文档内容
5.3 实际问题与一元一次方程
（第 2 课时 销售中的盈亏问题） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次
方程”5.3实际问题与一元一次方程第2课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决“销售中的盈亏”问
题.
2.内容解析
“销售中的盈亏”问题是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有
一定的代表性.“增长率问题”“溶液配比问题”等相关问题均与其具有类似的数量特征．这类问题的背
景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这一问题的探究可以使学生进一步体验一元
一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.
在“销售中的盈亏”的探究中，解决问题的关键有以下两点:
（1）理解和生活紧密相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概念；
（2）“利润率”“亏损率”都是比值，要找准这一比值所对应的参照量.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：“销售中的盈亏”问题的探究过程．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解“销售中的盈亏”问题中的相关概念及它们之间的数量关系．
（2）能适时地利用“一元一次方程”这一工具解决问题
（3）经历探究解题的过程，增强探究解决综合性问题的能力．
2.目标解析
（1）理解问题相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概念；理解“利润＝售
价－成本”“利润率＝ ”等数量关系．
（2）能找解决问题所需的关键量，如“盈利衣服的盈利额”“亏损衣服的亏损额”，并利用一元一
次方程将之求出．（3）经历“估算猜想—探究验证”的问题探究过程，积累探究综合性问题的经验，增强探究解决综
合性问题的能力．
三、教学问题诊断分析
学生通过之前的学习，对应用一元一次方程解决简单实际问题具备了一定的基础，对建立方程模型解
决问题的基本过程也有基本的认识．但在这些问题中建立方程的目的就是为求得问题中某一变量的值，所
以设未知数和列方程的指向性比较明显．而本课中，以探究问题为代表的系列问题均以“判断决策”为最
终目标，没有明确要求建立方程以及为何建立方程，这一过程中就需要学生自行分析并发现影响决策的关
键变量，并自觉建立方程来求得．学生在这种自行选择探究方向和探究方法的问题中缺乏经验，为帮助学
生克服这一困难，教学过程中教师应加强引领和示范，突出将“判断决策”的实际问题转化为“比较数字
大小”的数学问题的过程，及一元一次方程的工具性.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中适时建立一元一次方程解决问题．
四、教学过程设计
（一）回顾旧知
1. 商品原价200元，九折出售，售价是 180 元.
2. 商品进价是150元，售价是180元，则利润是 30 元，利润率是 2 0 % .
3. 某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是 0. 9 a 元.
4. 某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 1.2 5 a 元.
5. 某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是 1 6 元.
师生活动：学生回顾，组内完成后，教师提出思考：（1）以上问题中有哪些量？（2）这些量有何关
系？
（二）问题的初探
一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的
是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
问题1：你估计盈亏情况是怎样的？（A）盈利．（B）亏损．（C）不盈不亏．
师生活动：教师提出问题，学生通过估算猜想结论，简单阐述理由；教师通过学生回答情况了解学生
对问题的认识情况．
【设计意图】估算能力是数学应用过程中的重要能力之一，设置对结论的估算环节可以培养学生的估
算能力，并通过学生的估算了解学生对销售问题的认识水平．
问题2：销售的盈亏决定于什么？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，得到“总的盈亏决定于总成本和总售价的比较”这一结
论，引导学生关注“两件衣服的总成本”，学生回答过程中，教师适时提问“成本”“售价”等相关概念，
引领学生熟悉问题情境．
【设计意图】借助问题引导学生熟悉并理解问题情境及相关概念，并引领学生将“总的是盈利还是亏
损”的实际问题转化为“比较总成本与总销售额大小”的数学问题，渗透转化思想．
（三）问题的进一步探究
问题3：两件衣服的成本各是多少元？这个结论与你的猜想一致吗？
解：（1）设盈利25%的衣服进价是x元，
依题意得 x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.
（2）设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60.
解得 y＝80.
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128（元）.
因为120－128＝－8（元）
所以卖这两件衣服共亏损了8元．
师生活动：教师提出问题，学生自行演算，教师巡视指导．
在指导过程中，教师应关注：
（1）学生对“利润率”和“亏损率”这两个概念能否正确理解；
（2）学生是否注意在同一问题中出现两个未知量，应设不同的未知数表示．
学生演算完成后提示学生将演算结论和之前估算的结论进行比较，并分析原因．
在学生完成之后，选同学表述解题过程，教师板书并点评．
【设计意图】教师通过问题2帮助学生明确了探究方向之后，让学生自主探究这一问题，使学生经历
探究过程，尤其是让学生体验“估算猜想—探究验证”的过程，有助于提高学生的探究能力．
（四）针对训练
1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元．其中一台盈利20%，另一台亏损20%. 这次琴行是
盈利还是亏损，或是不盈不亏？
答案：这次琴行亏本80元．
2. 某文具店有两个进价不同的计算器都卖 64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%. 这次交易中
的盈亏情况？答案：这次交易盈利8元.
3. 某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打 9 折 (即原价的 90% )，并再让利 40 元
销售，仍可获利 10% ，求该商品的进价．
解：设该商品的进价为每件x元，
依题意，得 900×0.9－40＝10% x＋x，
解得 x＝700.
答：该商品的进价为700元．
师生活动：教师依次给出练习，学生自主练习，教师巡视，选学生展示解答过程，学生点评．
【设计意图】在教师引领完成探究问题之后，依次给出练习，使学生在探究问题中获得的解题经验得
以巩固，并通过应用练习转化为能力．
（五）当堂巩固
1. 某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可获利10%，则下
列方程正确的是（ D ）
A．85%a=10%×90 B．90×85%×10%=a
C．85%(90－a)=10% D．(1+10%)a=90×85%
2. 两件商品都卖120元，其中一件盈利25%，另一件亏本20%，则两件商品卖出后（ D ）
A．盈利16元 B．亏本16元 C．赢利6元 D．亏本6元
3. 某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔 25元，而按原定价的九折出售，
将赚20元，则这种商品的原价是（ C ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
4. 某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为 272 5
元.
5. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在 2019年涨价 30% 后，
2021年又降价 70% 至 a 元，则这种药品在2019 年涨价前的价格为 元.
6. 某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利
润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？
解：设商店最多可以打x折出售此商品，
根据题意，得．
解得 x = 7.
答：商店最多可以打7折出售此商品.
【设计意图】考查学生对销售问题中“盈利率”等概念的理解情况，以及对建立方程模型解决此类问
题的一般方法的掌握．
（六）能力提升
据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20% 便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，
假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？
解：如下图：
答：应在360元～480元内还价.
【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．
（七）感受中考
1.（2023 •临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑
一台和1500元现金. 当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和 300
元现金.
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表
示）？
【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，
根据题意得： ，
解得：x=2100，
∴这台M型平板电脑价值2100元；
（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500=3600（元），
∴若工作m天，她应获得的报酬为 （元）.
2.（2023 •陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元. 已知她
买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.
【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x-3）元.
∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x＋6(x-3)=62，
解得：x=8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.
【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．
（八）课堂小结
教师和学生共同回顾本节内容，并回答以下问题：
1. 这节课你学习了哪些内容？
2. 通过学习你有哪些收获？
【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．
（九）布置作业
P136：练习：第1题.
P141：习题5.3：第10题.
五、教学反思
本节内容是学生进入中学后代数知识学习的又一次重要跨越．在前面，学生已经学习了有理数、整式
的加减和一元一次方程的解法，对数的认识已经由非负数有理数扩展到有理数，知道了用字母可以表示具
有一般意义的数量关系，掌握了解一元一次方程的一般步骤和基本方法，学生对代数知识的学习正逐步深
入，他们的代数变形能力正逐步提高．本节是第三章一元一次方程的最后一节，是对前面所学内容的综合
运用，也是七上教材“数与代数”领域的压轴内容．
列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元
一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般
步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习
解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，
便于学生有层次、有梯度地学习．
列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表
示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）
的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，
是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也
有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．
学生在小学阶段及前三小节对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的
背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自
己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问
题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强
数学应用意识和能力．
