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专题 16 解一元一次方程之五大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 解一元一次方程--合并同类型与移项】........................................................................................1
【考点二 解一元一次方程--去括号】............................................................................................................3
【考点三 解一元一次方程--去分母】............................................................................................................7
【考点四 新定义型一元一次方程的求解】....................................................................................................9
【考点五 一元一次方程的解中含字母参数问题】......................................................................................11
【过关检测】...........................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 解一元一次方程--合并同类型与移项】
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：
(1) ； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接合并同类项，系数化为1即可得出答案；
（2）直接移项，合并同类项，系数化为1即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）解方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
移项，合并同类项得，
系数化为1得， ；
（2）
移项，合并同类项得，
系数化为1得， ；
（3）
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得， ；
（4）
去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得， ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为1．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（2）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（3）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（4）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（5）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（6）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可．
【详解】（1）解：原方程合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）原方程合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（3）原方程合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（4）原方程合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（5）原方程合并同类项得： ，
系数化为1得： ；（6）原方程合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
【考点二 解一元一次方程--去括号】
例题：（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解： ，
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
（2） ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本
步骤．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1) ； (2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去中括号，再去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去大括号，再去中括号，最后去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解： ，
去中括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
去小括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）解：
去大括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
去中括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
去小括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的知识，注意去括号时，各项的变化以及移项时符号的变化，是
解答本题的关键．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
【详解】（1）解： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（2） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；（3）
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（4） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（5） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（6） ，
去括号得： ，
移项得： ．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．
【考点三 解一元一次方程--去分母】
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ；
（2）解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可；
（2）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；（2）解：原方程可化为 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解
题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：去分母，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
（2）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
（3）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．（4）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
【考点四 新定义型一元一次方程的求解】
例题：（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为 ．
例如： ．再如： ．
(1)计算 值为______．
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)31
(2)
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．
【详解】（1）根据题中的新定义得：
（2）利用题中的新定义化简得： ，
解得：
【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关
键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“ ”： ，如
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值；【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；
（2）根据所给的新定义可得方程 ，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．
2．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“ ”： ，例如：
．
(1)试求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可．
(2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
(3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．
【详解】（1）． ．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键．
【考点五 一元一次方程的解中含字母参数问题】
例题：（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）已知关于 的方程 与方程
的解相同，求 的值．
【答案】 ．
【分析】先求出第二个方程的解，把 代入第一个方程，求出 的值即可．
【详解】解： ，
去括号得 ，
移项合并得 ，
解得 ，把 代入方程 得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于 的方程，难度不是很大．
【变式训练】
1．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程 的解与 的解相同，
则m的值为 ．
【答案】
【分析】先求出方程 的解，再把解代入方程 ，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程 ，
得： ，
把 代入方程 ，
得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于 的一元一次方程 是解此题的
关键．
2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为
1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程 和 为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程 与方程 是“和谐方程”，则 ______；
(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则 ______．
(3)若关于x的两个方程 与 是“和谐方程”，求m的值．
【答案】(1) ；(2) ；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；
（2）利用“和谐方程”的定义列出关于n的方程解答即可；
（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程解答即可．
【详解】（1）解：
，
，
关于x的方程 与方程 是“和谐方程”，
；
（2） “和谐方程”两个解之和为1，
另一个方程的解为： ，
两个“和谐方程”的解相差2，
，
；
（3） ，
，
，
，
关于x的两个方程 与 是“和谐方程”，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系．【过关检测】
一、单选题
1．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）若代数式 的值为5，则x等于（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，然后按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可．
【详解】根据题意得 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）下列变形式中的移项正确的是（ ）
A．从 得 B．从 得
C．从 得 D．从 得
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质∶①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两
边同时乘以或除以同一个不为 的数或字母，等式仍成立．即可解决．
【详解】解∶A．根据等式性质1，等式两边都减 ，应得 ，故原说法错误，不合题意；
B．根据等式性质1， 两边都减 后再减 ，应得 ，故原说法错误，不合题意；
C．根据等式中1， ，等式两边都加 ，再加 ，即可得 ，故正确，符合题
意；
D．根据等式性质1， 两边都减 ，应得 ，故原说法错误，不合题意．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查等式的性质．需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后的
答案．
3．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）将方程 去分母：两边同乘以6，得到新的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，方程两边同乘以6，再去括号即可得出答案．
【详解】解：两边同乘以6，得
，
去括号得， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和去括号的法则，注意去括号时判断括号前边的符号．
4．（2023秋·全国·七年级课堂例题）马小虎同学在解关于 的方程 时，误将等号右边的
“ ”看作“ ”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为 ，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 代入 求出a的值，再解关于 的方程．
【详解】解：由题意知： 是方程 的解，
，
解得 ，
原方程为 ，
解得 ，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程 有整数解，
则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1
【答案】A【分析】先求出方程的解是 ，根据方程有整数解和 为整数得出 或 或
或 ，求出 的值，再求出和即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
当 时， ，
整数 使关于 的方程 有整数解，
或 或 或 ，
解得： 或 或 或0，
和为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关
键．
二、填空题
6．（2023春·上海·六年级期中）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】方程去分母，移项，合并，把 系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ，
故答案为： ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解方程 ，合并同类项后可得 ，将未知数
的系数化为1可得 ．
【答案】
【分析】方程合并同类项后，将未知数的系数化为1，即可得到结果．
【详解】解：解方程 ，
合并同类项后可得 ，
将未知数的系数化为1可得 ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）将方程 的两边乘 可得到 ，
这步变形叫 ，其依据是 ．
【答案】 6 去分母 等式的性质
【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，利用的是等式的性质．
【详解】解：将方程 的两边乘6，可得到 ，这步变形叫去分母，其依据是
等式的性质．
故答案为：6，去分母，等式的性质．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握去分母的方法，是解题的关键．
9．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）当 时，方程 和方程
的解相同．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解，把 代入第二个方程，再求出 的值即可．
【详解】解：解方程 得： ，
方程 和方程 的解相同，
方程 的解也是 ，
把 代入 得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能求出关于 的方程 是解此题的关键．10．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）对于实数a，b，c，d，规定一种运算 ，如
，那么当 时，则 ．
【答案】22
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，
然后解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程
是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)【详解】（1）去括号可得： ，
移项可得： ，
合并同类项可得： ，
系数化“1”可得：
（2）去分母可得：
去括号可得： ，
移项可得： ，
合并同类项可得： ，
系数化“1”可得：
（3）去分母可得：
去括号可得： ，
移项可得： ，
合并同类项可得： ，
系数化“1”可得：
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（4）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（5）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（6）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
13．（2023秋·七年级课时练习）小明解一元一次方程 的过程如下：
第一步：将原方程化为 ．
第二步：将原方程化为 ．
第三步：去分母．．．
(1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____；
(2)请把以上解方程的过程补充完整．
【答案】(1)分数的性质；等式的性质2；等式的性质2
(2)
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．【详解】（1）第一步方程变形的依据是分数的性质；第二步方程变形的依据是等式的性质2；第三步去分
母的依据是等式的性质2；
（2）
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为1．
14．（2023秋·七年级课时练习）在解方程 时，可先将 ，
分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程 ，然后再继续求解，这种方法叫做整体求
解法，请用这种方法解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
（2）将 、 分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
【详解】（1）移项，得 ，
整体合并，得 ，
即 ，解得 .（2） .
移项、合并同类项得 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．
15．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）若“ ”表示一种新运算，规定 ．
例如： ．
(1)计算：
(2)若 ，求 的值
【答案】(1)16；
(2) ．
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据新定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2）解：∵
即
解得： ；
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运，解一元一次方程，理解新定义的运算法则是解题的关
键．
16．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）阅读与思考
阅读以下材料，完成任务．分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像
这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为 ，去分母，得 ，移项、合并同类项，得
，系数化为1，得 ．
任务：
(1)该同学由 变形到 是利用了（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去分母
(2)请仿照上述方法解方程： ．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答．
（2）根据题目中的解答过程解答即可．
【详解】（1） 变形到 ，
是 分子与分母乘10， 分子与分母乘2，
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整数，分式的值不变：分式的基本性质
故选：C．
（2）方程可化为
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查了分数的基本性质，解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．17．（2023春·吉林长春·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方
程为“友好方程”．
例如： 的解为 ； 的解为 ，所以这两个方程为“友好方程”．
(1)若关于x的一元一次方程 与 是“友好方程”，则m ．
(2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为
，求k的值．
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“友好方程”，则关于y的一元一次方程
的解为 ．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为 ， ，由两个“友好方程”的解的
差为3列出关于k的方程解答即可；
（3）求得方程 的解，利用“友好方程”的定义得到方程 的解，将关于y的
一元一次方程 变形，利用同解方程的定义即可得到 的值，从而求得方程的
解；
【详解】（1）解：∵方程 的解为 ，
方程 的解为 ，
而方程 与 是“友好方程”，
∴ ，
∴ ；故答案为： ；
（2）解：∵“友好方程”的一个解为 ，则另一个解为 ，
依题意得 或 ，
解得 或 ，
故k的值为 或 ；
（3）解：方程 的解为 ，
∵关于x的一元一次方程 和 是“友好方程”，
∴关于x的方程 的解为 ，
∵关于y的一元一次方程 变形得 ，
∴ ，
∴ ，
∴关于y的一元一次方程 的解为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，
本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
