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第五章 一元一次方程 单元测试（解析版）
一、单选题：
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，
则这个方程是一元一次方程．根据此定义，对四个选项逐一进行判断即可．
【详解】解：A. 未知数的次数不是1次，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；
B. ， 不是整式，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C. 是一元一次方程，故本选项符合题意；
D. ，含有2个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键掌握一元一次方程的定义．
2．若方程 是关于 的一元一次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，根据定义列式计算即可得到答
案．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
∴a=-1，
故选D．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，需注意的是含未知数的项的系数中含有未知数时必须满足系数不
等于0．
3．解方程 ，下列去分母变形正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】把方程两边同时乘以6去分母即可．
【详解】解：
把方程两边同时乘以6得： 即 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握去分母的方法．
4．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若 a＝b，则 ac＝bc B．若 a（x2＋1）＝b （x2＋1），则 a＝b
C．若 a＝b，则 D．若 x＝y，则 x－3＝y－3
【答案】C
【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．
【详解】解：A、a＝b，等式两边都乘以c，得到ac＝bc，正确；
B.a（x2＋1）＝b （x2＋1），等式两边同时除以（x2＋1），得到a＝b，正确；
C.a＝b，等式两边同时除以c，c为零时不成立，故错误；
D.x＝y，等式两边都减3，得到x－3＝y－3，正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等式的性质．运用等式性质1必须注意等式两边所加上的（或减去的）必须是同一
个数或整式；运用等式性质2必须注意等式两边所乘的（或除的）数或式子不为0，才能保证所得的结果
仍是等式．
5．下列变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据移项，去括号，去分母，通分的运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解： ： 移项得： ，故错误；
： 去括号得： ，故错误；： 去分母得： ，故错误；
： 所有项除 得： ，故正确；
故选：
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的步骤，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
6．解方程 ，嘉琪写出了以下过程：①去分母，得 ；②去括号，得
；③移项、合并同类项，得 ；④系数化为1，得 ，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．
【详解】在第②步，去括号得 ，等式右边去括号时忘记变号，
故选B．
【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1；在移项时要注
意符号的变化，此题是形式较简单的一元一次方程．
7．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母
与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依
题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设有x名工人生产螺栓，则 人生产螺母，根据一个螺栓需要两个螺母与之配套，列出一元
一次方程解决问题．
【详解】设有x名工人生产螺栓，则 人生产螺母，依题意得，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
8．关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．10【答案】C
【分析】根据方程的解为整数，可得k的值，再求解即可．
【详解】解：解方程得，x＝ ，
∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，
∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，
∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5，
∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出k的值是解题关键．
9．根据如图中两人的对话记录，求出哥哥买游戏机的预算为多少元？（ ）
A．3800 B．4800 C．5800 D．6800
【答案】C
【分析】设哥哥买游戏机的预算为 元，根据题意列出方程求解即可；
【详解】解：设哥哥买游戏机的预算为 元，
由题意得： ，
解得： ，
故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键．
10．某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出
可获利 （相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本20%（相对于进价），而这两台空调调价后的
售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）
A．要亏本 B．可获利
C．要亏本2% D．既不获利也不亏本
【答案】A
【分析】要求这两台空调调价后售出的亏赚，就要先求出他们的售价．根据题意可知，本题中的等量关系
是“调价后两台空调价格相同”，依此列方程求解即可．
【详解】设这两台空调调价后的售价为x，两台空调进价分别为 ．
调价后两台空调价格为： ．
解得： ，
调价后售出利润为： ，
所以亏本 ．
故选 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
二、填空题：
11．方程 1﹣ = 去分母后为 .
【答案】6﹣2（3﹣5x）=3（2x﹣5）
【分析】方程两边乘以6去分母得到结果即可.
【详解】解：方程去分母得：6-2(3-5x)=3(2x-5),
故答案为：6-2(3-5x)=3(2x-5)
【点睛】本题主要考查解一元一次方程的步骤之一：去分母.
12．当 时，整式 与 互为相反数；
【答案】0
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：∵代数式 与2x +1互为相反数，∴ +2x +1=0，
解得x=0.
故答案为：0.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
13．已知 是关于 的一元一次方程，则 的值为 ．
【答案】
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形
式是ax＋b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于m的方程组，继而求出m的值．
【详解】由一元一次方程的特点得
，
解得：m＝−2．
故填：−2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数
不是0，这是这类题目考查的重点．
14．已知 是方程 的一个根，则 ．
【答案】2020
【分析】根据 是方程 的一个根，可得 ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：2020
【点睛】本题主要考查了方程的解，已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立
的未知数的值是方程的解是解题的关键．
15．已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算： ＝ad﹣bc，那么当 ＝4时，则x＝
．
【答案】x＝﹣0.5【分析】根据新运算规定，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【详解】由题意，得
5（2x+3）﹣4（1﹣x）＝4，
解得x＝﹣0.5.
故答案为x＝﹣0.5.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，利用新运算规定得出一元一次方程是解题关键．
16．某人骑自行车去工厂上班，若每小时骑10km可早到6min，若每小时骑8km，就迟到6min．那他家到
工厂路程是 km．
【答案】8
【分析】设他家到工厂的路程是x千米，根据小明到工厂的规定时间不变建立方程求出其解即可．
【详解】设他家到工厂的路程是x千米
根据题意可得：
解得：x=8
故答案为8
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
17．一件商品的原价为a元，提高50%后标价，再按标价打七折销售，则此时售价为 元．
【答案】1.05a
【分析】售价=（1+提高百分比）×原价×折扣．
【详解】解：由题意得：实际售价为：（1+50%）a•70%=1.05a（元），故答案为1.05a.
【点睛】此题考查了列代数式的知识，解题的关键是联系生活，知道七折就是标价的70%．
18．如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正
方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是 cm，拼成的大正方
形的面积是 cm2．
【答案】 4.5 81
【分析】设小正方形的边长为xcm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小
正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意
得：6+7.5-x=x+3+1.5，
解得：x=4.5，
则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=9(cm），
大正方形的面积为92=81(cm2),
故答案为：4.5；81．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正
方形的边长．
19．某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；
小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元．
【答案】304或336
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，
第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一
律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即
是他应付款数．
【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能
是60元．
第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有： ，解得： ．
第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有： ，解得： ．
即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元．
综上所述，他两次购物的实质价值为 或 ，均超过了350元．因此均可以按照8
折付款： （元）， （元）．
故答案为：304或336．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨
论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
20．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是 ， 点P以每秒2个单位长度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动，设运动时间为t秒．当点P，Q之
间的距离为6个单位长度时，t的值为 ．
【答案】 秒或 秒或12秒
【分析】根据数轴上两点间的距离解题，分三种情况讨论①当点P、Q没有相遇时，②当点P、Q相遇后，
点Q没有到达A时，③当点Q到达A返回时．
【详解】解： 点A，B表示的数分别是 ，10， ， ， ，
①当点P、Q没有相遇时，
由题意得： ，解得： ；
②当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时，
由题意得： ，解得： ；
③当点Q到达A返回时，
由题意得： ，解得： ；
综上所述，当点P，Q之间的距离为6个单位长度时，t的值为 秒或 秒或12秒；
故答案为： 秒或 秒或12秒．
【点睛】本题考查数轴与数的对应关系、数轴上点的移动、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌
握数轴的性质是解题关键．
三、解答题：
21．解方程
（1）
（2）
（3）3（x﹣2）﹣1=x﹣（2x﹣1）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3）x=2；（4）x=-15
【分析】（1）根据等式的性质，对原方程移项，然后合并同类项，求出方程的解；（2）根据等式的性质，先将方程中的分母去掉，然后去括号，移项，合并同类项，系数化一，解出方程；
（3）按照去括号法则先将方程中的括号去掉，再根据移项，合并同类项，系数化一解出方程；
（4）先将方程中分母从小数化成整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1解出方程．
【详解】解：（1） ，
移项得： ，
合并同类项得： ；
（2） ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（3）
去括号得： ，
移项合并得： ，
系数化为1得：
（4）
整理得： ，
去分母得： ,
移项合并得： ,
系数化为1得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题中需要注意去分母时找出分母的最小公倍数，并且
方程的每一项都要乘；去括号时要注意符号的变化情况．
22．如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方
形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.【答案】大正方形的面积是36cm2
【分析】设小正方形的边长为x，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正
方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．
【详解】设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为4＋（5−x）cm或（x＋1＋2）cm，
根据题意得：4＋（5−x）＝（x＋1＋2），
解得：x＝3，
∴4＋（5−x）＝6，
∴大正方形的面积为36cm2．
答：大正方形的面积为36cm2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．
23．某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加
工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加
工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限
制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
【答案】方案三可获利润最多，最多可获利润850000元．
【分析】方案一由于全部进行粗加工，而16×15＞140，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润
5000元即可求出利润；方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15
天可精加工6×15=90吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；方案三由于将一部分进行精加
工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将x吨海产品进行精加工，则将（140-x）吨进行粗加
工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数，然后利用已知条件求出利润．
【详解】解：方案一：可获利润为：5000×140=700000（元）；
方案二：15天可精加工6×15=90（吨），说明还有50吨需要直接销售，
故可获利润：7500×90+1200×50=735000（元）；
方案三：设将x吨海产品进行精加工，则将（140-x）吨进行粗加工，
由题意得： ，
解得：x=60，
故可获利润7500×60+5000×80=850000（元），
∵850000＞735000＞700000，
所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元．
【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键
是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次 每户每月用电数 度 执行电价 元 度
第一
小于等于200部分
档
第二
大于200且小于等于400部分
档
第三
大于400部分
档
（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？
（2）若一户居民某月用电x度 大于200且小于 ，则需缴电费多少元？ 用含x的代数式表示
（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、
六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？
【答案】（1）需缴电费236元；（2）(0.6x-20)元；（3）该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，则需缴电费 ，
计算即可；
（2）根据阶梯电价收费制，用电 度 大于200小于 ，需交电费 ，化简即可；
（3）设五月份用电 度，则六月份用电 度，分两种情况进行讨论：① ；② ．
【详解】解：（1） 元 ．答：需缴电费236元；
（2） （元）；
（3）设五月份用电x度，则六月份用电 度．
分两种情况：
第一种情况：当 时，
，
解得 ，
；
第二种情况：当 时，250≤500-x≤400，
，
， 无解，
所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
25．如图：在数轴上，点A对应的数是 ，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M
以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留
1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为 秒．
(1)当 时，线段 的长为________（直接填空）；当 时，线段 的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；
(3)当线段 的长为7时，直接写出t的值．
【答案】(1)4，3
(2)
(3)8或9
【分析】（1）分别求出当 时，当 点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可；
（2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可；
（3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有
追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B
运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据 的长为7建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
∴ ；
当 时，点N表示的数为 ，点N表示的数为 ，
∴ ；
故答案为：4，3；
（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点
M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得 ，
解得 ，不符合题意；
当点N在点A停留时，由题意得， ，
解得 ，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得， ，
解得 ，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得， ，
解得 ；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得， ，
解得 ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关
键．
26．依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民每月工资、薪金收入不超过5000元，不需交税；超过5000元的部分为全月应纳税所得额，都应交税， 且根据超过部分的多
少按不同的税率交税，详细的税率如下表：
级别 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过3000元的部分 3
2 超过3000元至12000元的部分 10
3 超过12000元至25000元的部分 20
… … …
（1）某人2020年7月的总收入为6500元，问他应交税款多少？
（2）设x表示每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元），当 时，请写出y关
于x的函数关系式；
（3）某公司普通职员2020年8月应交税款84元，请求出该月他的收入是多少元？
（4）某公司部门经理2020年9月应交税款900元，请直接写出他该月的收入是 元．
【答案】（1）45元（2）y=0.03x-150（3）7800元（4）16100
【分析】（1）根据表格中税款的缴纳特点即可求解；
（2）根据表格中税款的缴纳特点即可写出y关于x的函数关系式；
（3）根据税款84元可知其工资在大于5000元小于8000元的范围，故可设他的收入为x，列方程求解；
（4）根据税款900元判断其工资可能大于8000元小于17000元的范围，可设他的收入为x，列方程求解．
【详解】（1）∵总收入为6500元，
则应交税款：（6500-5000）×3%=45（元）
（2）当 时， y关于x的函数关系式为y=（x-5000）×3%=0.03x-150；
（3）根据税款84元可知其工资在大于5000元小于8000元的范围，
设他的收入为x，依题意可得（x-5000）×3%=84
解得x=7800元；
故该月他的收入是7800元；
（4）∵税款900元，故工资在大于8000元小于17000元的范围
设他的收入为x，依题意可得（x-8000）×10%+3000×3%=900
解得x=16100
故答案为：16100．
【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出函数或方程求解．
