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培优专题05 一元一次方程章节13 种易错题专项巩固训练
（题型突破·举一反三）
题型01 方程的识别
题型02 根据一元一次方程的定义求参数
题型03 判断是否方程的解
题型04 已知方程的解求代数式的值
题型05 根据实际问题列方程
题型06 利用等式的性质对等式变形
题型07 解一元一次方程时去括号时错误
题型08 解一元一次方程时去分母时错误
题型09 解含小数的一元一次方程时错误
题型10 识别解一元一次方程的错误步骤
题型11 根据两个一元一次方程解的关系求参数
题型12 看错系数 / 看错符号的错解复原问题
题型13 解的情况讨论（有无解、无数解求参数）
▌题型01 方程的识别
【典例1】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）在①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
中，等式有__________，方程有__________．（填序号）
【变式1】（21-22 七年级下·河南南阳·周测）下列各式中，①
；②
；③
；④
；⑤
，是方程的有（ ）个
A．
B．
C．
D．
【变式2】（22-23 七年级上·全国·期末）下列式子中，一元一次方程的个数为（ ）
；
；
；
；
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式3】（25-26 六年级下·山东淄博·期中）下列各式
；
；
；
中，是一元一次方程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
▌题型02 根据一元一次方程的定义求参数
一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1 个
未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值.
【典例2】（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程
是关于x 的一元一次方程，则a 的值是
______．
【变式1】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）已知
是关于
的一元一次方程，则
的值
为__________．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x 的方程
是一元一次方
程，则k 的值为______．
【变式3】（25-26 六年级下·全国·课后作业）若
是关于
的一元一次方程，求
的
值；并求此方程的解．
▌题型03 判断是否方程的解
只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；
如果不相等，那么这个数就不是方程的解.
【典例3】（25-26 七年级上·河南郑州·期末）下列方程中，解为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 六年级上·上海闵行·期末）下列哪个方程的解不是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26 七年级上·江苏苏州·阶段检测）整式
（
为常数）的值随
的取值的不同而
不同，下表是当
取不同值时对应的整式的值，则关于
的方程
的解为（ ）
0
1
2
8
4
0
A．
B．
C．
D．
【变式3】（25-26 七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．其中，x＝2 是其解的方程有_______．（填序号）
【变式4】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为
的一元一次方程：______．
▌题型04 已知方程的解求代数式的值
【典例4】（25-26 六年级下·山东泰安·期末）关于
的方程
的一个解是
，则
____________．
【变式1】（24-25 六年级下·山东烟台·期中）若关于
的一元一次方程
的解是
，则
的值是_______
【变式2】（2026·江苏常州·一模）若
是一元一次方程
的解，则代数式
的值为
_____．
【变式3】（25-26 七年级下·河南洛阳·期中）若
是关于
的方程
的解，则代数式
的值是________．
▌题型05 根据实际问题列方程
【典例5】（2026·河南周口·一模）情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3 个积分可兑换
1 包纸巾，5 个积分可兑换1 瓶洗手液．若小明现有x 个积分，兑换了4 包纸巾和2 瓶洗手液，恰好用完积
分，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 七年级上·河北保定·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个问题，其大意
为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银
两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程：
嘉嘉：
；淇淇：
．
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉设总银两数为
两
B．淇淇设这群人共有
人
C．嘉嘉所列方程左右两边代数式表示的都是每人分到的银两数
D．淇淇所列方程左右两边代数式表示的都是这群人的人数
【变式2】（25-26 七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高
后标价，再优
惠
元销售，能获得
的毛利率(
)，设一副该款耳机的进价为
元，可列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 六年级下·河南郑州·自主招生）一条公路，修了全长的
，离中点还有
，这条公
路全长多少千米? 设这条公路全长
． 列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（26-27 七年级·江苏·小升初衔接）根据所给信息，如图图形可以用方程“
”来表
示的有（ ）个．
A．3
B．2
C．1
【变式5】（25-26 七年级下·江苏南京·开学考试）如图，根据图中的信息，可列方程为
______________________________．
▌题型06 利用等式的性质对等式变形
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算；
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.
【典例6】（25-26 七年级上·河南漯河·期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．由
，得
B．由
，得
C．由
，得
D．由
，得
【变式1】（25-26 七年级上·北京·期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式2】（25-26 七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程
的步骤中，依据“等式的
性质”变形的是（ ）
．步骤1
．步骤2
．步骤3
．步骤4
A．步骤，
B．步骤，
C．步骤
，
D．步骤，
【变式3】（2026·江苏泰州·二模）若
，则下列等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知
，用含x 的代数式表示y，得y=______．
▌题型07 解一元一次方程时去括号时错误
1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项;
2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号.
【典例7】（25-26 七年级下·河南周口·期中）解方程
，去括号正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程
去括号时，忘记将括号中的
第二项变号，求得方程的解为
，那么方程正确的解为（）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）若关于
的两个方程
和
的解
相同，则
的值为___________．
【变式3】（21-22 七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计
算的效果．例如，在解方程
时，把
看作一个整体．
令
，得：
，
去括号，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化为1，得：
，
故
，解得
．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
【变式4】（26-27 七年级·全国·小升初衔接）计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式5】（25-26 七年级上·广东汕头·期末）解方程：
．
【变式6】（25-26 六年级上·上海·期末）解方程：
．
【变式7】（25-26 七年级上·山东青岛·开学考试）解方程：
▌题型08 解一元一次方程时去分母时错误
1）不要漏乘不含分母的项；
2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.
【典例8】（25-26 七年级下·河南周口·期末）解方程
，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 六年级下·山东威海·期中）小明解方程
时，由于粗心大意，在去分母
时，方程右边的
没有乘以10，由此求得的解为
，则方程
正确的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26 六年级下·山东烟台·期中）定义运算“
”，其规则为
，则方程
的解为______．
【变式3】（25-26 七年级下·四川遂宁·期末）解方程：
【变式4】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）解方程：
【变式5】（25-26 七年级上·山东德州·期末）解方程：
(1)
；
(2)
．
▌题型09 解含小数的一元一次方程时错误
若方程中某些项的分母含小数，则先利用分数的性质将分子、分母同时扩大若干倍，使
小数变成整数，再去分母解方程.若分母含小数的项的分子是多项式，则多项式中的每一项都应乘相应的倍
数.
【典例9】（上海外国语大学附属外国语学校2025-2026 学年六年级上学期数学期末试卷）解方程：
【变式1】（江苏南京市鼓楼实验中学2025-2026 学年上学期七年级期末数学试卷）解方程：
．
【变式2】（四川省达州市渠县中学2024-2025 学年七年级上学期12 月月考数学测试题）定义：我们把绝对
值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：
，
，
，…都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，根据
绝对值的意义，由
，可得
或
．
(1)【例】解方程：
．
我们只要把
看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得
或
．
解这两个一元一次方程，得
或
．经检验可知，原方程的解是
，
；
(2)【解决问题】解方程
．
【变式3】（山东省威海市荣成市2022-2023 学年六年级上学期期末数学试题）计算：
(1)下面是解方程
的主要过程
解：原方程化为
______，
去分母，得
②，
去括号，得
______，
移项，得
______，
合并同类项，得
（合并同类项法则），
把未知数x 的系数化为1，得
______．
请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上；
(2)仿照上例解方程：
（不需要指出每步的依据）
【变式4】（四川省宜宾市江安县2023-2024 学年七年级下学期期中考试数学试题）在学完解一元一次方程
后，聪明的小明同学解方程
的过程如下：
解：原方程可变形为
．
（？），得
．
去括号，得
．
移项、合并同类项，得
．
(1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______；
(2)参考小明的解题过程，解方程：
．
▌题型10 识别解一元一次方程的错误步骤
【典例10】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）下面是明明解方程
的过程：
解：去分母得：
（第一步）
去括号得：
（第二步）
移项得：
（第三步）
合并同类项得：
（第四步）
系数化为1 得：
（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________．
任务二：请你写出解方程的正确过程．
【变式1】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：
解方程
解：去分母，得
第①步
去括号，得
第②步
移项，得
第③步
合并同类项，得
第④步
系数化为1，得
第⑤步
习题2：
解方程：
解：去括号，得
第①步
移项，得
第②步
合并同类项，得
第③步
系数化为1，得：
第④步
(1)习题1 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(2)习题2 的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________．
(3)从中任选一题，写出它的正确解答过程．
【变式2】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）下列是小明和小华同学关于一元一次方程
的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，
帮助他分析错因，并加以改正．
小明同学：
解方程
解：
第①步
第②步
第③步
第④步
第⑤步
第⑥步
小华同学：
解方程
解：
第①步
第②步
第③步
第④步
第⑤步
第⑥步
(1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）
(2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______；
(3)请写出正确的解答过程．
【变式3】（25-26 七年级下·河南南阳·期中）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程
，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下
面的解法：
解：原方程可化为
【A】
去分母，得
【B】
去括号，得
【C】
移项，得
【D】
合并同类项，得
【E】
系数化为1，得
【F】
(1)他错在哪一步？_____（请填后面的大写字母代号），错误的原因是_____；
(2)步骤【A】的变形依据是_____；步骤【B】的变形依据是_____；
(3)请你帮助写出正确求解过程．
▌题型11 根据两个一元一次方程解的关系求参数
【典例11】（25-26 七年级下·福建漳州·期中）已知方程
的解比关于x 的方程
的解小1，
则a 的值为____．
【变式1】（25-26 七年级下·吉林长春·期中）已知关于
的方程
的解与方程
的解
相同，则
的值为________．
【变式2】（25-26 七年级上·河北张家口·期末）若关于
的方程
的解是关于
的方程
的解的2 倍，则
的值为_________．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏南通·期末）若关于x 的方程
和
的解互为相
反数，则m 的值为______．
【变式4】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）已知关于x 的方程
与方程
的解互
为倒数，则
的值为___．
▌题型12 看错系数 / 看错符号的错解复原问题
【典例12】（24-25 七年级上·湖北孝感·阶段检测）小红在解关于x 的一元一次方程
时，由于粗
心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为
，并解得
，请根据以上已知条件，求得原方
程正确的解为___________．
【变式】1（23-24 七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程
时，把（ ）处的数字看错，
得错解
，则他把（ ）处看成了
A．3
B．6
C．9
D．12
【变式2】（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）小琳在解关于x 的方程
时，把
“
”抄成了“
”，求得方程的解为
，求a 的值和原方程的解．
▌题型13 解的情况讨论（有无解、无数解求参数）
把除未知数以外的字母当作数字，正常求解方程.但是，当把方程化为ax=b 的形式的时
候注意，如果系数是确定的数字，那么两边可以同时除以系数，得到方程的解. 但是如果系数中含有字母，
那么就需要对系数进行分类讨论:
(1)当a≠0 时，有唯一解x=
𝑏
𝑎；
(2)当a=0，b=0 时，x 为任意有理数，即方程有无数多个解；
(3)当a=0，b≠0 时，方程无解.
【典例13】（23-24 七年级下·吉林长春·阶段检测）已知关于
的方程
，当
，
为何值时：
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解．
【变式1】（25-26 七年级上·广西崇左·阶段检测）若关于x 的方程
与
均
无解，求代数式
的值．
【变式2】（2025 七年级上·全国·专题练习）已知方程
．
(1)当
取何值时，方程无解？
(2)当
取何值时，方程有无穷多个解？
(3)当
取何值时，方程有唯一解
？
