文档文本内容
培优专题01 根据实际问题列代数式及代数式求值
（题型突破·举一反三）
题型01 列代数式中的数字问题
题型02 列代数式中的和倍差问题
题型03 列代数式中的百分率问题
题型04 列代数式中的几何面积问题
题型05 用代数式表示数、图形的规律
题型06 直接带入求值
题型07 整体带入求值
题型08 先计算再求值
题型09 求与相反数、倒数及绝对值有关的代数式
题型10 利用程序框图求值
▌题型01 列代数式中的数字问题
【典例1】（25-26 七年级上·河北秦皇岛·期末）已知一个三位数，其百位数字为x，十位数字比百位数字小
2，个位数字比百位数字的2 倍大3．用代数式表示这个三位数为（ ）
A．(
2)(2
3)
x x
x
-
+
B．100
10(
2)
2
3
x
x
x
+
-
+
+
C．100
10(
2)
2
3
x
x
x
+
+
+
-
D．100
10(
2)
2
3
x
x
x
+
-
+
-
【变式1】（23-24 六年级上·山东烟台·期末）在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024 年1 月份
的日历，任选其中所含4 个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（ ）
A．方框左上角的数字为
1
m +
B．方框左下角的数字为
7
m +
C．方框右下角的数字为
8
m +
D．方框中4 个数字相加，和是4
12
m +
【变式2】（24-25 七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，
它的百位数字为a，十位数字为b ，个位数字为4 ，用含a，b 的式子表示这个三位数为___________
【变式3】（24-25 七年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数
字大5，将十位上的数字和个位上的数字相加得到一个新的数，则原来的两位数与新的数的差为______．
【变式4】（25-26 七年级上·吉林长春·期末）一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．
(1)请用含a，b，c 的代数式表示这个三位数；
(2)现在把原三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别调换到个位数字、百位数字、十位数字，得到一个
新三位数，请用含a，b，c 的代数式表示新三位数；
(3)计算新三位数与原三位数的差，这个差能被9 整除吗？说明理由．
▌题型02 列代数式中的和倍差问题
【典例2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）用代数式表示“a的平方的3倍与b 的一半的差”为（ ）
A．
1 3
2
a
b
-
B．
2
1
3
2
a
b
-
C．
2
1 3
2
a
b
-
D．
2
1
3
2
a
b
-
【变式1】（20-21 七年级上·陕西渭南·期末）已知小明的年龄是m岁，哥哥的年龄比小明年龄的3倍小8岁，
姐姐的年龄比小明年龄的2 倍多1岁，则小明的哥哥和姐姐的年龄和是（ ）
A．
5
7
m -
岁
B．
4
5
m -
岁
C．
5
3
m +
岁
D．
6
3
m -
岁
【变式2】（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为x ，十位上的数字是百位上的数字的2 倍，
个位上的数字比百位上的数字少3，这个三位数用含有x 的代数式表示为（ ）
A．112
30
x -
B．100
30
x -
C．121
3
x -
D．121
3
x +
【变式3】（22-23 七年级上·安徽芜湖·期中）用文字语言叙述整式
2
2
2
x
y
+
的意义，其中正确的是（ ）
A．x 与2y 的平方和
B．x 的平方加2 的和乘以y 的平方
C．x 与2y 的和的平方
D．x 的平方与y 的平方的2 倍的和
▌题型03 列代数式中的百分率问题
【典例3】（25-26 七年级上·湖南永州·期末）某商品进价为a元，先按进价的1.2倍标价，然后再降价10元
销售，则现在的售价用代数式表示为_________元．
【变式1】（24-25 七年级上·浙江宁波·期末）打年糕是宁波过年的传统习俗， 预示着丰收， 希望来年有好
收成． 糯米做成年糕的过程中， 由于增加水分，会使重量增加20% ． 如果原有糯米x 斤，则做成年糕后
重量为_____斤（用含 x 的代数式表示）．
【变式2】（25-26 七年级上·福建宁德·期中）一种商品每件成本a元，原来按成本增加20% 定出价格，现在
由于库存积压减价，按原价的80%出售，现售价是_____元．
【变式3】（24-25 七年级上·江苏宿迁·期中）某种商品原价每件b 元，第一次降价是打8 折(按原价的80%
出售)，第二次降价每件又减10 元，这时的售价用含b 的代数式表示是______元．
【变式4】（25-26 七年级上·江西宜春·期中）某商场购进一批进价为m元/件的商品，以
n n
m
>
元/件的价
格进行销售，销售一段时间后发现销量不好，为了尽快回笼资金，准备打八折进行促销，则一件该商品打折
后的利润为________元．（用含
,
m n 的式子表示）
【变式5】（2025·安徽滁州·三模）某省2024 年上半年的GDP 总值为a 万亿元人民币，2024 年下半年的GDP
总值比2024 年上半年增长8.5%，预计2025 年上半年的GDP 总值比2024 年下半年增长6% ．若2025 年上
半年该省的GDP 总值为b 万亿元人民币，则a，b 之间的关系是（ ）
A．
1 8.5%
6%
b
a
=
+
+
B．
1 8.5%
1
6%
a
b
=
+
+
C．
1 8.5%
1 6%
b
a
=
-
-
D．
1 8.5%
1
6%
b
a
=
+
+
【变式6】（2023 七年级上·湖南邵阳·竞赛）魏源是中国近代启蒙思想家、政治家、文学家，是近代中国“睁
眼看世界”的首批知识分子的代表．为了深入了解魏源先生，隆回魏源故居的游客常常络绎不绝．据统计，
今年8 月份游客量约为1.8万人，9 月份的游客量比8 月份下降%
a
，10 月份又比9 月份上升%
b
，设10 月
份的游客量为m万人，则（ ）
A．
1.8 1
%
%
m
a
b
=
-
+
B．
1.8 1
%
%
m
a
b
=
-
C．
1.8
%
%
m
a
b
=
-
+
D．
1.8 1
% 1
%
m
a
b
=
-
+
▌题型04 列代数式中的几何面积问题
【典例4】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）如图，空白部分的面积不可以表示为（ ）
A．2x
B．
2
2
x x
x
+
-
C．
2
3
6
x +
-
D．
2
x x +
【变式1】（24-25 七年级上·浙江绍兴·开学考试）（如图）将一个正方形的边长增加1.3cm ，得到一个新的
正方形．用含有字母a 的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（ ）．
A．
2
1.3
2 1.3
a´
+
B．
2
2
1.3
a
a
+
-
C．
1.3
1.3
2
a
´
+
´
D．
1.3
1.3
a
a
+
+
´
【变式2】（2026 七年级上·全国·专题练习）如图，三角尺的面积（阴影部分）用代数式可表示为
_________________．（用含a、b、r 的代数式表示）
【变式3】（24-25 七年级上·河北邯郸·期末）如图所示是一个长方形．
（1）根据图中尺寸大小，用含x 的代数式表示阴影部分的面积S =_________；
（2）若
4
x =
，求S 的值_________．
【变式4】（24-25 七年级上·北京门头沟·期末）如图，正方形ABCD 的边长为a，根据图中数据，用含a，b
的代数式表示阴影部分的面积S =____________________．
【变式5】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟
机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图
纸中，长方形区域的宽为a，长为b ，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为a），下底为2b ，高为4．请
根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持．
(1)用含a，b 的代数式表示该截面的面积S；
(2)当
4
a =
，
5
b =
时，求该截面的面积．
▌题型05 用代数式表示数、图形的规律
根据一系列数式关系或一组相关图形的变化期律，从中总结其所反映的规律.其中，以
图形为载体的数字规律最为常见，猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式
进行观察对比仿照数式规律的方法猜想得到最终结论，这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注.
【典例5】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）观察下列由字母“C ”和“ H ”组成的图形规律：
已知“C ”表示碳原子，“ H ”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见
的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第n个图形对应的烷烃化学式为：（ ）
A．
2
C H
n
n
B．
2
2
C H
n
n+
C．C H
n
n
D．
1
C H
n
n+
【变式1】（25-26 七年级上·宁夏银川·期末）风从贺兰山来，把古罗马的阶梯染成金黄——这是大美银川收
到最浪漫的一封落日来信．我校七年级的一位同学用围棋子摆出了“大美银川”的大字，如图，按照某种规律
摆成的一行“大”字，按照这种规律，第n个“大”字棋子的个数是（ ）
A．2
5
n +
B．4
3
n +
C．3
5
n +
D．5
2
n +
【变式2】（25-26 八年级上·山东临沂·期末）数学活动
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15 15
225
1 2 100
25
´
=
= ´ ´
+
．
25 25
625
2 3 100
25
´
=
=
´ ´
+
，
35 35
1225
3 4 100
25
´
=
= ´ ´
+
．
……
请你写出一般的规律__________．
【变式3】（25-26 七年级上·福建厦门·期中）“中国结”寓意吉祥如意，中间的图案是一些小正方形.如图，将
一定数量的“中国结”按某规律放置，得到中间有规律的小正方形组合，其中部分小正方形涂有颜色：第1 个
图形共有涂色的小正方形5 个，第2 个图形共有涂色的小正方形9 个，第3 个图形共有涂色的小正方形13
个，…，按照这样的规律，第n 个图案中共有涂色的小正方形的个数是______．
【变式4】（25-26 七年级上·广东惠州·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式；
①
2
1
1
=
；
②
2
1 3
2
+
=
；
③
2
1 3
5
3
+ +
=
；
④________；
(2)试用含有n 的式子表示这一规律：
1 3
5
7
9
2
1
________
n
+ + +
+
+¼+
-
=
；（n为正整数）
(3)请用上述规律计算：
①1 3
5
99
+ + +¼+
；
②21
23
25
97
99
+
+
+
+
+
K
．
【变式5】（24-25 七年级上·福建泉州·期末）【观察思考】
如图，这是由正方形组成的一系列图案，其中第1 个图案有5 个正方形；第2 个图案有9 个正方形；第3 个
图案有13 个正方形；……按此规律排列下去．
【规律发现】
（1）第4 个图案有 个正方形；第n（n 是正整数）个图案有 （用含n 的式子表示）个正方形．
【规律应用】
（2）第100 个图案需要多少个正方形？
▌题型06 直接带入求值
求代数式的值的一般方法是“用数值代替代数式中的每个字母”，然后计算求得结果，
对于特殊的代数式，也可以采用如下方法来解:
1)给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后进行计算.
2)给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等
变形，转化成为用已知关系表示的形式，再代入计算.
3)在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的
值，再求代数式的值.
【典例6】（25-26 七年级上·广东惠州·期中）当
1
a = ，
2
b = - ，则代数式2a
b 的值为（ ）．
A．1
-
B．1
C．2
D．
1
2
-
【变式1】（25-26 七年级上·广西贵港·期末）若有理数a，b 满足
3
4
a
b
=
=
，
，且a
b
>
，则a
b
+
的值为______．
【变式2】（25-26 七年级上·重庆巴南·期末）若a是最大的负整数，|
| 5
b = ，则a
b
-
的值为________．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）若含x 的代数式，满足当
4
x =
时，代数式的值为3
- ．请
写出一个符合条件的代数式：______．
【变式4】（2025 七年级上·全国·专题练习）若a，b 互为倒数，则2025
3ab
-
+
的值为__________．
▌题型07 整体带入求值
【典例7】（25-26 七年级上·山西临汾·期末）代数式
2
2
x
x
-
+
的值为3，则代数式
2
2
2
5
x
x
-
- 的值为
____________．
【变式1】（25-26 七年级上·福建厦门·期末）若多项式a
b
+
的值为1，则多项式2026
2026
3
a
b
+
- 的值为_____
【变式2】（25-26 七年级上·重庆合川·期末）若
2
4
5
x
x
-
+ 的值为7，则
2
1
2
3
2 x
x
-
+
+
的值为________．
【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）若整式
3
2
2
xy
y
-
+
的值为5，则整式
3
3
6
8
xy
y
-
+
- 的值为________．
【变式4】（25-26 七年级上·安徽六安·期末）我们知道：
4
2
4
2 1
5
x
x
x
x
x
+
-
=
+
-
=
，同理，若我们把
a
b
+
看成一个整体，则有
4
2
4
2 1
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=
+
-
+
=
+
．这种解决问题的方法渗透了数
学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思
想”解答下面的问题：
(1)把
2
a
b
-
看成一个整体，合并
2
2
2
3
7
2
a
b
a
b
a
b
-
-
-
+
-
；
(2)已知：
2
2
5
x
y
+
=
，求代数式
2
3
6
21
x
y
-
-
+
的值；
(3)已知
2
3
a
b
-
=
，2
5
b
c
-
= - ，
10
c
d
-
=
，求
2
2
a
c
b
d
b
c
-
+
-
-
-
的值．
【变式5】（25-26 七年级上·广西梧州·期末）【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，
通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在
多项式的化简与求值中．例如：我们把
2
2
x
y
+
看作是一个整体，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
+
=
-
´
+
= -
+
= -
-
．
请你尝试用整体思想解决一下问题：
(1)化简：
3
5
6
a
b
a
b
a
b
+
+
+
-
+
=___________；
(2)若
2
2
1
0
x
x
-
- =
，求代数式
2
6
3
2
11
x
x
x
+
-
+
+
的值；
(3)解方程：
1
1
3
2
3
2
2
3
7
9
5
5
x
x
x
-
+
-
+
=
．
▌题型08 先计算再求值
【典例8】（24-25 七年级上·湖南娄底·期末）数学上把关于x 的代数式用记号
f x 来表示．当x
a
=
时，代
数式的值用
f a 表示．例如，代数式
2
3
1
f x
x
x
=
+
+ ，当
4
x =
时，代数式的值为
2
4
4
3 4 1
29
f
=
+ ´ + =
．已知代数式
3
1
f x
mx
nx
=
+
+ ，若
1
200
f
=
，则
1
f -
的值为_______．
【变式1】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）当
1
x = 时，多项式
3
1
px
qx
+
+ 的值为2026，当
1
x = - 时，则多
项式
3
1
px
qx
+
- 的值为__________ ．
【变式2】（25-26 七年级上·黑龙江牡丹江·期末）代数式
2
1
ax
bx
+
- ，当
1
x = 时的值为2025，则代数式
5
3
3
5
a
b
a
b
-
-
-
的值为________．
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）若
2
3
2
0
a
b
+
+
-
=
，则
2025
a
b
+
的值是________．
【变式4】（24-25 七年级上·四川自贡·开学考试）如果x 与y 互为倒数，且3
y
x
n
=
，那么24n =______．
▌题型09 求与相反数、倒数及绝对值有关的代数式
【典例9】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则
3
a
cd
b
+
-
-
的
值为_____．
【变式1】（25-26 七年级上·陕西汉中·期中）已知a 与3
- 互为相反数，b 与
1
4
-
互为倒数，c 是最大的负整
数，则a
b
c
-
的值为_________．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）已知a
b
、互为相反数，x
y
、互为倒数，m到原点的距离为2
n
，
是最大的负整数，则2
2
+
-
+
+
=
a
b
xy
m
n
___________
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m的绝对值是5，且
0
m <
，则代数式
2026
3
2
a
b
cd
m
+
-
+
=______．
【变式4】（25-26 七年级上·安徽亳州·期末）设a为最小的正整数，b 是最大的负整数，c是绝对值最小的
数，则a
b
c
+
+
= __________
【变式5】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）已知a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是3，y 是
最大的负整数，则
2
2
6
x
cd
a
b
y
-
+
+
-
的值是___________．
▌题型10 利用程序框图求值
【典例10】（25-26 七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算
结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33 的是
（ ）
A．
3
a =
，
8
b =
B．
3
a = - ，
4
b = -
C．
3
a =
，
4
b =
D．
3
a = - ，
8
b =
【变式1】（25-26 七年级上·山东威海·期末）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3
- ，则
第2026 次计算后输出结果为（ ）
A．8
-
B．5
-
C．3
-
D．8
【变式2】（25-26 七年级上·江苏镇江·期末）按下面的运算程序计算：
当输出的值是121 时，满足条件的正整数x 的值最多有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式3】（25-26 七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的x 值为2
- ，则最后输出
的结果是______．
【变式4】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）数学兴趣小组设计了一台“智能运算器”，输入一对数
,x y ，
它会按照以下程序操作：
若输入一对数
,x y ，且
4
x <
，输出结果为5，则满足条件的正整数对
,x y 为__________．
【变式5】．（25-26 七年级上·河北唐山·期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输
入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“★”代表一个有理数．
根据该程序，解答下列问题：
(1)若输入的数是2 ，★表示的数为1，求输出的结果；
(2)若输入的数是6
- ，且输出结果为5，求★表示的数；
(3)若输入的数是m，★表示的数为n，当输出结果为0时，直接写出m与n之间的数量关系．
