已知关于x的一元一次方程m(x+1)+4n=6的解是x=1，则m+2n−3的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得m+2n=3，进而代值
求解即可．
【详解】解：把x=1代入方程m(x+1)+4n=6中得，2m+4n=6，
∴m+2n=3，
∴m+2n−3
=3−3
=0．
故答案为：0．
【变式3-3】若x=2是方程a−bx=4的解，则−6b+3a+2023的值为 ．
【答案】2035
【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把x=2代入方程，
得出a−2b=4，进而可得−6b+3a=12，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵x=2是方程a−bx=4的解，
∴a−2b=4，
∴3a−6b=12，即−6b+3a=12，
∴−6b+3a+2023=12+2023=2035，
故答案为：2035．
【变式3-4】若x=2是关于x的一元一次方程mx−n=3的解，则4m−2n的值是 ．
【答案】6【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把x=2代入关于x的一元一次方程mx−n=3得含有m,n
的等式，然后把所求含有m,n的等式，整体代入所求代数式进行计算即可，解题关键是熟练掌握一元
一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】把x=2代入关于x的一元一次方程mx−n=3得：
2m−n=3，
∴4m−2n
=2(2m−n)
=2×3
=6，
故答案为：6．
【题型4： 一元一次方程-同解】
1 x−1
【典例4】如果关于x的方程 （x+m）＝1的解与方程 ＝x﹣m的解相同，求m的值．
2 3
【答案】m=1
1 x−1
【分析】先求出方程 （x+m）=1的解，然后把x的值代入方程 ＝x﹣m，求出m的值．
2 3
1
【详解】解方程 （x+m）＝1得：
2
x＝2﹣m，
x−1
将x＝2﹣m代入方程 ＝x﹣m得，
3
1−m
＝2﹣2m，
3
解得：m＝1．
故答案为1.
【点睛】本题考查同解方程.
【变式4-1】已知关于y的方程y+3m=24与y+4=1的解相同，则m的值为 ．
【答案】9
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值．
【详解】解：由y+4=1，得y=-3．
由关于y的方程y+3m=24与y+4=1的解相同，得
-3+3m=24，解得m=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．
3a−x
【变式4-2】若方程2x−3=3与关于x的方程1− =0有相同的解，则a= ．
3
【答案】2
【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再将解代入含参方程，进行求解即可．
【详解】解：2x−3=3，
∴x=3，
3a−x 3a−3
把x=3代入1− =0，得：1− =0，
3 3
∴a=2；
故答案为：2
2x−1
【变式4-3】若关于x的方程 =3与kx+1=−9的解相同，则k的值为 ．
3
【答案】-2
2x−1
【分析】解方程 =3就可以求出方程的解，这个解也是方程kx+1=−9的解，根据方程的解的定
3
义，把这个解代入就可以求出k的值．
2x−1
【详解】解：先解方程 =3得：
3
x=5，代入kx+1=−9得：
5k+1=−9，
解得：k=−2，
故答案为：-2．
【点睛】此题考查的知识点是同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，
就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【题型5：一元一次方程-错解】
2x−1 x+a
【典例5】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 = −1去分母时由于粗心，方程右边
3 2
的−1没有乘6而得到错解x=4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．【答案】a=1，x=−1
【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，
再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解．
【详解】解：∵方程右边的−1忘记乘6，求出的解为x=4，
∴2(2×4−1)=3(4+a)−1，
解得a=1，
2x−1 x+1
则原方程为： = −1，
3 2
去分母，得4x−2=3x+3−6，
移项、合并同类项，得x=−1．
【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的
关键．
ax−1 2+x
【变式5-1】晶晶在解关于x的方程 +6= 时，把6错写成1，解得x=1，并且晶晶在解题中
2 3
没有错误，请你正确求出此方程的解．
【答案】x=-29
ax−1 2+x
【详解】试题分析：将x=1代入方程 +6= 求得a的值，然后解方程即可．
2 3
试题解析：
ax−1 2+x
∵解关于x的方程 +6= 时，把6错写成1，解得x=1，
2 3
ax−1 2+x
∴把x=1代入 +1= ，
2 3
解得：a=1，
x−1 2+x
所以原方程变为 +6= ，
2 3
解得：x=﹣29．
【变式5-2】某同学解方程3x−6=()x时，把（ ）处的数字看错，得错解x=−1，则他把（ ）处
看成了
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（ ）处为a，则原式为3x−6=ax，
把x=−1代入解得a，即可作答．【详解】解：依题意，先设（ ）处为a，
则原式为3x−6=ax，
把x=−1代入，得−3−6=−a
解得a=9，
故选：C
x+a x−1 3 x−1
【变式5-3】嘉嘉同学在解关于x的方程 + = 时，由于粗心大意，误将等号左边的“+
3 6 2 6
x−1
”看作了“− ”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=2，则原方程的解是（ ）
6
4 3 4 5
A．x= B．x= C．x= D．x=
3 4 5 4
【答案】A
【分析】本题考查求含参数一元一次方程的值，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键，利
用“将错就错”的方法求出a的值，再将a代入原方程即可得到答案．
x+a x−1 3
【详解】解：由题意可得： − = 的解为x=2，
3 6 2
x+a x−1 3 2+a 2−1 3
将x=2代入 − = 中，得： − =
3 6 2 3 6 2
∴a=3，
x+a x−1 3 x+3 x−1 3
再将a=3代入 + = 中，得： + =
3 6 2 3 6 2
4
∴x= ，
3
故选：A．
ax−1 2+x
【变式5-4】亮亮在解关于x的方程 +6= 时，把6错写成1，解得x=1，并且亮亮的解题过程
2 3
没有错误，则此方程正确的解为 ．
【答案】x=-29
ax−1 2+x
【分析】将x=1代入方程 +6= 求得a的值，然后解方程即可．
2 3
ax−1 2+x
【详解】∵解关于x的方程 +6= 时，把6错写成1，解得x=1，
2 3
ax−1 2+x
∴把x=1代入 +1= ，
2 3解得：a=1，
x−1 2+x
所以原方程变为 +6= ，
2 3
解得：x=﹣29．
故答案为：x=﹣29．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是通过错写的值求a的值．
x−3 2x−1
【变式5-5】小滨在解方程 + =x+a时，误将x+a看成了x−a，解得方程的解是x=5，则
2 3
原方程的解为 ．
【答案】x=17
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得x=5是方程
x−3 2x−1 x−3 2x−1
+ =x−a的解，据此把x=5代入方程 + =x−a中求出a的值进而解方程
2 3 2 3
x−3 2x−1
+ =x+a即可．
2 3
x−3 2x−1
【详解】解：由题意得，x=5是方程 + =x−a的解，
2 3
5−3 2×5−1
∴ + =5−a，
2 3
∴1+3=5−a，
∴a=1，
x−3 2x−1
∴原方程为 + =x+1
2 3
整理得：3x−9+4x−2=6x+6，
解得x=17，
故答案为：x=17．
【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】
x
【典例6】若关于x的方程x+m−3=0和 +2m=2x−1的解的和为4，求m的值．
2
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的运算应用，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
分别用含m的式子表达出两个方程的解，再根据解的和为4列式运算即可．【详解】解：方程x+m−3=0的解为x=3−m，
x 2
方程 +2m=2x−1解为：x= (2m+1)，
2 3
2
根据题意得：3−m+ (2m+1)=4，
3
去分母得：9−3m+4m+2=12，
移项合并得：m=1．
x
【变式6-1】已知关于x的一元一次方程 +5=2020x+m的解是x=2020，那么关于y的一元一次
2020
5−y
方程 −5=2020(5−y)−m的解是 ．
2020
【答案】y=2025
【分析】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想
是解题的关键．将所求方程两边同乘−1，整理可得x= y−5，进而可求出y=2025．
【详解】解：将所求方程两边同乘−1，
y−5
+5=2020(y−5)+m
2020
x
对照 +5=2020x+m
2020
比较发现，
x= y−5，而x=2020，
所以y=2025．
故答案为：y=2025．
1
【变式6-2】已知关于x的一元一次方程x+2− x=m的解是x=71，那么关于y的一元一次方程
2024
1
y+3− (y+1)=m的解是
2024
【答案】70
【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系，灵活利用
整体思想是关键．
由题意可得y+1=71，求出y即可．
1
【详解】解：∵方程x+2− x=m的解是x=71，
20241
∴y+3− (y+1)=m，
2024
1
即为(y+1)+2− (y+1)=m的解是y+1=71，故y=71−1=70，
2024
∴y=70，
故答案为：70．
【变式6-3】已知关于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，求这两个方程的
解．
15 5
【答案】方程4x+2m=3x+1的解为x= ，方程3x+2m=6x+1的解为x=−
4 4
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程4x+2m=3x+1，用m表示x，然后由第
二个方程，再用m表示x，此时两个x的值相差5，可得方程求出m的值，进而即可求得方程的解．
【详解】解：由题意得：4x+2m=3x+1，
解得：x=−2m+1．
由3x+2m=6x+1，
1
解得：x= (2m−1)，
3
∵关于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，
1
∴(−2m+1)− (2m−1)=5，
3
11
解得m=− ，
8
15
∴−2m+1= ，
4
1 5
(2m−1)=− ，
3 4
15 5
∴这两个方程的解为 和− ．
4 4
