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第 2 课时 直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．00且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，
∴m≥1且m≠5.
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线 l
与椭圆C没有公共点．
思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
题型二 弦长及中点弦问题
命题点1 弦长问题
例1 (1)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦
AB的长为________．
答案
解析 方法一 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由
消去y，得3x2－5x＝0，解得x＝0或，
设A(0，－2)，B，则
|AB|＝＝.
方法二 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y得3x2－5x＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝0，
1 2 1 2
则|AB|＝＝＝＝.
(2)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B. C. D.
答案 C
解析 设A，B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
又Δ＝(8t)2－16(t2－1)×5>0，得t2<5，
则x＋x＝－t，xx＝.
1 2 1 2
∴|AB|＝|x－x|＝＝＝·，
1 2
当t＝0时，|AB| ＝.
max
命题点2 中点弦问题
例2 已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在
的直线方程为________________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线
与椭圆相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x＋x＝，
1 2
又∵x＋x＝2，
1 2
∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意．
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两
点，
设A(x，y)，B(x，y)，则＋＝1，①
1 1 2 2
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
∵x＋x＝2，y＋y＝2，
1 2 1 2
∴＋y－y＝0，
1 2
又x－x≠0，∴k＝＝－.
2 1
经检验，k＝－满足题意．
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方
程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往
往会更简单．记住必须检验．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝
1 1 2 2
或|AB|＝(k为直线斜率)．
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
跟踪训练1 (1)已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两
点，当|CD|＝时，则直线l的方程为________________．
答案 x－y＋1＝0或x＋y－1＝0
解析 由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．设C(x，y)，D(x，y)．
1 1 2 2
∴x＋x＝－，xx＝－.
1 2 1 2
∴|CD|＝|x－x|＝＝.
1 2
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－
4,1)，则椭圆的离心率是________．
答案
解析 设直线与椭圆交点为A(x ，y)，B(x ，y)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y ＝－
1 1 2 2 M
x ，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝.
M
题型三 直线与椭圆的综合问题
例3 (2020·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|
OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3OC＝OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆
相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
解 (1)由已知可得b＝3，记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，
所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立方程组
消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为.
由3OC＝OF，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3，
即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭
圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立
有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F (－1，0)，F (1，0)，短轴的两个端点分别为
1 2
B ，B .
1 2
(1)若△FBB 为等边三角形，求椭圆C的方程；
1 1 2
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F 的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直
2
线l的方程．
解 (1)由题意知，△FBB 为等边三角形，
1 1 2
则即解得
故椭圆C的方程为＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
Δ＝8(k2＋1)>0，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
F1P＝(x＋1，y)，F1Q＝(x＋1，y)，
1 1 2 2
因为F1P⊥F1Q，所以F1P·F1Q＝0，
即(x＋1)(x＋1)＋yy＝xx＋(x＋x)＋1＋k2(x－1)(x－1)＝(k2＋1)xx－(k2－1)(x＋x)＋k2＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
课时精练1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.故选B.
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 由题意得直线y－1＝k恒过定点，而点在椭圆＋＝1的内部，所以直线与椭圆相交．
故选A.
3．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A．2 B.
C．4 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
则弦长为＝＝，
当y＝－时，弦长最大为.
4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB
的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 k ＝＝，k ＝－1，
AB OM
由k ·k ＝－，得＝，∴a2＝2b2.
AB OM
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
5．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，P是C上的动点，则下列结论正
1 2
确的是( )
A．|PF|＋|PF|＝2
1 2
B．离心率e＝
C．△PFF 面积的最大值为
1 2
D．以线段FF 为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
1 2
答案 AD解析 对于A选项，由椭圆的定义可知|PF|＋|PF|＝2a＝2，所以A选项正确；
1 2
对于B选项，依题意a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确；
对于C选项，|FF|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PFF 的面积取得最大值为·2c·b＝
1 2 1 2
c·b＝1，所以C选项错误；
对于D选项，以线段FF 为直径的圆的圆心为，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距
1 2
离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段FF 为直径的圆与直线x＋y－＝0相
1 2
切，所以D选项正确．
综上所述，正确的为AD.
6．(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F ，F ，直线y＝kx与C交于A，B
1 2
两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是( )
A．四边形AFBF 为平行四边形
1 2
B．∠FPF<90°
1 2
C．直线BE的斜率为k
D．∠PAB>90°
答案 ABC
解析 对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF|＝|OF|，|OA|＝|OB|.故四边形AFBF 为平行四
1 2 1 2
边形．故A正确；
对于B，根据椭圆的性质，当P在上、下顶点时，|OP|＝b＝＝c.此时∠FPF ＝90°.由题意可
1 2
知P不可能在上下顶点，故∠FPF<90°.故B正确；
1 2
对于C，
如图，不妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为＝＝k，故C正确；
对于D，设P(x，y)，A(x，y)，则B(－x，－y)，
1 1 2 2 2 2
所以k ·k ＝·＝＝＝－.
AP BP
又由C可知直线BP的斜率为k，故k ＝＝－.所以k ·k ＝－·k＝－1.
AP AP AB
故∠PAB＝90°.故D错误．
故选ABC.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方
程为________．
答案 ＋x2＝1
解析 因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
所以＝1，a＝2，
所以椭圆方程为＋x2＝1.
8．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为_____．
答案 ±1
解析 由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，xx＝.
1 1 2 2 1 2 1 2
由题意，得＝，
解得m＝±1.
9．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB的中
点，则M到x轴的最大距离为________．
答案
解析 因为a2＝6，b2＝2，所以椭圆的右焦点坐标为.设A，B，直线l：x＝ty＋2(显然当直线
斜率为0时，不可能最大)，与椭圆方程联立得，
y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)>0恒成立，所以y＋y＝－，
1 2
即弦AB的中点M的纵坐标为＝－，所以M到x轴的距离为.
当t≠0时，＝≤＝，当且仅当t2＝3时等号成立，故M到x轴的最大距离为.
10．(2021·衡水调研)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心
率为________．
答案
解析 因为所求椭圆与椭圆＋y2＝1 有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为＋＝
1(a>1)，联立方程组⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，
化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍)．
则a＝.又c＝1，所以e＝＝＝.
11．(2021·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝
k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解 (1)由题意得得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝＝＝.
又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝，
由＝，得k＝±1，满足Δ>0.
所以当△AMN的面积为时，k＝±1.
12．设F ，F 分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一
1 2
点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F 的直线交椭圆E于A，B两点，且BF1＝2F1A，求直线BF 的方程．
1 2
解 (1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x ，
1
y)，B(x，y)．
1 2 2
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y＋y＝，①
1 2
yy＝－，②
1 2
因为F(－1,0)，
1
所以BF1＝(－1－x，－y)，F1A＝(x＋1，y)，
2 2 1 1
由BF1＝2F1A可得，－y＝2y，③
2 1
由①②③可得B，
则 ＝或－，
所以直线BF 的方程为x－6y－＝0或x＋6y－＝0.
2
13．(多选)设点F ，F 分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得
1 2
PF1·PF2＝m成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是( )
A. B．2 C．3 D．4
答案 BCD
解析 因为点F ，F 分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，a2＝9，b2＝5，c2＝4，c＝2，即
1 2
F(－2,0)，F(2,0)．设P(x ，y)，PF1＝(－2－x ，－y)，PF2＝(2－x ，－y)，由PF1·PF2＝
1 2 0 0 0 0 0 0
m，可得x＋y＝m＋4，又因为P在椭圆上，即＋＝1，所以x＝，要使得PF1·PF2＝m成立的
点恰好是4个，则0<<9，解得1b>0)长轴的端点分别为A，B.点C为椭圆上异于A，B的一点，若将
△ABC的三内角记为A，B，C，且满足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，则tan A·tan B的值为
________，椭圆的离心率为________．
答案
解析 方法一 ∵3tan A＋3tan B＋tan C＝0，
∴3tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝0，
∴－3tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝0.
∵tan C≠0，∴tan Atan B＝.
设C(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则＋＝1.
∵tan Atan B＝，
∴－·＝，
∴＝，∴＝，
∴＝，∴＝，∴e＝.
方法二 设点C(0，b)，则有tan A＝tan B＝，由A＋B＋C＝π得，tan C＝－tan(A＋B)＝
－＝＝，又知3tan A＋3tan B＋tan C＝0，∴tan C＝－3·(tan A＋tan B)＝－，因此可得＝－，
即6(b2－a2)＝－2a2，∴3b2＝2a2，∴＝，
即tan A·tan B＝，该椭圆的离心率e＝＝＝.
15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(－c,0)，F(c,0)，斜率为－的直线l
1 2
与椭圆C交于A，B两点．若△ABF 的重心为G，则椭圆C的离心率为_____．
1
答案
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0.(*)
因为△ABF 的重心为G，
1
所以故
代入(*)式得＋＝0，
所以＝－＝－，即a2＝3b2，
所以椭圆C的离心率e＝.
16．已知椭圆C的两个焦点分别为F(－，0)，F(，0)，且椭圆C过点P.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB
的面积．解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，
所以x＋x＝－m，xx＝m2－1.
1 2 1 2
由OA⊥OB，得OA·OB＝0，OA·OB＝xx＋yy＝xx＋
1 2 1 2 1 2
＝xx＋m(x＋x)＋m2
1 2 1 2
＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.
又|AB|＝＝·，
O到直线AB的距离d＝＝，
所以S ＝·|AB|·d＝×××＝.
△AOB
