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专题28 一元一次不等式及解法
（题型突破·举一反三）
题型01 判断是否为一元一次不等式
题型02 根据一元一次不等式的定义求参数
题型03 不等式的解
题型04 数轴上表示不等式的解集
题型05 解一元一次不等式
题型06 求一元一次不等式的整数解
题型07 根据一元一次不等式的解集求参数
题型08 解不等式时过程出错
题型09 一元一次不等式与二元一次方程组
题型10 整数解（含参）问题
题型11 新定义问题
题型12 程序问题
题型13 一元一次方程与不等式问题
题型14 解|x|＜a 型不等式
▌题型01 判断是否为一元一次不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式。
【典例1】（2026 春•西和县校级期末）下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．3x+y＜0
B．x+1＜3
C．2x+1＝4
D．4＞3
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可．
【解答】解：3x+y＜0 中含有2 个未知数，则A 不符合题意，
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x+1＜3 符合一元一次不等式的定义，则B 符合题意，
2x+1＝4 是方程，则C 不符合题意，
4＞3，不含有一个未知数，则D 不符合题意，
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•封开县期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．2x﹣1＞0
B．﹣1＜2
C．3x﹣2y≤﹣1
D．y2+3＞5
【分析】根据一元一次不等式的定义作答．
【解答】解：A、是一元一次不等式；
B、不含未知数，不符合定义；
C、含有两个未知数，不符合定义；
D、未知数的次数是2，不符合定义；
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•庐阳区校级期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x﹣3
B．x﹣1＝2
C．x+y＞1
D．x﹣3＞5
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式，据此逐项判断即可．
【解答】解：x﹣3 是代数式，则A 不符合题意，
x﹣1＝2 是等式，则B 不符合题意，
x+y＞1 中含有两个未知数，则C 不符合题意，
x﹣3＞5 符合一元一次不等式的定义，则D 符合题意，
故选：D．
【变式1-3】（2026 春•铁西区校级月考）下列不等式：①√2𝑥+ 3＞2𝑥；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④
𝑥−1
𝜋
≥
5𝜋；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有 ①④⑤ （填序号）．
【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是1”，逐个判断即可得到结果．
【解答】解：①①√2𝑥+ 3＞2𝑥含有一个未知数，是一元一次不等式；
②﹣3＜0，没有未知数，不是一元一次不等式；
③x﹣3＞2y，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④
𝑥−1
𝜋
≥5𝜋，π 是常数，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元
一次不等式；
⑤3y＞﹣3，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式；
故答案为：①④⑤．
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▌题型02 根据一元一次不等式的定义求参数
1. 只含一个未知数；
2. 未知数的次数是1；
3. 不等号两边都是整式；
4. 未知数系数不能为0。
【典例1】（2026 春•零陵区期末）若（m+1）x|m+2|+4＜0 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣2
D．﹣3 或﹣1
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m 的值．
【解答】解：根据题意得：m+1≠0 且|m+2|＝1，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
【变式1-1】（2026 春•盐城月考）若（m﹣1）x+3≤0 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值不可以为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．0
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x+3≤0 是关于x 的一元一次不等式，
∴m﹣1≠0，
解得：m≠1．
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•巴中期末）若不等式（k﹣3）x|k|﹣2＞0 是关于x 的一元一次不等式，则k＝ ﹣3 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，据此列关系式求
解即可．
【解答】解：∵不等式（k﹣3）x|k|﹣2＞0 是关于x 的一元一次不等式，
∴{𝑘−3 ≠0
|𝑘| −2 = 1，
解得：k＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式1-3】
（2026 春•鲤城区校级期末）若2x2m﹣3+4＞﹣1 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为 2 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数x 的次数为1，据此列方程求解m 即可．
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【解答】解：由题意得2m﹣3＝1，
解得：m＝2．
故答案为：2．
▌题型03 不等式的解
不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．
【典例1】（2026•香洲区三模）下列各数中，是不等式2x+1＜3 的一个解的是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．﹣3
【分析】解不等式，求出不等式的解集，然后根据解集对各个选项的数进行判断即可．
【解答】解：2x+1＜3，
2x＜3﹣1，
2x＜2，
x＜1，
∵A，B，C 选项的数的大于等于1，D 选项中的数﹣3＜1，
∴A，B，C 选项中的数不是不等式2x+1＜3 的一个解，D 选项中的数是不等式2x+1＜3 的一个解，
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•闵行区期末）在以下各数中，是不等式x＜﹣1 的解的是（ ）
A．x＝﹣2
B．x＝﹣1
C．x＝0
D．x＝1
【分析】在x＜﹣1 这个范围之内的数都是不等式的解，由此判断即可．
【解答】解：是不等式x＜﹣1 的解的是x＝﹣2，
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•盐田区期末）下列x 的值是不等式x＞﹣2 的解的是（ ）
A．x＝0
B．x＝﹣2
C．x＝﹣2.5
D．x＝﹣3
【分析】根据x 的值在x＞﹣2 这个范围内即为不等式的解判断即可．
【解答】解：x＝0 是不等式x＞﹣2 的解，
故选：A．
【变式1-3】（2026•二道区校级模拟）若x＝5.5 是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A．x＜4
B．x＜5
C．x＞5
D．x＞6
【分析】满足不等式的数就是不等式的解，将x＝5.5 代入各选项验证即可得到答案．
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【解答】解：A 选项：∵5.5＜4 不成立，
∴x＝5.5 不是不等式x＜4 的解；
B 选项：∵5.5＜5 不成立，
∴x＝5.5 不是不等式x＜5 的解；
C 选项：∵5.5＞5 成立，
∴x＝5.5 是不等式x＞5 的解；
D 选项：∵5.5＞6 不成立，
∴x＝5.5 不是不等式x＞6 的解．
故选：C．
▌题型04 数轴上表示不等式的解集
1. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集
的过程叫作解不等式．
2. 用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上
直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）．
不等式的解集
数轴表示
x>a
x<a
x≥a
x≤a
不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的
所有的数值都在该解集中．
【典例1】（2026 春•锦江区校级期中）不等式2x﹣4＜0 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据解一元一次不等式步骤解答即可．
【解答】解：原不等式移项，得2x＜4，
系数化为1，得x＜2，
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在数轴上表示为
，
D 选项符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（2026•遵义一模）不等式2x＞6 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：2x＞6，
x 的系数化为1 得，x＞3，
在数轴上表示，如图：
．
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•玄武区期末）不等式4﹣3x＜1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：由题知，
4﹣3x＜1，
﹣3x＜1﹣4，
﹣3x＜﹣3，
x＞1，
显然只有C 选项符合题意．
故选：C．
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【变式1-3】（2026 春•广州校级月考）不等式x﹣3＞0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】不等式的解集为x＞3，在数轴上表示出来就是不包括端点的射线，所以C 正确．
【解答】解：不等式x﹣3＞0 的解为x＞3．
在数轴上表示为：
．
故选：C．
▌题型05 解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；系数化为1；①其中当
系数是负数时，不等号的方向要改变。
（1）去分母：根据不等式的性质2 和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的
小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改
变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右
边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2 或3，特别要注意系数化为1 时，系数是负数，不等
号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左。
【典例1】（2026 春•衡山县期末）解不等式
𝑥
3 −
𝑥−1
2
≥1，并把它的解集表示在数轴上．
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【分析】先去分母，再去括号，移项并合并同类项求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：去分母，得2x﹣3（x﹣1）≥6，
去括号，得2x﹣3x+3≥6，
移项、合并同类项，得﹣x≥3，
解得x≤﹣3，
在数轴上表示为：
【变式1-1】（2026•秦都区校级模拟）解不等式
1−𝑥
3
−1 ≤
2+𝑥
2 ，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来．
【分析】先把不等式两边都乘以6，再去括号、移项得到﹣2x﹣3x≤6+6﹣2，然后合并同类项后把x 的系
数化为1 得到x≥﹣2，最后在数轴上表示出其解集．
【解答】解：去分母，得2（1﹣x）﹣6≤3（2+x），
去括号，得2﹣2x﹣6≤6+3x，
移项，得﹣2x﹣3x≤6+6﹣2，
合并同类项，得﹣5x≤10，
系数化为1，得x≥﹣2，
解集在数轴上表示为：
【变式1-2】（2026 春•冷水江市期末）解不等式：
1+2𝑥
5
＞
3+𝑥
2
−1，并在如图的数轴上表示出它的解集．
【分析】利用不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
1+2𝑥
5
＞
3+𝑥
2
−1，
去分母得，2（1+2x）＞5（3+x）﹣10，
去括号得，2+4x＞15+5x﹣10，
移项得，4x﹣5x＞15﹣10﹣2，
合并同类项得，﹣x＞3，
x 的系数化为1 得，x＜﹣3，
不等式的解集在数轴上表示如图：
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．
【变式1-3】（2026 春•滁州期末）解不等式
2𝑥−1
3
−
9𝑥+2
6
≤1，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 可得．
【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项，得：4x﹣9x≤6+2+2，
合并同类项，得：﹣5x≤10，
系数化为1，得：x≥﹣2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
▌题型06 求一元一次不等式的整数解
（1）解不等式，按一元一次不等式解法，求出解集；
（2）在数轴上标出范围；
（3）在解集范围内找整数，从边界开始，依次写出满足条件的整数；
（4）检验端点．
【典例1】（2026 春•寿县期末）不等式2x+9≥3（x+2）的非负整数解的个数（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的非负整数，统计个数即可得到
答案；
【解答】解：2x+9≥3（x+2），
去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，得2x﹣3x≥6﹣9，
合并同类项，得﹣x≥﹣3，
解得x≤3，
∴不等式2x+9≥3（x+2）的非负整数解为0，1，2，3，共4 个．
故选：B．
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【变式1-1】（2025 春•锡山区期末）不等式2（x﹣1）≤8 的非负整数解有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
【分析】根据及一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并得出非负整数解的个数即可．
【解答】解：由题知，
2（x﹣1）≤8，
x﹣1≤4，
x≤5，
则此不等式的非负整数解有0，1，2，3，4，5，共6 个．
故选：C．
【变式1-2】（2025 春•五华县期中）不等式7﹣3x＞2x﹣8 的正整数解有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】先求出不等式的解集，即可得到该不等式的正整数解，从而可以得到该不等式正整数的个数．
【解答】解：7﹣3x＞2x﹣8，
﹣5x＞﹣15，
x＜3，
∴该不等式的正整数解为1，2，
即该不等式的正整数解有2 个，
故选：B．
【变式1-3】（2026 春•茄子河区期末）不等式5x＜3x+8 的最大整数解是 3 ．
【分析】先求出不等式的解集，然后求其最大整数解．
【解答】解：5x＜3x+8，
5x﹣3x＜8，
2x＜8，
x＜4，
∴最大整数解是3，
故答案为：3．
▌题型07 根据一元一次不等式的解集求参数
（1）解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x>号）。
（2）对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。
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（3）系数化1 定方向：注意系数含参时，化1 步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。
（4）端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。
【典例1】（2025 春•鲤城区校级期中）若关于x 的不等式（m﹣1）x＞m﹣1 的解集是x＜1，则m 的取值范
围是（ ）
A．m＞0
B．m＞1
C．m＜1
D．m＜0
【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：m﹣1＜0，
∴m＜1，
故选：C．
【变式1-1】（2026•船营区校级模拟）如果关于x 的不等式2x﹣a≤1 的解集为x≤3，那么实数a 的值为
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】先解不等式得到含a 的解集，再结合已知的解集列等式求解a 即可．
【解答】解：原不等式移项得：2x≤a+1，
两边同除以2 得：𝑥≤𝑎+1
2 ，
又∵不等式的解集为x≤3，
∴
𝑎+1
2
= 3，
等式两边同乘2 得：a+1＝6，
解得：a＝5，
故选：A．
【变式1-2】（2026 春•西安校级期末）已知关于x 的不等式3x﹣2a＜4﹣5x 的解集为x＜a﹣1，则a 的值是
（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
【分析】先求解原一元一次不等式，再根据题目给出的解集列出关于a 的一元一次方程，解方程即可得
到a 的值．
【解答】解：3x﹣2a＜4﹣5x，
移项得3x+5x＜4+2a，
合并同类项得8x＜4+2a，
系数化为1 得𝑥＜2+𝑎
4 ，
∵关于x 的不等式3x﹣2a＜4﹣5x 的解集为x＜a﹣1，
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∴
2+𝑎
4
= 𝑎−1，
解得a＝2．
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•北京期末）已知（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＜2
C．m≥2
D．m≤2
【分析】由关于x 的不等式（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，知m﹣2＜0，解之即可．
【解答】解：∵关于x 的不等式（m﹣2）x＞m﹣2 的解集是x＜1，
∴m﹣2＜0，
则m＜2，
故选：B．
▌题型08 解不等式时过程出错
根据不等式的性质，解一元一次方程常见易错点进行分析求解。
【典例1】（2026•龙华区校级三模）下面是小明同学解不等式
2𝑥−1
3
＞
3𝑥−2
2
−1的过程，请阅读并完成相应
任务．
解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步
去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步
移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步
合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步
系数化为1 得：x＞2．…第五步
任务一：以上解题过程中，第 五 步开始出现错误，这一步错误的原因是 不等号的方向没有改变 ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：x＜2 ．
任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：
𝑥−2
5
−
𝑥+1
2
＞1．
【分析】任务一：根据不等式的基本性质求解即可；
任务二：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 可得；
任务三：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 可得．
【解答】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等号的方向没有
改变，
故答案为：五，不等号的方向没有改变；
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任务二：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，
去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，
移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，
合并得：﹣5x＞﹣10，
系数化为1 得：x＜2，
故答案为：x＜2；
任务三：∵
𝑥−2
5
−
𝑥+1
2
＞1，
∴2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10，
2x﹣4﹣5x﹣5＞10，
2x﹣5x＞10+4+5，
﹣3x＞19，
则x＜−19
3 ．
【变式1-1】（2026 春•龙亭区校级期末）下面是小亮解不等式
𝑥+5
3
−
3𝑥−1
2
≤1的过程，请认真阅读并完成
任务．
解：去分母，得2（x+5）﹣3（3x﹣1）≤6．第一步
去括号，得2x+10﹣9x+3≤6．第二步
移项，得2x﹣9x≤6﹣10﹣3．第三步
合并同类项，得﹣7x≤﹣7．第四步
系数化为1，得x≤1．第五步
（1）解题过程中，第 五 步出现了错误，错误的原因是 不等式两边都除以﹣7，不等号的方向没有
改变 ．
（2）直接写出该不等式的解集，并在如图所示的数轴上表示出来．
【分析】（1）观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可；
（2）写出不等式正确解集，然后在数轴上表示出不等式的解集．
【解答】解：（1）从第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边除以﹣7，不等号的方向没有改变．
故答案为：五；不等式两边都除以﹣7，不等号的方向没有改变；
（2）该不等式的正确解集是：x≥1；
不等式的解集在数轴上表示如图：
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【变式1-2】（2026 春•平城区校级期末）小明解不等式
𝑥+2
6
≥
2𝑥−3
4
的过程如下：
解：去分母，得2（x+2）≥3（2x﹣3）…第一步
去括号，得2x+4≥6x﹣9…第二步
移项、合并同类项，得﹣4x≤﹣13…第三步
两边同时除以﹣4，得𝑥≥13
4 ⋯第四步
（1）小明的解法是从第 三， 步开始出错的，第四步的依据是 不等式的基本性质3（或不等式的两
边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变） ；
（2）请写出正确的解题过程．
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可；
（2）根据解不等式的基本步骤解答即可．
【解答】解：（1）小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质3（或不等式
的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变），
故答案为：三，不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）；
（2）
𝑥+2
6
≥
2𝑥−3
4
，，
去分母得：2（x+2）≥3（2x﹣3），
去括号得：2x+4≥6x﹣9，
移项、合并同类项得：﹣4x≥﹣13，
两边同时除以﹣4 得：𝑥≤13
4 ．
【变式1-3】（2025 秋•永康市期末）下面是小数同学解一元一次不等式
1+𝑥
2
＜
1+2𝑥
3
+ 1的过程，请认真阅
读并完成下列问题．
解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步
去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步
移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步
合并同类项，得7x＜11．第四步
系数化为1，得x＜11
7 ．第五步
（1）以上解题过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误．
（2）请你写出正确解答过程．
【答案】（1）不等式的性质2；三；
（2）x＞﹣5．
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1 即可．
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【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0 的数，不等
号的方向不变；第三步再移项时4x 与3 的符号没改变．
故答案为：不等式的性质2；三；
（2）
1+𝑥
2
＜
1+2𝑥
3
+ 1，
去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6，
去括号，得3+3x＜2+4x+6，
移项，得3x﹣4x＜2+6﹣3，
合并同类项，得﹣x＜5，
系数化为1，得x＞﹣5．
▌题型09 一元一次不等式与二元一次方程组
（1）先解方程组，用含 a 的式子表示 x,y；
（2）代入不等式 x>0；
（3）解关于 a 的一元一次不等式。
【典例1】（2026 春•颍东区期末）已知关于x，y 的方程组{𝑥+ 3𝑦= 7 −𝑚
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚．
（1）若x+y＝2，求m 的值；
（2）若y 为负数，求m 的取值范围．
【分析】（1）将两个方程相加并整理，再根据题意解得m 的值即可；
（2）将两个方程相减后用含m 的代数式表示出y，再根据题意解得m 的取值范围即可．
【解答】解：（1）两个方程相加得：2x+2y＝8+2m，
则x+y＝4+m，
∵x+y＝2，
∴4+m＝2，
解得：m＝﹣2；
（2）用第一个方程减去第二个方程得：4y＝6﹣4m，
则y＝1.5﹣m，
∵y 为负数，
∴1.5﹣m＜0，
解得：m＞1.5
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【变式1-1】（2026 春•晋江市期末）【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77 页的部分内容．
7．已知关于x 方程3k﹣5x＝﹣9 的解是非负数，求k 的取值范围．
请写出这道题完整的解题过程．
【拓展】若关于x、y 的方程组{5𝑥+ 2𝑦= 6
𝑥−2𝑦= 4𝑚的解满足x+y≥2，求m 的最大整数解．
【分析】教材呈现：先求出𝑥= 9+3𝑘
5
，再根据解为非负数计算即可；
拓展：先求出𝑥= 1 + 2
3 𝑚，𝑦= −5
3 𝑚+ 1
2，根据x+y≥2 列不等式求解即可．
【解答】教材呈现：解：3k﹣5x＝﹣9，
解得：𝑥= 9+3𝑘
5
，
∵方程3k﹣5x＝﹣9 的解是非负数，
∴
9+3𝑘
5
≥0，
解得：k≥﹣3；
拓展：解：{5𝑥+ 2𝑦= 6①
𝑥−2𝑦= 4𝑚②，
①+②得6x＝6+4m，𝑥= 1 + 2
3 𝑚，
把𝑥= 1 + 2
3 𝑚代入②得，
−2𝑦= 4𝑚−1 −2
3 𝑚，
解得：𝑦= −5
3 𝑚+ 1
2，
∵x+y≥2，
∴1 + 2
3 𝑚−5
3 𝑚+ 1
2 ≥2，
解得：𝑚≤−1
2
∴m 的最大整数解为﹣1．
【变式1-2】（2026 春•牡丹江期末）已知关于x，y 的二元一次方程组{𝑥−2𝑦= 4𝑎−6①
𝑥+ 2𝑦= 2𝑎+ 8②的解满足x≥2y 且
y 是非负数．
（1）求a 的取值范围；
（2）当a 为整数时，不等式ax﹣3x﹣a＞﹣3 的解集为x＜1，求满足所有条件a 的值．
【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a 分别表示x 和y，接着根据x≥2y，y≥0 得到不等式
组，然后解不等式组得出a 的范围；
（2）先利用ax﹣3x﹣a＞﹣3 解集为x＜1，通过解不等式得到a﹣3＜0，接着求出a 的取值范围，然后写
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出此范围内的整数即可．
【解答】解：（1）{𝑥−2𝑦= 4𝑎−6①
𝑥+ 2𝑦= 2𝑎+ 8②，
①+②得：2x＝6a+2，
∴x＝3a+1，
②﹣①得：4y＝﹣2a+14，
∴𝑦= −1
2 𝑎+ 7
2，
∵x≥2y 且y≥0，
∴{
3𝑎+ 1 ≥−𝑎+ 7
−1
2 𝑎+ 7
2 ≥0
，
解得1.5≤a≤7；
（2）由条件可知：（a﹣3）x＞a﹣3．
∵x＜1，
∴a﹣3＜0．
∴a＜3．
由（1）可知1.5≤a≤7，
∴1.5≤a＜3 且a 为整数．
∴a＝2．
【变式1-3】（2026 春•定边县校级期末）数学思维课堂上，张老师在黑板上写了一个关于x，y 的二元一次
方程组{4𝑥+ 𝑦= 3𝑎−2
𝑥−2𝑦= 7
，然后让同学们自己添加一个条件，提出问题并解答．请你完成下面两名同学的
问题．
（1）小辰：若该方程组与二元一次方程2x﹣y＝8 的解相同，求a 的值；
（2）阳阳：若x+y＜5，求a 的取值范围．
【分析】（1）联立不含参数a 的两个方程求解x，y，再代入含a 的方程计算a 的值；
（2）通过方程组变形得到x+y 关于a 的表达式，结合已知不等式求解a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵方程组{4𝑥+ 𝑦= 3𝑎−2
𝑥−2𝑦= 7
与方程2x﹣y＝8 的解相同，
∴x，y 满足方程组{𝑥−2𝑦= 7
2𝑥−𝑦= 8，
解得{ 𝑥= 3
𝑦= −2，
代入4x+y＝3a﹣2 得，
得12﹣2＝3a﹣2，
解得a＝4；
（2）{4𝑥+ 𝑦= 3𝑎−2
①
𝑥−2𝑦= 7
②，
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①﹣②，得3x+3y＝3a﹣9，即x+y＝a﹣3，
∵x+y＜5，
∴a﹣3＜5，
解得a＜8．
▌题型10 整数解（含参）问题
（1）解不等式，用参数表示解集；
（2）根据“整数解”条件，在数轴上锁定范围，把已知的整数解标在数轴上，写出：最小整数解、最大整
数解，从而确定𝑥所在的区间范围；
（3）列“含参不等式组”求参数范围，让参数解集 刚好“包住”这些整数解，不多也不少；
（4）解关于参数的不等式，写出范围。
【典例1】（2026 春•襄城区期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，若该不等式恰好只有两个负
整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜﹣2
B．﹣3＜a＜﹣2
C．﹣2≤a＜﹣1
D．﹣3＜a≤﹣2
【分析】根据关于x 的一元一次不等式x≥a 的两个负整数解只能是﹣2、﹣1，求出a 的取值范围即可求
解．
【解答】解：∵关于x 的一元一次不等式x≥a 只有两个负整数解，
∴关于x 的一元一次不等式x≥a 的2 个负整数解只能是﹣2、﹣1，
∴a 的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．
故选：D．
【变式1-1】（2026 春•顺义区校级月考）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式
恰有2 个非负整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．2≤a＜3
B．1＜a≤2
C．1≤a＜2
D．1≤a≤2
【分析】首先根据数轴确定不等式的解集为x≤a，再根据“恰有2 个非负整数解”确定这两个非负整数
分别为0 和1，从而确定a 的取值范围．
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【解答】解：由数轴可知，该不等式的解集为x≤a，
∵该不等式恰有2 个非负整数解，
∴这两个非负整数解只能是0 和1，
∴a 必须满足1≤a＜2．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•花山区校级期末）若关于x 的不等式x＜m 有且只有两个正整数解，则m 的值不能是
（ ）
A．2
B．2.5
C．2.8
D．3
【分析】先根据不等式正整数解的个数确定参数m 的取值范围，进而即可判断求解．
【解答】解：由题意得，它的正整数解只能是1 和2，
∴2＜m≤3，
∴m 的值不能是2．
故选：A．
【变式1-3】（2025 春•武城县期末）关于x 不等式x﹣a＞2 有且只有2 个负整数解，那么a 的取值范围是
（ ）
A．﹣5≤a＜﹣4
B．﹣5＜a＜﹣4
C．﹣5≤a≤﹣4
D．﹣5＜a≤﹣4
【分析】由x﹣a＞2 得x＞a+2，根据不等式有且只有2 个负整数解，知﹣3≤a+2＜﹣2，解之即可得出答
案．
【解答】解：由x﹣a＞2 得x＞a+2，
∵不等式有且只有2 个负整数解，
∴﹣3≤a+2＜﹣2，
解得﹣5≤a＜﹣4，
故选：A．
▌题型11 新定义问题
（1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运
算；
（2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新；
（3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的；
（4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常计算。
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【典例1】（2026 春•玉泉区期末）对于任意实数a，b，定义一种运算“※”：a※b＝ab﹣a+b﹣2，例如，
2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜4，则该不等式的解集是（ ）
A．𝑥＜9
4
B．x＜2
C．x＞0
D．𝑥＞9
4
【分析】按照新定义将所求不等式转化为常规一元一次不等式，求解即可得到结果．
【解答】解：由题意可得：3※x＝3x﹣3+x﹣2，
∵不等式3※x＜4，
∴3x﹣3+x﹣2＜4，
∴𝑥＜9
4．
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•城关区校级期末）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x 的不等式x⊗m
＜3 的解集为x＜﹣1，则m 的值为（ ）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，根据解集列方程即可．
【解答】解：∵a⊗b＝a﹣2b，x⊗m＜3，
∴x﹣2m＜3，
∴x＜2m+3，
∵不等式的解集为x＜﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
解得m＝﹣2．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•潜山市月考）阅读材料，回答问题：
两个解集不同的一元一次不等式，如果不等式①的解集内的所有数都在不等式②的解集范围内，则称不
等式①是不等式②的“真子不等式”．
例如：不等式①x+2＞0 的解集为x＞﹣2，不等式②x+3＞0 的解集为x＞﹣3，x+2＞0 是x+3＞0 的“真子
不等式”．
（1）判断不等式①5（x﹣1）＞2x﹣5 是否为不等式②
2𝑥+1
3
−
𝑥
2 ≤
2𝑥+1
6
的“真子不等式”，并说明理由；
（2）若
3𝑥−𝑎
2
＞𝑎是2x+a＞1 的“真子不等式”，求a 的取值范围．
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据“真子不等式”定义判断：①解集全部包含在②解
集内，且解集不相同，比较两个解集范围，验证是否满足包含关系即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再结合“真子不等式”定义，列出边界满足
1−𝑎
2
≤a 即可．
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【解答】解：（1）解不等式①：5（x﹣1）＞2x﹣5，
5x﹣5＞2x﹣5，
3x＞0，
x＞0，
解不等式②：
2𝑥+1
4
−
𝑥
2 ≤
2𝑥+1
6
，
两边同乘6：
2（2x+1）﹣3x≤2x+a，
4x+2﹣3x≤2x+1，
x+2≤2x+1，
x≥1，
不等式①解集x＞0，不等式②解集x≥1，
①解集内有些数不在②的解集范围内，所以①不是②的“真子不等式”；
（2）解
3𝑥−𝑎
2
＞𝑎得x＞a，
解2x+a＞1 得𝑥＞1−𝑎
2 ，
由题可知
1−𝑎
2
≤𝑎，
∴解得𝑎≥1
3．
【变式1-3】（2026 春•铁西区校级月考）定义，关于同一个未知数的不等式A 和B，若A 的解都是B 的解，
则称A 与B 存在“雅含”关系，且A 不等式称为B 不等式的“子式”；如A：x＜0，B：x＜1，满足A 的
解都是B 的解，所以A 与B 存在“雅含”关系，A 是B 的“子式”．
（1）若关于x 的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A 与B 是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁
是谁的“子式”；
（2）已知关于x 的不等式C：
𝑥−1
2
＜
𝑎+1
3 ，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C 与D 存在“雅含”关系，且C 是
D 的“子式”，求a 的取值范围．
【分析】（1）先解出不等式A 的解集，再根据定义判断关系得到结论；
（2）分别解出两个不等式的解集，根据C 是D 的“子式”列出关于a 的不等式，求解即可得到a 的取值
范围．
【解答】解：（1）解不等式A：x+2＞1，得x＞﹣1，
∵不等式B 的解集为x＞3，
∴满足x＞3 的数都满足x＞﹣1，
即B 的所有解都是A 的解，
∴A 与B 存在“雅含”关系，B 是A 的子式．
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（2）关于x 的不等式C：
𝑥−1
2
＜
𝑎+1
3 ，D：2x﹣（3﹣x）＜3，
解不等式C 得𝑥＜2𝑎+5
3
，
解不等式D 得x＜2，
∵C 与D 存在“雅含”关系，且C 是D 的“子式”，
∴
2𝑎+5
3
≤2，
解得𝑎≤1
2．
▌题型12 程序问题
（1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式；
（2）列不等式；
（3）解一元一次不等式；
（4）结合题意写答案。
【典例1】（2025 秋•西固区校级期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操
作，若输入x 后经过第1 次程序操作未能输出结果，则可推断x 的取值范围为x＜7 ．
【分析】根据程序框图列得不等式，解不等式即可．
【解答】解：若输入x 后经过第1 次程序操作未能输出结果，
则5x+2＜37，
解得：x＜7，
故答案为：x＜7．
【变式1-1】（2026•石家庄二模）甲、乙两人输入相同的x 值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所
得结果大者胜出．
（1）当甲得到的计算结果为10 时，求x 的值以及乙的计算结果；
（2）若甲胜出，求x 的取值范围．
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【分析】（1）根据运算程序列出方程，得出x 的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解；
（2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解．
【解答】解：（1）根据运算程序列出方程，﹣4x﹣2＝10，
解得：x＝﹣3
乙的计算结果为：(−3 + 2) ÷ 4 = −1
4；
（2）−4𝑥−2＞𝑥+2
4 ，
整理得：﹣16x﹣8＞x+2，
∴﹣17x＞10，
解得：x＜−10
17．
【变式1-2】（2025•正定县三模）一计算程序如图1 所示，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y．
（1）若输入x 的值为2，求输出y 的值；
（2）若输出的y 落在如图2 所示的范围内，求输入x 的最大整数值．
【分析】（1）根据程序框图列式计算即可；
（2）根据程序框图列得不等式，解不等式并确定x 的最大整数解即可．
【解答】解：（1）若输入x 的值为2，
则﹣2×（﹣22）﹣4
＝﹣2×（﹣4）﹣4
＝8﹣4
＝4，
即输出y 的值为4；
（2）由题意得﹣x×（﹣22）﹣4≤﹣5，
整理得：4x﹣4≤﹣5，
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解得：x≤﹣0.25，
则x 的最大整数解为﹣1．
【变式1-3】（2025 春•丹凤县校级月考）如图，在计算程序图中，“■”内的数字印刷不清楚．
（1）若“■”内的数字为﹣4，求输入的实数为101 时最后输出的结果．
（2）当开始输入的实数为100 时，能经过一次运算（不用“返回”）输出结果．若“■”内的数字为正
整数，求“■”内的数字的最小值．
【分析】（1）根据程序图计算即可；
（2）设“■”内的数字为x，根据题意列出一元一次不等式，再解不等式即可．
【解答】解：（1）当“■”内的数字为﹣4 时，101×（﹣4）+1＝﹣403＜500，
∴﹣403×（﹣4）+1＝1613＞500，
∴最后输出的结果为1613；
（2）设“■”内的数字为x，
根据题意，得100x+1＞500，
解得x＞4.99，
∵x 为正整数，
∴x 最小为5，
∴“■”内的数字的最小值为5．
▌题型13 一元一次方程与不等式问题
（1）求出一元一次方程的解；
（2）列不等式；
（3）解一元一次不等式；
（4）结合题意写答案。
【典例1】（2025 春•成都期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的其中一个解，则称该一
元一次方程为该不等式的相伴方程．若方程9﹣x＝2x，7 + 𝑥= 2(𝑥+ 1
2)都是关于x 的不等式x＜2x﹣m 的
相伴方程，则m 的取值范围为m＜3 ．
【分析】分别求出两个方程的解，表示出不等式的解集，再根据新定义得出m 的范围．
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【解答】解：解方程9﹣x＝2x 得：x＝3，
解方程7+x＝2（x+ 1
2）得：x＝6，
由x＜2x﹣m 得x＞m，
由题意知m＜3，
故答案为：m＜3．
【变式1-1】（2025 春•咸阳校级月考）若关于x 的一元一次方程x﹣2m+1＝0 的解是负数，则m 的取值范
围是（ ）
A．m≤2
B．m＜2
C．m≤1
2
D．𝑚＜1
2
【分析】由x﹣2m+1＝0 得x＝2m﹣1，根据关于x 的一元一次方程x﹣2m+1＝0 的解是负数，知2m﹣1＜
0，解之即可．
【解答】解：由x﹣2m+1＝0 得：x＝2m﹣1，
∵关于x 的一元一次方程x﹣2m+1＝0 的解是负数，
∴2m﹣1＜0，
解得m＜1
2，
故选：D．
【变式1-2】（2026 春•晋江市期中）关于x 的一元一次方程
𝑥−𝑚
2
=
1
3 +x 的解大于1，求m 的取值范围．
【分析】先解关于x 的一元一次方程得到x= −3𝑚−2
3
，则根据题意得到
−3𝑚−2
3
＞1，然后解不等式即可．
【解答】解：解关于x 的一元一次方程
𝑥−𝑚
2
=
1
3 +x 得x= −3𝑚−2
3
，
则
−3𝑚−2
3
＞1，
解得m＜−5
3．
故m 的取值范围是m＜−5
3．
【变式1-3】（2026 春•曲阜市期末）我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种
特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当
一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”．
（1）组合{2𝑥−4 = 0
5𝑥−2＜3 是 无缘解 ；（填梦想解或无缘解）
（2）若关于x 的组合{
3𝑥−6 = 0
𝑥−𝑎
2 ＞𝑎
是“梦想解”，求a 的取值范围；
（3）若关于x 的{
2 −𝑥= 𝑥−2𝑚
𝑥−𝑚
3
+ 1＜𝑥+ 𝑚是“无缘解”，则m 的取值范围为 m≤1
6 ．
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【分析】（1）先解一元一次方程得到x＝2，然后利用x＝2 不是不等式的解可判断组合为“无缘解”；
（2）先解一元一次方程得到x＝2，再解不等式得到x＞3a，接着根据“梦想解”的定义得到3a＜2，然
后解关于a 的不等式即可；
（3）先解一元一次方程得到x＝m+1，再解不等式得到x＞3−4𝑚
2
，接着根据“无缘解”的定义得到
3−4𝑚
2
≥m+1，然后解关于m 的不等式即可．
【解答】解：（1）解方程2x﹣4＝0 得x＝2，
当x＝2 时，5x﹣2＝7＞3，
即x＝2 不是不等式5x﹣2＜3 的解，
所以组合{2𝑥−4 = 0
5𝑥−2＜3 是无缘解；
故答案为：无缘解；
（2）解方程3x﹣6＝0 得x＝2，
解不等式
𝑥−𝑎
2
＞a 得x＞3a，
∵关于x 的组合是“梦想解”，
∴3a＜2，
解得a＜2
3，
即a 的取值范围为a＜2
3；
（3）解方程2﹣x＝x﹣2m 得x＝m+1，
解不等式
𝑥−𝑚
3
+1＜x+m 得x＞3−4𝑚
2
，
∵关于x 的组合是“无缘解”，
∴
3−4𝑚
2
≥m+1，
解得m≤1
6．
故答案为：m≤1
6．
▌题型14 解|x|＜a 型不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式。
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【典例1】（2026 春•深圳期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3 和|x|＞3 的解集的过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1 的数轴上看：大于﹣3 而小于3 的数的绝对值小3，所以|x|＜3 的解集为
﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2 的数轴上看：小于﹣3 或大于3 的数的绝对值大于3，所以|x|＞3 的解集
为x＜﹣3 或x＞3．
（1）求绝对值不等式|x﹣3|＞2 的解集；
（2）已知绝对值不等式|2x﹣1|＜a 的解集为b＜x＜3，求a﹣2b 的值；
（3）已知关于x、y 的二元一次方程组{2𝑥−𝑦= 3𝑚−4
𝑥+ 4𝑦= −6𝑚+ 1的解满足|x+y|≤2，其中m 是负整数，求m 的
值．
【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）由|2x﹣1|＜a 知﹣a＜2x﹣1＜a，据此得出
1−𝑎
2
＜x＜𝑎+1
2 ，再结合b＜x＜3 可得出关于a、b 的方程
组，解之即可求出a、b 的值，从而得出答案；
（3）两个方程相加化简得出x+y＝﹣m﹣1，由|x+y|≤2 知﹣2≤x+y≤2，据此得出﹣2≤﹣m﹣1≤2，解之
求出m 的取值范围，继而可得答案．
【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x﹣3＞2 或x﹣3＜﹣2，
解得x＞5 或x＜1；
（2）∵|2x﹣1|＜a，
∴﹣a＜2x﹣1＜a，
解得
1−𝑎
2
＜x＜𝑎+1
2 ，
∵解集为b＜x＜3，
∴{
1−𝑎
2
= 𝑏
𝑎+1
2
= 3
，
解得{𝑎= 5
𝑏= −2，
则a﹣2b＝5+4＝9；
（3）两个方程相加，得：3x+3y＝﹣3m﹣3，
∴x+y＝﹣m﹣1，
∵|x+y|≤2，
∴﹣2≤x+y≤2，
∴﹣2≤﹣m﹣1≤2，
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解得﹣3≤m≤1，
又m 是负整数，
∴m＝﹣3 或m＝﹣2 或m＝﹣1．
【变式1-1】（2026 春•汾阳市期末）阅读与思考
请仔细阅读下面材料并完成相应的任务．
【定义概念】我们定义：形如|x|≤m，|x|≥m，|x|＞m，|x|＜m（m 为非负数）的不等式
称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值
不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
（i）解不等式|x|＜2．如图1，从数轴上可以发现，大于﹣2 而小于2 的数的绝对值
小于2，所以|x|＜2 的解集应为﹣2＜x＜2．
（ii）满足|x|＞2 的数用数轴表示如图2 所示，也就是说，小于﹣2 的数或大于2 的数
的绝对值大于2，所以|x|＞2 的解集应为x＜﹣2 或x＞2．
任务：
【简单运用】
（1）①不等式|x|＜3 的解集是 ﹣3＜x＜3 ；
②不等式|x|＞5 的解集是x＜﹣5 或x＞5； ；
【拓展探究】
（2）①已知绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0）的解集为3＜x＜b，则a＝ 5 ；b＝ 7 ；
②请求出绝对值不等式|x﹣2|+3≥4 的解集．
【分析】（1）①利用绝对值的几何意义进行求解即可；
②利用绝对值的几何意义进行求解即可；
（2）①先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可；
②先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可；
【解答】解：（1）①不等式|x|＜3 的解集是﹣3＜x＜3；
故答案为：﹣3＜x＜3；
②不等式|x|＞5 的解集是x＜﹣5 或x＞5；
故答案为：
（2）①绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0），
∴﹣a＜x﹣2＜a，解得2﹣a＜x＜2+a，
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∴{2 −𝑎= −3
2 + 𝑎= 𝑏，
解得{𝑎= 5
𝑏= 7；
故答案为：5；7；
②|x﹣2|+3≥4，则|x﹣2|≥1，
∴x﹣2≤﹣1 或x﹣2≥1，
解得x≤1 或x≥3．
【变式1-2】（2026 春•平顶山月考）先阅读绝对值不等式|x|＜6 和|x|＞6 的解法，再解答问题．
①因为|x|＞6，从数轴上（如图1）可以看出只有小于﹣6 的数和大于6 的数的绝对值大于6．所以|x|＞6
的解集为x＜﹣6 或x＞6．②因为|x|＜6，从数轴上（如图2）可以看出只有大于﹣6 且小于6 的数的绝对
值小于6，所以|x|＜6 的解集为﹣6＜x＜6．
（1）|x|＜3 的解集为 ﹣3＜x＜3 ；
（2）解不等式|2x﹣3|＞1．
【分析】（1）根据绝对值的定义进行计算即可；
（2）根据绝对值的定义将不等式转化为2x﹣3＞1 或2x﹣3＜﹣1 进行解答即可．
【解答】解：（1）|x|＜3，从数轴上可以看出只有大于﹣3 且小于3 的数的绝对值小于3，所以|x|＜3 的解
集为﹣3＜x＜3，如图1，
故答案为：﹣3＜x＜3；
（2）∵|2x﹣3|＞1，
∴2x﹣3＞1 或2x﹣3＜﹣1，
解得x＞2 或x＜1，如图2，
∴|2x﹣3|＞1 的解集为x＞2 或x＜1．
【变式1-3】（2026 春•朝阳区校级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B 在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B 之间的距离可表示
为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1 与3 对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4．
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（1）点A，B，C 在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点B 到点C 的距离为 3 ，点A 到点B 的
距离与点A 到点C 的距离之和可表示为 |x+2|+|x﹣1| （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：当x 满足 2≤x≤3 时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值为 1 ；
（3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图（1）可得出：绝对值不等式|x|＞1 的解集是x＜﹣1 或x＞1；
由图（2）可得出：绝对值不等式|x|≤3 的解集，是﹣3≤x≤3；
则，不等式|x|≥4 的解集是x≥4 或x≤﹣4 ；
②利用数轴直接写出不等式|x+1|+|x﹣3|＞8 的解集是x＜﹣3 或x＞5 ．
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出|x﹣3|+|x﹣2|的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知点B 到点C 的距离为|﹣2﹣1|＝3；
点A 到点B 的距离与点A 到点C 的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|；
故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|；
（2）|x﹣3|+|x﹣2|表示数轴上x 与3 和x 与2 的距离之和，
故当2≤x≤3 时，|x﹣3|+|x﹣2|取最小值，且最小值为3﹣2＝1；
故答案为：2≤x≤3，1；
（3）①|x|≥4 的解集为x≥4 或x≤﹣4；
故答案为：x≥4 或x≤﹣4；
②当x＜﹣1 时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+3＝﹣2x+2＞8，
∴x＜﹣3；
当﹣1≤x≤3 时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1﹣x+3＝4＜8，
∴x 无解；
当x＞3 时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＞8，
∴x＞5；
综上所述：x＜﹣3 或x＞5．
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故答案为：x＜﹣3 或x＞5．
