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专题3.16 解一元一次方程28题（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．方程 的解是x=( )
A． B．- C． D．-
2．若方程： 与 的解互为相反数，则a的值为（ ）
A．- B． C． D．-1
3．满足方程 的整数x有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．方程 的解是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程 的解总是x＝
2，则 _________．
6．关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝______．
7．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元
一次方程 的解为_____________．
8．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于的y一元一次
方程 解为__________．
9．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一
元一次方程 的解为________．10．方程 的解是 ____.
11．在方程 中，如果设 ，那么原方程可化为关于y的
整式方程是______ ．
12．方程 的正整数解 是_____.
13．已知数列 ，记第一个数为a，第二个
1
数为a，…，第n个数为a，若a 是方程 (1－x)＝ (2x＋1)的解，则n＝___．
2 n n
14．已知关于 的方程 的解为x=4，那么关于 的方程
的解为 ___________．
15．如果 是关于x的一元一次方程，那么 __________．
三、解答题
16．已知a，b为实数，关于x的方程 是一元一次方程，求
的值与方程的解.
17．解方程
（1） （2）
（3）18．计算．
（1） y=2y﹣1 （2）5（x﹣5）+2（x﹣12）=0
（3）y﹣ =1﹣ （4）2（x﹣2）﹣（4x﹣1）=3（1﹣x）
（5） （6） ．
19．解方程： ．
20．解方程，（1）（2）
21．解一元一次方程：
22．已知关于x的方程2ax=(a+1)x+6,求当a为何整数时,方程的解是正整数.
23．解下列方程：
(1) ； (2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝
0；
(3) ； (4) ．24．（1）计算：
（2）解方程：
25．用适当方法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）若 为整数， ；
26．解答下列各题．
（1）方程 和方程式 的解相同，求 的值．（2）已知实数 ， ，…， （其中 是正整数）满足：
，
① ________；
② ________；（用含 的代数式表示）
③ 的值．
27．已知关于x的方程： 与 有相同的解，求关于y的方程
的解．
28．当k为何值时，代数式 比 的值大1．参考答案
1．D
解：方程两边同乘以24可得-8[ ]-2=-1，去括号，可得-8（
）-2=-1，即-4-4x+ -2=-1，4x=-5+ ，解得x=- .
故选D.
2．A
解：∵2（x-1）-6=0，
∴x=4，
∵ ，
∴x=3a-3，
∵原方程的解互为相反数，
∴4+3a-3=0，
解得，a= .
故选A.
3．C【分析】分类讨论： ， ， 时，分别解方程求得答案.
解：当 时，原方程为： ，得x= ，不合题意舍去；
当 时，原方程为： ，得x= ，不合题意舍去；
当 时，原方程为： ，得2=2，说明当 时关
系式 恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1.
故选：C.
【点拨】此题考查解一元一次方程，需根据x的范围将绝对值符合去掉，再解出x的
值.
4．B
【分析】方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
解：方程变形得：
即 ，
去分母得： ，
解得:x=
故选B.
【点拨】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形.
5．
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根
据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，解得a=3， ，
∴ ．
故答案为：-4．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列
出方程是解题的关键．
6．
【分析】先把原方程变为 ，再由方程无解即可得到 ，由此
求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是
解题的关键．
7．
【分析】根据关于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入关于y的
方程式中，可以得到y的解．
解：∵ 的解为 ，
∴ ，解得： ，
∴方程 可化为
，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握
整体代换的思想是解题的关键．
8． ．
【分析】将方程 变形为 ，在根据方程
的解为 得到 ，即可求解．
解：将关于 的一元一次方程 变形为 ，
即 ，
∵一元一次方程 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： y=3 ．
【点拨】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于 的一元一次方程
变形为 是解题关键．
9．2024【分析】根据关于x的一元一次方程的解，可以得到m的值，把m的值代入关于y的
方程式中，可以得到y的解．
解：法一：∵ 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
∴方程 可化为
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2024．
法二：将所求方程两边同乘-1，
对照
比较发现，
x=y-5,而x=2019,
所以y=2024
【点拨】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握
整体代换的思想是解题的关键．
10．1010
【分析】方程左边整理后，利用折项法变形，计算即可求出解.
解：∵∴方程整理为：
即
即
化简得， ，即
整理得，
解得，
故答案为：1010.
【点拨】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，
移项，合并同类项，系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a的形式转化.
11．
分析：以y代替已知方程中的（x2﹣3x）即可．
解：∵设y=x2﹣3x，
∴由方程 ，得：y+ +3=0，
去分母，得：y2+3y+2=0．
故答案为y2+3y+2=0．
点睛：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，
实行等量替换．
12．
解：根据 = ，则 得： 即正整数
解 是 .
故答案： .
13．325或361解：
两边同乘以21得：7－7x=12x+6
解得：x=
∴an=
分析数列如下：
（分母为1时，1个数）
， ， （分母为2时，3个数）
以此类推，分母为3时，有5个数，分母为4时，有7个数，分母为5时，有9个数，
分母为6时，有11个数，分母为n时，有2n-1个数．当分母为19时，一共有：1+3+…
+（2×19-1）=361，361－2×18=325．故n=325或361．
【点拨】题目设计新颖，考查学生的观察能力和处理问题能力，特别注意 会在两个
位置出现，因此n值会有两个解．
14．
【分析】结合题意，根据一元一次方程和绝对值的性质计算，即可得到答案．
解：∵关于 的方程 的解为x=4
∴
∵ ，且
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次方程和绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次
方程和绝对值的性质，从而完成求解．
15．1
解：∵（a+4）x|a+3|+8=0是关于x的一元一次方程，∴|a+3|=1，a+4≠0．
解得a=-2．
将a=-2代入得：原式=（-2）2+（-2）-1=4-2-1=1．
故答案为1．
16．a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x= 或x=2或x= 或
x= .
【分析】先根据一元一次方程的定义求出a、b的值，代入可求得a+b的值，然后根据
解一元一次方程的一般步骤进行求解即可.
解：∵关于x的方程 是一元一次方程，
∴分以下三种情况进行，
①|a|=0且x≠0，b=0，
∴a=0，b=0，此时a+b=0，方程为-1+3x-2=0，3x=3，解得：x=1，符合题意，
②|a|=1且a-1+3≠0，b=0，
∴a=±1，b=0，
当a=1，b=0时，此时a+b=1，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x= ；
当a=-1，b=0时，此时a+b=-1，方程为-2x+3x-2=0，移项合并得， x=2；
③|a|=2且a-1-b=0，
∴a=2，b=1或a=-2，b=-3，
当a=2，b=1时，此时a+b=3，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x= ；
当a=-2，b=-3时，此时a+b=-5，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x= ，
综上a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x= 或x=2或
x= 或x= .
【点拨】本题考查了一元一次方程的定义，涉及了0次幂、绝对值方程、解一元一次
方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识，并能正确进行分类是解题的关键.17．（1） （2） （3）
解：（1）
2x=2, x=1
（2）
（3）
18．(1) y=1 (2) x=7 (3) y= (4) x=6 (5) x=4 (6) x=
分析：（1）根据一元一次方程的解法：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，解
方程即可；
（2）根据一元一次方程的解法：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即
可；
（3）根据一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
解方程即可；
（4）根据一元一次方程的解法：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即
可；
（5）根据一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，
解方程即可；
（6）先根据分数的基本性质化简方程，再根据一元一次方程的解法：去分母，去括号，
移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；解：（1） y=2y﹣1，
5﹣2y=6y﹣3，
5+3=6y+2y，
8y=8，
y=1；
（2）5（x﹣5）+2（x﹣12）=0，
5x﹣25+2x﹣24=0，
5x+2x=25+24，
7x=49，
x=7；
（3）y﹣ =1﹣ ，
6y﹣3（y﹣1）=6﹣（y+2），
6y﹣3y+3=6﹣y﹣2，
6y﹣3y+y=6﹣2﹣3，
4y=1，
y= ；
（4）2（x﹣2）﹣（4x﹣1）=3（1﹣x），
2x﹣4﹣4x+1=3﹣3x，
2x﹣4x+3x=3+4﹣1，
x=6；
（5） ，
2（x﹣1）﹣（x+2）=3（4﹣x），
2x﹣2﹣x﹣2=12﹣3x，
2x﹣x+3x=12+2+2，
4x=16，
x=4；
（6）78﹣10（3+2x）=15（x﹣5），
78﹣30﹣20x=15x﹣75，
78﹣30+75=15x+20x，
123=35x，
x= ．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的解法，利用一元一次方程得到解法：去分母，
去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可，注意解题过程中不要漏乘，注意符
号的变化.
19．
【分析】根据等式的性质对方程进行去括号、合并同类项、系数化为1，解一元一次
方程即可.
解：去括号得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
解得：
【点拨】本题考查解一元一次方程，比较复杂，但难度不大，熟练掌握等式的性质以
及整式的加减运算法则是解题关键.
20．（1）x=6；（2） .
【分析】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并
同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；
（2）先变形为 ，再整理得
，即可解.
解：（1）方程 变形为 ，去分母得 ，
去括号合并同类项得-10x+60=0,
移项得-10x=-60,
系数化为1得x=6.
（2）方程 变形为
，
∴
∴
∴ ，
∴ .
【点拨】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．
21． .
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案.
解：
12（x+3）=45x-20(x-7)，
12x+36=45x-20x+140，
12x-45x+20x=140-36，
-13x=104，
【点拨】此题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤，确保每一步都正确即可完成
解答.
22．2,3,4,7.
试题分析：先解含有a的方程，用a表示x，然后根据解是正整数，求出a的值.
解：2ax=(a+1)x+6,
去括号,得2ax=ax+x+6,
移项、合并同类项,得(a-1)x=6,
两边同除以(a-1),得x= .因为方程的解是正整数,
所以 是正整数,即(a-1)是6的因数,
所以a-1的值为1,2,3,6,
所以a的值是2,3,4,7.
23．(1) x＝－1.(2) x＝3.(3) x＝－8.(4) x＝0.
试题分析：（1）将方程移项合并同类项，即可求出解；（2）把x-3当作一个整体，
先合并后再解方程即可；（3）先去中括号，再解方程即可；（4）把x-9当作一个整体，
先合并后再解方程即可.
(1) x＋ ＝ x－ ；
解： x－ x＝－ － ，
x＝－1.
(2)278(x－3)－463(6－2x)－888(7x－21)＝0；
解：278(x－3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0，
(278＋463×2－888×7)(x－3)＝0，
x＝3.
(3) [ ( －1)－2]－x＝2；
解： －1－3－x＝2，
x＝－8.
(4)x－ [x－ (x－9)]＝ (x－9)．
解：x－ x＋ (x－9)＝ (x－9)，
x＝0，
x＝0.
24．（1） （2）
试题分析：（1）先去括号和绝对值符号后，再计算即可；（2）按等式性质称项、两
边同时乘2，直至系数为1即可；解：（1）原式＝ ;
（2） { [ ( -3)-3]-3}-3=0
{ [ ( -3)-3]-3}=3
[ ( -3)-3]-3=6
[ ( -3)-3]=9
( -3)-3=18
( -3)=21
-3=42
=45
x=90
25．（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ，
【分析】（1）先把方程化为系数为整数的一元二次方程的一般形式，再用因式分解法
解即可；
（2）根据两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，转化为两个一元一次
方程，解这两个一元一次方程即可；
（3）采用从外往里逐步去分母的方法，同时把其中系数为小数的数化为分数，最后变
为系数为整数的一元一次方程，解方程即可；
（4）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，转化为关于 的一元二次方程，用换元法解
即可．
解：（1）原方程化简得：
分解因式得：即2x－5=0或x－12=0
∴ ，
（2）由题意得：x－5=±(2x－7)
即x－5=2x－7或x－5=－（2x－7）
∴ ，
（3）方程两边同乘3，得：
即
方程两边同乘12，得：
即
即
方程两边同乘4，得：
即114x=－149
即：
（4）原方程可化为：
设 ，则方程可化为：
即(X－16)(X－4)=0
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
即原方程的解为 ，
【点拨】本题是解一元二次方程、含绝对值的方程、一元一次方程及含指数的方程，题目有一定的难度，重要的是转化思想及换元思想的应用．
26．（1） ；（2）①36；② ；③ ．
【分析】（1）解方程 ，把x值代入 即可；
（2）①用60减24即可；
② 即可；
③根据②求出 ，把n=1,2,3…代入即可．
解：（1）化简方程 ，可得 ，
方程 ，化简可得
，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
解得 ，
∵两方程同解，
∴ ，
解得 ．
（2）① ．
②．
③∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，整式的运算等知识，解题关键是审清题意，
熟练的解方程，发现代数式之间的联系．
27．
【分析】先求出方程 的解，将解代入 求出m，将m的值代
入 求得方程的解.
解：解方程： ，得x=1，
∵方程 与 有相同的解，
∴将x=1代入 ，得3（1+m）=m-1，
解得m=-2，
将m=-2代入 ，得
2（3+2y）=3（-2-3y）
解得 .
【点拨】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键.
28．
【分析】根据题意列出方程 ，依据解一元一次方程的步骤依次计算可
得．
解：根据题意得：
∴
∴3k+6-4k+2=12
解得：
满足条件的 值为
【点拨】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步
骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步
骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
