文档内容
3.1.1 一元一次方程 导学案
学习目标
1. 了解方程及一元一次方程的概念．
2. 通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程
是数学的一大进步，从而体会方程思想．
重点难点突破
★知识点1：方程
准确把握方程的两个条件：一、必须含有未知数，二、必须是等式，两者缺一不可．
★知识点2：一元一次方程
从三个方面理解一元一次方程的概念：一、一元一次方程首先属于整式方程，即方程两边
不含分母，或虽含分母，但分母中不能有未知数.二、一元，即方程中只含有一个未知数，
此未知数可以出现多次，但只能是同一未知数，同一个方程中不能出现两个不同的未知数.
三、一次，未知数的次数是一次，指的是化为一般形式 ax+b=0（a≠0）后,未知数的次数
是一次.★知识点3：方程的解和解方程
这是两个不同的概念,方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性.而解方程
是求方程解的过程，具有动词性.
核心知识
1. 叫方程.
2. 列方程时，要首先 ，然后根据问题中的 列出方程.
3. 什么是一元一次方程？
4. 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的 ，求方程解的过程叫 .
思维导图新知探究
问题1：一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是
70 km/h，慢车的行驶速度是60 km/h，快车比慢车早1 h经过B地A，B两地间的路程是多
少？
（1）你会用算术方法解决这个问题吗?
（2）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？
（3）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？
（4）列方程的依据是什么？
问题2：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？
问题3：比较列算式和列方程解决这个问题各有什么特点？
问题4：你能归纳出方程的定义吗？
典例分析
例：根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）用一根长24cn的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已经使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用
时间达到规定的检修时间2450 h？
（3）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这个学校有多少学生？问题5：观察上面的例题，列出的三个方程有什么特征？
只含有一个未知数（元），未知数的指数都是 1（次），等号两边都是整式的方程叫做一
元一次方程．
针对训练一
1. 下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？
（1）2x+1； （2）2m+15=3； （3）3x－5=5x+4； （4）x2+2x－6=0；
（5）－3x+1.8=3y； （6）3a+9>15；（7） .
2. 若关于x的方程2x|n|-1－9=0是一元一次方程，则n 的值为 .
变式训练：方程(m+1)x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，则m= .
3. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举
行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共
卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
深入挖掘
问题6：（1）怎样从实际问题中列出方程？
（2）列方程的依据是什么?
问题 7：对于方程 4x=24，容易知道 x = 6 可以使等式成立， 对于方程 1700+150x
=2450，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试．使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
求方程解的过程叫做解方程．
针对训练二
1. 检验x = 3是不是方程 2x－3 = 5x－15的解.
2. x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x－(1－0.52)x=80的解？
当堂巩固
1. x =1是下列哪个方程的解（ ）
A. 1－x=2 B. 2x－1=4－3x
C. D. x－4=5x－2
2. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. －1
3. 下列方程：① ；②3x=11；③ ；④y2－4y=3；⑤x+2y=1．
其中是方程的是 ，
是一元一次方程的是 ．（填序号）
4. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000 m？
（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两
种铅笔各买了多少支？
（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底．感受中考
1．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八
章名为“方程”．如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知
数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程 x+4y=23，则 表示
的方程是 ．
2.（3分）（2019•呼和浩特14/25）关于x的方程mx2m-1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次
方程，则其解为 ．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）一元一次方程的三个特征各指什么？
（3）从实际问题中列出方程的关键是什么？
【参考答案】
核心知识
1. 含有未知数的等式；
2. 设字母表示未知数；相等关系；
3. 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程；
4. 解；解方程.
典例分析
例1：解：（1）设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长，
列方程：4x=24.
（2）设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h.
等量关系：已用时间+再用时间=检修时间，
列方程：1700+150x=2 450.（3）解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(1－0.52)x.
等量关系：女生人数－男生人数=80，
列方程：0.52x－(1－0.52)x=80.
针对训练一
1. 方程：（2）、（3）、（4）、（5）、（7）；一元一次方程：（2）（3）．
2. 2或－2；变式训练：1．
3. 解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60－x）支.
等量关系：x支铅笔的售价+（60－x）支圆珠笔的售价=87，
列方程：1.2×0.8x+2×0.9(60－x)=87.
针对训练二
1. 解：把x =3分别代入方程的左边和右边，得
左边＝2×3－3=3，
右边＝5×3－15=0.
∵左边≠右边，
∴x =3不是方程的解.
2. 解：当x=1000时，
方程左边=0.52×1000－(1－0.52)×1000=520－480=40，右边=80，左边≠右边，所以x=1000
不是此方程的解.
当x=2000时，
方程左边= 0.52×2000－(1－0.52)×2000=1040－960=80，右边=80，左边=右边，所以
x=2000是此方程的解.
当堂巩固
1. B；
2. C；
3. ①②③④⑤；②③；
4. 解：（1）设沿跑道跑x周.
400x=3000， 是一元一次方程.
（2）设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20－x)支.
0.3x+0.6(20－x)=9， 是一元一次方程.
（3）设上底为x cm，则下底为(x+2) cm.
， 是一元一次方程.5. 解：因为方程(m－2)x|m|-1+3=m－5是关于x的一元一次方程，
所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2.
所以原方程为－4x+3 =－7.
感受中考
1．【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与
相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y=32．
2.【解答】解：∵关于x的方程mx2m-1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1或m＝0，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
