文档内容
专题07 解一元一次方程（六大类型）
重难点题型归纳
【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】
【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】
【题型3 新定义运算-解一元一次方程】
【题型4 判断解一元一次方程的过程】
【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】
【题型6 含绝对值的一元一次方程】
【题型1 解一元一次方程-合并同类与移项】
【典例1】解下列方程：
(1)6x−2=−5x+9；
(2)0.4 y+2.8−3.6 y=1.6−1.7 y
【答案】(1)x=1
4
(2)y=
5
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：移项得：6x+5x=9+2，
合并同类项得：11x=11，
系数化为1得：x=1；
（2）解：移项得：0.4 y−3.6 y+1.7 y=1.6−2.8，
合并同类项得：−1.5 y=−1.2，
4
系数化为1得：y= ．
5
【变式1-1】解方程：
(1)2x−8=10−4x；1 1
(2)1− x=x+ ．
2 3
【答案】(1)x=3
4
(2)x=
9
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解；
（2）先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解；
【详解】（1）移项、得2x+4x=10+8，
合并同类项，得6x=18，
系数化成1，得x=3；
1 1
（2）移项，得− x−x= −1
2 3
3 2
合并同类项，得− x=−
2 3
4
系数化成1，得x= ．
9
【变式1-2】解下列方程：
(1)x+3x=−16
(2)9−3x=5x+5
【答案】(1)x=−4
1
(2)x=
2
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握求解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）x+3x=−16
解：合并同类项得，4x=−16，
系数化为1得，x=−4；
（2）9−3x=5x+5
解：移项得，−3x−5x=5−9，
合并同类项得，−8x=−4，
1
第数化为1得，x= ．
2【变式1-3】解下列方程
(1)x−3x=−12
(2)3x+6=31−2x
【答案】(1)x=6
(2)x=5
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去
括号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）按照合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：x−3x=−12，
合并同类项，得−2x=−12，
系数化为1，得x=6；
（2）解：3x+6=31−2x，
移项，得3x+2x=31−6
合并同类项，得5x=25
系数化为1，得x=5．
【变式1-4】解下列方程：
(1)6x−7=4x−5；
1 3
(2) x−6= x．
2 4
【答案】(1)x=1
(2)x=−24
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解答本题的关键是掌握一元一次方程的一般解题步骤
与方法．
（1）移项、合并同类项、系数化为1，按照上述步骤进行解答，即可求解；
（2）移项、合并同类项、系数化为1，按照上述步骤进行解答，即可求解．
【详解】（1）解：移项，得6x−4x=−5+7．
合并同类项，得2x=2．
系数化为1，得x=1．
1 3
（2）移项，得 x− x=6，
2 41
合并同类项．得− x=6．
4
系数化为1，得x=−24．
【题型2 解一元一次方程-去括号与去分母】
【典例2】解方程
(1)7x+2(3x−3)=20
x−1 x+2
(2)x+ =1−
2 3
【答案】(1)x=2
5
(2)x=
11
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是关键；
（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：去括号得：7x+6x−6=20，
移项、合并同类项得：13x=26，
系数化为1得：x=2；
（2）解：方程两边同乘6，得：6x+3(x−1)=6−2(x+2)，
去括号得：6x+3x−3=6−2x−4，
移项、合并同类项得：11x=5，
5
系数化为1得：x= ；
11
【变式2-1】解下列方程
(1)6x−7=4x−5
(2)2(3−x)=−4(x+5)；
3x+5 2x−1
(3) =
2 3
x+1 2−x
(4)
−1=2+
2 4
【答案】(1)x=1
(2)x=−13
17
(3)x=−
5(4)x=4
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是：
（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．．
【详解】（1）解：6x−7=4x−5，
移项，得6x−4x=−5+7
合并同类项，得2x=2，
系数化为1，得x=1；
（2）解：2(3−x)=−4(x+5)，
去括号，得6−2x=−4x−20，
移项，得−2x+4x=−20−6
合并同类项，得2x=−26，
系数化为1，得x=−13；
3x+5 2x−1
（3）解： = ，
2 3
去分母，得3(3x+5)=2(2x−1)，
去括号，得9x+15=4x−2，
移项、合并同类项，得5x=−17，
17
系数化为1，得x=− ；
5
x+1 2−x
（4）解： −1=2+ ，
2 4
去分母，得2(x+1)−4=8+2−x，
去括号，得2x+2−4=8+2−x，
移项、合并同类项，得3x=12，
系数化为1，得x=4．
【变式2-2】解下列方程：
(1)3x+5=5x−7；
(2)x+2(x−3)=3(1−x)；
3x−2 x+2
(3) = −1．
3 62x−1 3+x
(4)1− = ．
3 6
【答案】(1)x=6；
3
(2)x= ；
2
(3)x=0；
(4)x=1
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；
（1）根据移项，合并同类项，化系数为1计算即可；
（2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可；
（3）根据去分母，合并同类项与移项，化系数为1计算即可；
（4）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
【详解】（1）解：3x+5=5x−7
移项合并得：2x=12，
解得：x=6；
（2）x+2(x−3)=3(1−x)
去括号，得：x+2x−6=3−3x，
移项、合并同类项，得：6x=9，
3
系数化为1：x= ；
2
3x−2 x+2
（3） = −1
3 6
去分母得：6x−4=x+2−6，
移项合并得：5x=0，
解得：x=0
2x−1 3+x
（4）1− =
3 6
去分母，得：6−2(2x−1)=3+x，
去括号，得：6−4x+2=3+x，
移项、合并同类项，得：−5x=−5，
系数化为1，得：x=1．
【变式2-3】解方程：
(1)2(x−1)=2−5(x+2)1
(2)
(2x+14)=4−2x
7
x+3 2x−4
(3) − =2．
4 3
6
【答案】(1)x=−
7
7
(2)x=
8
1
(3)x=
5
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤，正确计算是解题的关键；
（1）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
【详解】（1）解：去括号，得：2x−2=2−5x−10，
移项、合并同类项，得：7x=−6，
6
即x=− ；
7
2
（2）解：去括号，得： x+2=4−2x，
7
16
移项、合并同类项，得： x=2，
7
7
即x= ；
8
（3）解：去分母，得：3(x+3)−4(2x−4)=24，
去括号，得：3x+9−8x+16=24，
移项、合并同类项，得：−5x=−1，
1
即x= ．
5
【变式2-4】解方程：
(1)5x+2=−8；
(2)3x−4(2x+5)=x+4；
x−1 x+2 4−x
(3) − = ；
3 6 2x−2 x+1
(4) − =1．
0.2 0.3
【答案】(1)x=−2
(2)x=−4
(3)x=4
(4)x=8.6
【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
解题即可．
（1）根据移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（4）先整理，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可．
【详解】（1）解：5x+2=−8
移项得：5x=−8−2，
合并得：5x=−10，
系数化为1得：x=−2；
（2）3x−4(2x+5)=x+4
去括号得：3x−8x−20=x+4，
移项得：3x−8x−x=20+4，
合并得：−6x=24，
系数化为1得：x=−4；
x−1 x+2 4−x
（3）解： − =
3 6 2
去分母得：2(x−1)−(x+2)=3(4−x)，
去括号得：2x−2−x−2=12−3x，
移项得：2x−x+3x=12+2+2，
合并得：4x=16，
系数化为1得：x=4；
x−2 x+1
（4） − =1
0.2 0.3
10(x+1)
整理得：5(x−2)− =1，
3
去分母得：15(x−2)−10(x+1)=3，去括号得：15x−30−10x−10=3，
移项得：15x−10x=3+30+10，
合并得：5x=43，
系数化为1得：x=8.6．
【题型3 新定义运算-解一元一次方程】
【典例3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数a∗b=4ab，如2∗3=4×2×3=24．
(1)求3∗4的值；
(2)若2∗3x=12，求x的值．
【答案】(1)48；
1
(2) ．
2
【分析】本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
3∗4
=4×3×4
=48；
（2）解：由题意得：
2∗3x=12
4×2×(3x)=12
24x=12
1
x= ．
2
【变式3-1】a⊗b是新规定的这样一种运算法则：a⊗b=a2+ab，例如3⊗(−2)=32+3×(−2)=3．
(1)求(−2)⊗3的值；
(2)若(−3)⊗x=5，求x的值；
(3)若3⊗(2⊗x)=−4+x，求x的值．
【答案】(1)−2
4
(2)x=
3(3)x=−5
【分析】本题考查有理数的运算，解一元一次方程．掌握新定义的运算法则，是解题的关键．
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=(−2) 2+(−2)×3=4−6=−2
（2）∵(−3)⊗x=(−3) 2+(−3)x=5，
∴9−3x=5，
4
∴x= ；
3
（3）3⊗(2⊗x)=3⊗(22+2x)
=3⊗(4+2x)
=32+3(4+2x)
=9+12+6x
=21+6x，
∵3⊗(2⊗x)=−4+x，
∴21+6x=−4+x，
解得：x=−5．
【变式3-2】定义一种新运算“⊕”：a⊕b=ab−a+b．例如：3⊕1=3×1−3+1=1，
(2a)⊕2=(2a)⋅2−2a+2=2a+2．
(1)计算4⊕(−2)的值；
(2)已知(2m)⊕3=2⊕m，求m的值．
【答案】(1)−14
(2)m=−5
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题目所给的新定义进行求解即可；
（2）根据题目所给的新定义建立方程6m−2m+3=2m−2+m，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：4⊕(−2)=4×(−2)−4+(−2)=−14；
（2）解：∵(2m)⊕3=2⊕m，
∴6m−2m+3=2m−2+m，解得m=−5．
【变式3-3】对于有理数a,b，定义一种新运算“*”，规定a*b=|a+2b|+)a−b)．
(1)计算2*(−3)的值；
(2)已知a>0且a*(a*a)=8+a，求a的值．
【答案】(1)9
(2)a=1
【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键．
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=|2−6|+)2+3)
=4+5
=9；
（2）∵a>0，
∴a*a=|a+2a|+)a−a)=3a，
∵a*(a*a)=8+a，
∴a*3a=8+a，
∴9a=8+a，
解得：a=1．
【变式3-4】我们定义一种新的运算“∗”，并且规定：a∗b=a2−2b．例如：2∗3=22−2×3=−2，
2∗(−a)=22−2×(−a)=4+2a．
(1)求(−3)∗2的值；
(2)若3∗(−x)=17，求x的值．
【答案】(1)5
(2)x=4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程；
（1）根据规定代入进行计算即可得解；
（2）根据规定运算方法得到关于x的一元一次方程，然后根据一元一次方程的解法进行求解．
【详解】（1）解：(−3)*2=(−3) 2−2×2=9−4=5
（2）∵3∗(−x)=17，∴32−2(−x)=17
解得，x=4．
【题型4 判断解一元一次方程的过程】
x+1 2−3x
【典例4】小丽做作业时解方程 − =1的步骤如下：
2 3
解：①去分母，得3(x+1)−2(2−3x)=1；
②去括号，得3x+3−4−6x=1；
③移项，得3x−6x=1−3+4；
④合并同类项，得−3x=2；
2
⑤系数化为1，得x=− ．
3
(1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中
最早出现错误的步骤是______．（填序号）
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)不正确，①；
(2)见解析
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．
（1）根据小丽的解题过程分析即可；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①，
故答案为：不正确，①；
x+1 2−3x
（2）解： − =1
2 3
去分母，得3(x+1)−2(2−3x)=6；
②去括号，得3x+3−4+6x=6；
③移项，得3x+6x=6−3+4；
④合并同类项，得9x=7；
7
⑤系数化为1，得x= ．
9
【变式4-1】用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道
题，请仔细阅读并完成相应的任务：2x 4−3x 5x+8
− = 解：
3 6 3
2×2x−(4−3x)=2(5x+8) 第一步
4x−4+3x=10x+16 第二步
4x+3x−10x=16−4 第三步
−3x=12 第四步
x=−4 第五步
填空：
①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ；
②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ；
③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程．
【答案】①等式的基本性质二，乘法分配律；②三，移项时−4没有变号（移项时未变号）；③见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得；
②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得；
③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得．
【详解】解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质二进行变形的；第二步去括号时用到
的运算律是乘法分配律，
故答案为：等式的基本性质二，乘法分配律；
②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时−4没有变号（移项时未变号），
故答案为：三，移项时−4没有变号（移项时未变号）；
③4x+3x−10x=16+4 第三步，
−3x=20 第四步，
20
x=− 第五步．
3
【变式4-2】（1）解方程：3(x+1)=1−(x+4)．
x+1 x−1
（2）下面是小明同学解一元一次方程 − =1的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
2 4
解：去分母，得2(x+1)−(x−1)=4
．…………………………………第一步
去括号，得2x+2−x−1=4
．……………………………………………第二步
移项，得2x−x=4−2+1
．………………………………………………第三步
合并同类项，得x=3
．……………………………………………………第四步任务
①第一步的依据是________；
②第________步开始出现错误，错误的原因是________；
③该方程的正确解为________．
3
【答案】（1）x=− ；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”
2
号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③x=1
【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；
（2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可．
【详解】解：（1）去括号，得3x+3=1−x−4．
移项，得3x+x=1−4−3．
合并同类项，得4x=−6．
3
方程两边同除以4，得x=− ．
2
（2）①第一步的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉后，原括号
里的第二项没有变号；
故答案为：二，括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
③去分母，得2(x+1)−(x−1)=4．
去括号，得2x+2−x+1=4．
移项，得2x−x=4−2−1．
合并同类项，得x=1．
故答案为：x=1．
【变式4-3】用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，
请仔细阅读并完成相应的任务：
2x 4−3x 5x+8
解方程： − =
3 6 3
解：2×2x−(4−3x)=2(5x+8) 第一步
4x−4+3x=10x+16 第二步
4x+3x−10x=16−4 第三步−3x=12 第四步
x=−4 第五步
填空：
(1)以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是________；
(2)第________步开始出错，这一步的具体错误是________；
(3)请直接写出该方程的正确解________．
【答案】(1)等式式的性质；乘法分配律
(2)三；移项时，数字4前面的符号没有变号
20
(3)x=−
3
【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质进行变形是解题关键．
（1）根据等式的性质：等式的两边同乘以一个数，等式仍成立，结合乘法分配律解题；
（2）观察可知数字4在移项时，没有变号，由此可得答案．
（3）根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1）求解即可．
【详解】（1）解：观察可知，第一步根据等式的性质进行变形的，等式两边同时乘以一个相同的数和
数字，等式仍然成立；再第二步去括号时，运用了乘法分配律；
故答案为：等式式的性质；乘法分配律；
（2）解：观察可知，是在第三步出错的，原因是移项时，数字4前面的符号没有变号；
故答案为：三；移项时，数字4前面的符号没有变号；
2x 4−3x 5x+8
（3）解： − =
3 6 3
去分母得：2×2x−(4−3x)=2(5x+8)，
去括号得：4x−4+3x=10x+16，
移项得：4x+3x−10x=16+4，
合并同类项得：−3x=20
20
系数化为1得：x=− ．
3
【题型5 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】
【典例5】阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程：
设x=0.3˙ =0.3333˙①，
则10x=3.3333˙②，1 1
由②−①得9x=3，即x= 故0.3˙ = ．
3 3
根据上述提供的方法，把①0.7˙，②1.3˙化为分数．
7 4
【答案】①0.7˙ = ；②1.3˙ =
9 3
【分析】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，一元一次方程的解法．仿照题中给出的例子进
行运算即可求解．
【详解】解：设x=0.7˙ =0.777˙①，则10x=7.777˙②
则由②−①得：9x=7，
7
解得：x= ，
9
7
故0.7˙ = ；
9
设x=0.3˙ =0.333˙①，则10x=3.333˙②
则由②−①得：9x=3，
1
解得：x= ，
3
1
故0.3˙ = ；
3
1 4
故1.3˙ =1+0.3˙ =1+ = ．
3 3
【变式5-1】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x x−2
解方程： − =1
2 6
解：______，得3x−(x−2)=6 第一步
去括号，得3x−x+2=6 第二步
移项，得3x−x=6+2 第三步
合并同类项，得2x=8 第四步
方程两边同除以2，得x=4 第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母
(2)三(3)见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关
键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
x x−2
（3）解： − =1
2 6
两边同乘6得：3x−(x−2)=6£¬，
去括号得：3x−x+2=6，
移项得：3x−x=6−2，
合并同类项得：2x=4，
两边同除以2，得x=2．
【变式5-2】对于关系式0.9˙ =1，小明给出了以下证明．
证明：因为0.9˙ =0.9999⋯⋯，
所以设0.9˙ =x，
则10x=9.9˙，
所以10x−x=9，
解得x=1，
于是0.9˙ =1．
(1)实践探究：请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的
过程：
①0.7˙ ②0.1˙2˙
(2)拓展延伸：直接写出将0.432˙化成分数的结果为 ．
7 4
【答案】(1)①0.7˙ = ；②0.1˙2˙=
9 33
389
(2)
900【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确设立未知数，建立方程是解题关键．
（1）①设x=0.7˙，则10x=7.7˙，从而可得10x−x=7，解方程即可得；
②设y=0.1˙2˙，则100 y=12.1˙2˙，从而可得100 y−y=12，解方程即可得；
2
（2）设a=0.432˙，则100a=43.2˙，再设b=0.2˙，则10b=2.2˙，从而可得b= ，代入解方程即可得．
9
【详解】（1）解：①设x=0.7˙，则10x=7.7˙，
所以10x−x=7，
7
解得x= ，
9
7
即0.7˙ = ；
9
②设y=0.1˙2˙，则100 y=12.1˙2˙，
所以100 y−y=12，
4
解得y= ，
33
4
即0.1˙2˙= ．
33
（2）解：设a=0.432˙，则100a=43.2˙=43+0.2˙，
设b=0.2˙，则10b=2.2˙，
所以10b−b=2，
2
解得b= ，
9
2
即0.2˙= ，
9
2
所以100a=43+ ，
9
389
解得a= ，
900
389
即0.432˙= ，
900
389
故答案为： ．
900
【变式5-3】数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？
• •
以
0.3
为例，老师给小明做了以下解答（注：
0.3
即0.33333⋯）：• •
设 0.3 为x，即： 0.3=x
•
等式两边同时乘10，得： 3.3=10x
即： 3+0.3 • =10x 因为 0.3 • =x 所以3+x=10x解得： x= 1 即0.3 • = 1 ．
3 3
•
因为分数是有理数，所以 是有理数，同学们，你们学会了吗？请根据上述阅读，解决下列问题：
0.3
•
(1)无限循环小数
0.2
写成分数的形式是______
• •
(2)请用解方程的办法将
0.21
写成分数．
2
【答案】(1)
9
7
(2)
33
【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次方程，
(1)根据题意给定的解答方式，即可求得答案；
(2)根据题意将等式两端扩大100即可利用给定的解答方式，可求得答案；
• •
【详解】（1）解：设 0.2 为x，即： 0.2=x ，
•
等式两边同时乘10，得： 2.2=10x ，
•
即： 2+0.2=10x ，
•
因为 0.2=x ，
2
所以2+x=10x，解得：x= ，
9
• 2
即0.2= ．
9
2
故答案为： ．
9
• • • •
（2）设 0.21 为x，即： 0.21=x ，
• •
等式两边同时乘100，得： 21.21=100x ，• •
即： 21+0.21=100x ，
• •
因为 0.21=x ，
所以21+x=100x，
21 7
解得：x= = ，
99 33
• • 7
即0.21= ．
33
1
· ·
【变式5-4】我们知道 可以写成小数形式为
0.3
，反过来，无限循环小数
0.3
也可以转化成分数形式．
3
· ·
方法如下：设 x=0.3 ，由 0.3=0.333⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，可知：10x=3.33⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以10x−x=3．
1 · 1
解方程，得x= ，所以0.3= ．
3 3
· ·
再例如把无限循环小数 化为分数方法：
0.32
· · · ·
设 x=0.32 ，由 0.32=0.323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可知：100x=32.323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
32 · · 32
所以100x−x=32，解方程，得x= ，所以0.32= ．
99 99
【问题回答】
(1)把下列无限循环小数写成分数形式；
· · · · ·
① 0.5= ；② 0.12= ；③ 0.735= ．
· ·
(2)请你借鉴材料中的方法，写出无限循环小数
0.735
转化成分数的具体过程．
5 4 245
【答案】(1)① ；② ；③ ．
9 33 333
(2)见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的其他实际应用问题，掌握题目中的转化方法、解一元一次方程的
方法是解题的关键．
（1）根据题干中的转化方法进行转化即可．
（2）根据题干中的转化方法进行转化，并写出过程．
· ·
【详解】（1）解：①设 x=0.5 ，则 0.5=0.555⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，∴10x=5.555⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
∴10x−x=5．
5
解方程，得x= ，
9
· 5
∴0.5= ．
9
· · · ·
②设 x=0.12 ，则 0.12=0.121212⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴100x=12.121212⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
∴100x−x=12，
12 4
解方程，得x= = ，
99 33
· · 4
∴0.12= ．
33
· ·
③设 x=0.735 ，则1000x=735.735735⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
∴1000x−x=735，
735 245
解方程，得x= = ，
999 333
· · 245
∴0.735= ．
333
· ·
（2）设 x=0.735 ，则1000x=735.735735⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
∴1000x−x=735，
735 245
解方程，得x= = ，
999 333
· · 245
∴0.735= ．
333
【变式5-5】阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以0.7˙为例，设0.7˙ =x，由
7
0.7˙ =0.777⋅⋅⋅，可知10x=7.777⋅⋅⋅，即：10x=7+0.7˙，所以10x=7+x，解得x= ，于是
9
7
0.7˙ = ．
9
(1)请把无限循环小数0.4˙ 6˙化为分数；
(2)请把无限循环小数0.03˙6˙化为分数；(3)请计算4.6˙ 4˙ +3.6˙3˙．
46
【答案】(1)0.4˙ 6˙ =
99
2
(2)0.03˙6˙ =
55
28
(3)8
99
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，循环小数化为分数，掌握互化的方法是解本题的关键；
（1）设0.4˙ 6˙ =x，由0.4˙ 6˙ =0.464646⋅⋅⋅可知100x=46.4˙ 6˙，再建立方程100x=46+x求解即可；
（2）设0.03˙6˙ =x，由0.03˙6˙ =0.0363636⋅⋅⋅可知100x=3.63˙6˙，再建立方程100x=3.6+x求解即
可，
64 63
（3）同理可求解0.6˙ 4˙ = ，0.6˙3˙ = ，再代入计算即可．
99 99
【详解】（1）解：设0.4˙ 6˙ =x，由0.4˙ 6˙ =0.464646⋅⋅⋅可知100x=46.4˙ 6˙，
即：100x=46+0.4˙ 6˙，
所以100x=46+x，
46 46
解得x= ，于是0.4˙ 6˙ = ．
99 99
（2）设0.03˙6˙ =x，由0.03˙6˙ =0.0363636⋅⋅⋅可知100x=3.63˙6˙，
即：100x=3.6+0.03˙6˙，
所以100x=3.6+x，
36 2 2
解得x= = ，于是0.03˙6˙ = ．
990 55 55
64 63
（3）同理可得：0.6˙ 4˙ = ，0.6˙3˙ = ，
99 99
64 64
∴4.6˙ 4˙ =4+0.6˙ 4˙ =4+ =4 ，
99 99
63 63
3.6˙3˙ =3+0.6˙3˙ =3+ =3 ．
99 99
64 63 28
∴4.6˙ 4˙ +3.6˙3˙ =4 +3 =8 ．
99 99 99
【题型6 含绝对值的一元一次方程】
【典例6】解方程：|x−3)−3=2
【答案】x=8或x=−2【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：|x−3)−3=2
∴|x−3)=5
∴x−3=5或x−3=−5
解得：x=8或x=−2
5
【变式6-1】解方程：|2x−1)= x+2．
6
18 6
【答案】x= 或x=−
7 17
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用解方程的步骤和方法正确解答．
按照根据绝对值意义先去括号，再解一元一次方程的步骤和方法解方程即可．
5
【详解】解：|2x−1)= x+2，
6
5 5
∴2x−1= x+2或2x−1=−( x+2)，
6 6
18 6
解得x= 或x=− ．
7 17
【变式6-2】阅读下面的例题：解方程：|5x)=30．
当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x=30，它的解是x=6；
①当5x<0时，原方程可化为一元一次方程−5x=30，它的解是x=−6．
②故原方程的解是x=6或x=−6．
|1 )
依照以上例题，解方程： x+3 =1．
2
【答案】x=−4或x=−8
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、解一元二次方程等知识，正确理解题意是解题关键．分
1 1
x+3≥0和 x+3<0两种情况，将原方程可化为一元一次方程，然后求解即可．
2 2
|1 )
【详解】解： x+3 =1，
2
1 1
当 x+3≥0时，原方程可化为一元一次方程 x+3=1，
2 2
①
它的解是x=−4；1 (1 )
当 x+3<0时，原方程可化为一元一次方程− x+3 =1，
2 2
②
它的解是x=−8．
综上所述，原方程的解是x=−4或x=−8．
