文档文本内容
培优专题05 一元一次方程章节13 种易错题专项巩固训练
（题型突破·举一反三）
题型01 方程的识别
题型02 根据一元一次方程的定义求参数
题型03 判断是否方程的解
题型04 已知方程的解求代数式的值
题型05 根据实际问题列方程
题型06 利用等式的性质对等式变形
题型07 解一元一次方程时去括号时错误
题型08 解一元一次方程时去分母时错误
题型09 解含小数的一元一次方程时错误
题型10 识别解一元一次方程的错误步骤
题型11 根据两个一元一次方程解的关系求参数
题型12 看错系数 / 看错符号的错解复原问题
题型13 解的情况讨论（有无解、无数解求参数）
▌题型01 方程的识别
【典例1】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）在①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
中，等式有__________，方程有__________．（填序号）
【答案】
①②③⑥
①②⑥
【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答．
【详解】解：①
，有等号、有未知数，是等式也是方程；
②
：有等号、有未知数，是等式也是方程；
③
：有等号、无未知数，只是等式；
④
：是小于号，不是等式，也不是方程；
⑤
：是大于号，不是等式，也不是方程；
⑥
：有等号、有未知数，是等式也是方程．
所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥．
【变式1】（21-22 七年级下·河南南阳·周测）下列各式中，①
；②
；③
；④
；⑤
，是方程的有（ ）个
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可；
【详解】根据方程的定义可知：
，
是方程，有
个．
【变式2】（22-23 七年级上·全国·期末）下列式子中，一元一次方程的个数为（ ）
；
；
；
；
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1 的整式方程，逐个判断式
子即可得出结果．
【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断：
∵
是只含一个未知数，未知数次数为1 的整式方程，∴
是一元一次方程．
∵
不是等式，不属于方程，∴
不是一元一次方程．
∵
中未知数最高次数为2，∴
不是一元一次方程．
∵
含有两个未知数，∴
不是一元一次方程．
对
化简得
，
∵整理后未知数最高次数为2，
∴
不是一元一次方程．
综上，一元一次方程只有1 个．
【变式3】（25-26 六年级下·山东淄博·期中）下列各式
；
；
；
中，是一元一次方程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有
是一元一次方程．
▌题型02 根据一元一次方程的定义求参数
一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1 个
未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值.
【典例2】（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程
是关于x 的一元一次方程，则a 的值是
______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数
的次数为，据此列出关于
的方程求解即可．
【详解】解：
方程
是关于x 的一元一次方程，
，
解得：
．
【变式1】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）已知
是关于
的一元一次方程，则
的值
为__________．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为
，
据此列出等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，且
．
解
得
，即
或
．
又
．
因此
．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x 的方程
是一元一次方
程，则k 的值为______．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是1 的方程
可知，
的系数应为0，x 的系数应不为0，列出关系式求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：
，
故答案为：1．
【变式3】（25-26 六年级下·全国·课后作业）若
是关于
的一元一次方程，求
的
值；并求此方程的解．
【答案】
，
【分析】本题考查一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．根据一元一次方程的定义：含有一个未知数，
且未知数的次数为1 的整式方程，列式即可求出
的值；再解一元一次方程即可．
【详解】解：因为
是关于
的一元一次方程，
所以
，且
，
解得
，且
，
故
，
把
代入方程
，得
，
解得
．
▌题型03 判断是否方程的解
只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；
如果不相等，那么这个数就不是方程的解.
【典例3】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）下列方程中，解为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的方法逐项求解即可．
【详解】解：A、解
得
，故不符合题意；
B、解
得
，故不符合题意；
C、解
得
，故符合题意；
D、解
得
，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】（25-26 六年级上·上海闵行·期末）下列哪个方程的解不是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的解，通过将
代入每个方程，验证等式是否成立，确定
是否是方程
的解．
【详解】解：A 选项：当
时，左边
，右边
，左边
右边，
是方程
的解，故A 选项不符合题意；
B 选项：当
时，左边
，右边
，左边
右边，
不是方程
的解，故B 选项符合题意；
C 选项：当
时，左边
，右边
，
左边
右边，
是方程
的解，故C 选项不符合题意；
D 选项：当
时，左边
，右边
，
左边
右边，
是方程
的解，故D 选项不符合题意．
故选：B．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏苏州·阶段检测）整式
（
为常数）的值随
的取值的不同而
不同，下表是当
取不同值时对应的整式的值，则关于
的方程
的解为（ ）
0
1
2
8
4
0
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了方程的解．
方程
的解即求使整式
值为8 的x，由表格数据直接对应可得．
【详解】解：由表格知，当
时，
，
则方程
的解为
．
故选：D．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．其中，x＝2 是其解的方程有_______．（填序号）
【答案】②④⑤⑥
【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案．
【详解】解：当
时，①的左边
，右边
，左边
右边，所以
不是①的解；
当
时，②的左边
，右边
，左边
右边，所以
是②的解；
当
时，③的左边
，右边
，左边
右边，所以
不是③的解；
当
时，④的左边
，右边
，左边
右边，所以
是④的解；
当
时，⑤的左边
，右边
，左边
右边，所以
是⑤的解；
当
时，⑥的左边
，左边
右边，所以
是⑥的解；
故答案为：②④⑤⑥．
【变式4】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为
的一元一次方程：______．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质
是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当
时等式成立的一元一次方程即可．
【详解】解：设一元一次方程为
（
），将
代入，得
，
∴
，
取
，则
，
得到方程
，
故答案为：
（答案不唯一）．
▌题型04 已知方程的解求代数式的值
【典例4】（25-26 六年级下·山东泰安·期末）关于
的方程
的一个解是
，则
____________．
【答案】
【详解】解：∵关于
的方程
的一个解是
，
∴
，
∴
，
∴
．
【变式1】（24-25 六年级下·山东烟台·期中）若关于
的一元一次方程
的解是
，则
的值是_______
【答案】
【分析】由方程的解可得
，可得
，再进一步求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
的解为
，
∴
，
∴
，
∴
．
【变式2】（2026·江苏常州·一模）若
是一元一次方程
的解，则代数式
的值为
_____．
【答案】
【分析】将
代入方程
得到
，对所求代数式变形后整体代入即可求值．
【详解】解：
是一元一次方程
的解，
，
．
【变式3】（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）若
是关于
的方程
的解，则代数式
的值是________．
【答案】
【分析】将
代入关于
的方程
并整理，可得
，然后整体代入并求解即可．
【详解】解：∵
是关于
的方程
的解，
∴
，
∴
．
▌题型05 根据实际问题列方程
【典例5】（2026·河南周口·一模）情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3 个积分可兑换
1 包纸巾，5 个积分可兑换1 瓶洗手液．若小明现有x 个积分，兑换了4 包纸巾和2 瓶洗手液，恰好用完积
分，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题中等量关系为：总积分等于兑换纸巾的积分和兑换洗手液的积分之和，据此即可列出方程．
【详解】解：∵3 个积分兑换1 包纸巾，兑换4 包纸巾需要的积分为
，
5 个积分兑换1 瓶洗手液，兑换2 瓶洗手液需要的积分为
，
已知总积分
恰好用完，总积分等于兑换两种物品的积分和，
∴ 可列方程
．
【变式1】（25-26 七年级上·河北保定·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个问题，其大意
为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银
两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程：
嘉嘉：
；淇淇：
．
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉设总银两数为
两
B．淇淇设这群人共有
人
C．嘉嘉所列方程左右两边代数式表示的都是每人分到的银两数
D．淇淇所列方程左右两边代数式表示的都是这群人的人数
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题目中不变的量作为等量关系列方程是解题关键．
明确两个方程中未知数的含义及方程两边代数式的意义，进而判断选项正误。
【详解】解：∵嘉嘉的方程
中，
表示这群人的人数，左右两边代数式均表示总银两数，
∴
、
选项错误；
∵淇淇的方程
中，
表示总银两数，左右两边代数式均表示这群人的人数，
∴
选项错误，
选项正确．
故选：
．
【变式2】（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高
后标价，再优
惠
元销售，能获得
的毛利率(
)，设一副该款耳机的进价为
元，可列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——销售问题，关键是严格依据题目给出的毛利率公式，理清进
价、标价、售价之间的数量关系，建立方程．
【详解】解：已知一副耳机的进价为
元，
∵按进价提高
后标价，
∴标价为
元；
∵再优惠
元销售，
∴售价为
元；
根据题意，得
．
故选：D．
【变式3】（24-25 六年级下·河南郑州·自主招生）一条公路，修了全长的
，离中点还有
，这条公
路全长多少千米? 设这条公路全长
． 列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元一次方程，读懂题意，列出等量关系是解本题的关键．
根据题意列出方程即可．
【详解】解：设这条公路全长
，
依题意得，
故选：C．
【变式4】（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）根据所给信息，如图图形可以用方程“
”来表
示的有（ ）个．
A．3
B．2
C．1
【答案】B
【分析】此题考查了圆柱，圆柱的体积，梯形的面积和长方形的面积，根据圆柱和圆锥的体积公式即可列出
图形1 的方程；根据两个三角形面积相加等于梯形面积即可列出图形2 的方程；根据种牡丹的面积加上其他
的面积等于总面积即可列出图形3 的方程．
【详解】图形1：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
，列方程为：
；
图形2：两个三角形面积相加等于梯形面积
，
，
∴
，整理得：
；
图形3：种牡丹的面积是
，空白地方的面积是
，列方程为：
．
前两幅图图形可以用方程“
”来表示．即只有2 个图形满足题意．
故选：B．
【变式5】（25-26 七年级下·江苏南京·开学考试）如图，根据图中的信息，可列方程为
______________________________．
【答案】
【分析】根据体积相等，结合圆柱体积公式列出方程．
【详解】解：根据圆柱体积公式，容器内原来有水
，加入小球后总体积为
，
由体积相等，可列方程：
．
▌题型06 利用等式的性质对等式变形
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算；
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.
【典例6】（25-26 七年级上·河南漯河·期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．由
，得
B．由
，得
C．由
，得
D．由
，得
【答案】D
【详解】解：选项A，当
时，
与
无意义，因此该变形错误．
选项B，∵
，等式两边同时除以
，∴可得
，因此变形得到
错误．
选项C，∵
，等式两边同时乘以
，∴可得
，因此变形得到
错误．
选项D，∵
，∴
，由
，等式两边同时除以
，可得
，变形正确．
【变式1】（25-26 七年级上·北京·期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【详解】对选项A，∵
，移项，得
，与选项变形不符，∴A 错误；
对选项B，∵
，去括号，得
，与选项变形不符，∴B 错误；
对选项C，∵
，等式两边同时除以
，得
，与选项变形不符，∴C 错误；
对选项D，∵
，等式两边同时乘
去分母，得
，变形正确，∴D 正确．
【变式2】（25-26 七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程
的步骤中，依据“等式的
性质”变形的是（ ）
．步骤1
．步骤2
．步骤3
．步骤4
A．步骤，
B．步骤，
C．步骤
，
D．步骤，
【答案】C
【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果．
【详解】解：
步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意；
步骤
是等式两边同时减去
，依据等式的性质，故步骤
符合题意；
步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意；
步骤4 是等式两边同时除以
，依据等式的性质
，故步骤
符合题意；
依据“等式的性质”变形的是步骤
和步骤
.
【变式3】（2026·江苏泰州·二模）若
，则下列等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】已知
，根据等式的基本性质变形，结合特殊值法即可判断各选项是否一定成立．
【详解】∵
， ∴
，
A 选项，取
，
，满足
，但
，因此A 不一定成立；
B 选项，代入
，得
，仅当
时等式成立，因此B 不一定成立；
C 选项，将等式
两边同时乘
，得
，因此选项C 一定成立；
D 选项，代入
，得
，仅当
时
，因此D 不一定成立．
【变式4】（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知
，用含x 的代数式表示y，得y=______．
【答案】
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
．
▌题型07 解一元一次方程时去括号时错误
1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项;
2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号.
【典例7】（25-26 七年级下·河南周口·期中）解方程
，去括号正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：
，
去括号得：
．
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程
去括号时，忘记将括号中的
第二项变号，求得方程的解为
，那么方程正确的解为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们
可以通过他错误的解反推出参数
的值，然后将
代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作
下的方程形式，并据此建立等式求出
．
【详解】解：因此他的错误方程为：
．
代入错误解
，
解得：
代入原方程：
即：
解得：
【变式2】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）若关于
的两个方程
和
的解
相同，则
的值为___________．
【答案】4
【分析】本题主要考查同解方程的定义，先解第一个一元一次方程得到
的值，再将该值代入第二个方程求
解
．
【详解】解：方程
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1 得：
，
将
代入方程
中得：
，
即
，
解得：
．
【变式3】（21-22 七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计
算的效果．例如，在解方程
时，把
看作一个整体．
令
，得：
，
去括号，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化为1，得：
，
故
，解得
．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
【答案】x=
【分析】把x+2 看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4，
原方程得：
，
去括号，得：4a-20=1，
移项，得：4a=21，
系数化为1，得：a=
．
故x+2=
，
解得x=
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式4】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：
，
，
，
，
．
（3）解：
，
，
，
，
．
（4）解：
，
，
，
，
，
．
【变式5】（25-26 七年级上·广东汕头·期末）解方程：
．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果，熟练掌握解一元一次
方程的步骤是解此题的关键．
【详解】解：去中括号得：
，
去分母得：
，
去小括号得：
，
移项合并得：
，
解得：
．
【变式6】（25-26 六年级上·上海·期末）解方程：
．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤是解
题关键．先去分母，去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为，即可得答案．
【详解】解：
，
去分母得：
，
去括号得：
，
移项、合并同类项得：
，
系数化为得：
．
【变式7】（25-26 七年级上·山东青岛·开学考试）解方程：
【答案】
【分析】按照一元一次方程的一般解法进行求解即可．
【详解】解：
解得
．
▌题型08 解一元一次方程时去分母时错误
1）不要漏乘不含分母的项；
2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.
【典例8】（25-26 七年级下·河南周口·期末）解方程
，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵方程
的分母为2 和3，最小公倍数是6，
∴给方程两边同时乘以6 去分母，可得：
，
化简得
．
【变式1】（25-26 六年级下·山东威海·期中）小明解方程
时，由于粗心大意，在去分母
时，方程右边的
没有乘以10，由此求得的解为
，则方程
正确的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数
的值，再将参数
的值代入原方程
求解，即可解题．
【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的
没有乘以
，
∴错误去分母得到的方程为：
，
将
代入错误方程，得
，
解得
，
将
代入原方程，得
，
两边同乘10 正确去分母，得
，
展开得
，
移项合并得
，
解得
，
∴方程正确的解为
．
【变式2】（25-26 六年级下·山东烟台·期中）定义运算“
”，其规则为
，则方程
的解为______．
【答案】
【分析】根据题中新定义的运算规则，先计算括号内的
，再将所得结果与
按照运算规则转化为一元一
次方程，解一元一次方程即可得到结果.
【详解】解：根据新定义运算规则，先计算括号内的
：
原方程可化为
，再根据新定义化简得：
整理得：
去分母得：
移项合并同类项得：
系数化为得：
.
【变式3】（25-26 七年级下·四川遂宁·期末）解方程：
【答案】
【详解】解：原方程为
移项得
原方程整理为
，
解得
．
【变式4】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，将方程变形成
，然后通分变形
化简，最后得出
，进而即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
化简得∶
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【变式5】（25-26 七年级上·山东德州·期末）解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．
（1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后未知数系数化为1 即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后未知数系数化为1 即可．
【详解】（1）解：
去分母得：
，
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1 得：
；
（2）解：
，
去分母（方程两边乘6）得：
，
去括号得：
．
移项得：
．
合并同类项得：
．
系数化为1 得：
．
▌题型09 解含小数的一元一次方程时错误
若方程中某些项的分母含小数，则先利用分数的性质将分子、分母同时扩大若干倍，使
小数变成整数，再去分母解方程.若分母含小数的项的分子是多项式，则多项式中的每一项都应乘相应的倍
数.
【典例9】（上海外国语大学附属外国语学校2025-2026 学年六年级上学期数学期末试卷）解方程：
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次方程．
通过将分式中的小数化为整数，简化方程后去分母，转化为不含分母的一元一次方程求解．
【详解】解：
方程可化为
两边同乘12，得
化简得
移项得
所以方程的解为
【变式1】（江苏南京市鼓楼实验中学2025-2026 学年上学期七年级期末数学试卷）解方程：
．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：
，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1
求解即可．
【详解】解：
，
整理，得
，
方程两边同时乘以
，去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，
，
将系数化为，得
．
【变式2】（四川省达州市渠县中学2024-2025 学年七年级上学期12 月月考数学测试题）定义：我们把绝对
值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：
，
，
，…都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，根据
绝对值的意义，由
，可得
或
．
(1)【例】解方程：
．
我们只要把
看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得
或
．
解这两个一元一次方程，得
或
．经检验可知，原方程的解是
，
；
(2)【解决问题】解方程
．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可；
（2）根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解：
，
根据绝对值的意义，得：
或
，
故答案为：
；
（2）解：
，
根据绝对值的意义，得：
或
，
解得：
或
．
【变式3】（山东省威海市荣成市2022-2023 学年六年级上学期期末数学试题）计算：
(1)下面是解方程
的主要过程
解：原方程化为
______，
去分母，得
②，
去括号，得
______，
移项，得
______，
合并同类项，得
（合并同类项法则），
把未知数x 的系数化为1，得
______．
请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上；
(2)仿照上例解方程：
（不需要指出每步的依据）
【答案】(1)③④①②
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌
握解一元一次方程的步骤是解题关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：解：原方程化为
③，
去分母，得
②，
去括号，得
④，
移项，得
①，
合并同类项，得
（合并同类项法则），
把未知数x 的系数化为1，得
②．
故答案为：③④①②；
（2）解：原方程化为：
，
去分母，得：
，
去括号，得：
，
移项，得：
，
合并同类项，得：
，
把未知数x 的系数化为1，得：
．
【变式4】（四川省宜宾市江安县2023-2024 学年七年级下学期期中考试数学试题）在学完解一元一次方程
后，聪明的小明同学解方程
的过程如下：
解：原方程可变形为
．
（？），得
．
去括号，得
．
移项、合并同类项，得
．
(1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______；
(2)参考小明的解题过程，解方程：
．
【答案】(1)去分母；等式的基本性质；
(2)
．
【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为1．
（1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】（1）小明的解题过程中，“？”处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质；
（2）原方程可变形为
．
去分母，得
．
去括号，得
．
移项、合并同类项，得
．
方程两边同除以
，得
．
▌题型10 识别解一元一次方程的错误步骤
【典例10】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）下面是明明解方程
的过程：
解：去分母得：
（第一步）
去括号得：
（第二步）
移项得：
（第三步）
合并同类项得：
（第四步）
系数化为1 得：
（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________．
任务二：请你写出解方程的正确过程．
【答案】
任务一：2，一，去分母时常数项漏乘；
任务二：见解析
【分析】根据一元一次方程的解法解题即可．
【详解】解：任务一：上述解答过程共出现2 处错误，分别是第一步和第三步；首次出现错误在第一步，这
一步错误的原因是去分母时常数项漏乘；
任务二：去分母得：
，
去括号得：
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1 得：
．
【变式1】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：
解方程
解：去分母，得
第①步
去括号，得
第②步
移项，得
第③步
合并同类项，得
第④步
系数化为1，得
第⑤步
习题2：
解方程：
解：去括号，得
第①步
移项，得
第②步
合并同类项，得
第③步
系数化为1，得：
第④步
(1)习题1 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(2)习题2 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(3)从中任选一题，写出它的正确解答过程．
【答案】(1)①，去分母时常数项
未乘分母的最小公倍数12
(2)②，移项时
未变号
(3)选习题1 时，
；选习题2 时，
【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
（1）去分母漏乘；
（2）移项时，部分数据未变号；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤求解即可．
【详解】（1）解：习题1 的解题过程从第①步开始出现错误，理由：去分母时常数项
未乘分母的最小公
倍数12，
故答案为：①，去分母时常数项
未乘分母的最小公倍数12
（2）解：习题2 的解题过程从第②步开始出现错误，理由：移项时
未变号，
故答案为：②，移项时
未变号；
（3）解：选习题1：
解得
；
选习题2：
，
解得
【变式2】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）下列是小明和小华同学关于一元一次方程
的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，
帮助他分析错因，并加以改正．
小明同学：
解方程
解：
第①步
第②步
小华同学：
解方程
解：
第①步
第②步
第③步
第④步
第⑤步
第⑥步
第③步
第④步
第⑤步
第⑥步
(1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）
(2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______；
(3)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)
小明（或小华）
(2)
③，去括号时没有变号（或①，利用等式的基本性质2 时，等式右边漏乘8）；
(3)
若选择小明，方程两边同时乘以8，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
若选择小华，方程两边同时乘以8，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
的步骤，尤其注意去括号时的符号变化”是解题的关键．
（1）选择一名同学，分析其解题过程的错误；
（2）找出该同学解题中出错的步骤，说明错误原因；
（3）按照一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）正确求解．
【详解】（1）解：选择小明（或小华）；
故答案为：小明（或小华）；
（2）解：若选择小明，从第③步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有变号；
若选择小华，从第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的基本性质2 时，等式右边漏乘8；
故答案为：③，去括号时没有变号（或①，利用等式的基本性质2 时，等式右边漏乘8）；
（3）略
【变式3】（25-26 七年级下·河南南阳·期中）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程
，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下
面的解法：
解：原方程可化为
【A】
去分母，得
【B】
去括号，得
【C】
移项，得
【D】
合并同类项，得
【E】
系数化为1，得
【F】
(1)他错在哪一步？_____（请填后面的大写字母代号），错误的原因是_____；
(2)步骤【A】的变形依据是_____；步骤【B】的变形依据是_____；
(3)请你帮助写出正确求解过程．
【答案】(1)D；移项时
忘了变号
(2)分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0 的数，分数的值不变；等式两边都乘以（或都除以）
同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0 的数，方程
的解不变）
(3)
，正确求解过程见解析
【分析】（1）根据移项要改变符号可得答案；
（2）根据分数的基本性质，等式的基本性质2 可得答案；
（3）把方程化为
，再去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1
即可.
【详解】（1）解：他错在哪一步，D（请填后面的大写字母代号），错误的原因是移项时
忘了变号；
（2）解：步骤【A】的变形依据是分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0 的数，分数的值不
变；
步骤【B】的变形依据是等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式；
（3）解：原方程即
，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
▌题型11 根据两个一元一次方程解的关系求参数
【典例11】（25-26 七年级下·福建漳州·期中）已知方程
的解比关于x 的方程
的解小1，
则a 的值为____．
【答案】
【分析】先求出方程
的解，进而得到方程
的解，代入
即可求出a 的值．
【详解】解：解
得
，
∵方程
的解比关于x 的方程
的解小1，
∴方程
的解为
，
∴
，
解得：
．
【变式1】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）已知关于
的方程
的解与方程
的解
相同，则
的值为________．
【答案】
【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x 的值，再将x 代入含参数的方程，
即可求出参数m 的值．
【详解】解：解方程
，
解得
．
解方程
，
解得
．
两个方程的解相同，
，解得
．
【变式2】（25-26 七年级上·河北张家口·期末）若关于
的方程
的解是关于
的方程
的解的2 倍，则
的值为_________．
【答案】
/
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程
成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m 的方程求解即可．
【详解】解：解方程
得
；
解方程
得
．
由题意，
，即
，
解得
．
故答案为：
．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）若关于x 的方程
和
的解互为相
反数，则m 的值为______．
【答案】
/
【分析】本题考查了一元一次方程解的关系，解一元一次方程．
根据两个方程的解互为相反数，设第一个方程的解为a，则第二个方程的解为
，分别代入方程得到
，
，将
代入
求解即可．
【详解】解：设方程
的解为
，则方程
的解为
，
∴
，
，
由第二个方程得：
，
将
代入
得
，
化简得：
，
∴
，
解得：
．
故答案为：
．
【变式4】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）已知关于x 的方程
与方程
的解互
为倒数，则
的值为___．
【答案】9
【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于m 的方程求解
即可．
先解方程
得到解
，由于两方程解互为倒数，故第一个方程的解为
，代入第一个
方程求出
，再计算代数式
的值．
【详解】解方程
，
两边同乘2 得
，
移项得
，
即
，
解得
．
由于两方程解互为倒数，所以第一个方程
的解为
．
将
代入
，
得
，
两边同乘6 得
，
即
，
移项得
，
即
，
解得
．
则
．
▌题型12 看错系数 / 看错符号的错解复原问题
【典例12】（24-25 七年级上·湖北孝感·阶段检测）小红在解关于x 的一元一次方程
时，由于粗
心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为
，并解得
，请根据以上已知条件，求得原方
程正确的解为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，解题的关键是理解题意；根据错误方程的解得出a 的值，
然后再进行求解方程即可
【详解】解：小红去分母时漏乘了
，将
代入
，
可得
，即
．
所以原方程为
，
去分母得
，
移项得
，
解得
；
故答案为
．
【变式】1（23-24 七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程
时，把（ ）处的数字看错，
得错解
，则他把（ ）处看成了
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（ ）处为
，则原式为
，把
代入解得
，即可作答．
【详解】解：依题意，先设（ ）处为
，
则原式为
，
把
代入，得
解得
，
故选：C
【变式2】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）小琳在解关于x 的方程
时，把
“
”抄成了“
”，求得方程的解为
，求a 的值和原方程的解．
【答案】
，原方程的解为
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，通过错误方程的解
求出a 的值，
再代入原方程求解．
【详解】解：小琳抄错的方程为
，
∵错误方程的解为
，
∴代入得
，
解得：
，
∴原方程为
，
整理得
，
两边同乘6 得
，
展开得
，
即
，
移项得
，
即
，
∴
．
▌题型13 解的情况讨论（有无解、无数解求参数）
把除未知数以外的字母当作数字，正常求解方程.但是，当把方程化为ax=b 的形式的时
候注意，如果系数是确定的数字，那么两边可以同时除以系数，得到方程的解. 但是如果系数中含有字母，
那么就需要对系数进行分类讨论:
(1)当a≠0 时，有唯一解x=
𝑏
𝑎；
(2)当a=0，b=0 时，x 为任意有理数，即方程有无数多个解；
(3)当a=0，b≠0 时，方程无解.
【典例13】（23-24 七年级下·吉林长春·阶段检测）已知关于
的方程
，当
，
为何值时：
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元一次方程的解；
（1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可；
（2）根据方程有无数解确定出条件即可；
（3）根据方程无解确定出条件即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴当
时，即
，方程有唯一解
（2）∵方程有无数个解，
∴
，即
（3）∵方程无解，
∴
，
∴
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）若关于x 的方程
与
均
无解，求代数式
的值．
【答案】9
【分析】本题考查了一元一次方程的解的情况求参数，代数式求值，先根据方程
与
均无解，求出m，n 的值，再将m，n 代入式子求解即可
【详解】解：
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
因为方程无解，
所以
，
所以
，
．
解方程
，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
因为方程无解，
所以
，
所以
，
所以
【变式2】（2025 七年级上·全国·专题练习）已知方程
．
(1)当
取何值时，方程无解？
(2)当
取何值时，方程有无穷多个解？
(3)当
取何值时，方程有唯一解
？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，
解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键．
（1）由题意知，方程整理得，
，当
，且
时，方程无解，计算求解即可；
（2）由题意知，当
，且
时，方程有无穷多个解，计算求解即可；
（3）把
代入
，得
，然后根据
，
，化简绝对值，然后求出满
足要求的解即可．
【详解】（1）解：
，
整理得，
，
由题意知，当
，且
时，方程无解，
解得
，
∴当
时，方程无解；
（2）解：由题意知，当
，且
时，方程有无穷多个解，
解得
，
∴当
时，方程有无穷多个解；
（3）解：把
代入
，得
，
当
时，
，
解得
（不合题意，舍去）；
当
时，
，
解得
，
∴当
时，方程有唯一解
．
