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专题04 一元一次方程的概念和解法复习（解析版）
第一部分 典例剖析+变式训练
知识点1:一元一次方程的概念(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是一次的
整式方程.)
2 y y-1
1．（2022春•淅川县期中）下列方程中：①x﹣2= ；②x＝6；③2- = ；④x2
x 4 5
﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
思路点拨：根据一元一次方程的定义判断即可．
2
解：①x﹣2= ，分母中含有未知数，不是一元一次方程；
x
②x＝6，是一元一次方程；
y y-1
③2- = ，是一元一次方程；
4 5
④x2﹣4x＝3，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
⑤0.3x＝1，是一元一次方程；
⑥x+2y＝0，方程中有2个未知数，不是一元一次方程．
所以其中一元一次方程的个数是3．
故选：A．
总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通
常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．
变式训练
1．（2022春•安溪县期中）若xm+1+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 ．
思路点拨：根据一元一次方程的定义即可得出答案．
解：∵xm+1+1＝0是关于x的一元一次方程，
∴m+1＝1，
∴m＝0．
故答案为：0．
总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程
两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的
系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一
次方程的标准形式．
2．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值
是（ ）
A．0 B．7 C．8 D．10思路点拨：根据一元一次方程的定义得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．
解：∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴7﹣a＝0且a≠0，
解得：a＝7，
故选：B．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关
键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一
元一次方程．
3．（2022春•仁寿县期中）已知（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为
（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．0
思路点拨：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知
数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
解：∵（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，
{ m-2≠0
∴ ，
|m|-1=1
解得m＝﹣2．
故选：A．
总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
知识点2: 方程的解(能够使方程左右两边相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的
解， 也叫方程的根)
典例2 检验下列各数是不是方程4x﹣3＝2x+3的解：
（1）x＝3；
（2）x＝﹣3．
思路点拨：（1）将x＝3直接代入方程的左右边进而判断即可；
（2）将x＝﹣3直接代入方程的左右边进而判断即可．
解：（1）当x＝3时，左边＝12﹣3＝9，右边＝6+3＝9，
∵左边＝右边，
∴x＝3是方程的解；
（2）当x＝﹣3时，左边＝﹣12﹣3＝﹣15，右边＝﹣6+3＝﹣3，
∵左边≠右边，
∴x＝﹣3不是方程的解．
总结升华：此题主要考查了方程的解，正确计算得出方程左右边的值是解题关键．
变式训练
x
1．（2021秋•兴庆区校级期末）如果关于x的方程a﹣x= +3a的解是x＝4，则a的值为
2
（ ）A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
x 4
思路点拨：把x＝4代入方程a﹣x= +3a得出a﹣4= +3a，再求出方程的解即可．
2 2
x 4
解：把x＝4代入方程a﹣x= +3a得：a﹣4= +3a，
2 2
解得：a＝﹣3，
故选：A．
总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次
方程是解此题的关键．
2．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范
围是（ ）
A．a＝−1 B．a＞−1 C．a≠−1 D．任意实数
思路点拨：根据方程无解，确定出a的范围即可．
解：∵关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
3．（2022春•丰泽区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣b＝5的解，则6a﹣2b﹣2的值为
（ ）
A．2 B．8 C．﹣3 D．﹣8
思路点拨：将x＝3代入ax﹣b＝5中得3a﹣b＝5，将该整体代入6a﹣2b﹣2中即可得出
答案．
解：将x＝3代入ax﹣b＝5中得：
3a﹣b＝5，
所以6a﹣2b﹣2＝2（3a﹣b）﹣2＝2×5﹣2＝8．
故选：B．
总结升华：本题考查了运用整体法求解一元一次方程的问题，熟练掌握整体法是解题的
关键．
4．（2021 秋•肥西县月考）已知 x＝3 是关于 x 的方程 2x﹣a＝4 的解，则 a 的值是
（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
思路点拨：直接利用方程的解的定义代入求解即可．
解：∵x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，
∴6﹣a＝4，
解得a＝2，故选：C．
总结升华：本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做
方程的解，理解方程解的定义是关键．
3a-x
5．（2021秋•市南区期末）方程 2x﹣1＝3与方程1- =0的解相同，则a的值为（
3
）
5
A．3 B．2 C．1 D．
3
3a-x
思路点拨：先解方程2x﹣1＝3，求得x的值，因为这个解也是方程1- =0的解，
3
根据方程的解的定义，把x代入求出a的值．
解：解方程2x﹣1＝3，得x＝2，
3a-x
把x＝2代入方程1- =0，得
3
3a-2
1- =0，
3
5
解得，a= ．
3
故选：D．
总结升华：此题考查同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定
义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（2021春•杨浦区校级期末）关于x的一元一次方程ax＝3，下列对于该方程的解的说
法中，正确的是（ ）
A．该方程一定有实数解 B．该方程一定没有实数解
C．该方程不一定有实数解 D．上述说法都不对
思路点拨：根据一元一次方程的解法即可求出答案．
解：由题意可知a≠0，
1
此时方程的解为x= ，
a
故选：A．
总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解法步骤，
本题属于基础题型．
知识点3:等式的性质：1.等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍
是等式；2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等
式．）
典例3用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以
及怎样变形的：
（1）若5x＝4x+7，则5x﹣ ＝7；（2）若2a＝1.5，则6a＝ ；
（3）若﹣3y＝18，则y＝ ；
（4）若a+8＝b+8，则a＝ ；
（5）若﹣5x＝5y，则x＝ ．
思路点拨：（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成
立，可得答案；
（2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为 0数（或字母），等式仍成立，可得
答案；
（3）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为 0数（或字母），等式仍成立，可得
答案；
（4）等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（5）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为 0数（或字母），等式仍成立，可得
答案．
解：（1）若5x＝4x+7，则5x﹣4x＝7，依据是等是性质1，两边都减4x；
（2）若2a＝1.5，则6a＝4.5，依据是等是性质2，两边都乘以3；
（3）若﹣3y＝18，则y＝﹣6依据是等是性质2，两边都除以﹣3；
（4）若a+8＝b+8，则a＝b依据是等是性质1，两边都减8；
（5）若﹣5x＝5y，则x＝﹣y依据是等是性质2，两边都除以﹣5；
故答案为：4x；4.5；﹣6；b；﹣y．
总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数
（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为 0数（或字母），
等式仍成立．
变式训练
1．（2021秋•玄武区期末）下列等式的变形中，错误的是（ ）
A．如果a＝2，那么a+2＝4 B．如果a＝﹣3，那么﹣2a＝6
3
C．如果3a＝5，那么a= D．如果a＝﹣2，那么a2＝4
5
思路点拨：根据等式的性质解决此题．
解：A．根据等式的性质，如果a＝2，那么a+2＝4，那么A正确，故A不符合题意．
B．根据等式的性质，如果a＝﹣3，那么﹣2a＝6，那么B正确，故B不符合题意．
5
C．根据等式的性质，如果3a＝5，那么a= ，那么C错误，故C符合题意．
3
D．根据等式的性质，如果a＝﹣2，那么a2＝4，那么D正确，故D不符合题意．
故选：C．
总结升华：本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
2．（2021秋•罗源县期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）x
A．由 =2，得x＝1
2
B．由3（x﹣2）＝6，得x﹣2＝2
C．由x﹣2＝6，得x﹣2+2＝6
D．由2x+3＝x﹣1，得2x+x＝﹣1﹣3
思路点拨：利用等式的性质2可对A、B选项进行判断；利用等式的性质1可对C、D选
项进行判断．
x
解：A．由 =2，得x＝4，所以A选项不符合题意；
2
B．由3（x﹣2）＝6，得x﹣2＝2，所以B选项符合题意；
C．由x﹣2＝6，得x﹣2+2＝6+2，所以C选项不符合题意；
D．由2x+3＝x﹣1，得2x﹣x＝﹣1﹣3，所以D选项不符合题意；
故选：B．
总结升华：本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得
等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
知识点4: 解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为
1）
典例4（2022春•郸城县校级月考）解下列方程：
（1）4x﹣3（20﹣x）＝3；
1 1
（2） (x-1)=2- (x+2)；
2 5
x+2 2x-3
（3） - =1；
4 6
0.3x-0.5 0.12-0.05x
（4） - =x．
0.2 0.03
思路点拨：根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系
数化为1解方程即可．
解：（1）去括号得：4x﹣60+3x＝3，
移项得：4x+3x＝3+60，
合并同类项得：7x＝63，
系数化为1得：x＝9；
（2）去分母得：5（x﹣1）＝20﹣2（x+2），
去括号得：5x﹣5＝20﹣2x﹣4，
移项得：5x+2x＝20﹣4+5，
合并同类项得：7x＝21，
系数化为1得：x＝3；
（3）去分母得：3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12，
去括号得：3x+6﹣4x+6＝12，移项得：3x﹣4x＝12﹣6﹣6，
合并同类项得：﹣x＝0，
系数化为1得：x＝0；
3x-5 12-5x
（4）原方程可化为 - =x，
2 3
去分母得：3（3x﹣5）﹣2（12﹣5x）＝6x，
去括号得：9x﹣15﹣24+10x＝6x，
移项得：9x+10x﹣6x＝15+24，
合并同类项得：13x＝39，
系数化为1得：x＝3．
总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握解一元一次方程的一般步
骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键．
变式训练
1．（2021秋•南关区校级期末）解下列方程：
（1）10x+9＝12x﹣1；
1
（2） x﹣3（x﹣2）＝4；
2
（3）5（x﹣1）＝8x﹣2（x+1）；
2x+1 5x-1
（4） - =1．
3 6
思路点拨：（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去去分母、括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
解：（1）10x+9＝12x﹣1，
移项，得10x﹣12x＝﹣1﹣9，
合并同类项，得﹣2x＝﹣10，
系数化为1，得x＝5；
1
（2） x﹣3（x﹣2）＝4，
2
去分母，得x﹣6（x﹣2）＝8，
去括号，得x﹣6x+12＝8，
移项，得x﹣6x＝8﹣12，
合并同类项，得﹣5x＝4，
4
系数化为1，得x=- ；
5
（3）5（x﹣1）＝8x﹣2（x+1），去括号，得5x﹣5＝8x﹣2x﹣2，
移项，得5x﹣8x+2x＝5﹣2，
合并同类项，得﹣x＝3，
系数化为1，得x＝﹣3；
2x+1 5x-1
（4） - =1，
3 6
去分母，得2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
去括号，得4x+2﹣5x+1＝6，
移项，得4x﹣5x＝6﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣x＝3，
系数化为1，得x＝﹣3．
总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的
关键．
2x+3 x-1
2．（2021秋•新民市期末）当x取什么值时，代数式 的值与1- 的值相等？
2 3
思路点拨：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
2x+3 x-1
解：根据题意得： = 1 - ，
2 3
去分母得：6x+9＝6﹣2x+2，
移项合并得：8x＝﹣1，
1
解得：x=- ．
8
总结升华：此题考查了解二元一次方程，列出正确的方程是解本题的关键．
知识点5: 一元一次方程解的情况讨论（对于方程
ax=b，⑴若a≠0，则方程只有惟一解
b
x=
a
；⑵若
a=0,b≠0
，则原方程无解；⑶若
a=0,b=0
，则原方程有无数个解．）
x-2 mx 11
典例5 已知关于x的方程 - +3= ．
3 2 3
（1）当m取何值时，方程有解？
（2）当m取何整数时，方程的解是整数？
（3）在（2）的条件下，a，b在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，
求（a+b+m）2013．
思路点拨：（1）方程去分母整理后，根据方程有解确定出m的值即可；
（2）将m看作已知数表示出x，根据x为整数确定出整数m即可；
（3）根据题意得到a与b互为相反数，得到a+b＝0，代入原式计算即可得到结果．
解：方程去分母得：2x﹣4﹣3mx+18＝22，
整理得：（2﹣3m）x＝8，2 8
（1）当2﹣3m≠0，即m≠ 时，方程解为x= ；
3 2-3m
8
（2）由x= 为整数，得到2﹣3m＝﹣1，﹣2，﹣4，1，2，4，﹣8，8，
2-3m
解得：m＝1，2，0，﹣2；
（3）由题意得：a+b＝0，
当m＝1时，原式＝1；当m＝2时，原式＝22013；
当m＝0时，原式＝0；当m＝﹣2时，原式＝﹣22013．
总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
变式训练
1．（2021秋•石景山区期末）设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝
0．
（1）当m＝2时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求m的值．
思路点拨：（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，
（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，
得到关于m的几个一元一次方程，解之即可．
解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，
1
解得，x=- ，
3
（2）当m≠5时，方程有解，
3-m 2
x= =-1- ，
m-5 m-5
∵方程有整数解，且m是整数，
∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，
解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）
正确掌握一元一次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方
程的解题步骤．
第二部分 一元一次方程的概念和解法复习配套作业
1．（2022•美兰区校级二模）代数式﹣2a+1与a﹣2的值相等，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
思路点拨：根据题意列等式方程，解一元一次方程即可．
解：﹣2a+1＝a﹣2，
3＝3a，
a＝1，故选：B．
总结升华：本题考查了一元一次方程，做题关键是掌握解一元一次方程．
2．（2021秋•滕州市校级期末）如果关于x的方程6n+4x＝7x﹣3m的解是x＝1，则m和n
满足的关系式是（ ）
A．m+2n＝﹣1 B．m+2n＝1 C．m﹣2n＝1 D．3m+6n＝11
思路点拨：虽然是关于x的方程，但是含有三个未知数，主要把x的值代进去，化出
m，n的关系即可．
解：把x＝1代入方程6n+4x＝7x﹣3m中
移项、合并同类项得：m+2n＝1．
故选：B．
总结升华：本题考查式子的变形，知道一个未知数的值，然后代入化出另外两数的关系．
3．（2021秋•开县期末）关于x的方程2x+m＝1的解是方程3x﹣2＝2x﹣1的解的3倍，则
m的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣17 C．1 D．3
思路点拨：求出第二个方程的解得到第一个方程的解，即可确定出m的值．
解：3x﹣2＝2x﹣1，
解得：x＝1，
得到2x+m＝1的解为x＝3，
把x＝3代入方程得：6+m＝1，
解得：m＝﹣5，
故选：A．
总结升华：此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022春•唐河县月考）若﹣5x2ym﹣3与xn﹣1y是同类项，则方程nx﹣m＝5的解是（
）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1
{m-3=1
思路点拨：首先根据﹣5x2ym﹣3与xn﹣1y是同类项，可得： ，据此求出m、n的
n-1=2
值；然后根据解一元一次方程的方法，求出方程nx﹣m＝5的解即可．
解：∵5x2ym﹣3与xn﹣1y是同类项，
{m-3=1
∴ ，
n-1=2
{m=4
解得： ，
n=3
∴3x﹣4＝5，
移项，可得：3x＝5+4，
合并同类项，可得：3x＝9，
系数化为1，可得：x＝3．故选：B．
总结升华：此题主要考查了同类项的含义和应用，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌
握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
5．（2021秋•朝阳区校级期中）写出一个满足“未知数的系数是﹣2，方程的解为3”的一
元一次方程： ．
思路点拨：由一元一次方程ax+b＝0（a≠0），结合题意写出一个满足条件一元一次方
程即可．
解：∵未知数的系数是﹣2，方程的解为3，
∴方程﹣2x+6＝0满足条件，
故答案为﹣2x+6＝0（答案不唯一）．
总结升华：本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的一般形式及定义是
解题的关键．
6．（2021秋•阜新县校级期末）当x＝ 时，单项式5a2x+1b2与8ax+3b2是同类项．
思路点拨：本题考查同类项的定义（所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类
项）可得方程2x+1＝x+3，解方程即可求得x的值．
解：由同类项的定义可知，2x+1＝x+3，解得x＝2．
总结升华：同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
x
7．（2021秋•银川校级期末）已知：x＝4是关于x的一元一次方程3a﹣x= +3的解，则a
2
＝ ．
x 4
思路点拨：把x＝4代入方程3a﹣x= +3得出3a﹣4= +3，再求出方程的解即可．
2 2
x 4
解：把x＝4代入方程3a﹣x= +3得：3a﹣4= +3，
2 2
解得：a＝3，
故答案为：3．
总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次
方程是解此题的关键．
1 2a-7
8．（2021秋•兴庆区校级期末）若 a+1与 互为相反数，则a的值为 ．
2 3
思路点拨：根据互为相反数的两个数的和为0得出方程，再去分母，去括号，移项，合
并同类项，系数化成1即可．
1 2a-7
解：根据题意得： a+1 + = 0，
2 3
3a+6+2（2a﹣7）＝0，
3a+6+4a﹣14＝0，3a+4a＝14﹣6，
7a＝8，
8
a= ，
7
8 1 2a-7
所以当a= 时， a+1与 互为相反数，
7 2 3
8
故答案为： ．
7
总结升华：本题考查了解一元一次方程和相反数，能正确根据等式的性质进行变形是解
此题的关键．
8．（2021秋•罗源县期末）已知2xm﹣2+3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ．
思路点拨：利用一次一次方程的定义，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m
的值．
解：∵2xm﹣2+3＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣2＝1，
解得：m＝3．
故答案为：3．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知
数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
9．（2021秋•巩义市期末）关于x的一元一次方程2x+m＝6，其中m是正整数．若方程有
正整数解，则m的值为 ．
6-m
思路点拨：解关于x的方程得到：x= ，然后根据x是正整数来求m的值．
2
解：2x+m＝6，
移项，得2x＝6﹣m，
6-m
系数化为1，得x= ，
2
∵m是正整数，方程有正整数解，
∴m＝2或4．
故答案为：2或4．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值
叫做一元一次方程的解．
10．（2021秋•西宁期末）已知x＝1是关于x的方程ax+3x＝2的解，则a＝ ．
思路点拨：把x＝1代入方程计算即可求出a的值．
解：把x＝1代入得：a+3＝2，
解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
11．（2022春•朝阳区期中）若x＝4是关于x的方程2x﹣3a＝2的解，则a＝ ．
思路点拨：把x＝4代入方程计算即可求出a的值．
解：把x＝4代入方程得：8﹣3a＝2，
解得a＝2，
故答案为：2．
总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
x-4
12．（2022秋•宣州区校级月考）关于x的方程 =-1的解是x＝ ．
3
思路点拨：通过去分母，移项、合并同类项解方程即可．
x-4
解： =- 1，
3
去分母，得x﹣4＝﹣3，
移项、合并同类项，得x＝1．
故答案是：1．
总结升华：本题考查了解一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、
移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
13．（2022•南京模拟）若关于x的方程ax+2x＝1的解为1，则a＝ ．
思路点拨：把x＝1代入原方程，再解关于a的方程即可．
解：∵关于x的方程ax+2x＝1的解为1，
∴a+2＝1，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
总结升华：本题考查的是一元一次方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边
相等”是解本题的关键．
1
14．（2022•南京模拟）已知关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝19，那么关
2020
1
于y的一元一次方程 （2y+1）+3＝2（2y+1）+b的解y＝ ．
2020
思路点拨：根据已知条件得出方程2y+1＝19，求出方程的解即可．
1
解：∵关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝19，
2020
1
∴关于y的一元一次方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b中2y+1＝19，
2020
解得：y＝9，故答案为：9．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解两个方程之间的关系
是关键．
15．（2022春•沙坪坝区期末）若2xn﹣1＝3是关于x的一元一次方程，则n＝ ．
思路点拨：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一
次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此解答即可．
解：因为2xn﹣1＝3是关于x的一元一次方程，
所以n﹣1＝1，
解得n＝2．
故答案为：2．
总结升华：本题主要考查了一元一次方程的定义．解题的关键是明确一元一次方程的一
般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．
16．（2021秋•河西区期末）已知关于x的方程a（a﹣2）x﹣4（a﹣2）＝0．
当此方程有唯一的解时，a的取值范围是 ．
当此方程无解时，a的取值范围是 ．
当次方程有无数多解时，a的取值范围是 ．
思路点拨：根据一元一次方程的定义和一元一次方程的解的定义进行解答．
解：①当此方程有唯一的解时，该方程属于一元一次方程，则
由原方程，得
a（a﹣2）x＝4（a﹣2），
4(a-2)
解得，x= ．
a(a-2)
a（a﹣2）≠0，
解得，a≠0且a≠2．
故答案是：a≠0且a≠2；
②当此方程无解时，分母a（a﹣2）＝0，且a﹣2≠0，
解得，a＝0．
故答案是：a＝0；
③当次方程有无数多解时，a﹣2＝0，
解得，a＝2．
故答案是：a＝2．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方
程左右两边相等的未知数的值．
17．（2021秋•溧阳市期末）解下列方程：
（1）2x﹣5＝x+4；3 1
（2） x=7+ x；
2 3
（3）5（2x﹣1）＝2（1+2x）+x﹣2；
x+2 x
（4）x- = -1．
6 2
思路点拨：（1）方程移项、合并同类项即可；
（2）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
解：（1）2x﹣5＝x+4，
移项，得2x﹣x＝5+4，
合并同类项，得x＝9；
3 1
（2） x=7+ x，
2 3
3 1
移项，得 x- x=7，
2 3
7
合并同类项，得 x=7，
6
系数化为1，得x＝6；
（3）5（2x﹣1）＝2（1+2x）+x﹣2，
去括号，得10x﹣5＝2+4x+x﹣2，
移项，得10x﹣4x﹣x＝2﹣2+5，
合并同类项，得5x＝5，
系数化为1，得x＝1；
x+2 x
（4）x- = -1，
6 2
去分母，得6x﹣（x+2）＝3x﹣6，
去括号，得6x﹣x﹣2＝3x﹣6，
移项，得6x﹣x﹣3x＝2﹣6，
合并同类项，得2x＝﹣4
系数化为1，得x＝﹣2．
总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的
关键．
18．（2021春•奉贤区期中）解关于x的方程：ax﹣x＝﹣2（x+2）．
思路点拨：去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
解：ax﹣x＝﹣2（x+2），
ax﹣x＝﹣2x﹣4，ax﹣x+2x＝﹣4，
（a+1）x＝﹣4，
4
当a+1≠0时，x=- ，
a+1
当a+1＝0时，方程无解．
总结升华：本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关
键．
1
19．（2021秋•海城区校级月考）已知y＝1是方程2- （m﹣y）＝2y的解，求关于x的方
3
程m（x﹣3）﹣2＝m（2x+5）的解．
思路点拨：把y＝1代入方程计算求出m的值，代入所求方程计算即可求出解．
1
解：把y＝1代入方程得：2- （m﹣1）＝2，
3
去分母得：6﹣m+1＝6，
解得：m＝1，
把m＝1代入得：x﹣3﹣2＝2x+5，
解得：x＝﹣10．
总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知
数的值．
x 2-x
20．（2022春•封丘县月考）已知代数式 与代数式 ．
4 3
（1）当x为何值时，这两个代数式的值相等？
x 2-x
（2）当x为何值时，代数式 的值比代数式 的值大2？
4 3
（3）是否存在x，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x的值；若不存
在，请说明理由，
思路点拨：（1）根据题意列方程求解即可．
（2）根据题意列方程求解即可．
（3）根据题意列方程求解即可．
x 2-x
解：（1） = ，
4 3
去分母得：3x＝4（2﹣x），
去括号得：3x＝8﹣4x，
移项得：3x+4x＝8，
8
系数化为1得：x= ．
7
x 2-x
（2） - =2，
4 3去分母得：3x﹣4（2﹣x）＝24，
去括号得：3x﹣8+4x＝24，
移项得：3x+4x＝24+8，
合并同类项得：7x＝32，
32
系数化为1得：x= ．
7
x 2-x
（3） + =0，
4 3
去分母得：3x+4（2﹣x）＝0，
去括号得：3x+8﹣4x＝0，
移项得：3x﹣4x＝﹣8，
合并同类项得：﹣x＝﹣8，
系数化为1得：x＝8．
故存在x使这两个代数式的值互为相反数，此时x＝8．
总结升华：本题考查解一元一次方程，解题关键是根据题意列方程并熟知解一元一次方
程的基本步骤．
1 5 1 4
21．（2020秋•白云区月考）当m取什么整数时，关于x的方程 mx- = （x- ）的解
2 3 2 3
是整数？
思路点拨：先求出方程的解，根据已知方程的解是正整数得出3m﹣1＝1或2或3或6，
求出符合的整数m即可．
1 5 1 4
解： mx - = （x - ），
2 3 2 3
1 1 5 2
（ m - ）x = - ，
2 2 3 3
（m﹣1）x＝2，
2
则x= ，
m-1
∵x、m都是整数，
∴m＝0或m＝2或m＝3或m＝﹣1．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程的应用，能求出关于 m的方
程是解此题的关键．
a-b
22．（2021秋•鹿邑县期末）在有理数范围内定义运算“※”，其规则为a※b= ．
2
（1）求2021※2022的值；
（2）求方程x※3＝2的解．
2021-2022
思路点拨：（1）原式利用题中的规则把2021※2022转化为 ，再进行计算
2即可得出答案；
（2）原式利用题中的规则把x※3＝2转化为一般的方程，再根据一元一次方程的解法
求解．
2021-2022 1
解：（1）原式= =- ；
2 2
x-3
（2）由题意可得： =2，
2
解得：x＝7．
总结升华：本题考查了解一元一次方程，根据规则转化出关于 x的一元一次方程是解题的
关键．
