文档文本内容
培优专题04 有理数14 种章节易错题专项巩固训练
（题型突破·举一反三）
题型01 反向表述的相反意义的量
题型02 理解0 的意义
题型03 有理数的分类
题型04 数轴的三要素及画法
题型05 数轴上两点之间的距离
题型06 利用数轴上的点表示有理数
题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负
题型08 化简多重符号
题型09 由绝对值等式判断字母取值范围
题型10 利用数轴化简绝对值
题型11 含绝对值的化简问题
题型12 绝对值的几何意义
题型13 利用分类讨论解决绝对值方程
题型14 绝对值与代数式综合
▌题型01 反向表述的相反意义的量
用正、负数表示具有相反意义的量，在描述指定方向变化的情况时，一般地，用正数表
示，也可以用指定方向的相反方向的负数表示.
【典例1】（22-23 七年级上·全国·课后作业）入秋以后，某地菠菜喜获丰收，价格增长
1
- 元/千克，意思
就是（ ）
A．菠菜的价格降低1
- 元/千克
B．菠菜的价格增长1元/千克
C．菠菜的价格降低1元/千克
D．以上说法都正确
【变式1】（25-26 七年级上·山东德州·期中）湖水涨了2m
-
的意义是（ ）
A．湖水涨了2m
B．湖水水位无变化
C．湖水下降了2m
D．湖水涨了4m
【变式2】（第01 讲有理数-华东师大版七年级上册课中及课后分层同步练）如果规定前进、收入、盈利、
公元后为正，那么下列各语句中错误的是（ ）
A．前进-18 米的意义是后退18 米
B．收入-4 万元的意义是支出4 万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300 年的意义是公元后300 年
【变式3】（24-25 七年级上·山东聊城·阶段检测）吐鲁番盆地的海拔高度为155m
-
的意义是__________．
【变式4】（24-25 七年级上·广东江门·阶段检测）产值增加10
-
万元的意义是__________．
▌题型02 理解0 的意义
0 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，0 是自然数，是有理数
【典例2】（25-26 七年级上·浙江金华·期末）下列关于0 的说法正确的是（ ）
A．0 是最小的正整数
B．0 没有相反数
C．0 既不是正数，也不是负数
D．0
a
> -
【变式1】（2025 七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________
①0 是正数与负数的分界；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如0℃；④0 是正数．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·单元测试）下列关于“0”的说法正确的有________个．
①0 是正数和负数的分界点；②0 是正数；③0 是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0 既
是整数也是偶数；⑥0 不是负数．
【变式3】（25-26 七年级上·河北沧州·阶段检测）下列关于“0”的说法：①是正数，是整数；②不是正数，
不是负数；③是自然数，是整数；④不是负数，是有理数．正确的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
▌题型03 有理数的分类
类似2
π的含π式子不是有理数.
【典例3】（25-26 六年级下·黑龙江绥化·期中）在
2
2
- -
，
7
- -
，
1
- + ，
2
3
-
，
11
5
æ
ö
- +
ç
÷
è
ø 中，负数的个数
是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【变式1】（25-26 七年级上·云南昭通·阶段检测）在34
-
，0，1
4 ，
1
2
-
，
7
10
+
，2
- ，1，0.833，
3
4 4
+
，10.5
-
中，正数有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式2】（25-26 七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6 个数：7
4 、1.010010001、
4
3
-
，0、2p
-
、3.3& ，其
中有理数有（ ）个．
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3】（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）设a是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c是最小的
正整数，则a
c
b
+ -
= ______．
【变式4】（25-26 七年级上·四川达州·期中）在
3
1
π
3
, 8,2025,0,
2 , 13,
, 6.9,
7
4
5
-
- - -
+
-
中，非负整数有a个，
分数有b 个，则a
b
-
值为_____．
【变式5】（25-26 七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：
18
-
，3.14，0，2024 ，
3
5
-
，80%，2
p ，
5
-
，
7
- -
．
负整数集合{______________…}
整数集合{______________…}
正分数集合{______________…}
非负整数集合{______________…}
有理数集合{______________…}
▌题型04 数轴的三要素及画法
画数轴时，关键是要体现出数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示数，
那么步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数.
【典例4】（26-27 七年级·全国·暑假作业）下列图形中是数轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确
且合理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 七年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式3】（25-26 七年级上·山东济宁·阶段检测）画数轴，在数轴上表示出下列有理数：2
- ，
1
3 2
-
，0，
1
4 3
-
，
1
2
▌题型05 数轴上两点之间的距离
由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑
所有可能出现的结果．
【典例5】（2026·陕西咸阳·模拟预测）数轴上到原点距离为3 个单位长度的点表示的数是_____.
【变式1】（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上A、B 两点分别表示的数是7 和9，在直线上有
另外一点C 到A、B 的距离和是4，则点C 表示的数是________
【变式2】（2026·广东·一模）如图，在数轴上，点A、B 分别表示a、b，且
0
a
b
+
=
，若
4
AB =
，则点A
表示的数为________．
【变式3】（25-26 七年级上·四川眉山·期中）在数轴上点A 表示2
- ，点B，C 表示的数互为相反数，且C
与A 之间的距离为2，则点B 表示的数为____________．
▌题型06 利用数轴上的点表示有理数
【典例6】（26-27 六年级上·上海青浦·开学考试）下面直线上点A 表示的数是 ______，若C 点在线段AB 的
中点，则C 点表示的数是 ______．
【变式1】（2026·青海西宁·二模）在数轴上，点A 与点B 位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A
表示的数是6，则点B 表示的数是________．
【变式2】（25-26 七年级下·河北石家庄·开学考试）点A
B
、分别是数3
12
-
-
，
在数轴上对应的点，使线段AB
沿数轴向右移动到A B
¢ ¢ ，且线段A B
¢ ¢ 的中点对应的数是3，则点A¢对应的数是___________，点A 移动的距
离是___________．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏无锡·期末）小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
如图，在数轴上，两个有理数从左到右依次是1
- ，b ，折叠这条数轴所在纸面，若使1
- 表示的点与7 表示
的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则n =________；此时，数b 表示的点与数2026
-
表示的点重合，
则b = ________．
▌题型07 根据点在数轴的位置判断式子正负
给数轴上字母赋予符合位置的具体数字，代入直接判断正负。
【典例7】（2026·福建·中考真题）实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
<
C．
0
ab >
D．
0
a
b <
【变式1】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）点A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a
和b．对于下列四个结论：①
0
b
a
-
>
；②a
b
<
；③
0
a
b
+
>
；④
1
b
a > - ．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③④
D．②③④
【变式2】（25-26 七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上点A，B 表示的数分别为a，b，且OA
OB
>
，则
下列结论正确的是（ ）
A．a
b
<
B．
0
a
b
+
<
C．
0
b
a
-
<
D．
2
0
a b <
【变式3】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）已知a，b 在数轴上表示的点的大致位置如图所示，则下列等
式成立的是（ ）
A．
a
b
a
b
+
= -
-
B．a
b
a
b
+
=
+
C．
a
b
b
a
+
= -
-
D．a
b
a
b
-
=
-
【变式4】（25-26 七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难
入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b 的点如图所示，把a，a
- ，b，b
- 按
照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b
a
a
b
- < - <
<
B．a
b
a
b
- < - <
<
C．b
a
a
b
- <
< - <
D．b
b
a
a
- <
< - <
▌题型08 化简多重符号
在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，
其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”.
【典例8】（25-26 七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（ ）
A．
2026
2026
- -
= -
B．
2026
2026
- -
=
C．
2026
2026
- +
= -
D．
2026
2026
+ -
= -
【变式1】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）化简下列各数：
(1)
3
15
é
ù
æ
ö
+ - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(2)
5.8
é
ù
- + -
ë
û ；
(3)
2
3
é
ù
æ
ö
- - + -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(4)
20
é
ù
+ - + -
ë
û
【变式2】（25-26 七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：
(1)
3.5
- +
；
(2)
11
- -
；
(3)
3
15
é
ù
æ
ö
+ - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(4)
5.8
é
ù
- + -
ë
û ；
(5)
2
3
é
ù
æ
ö
- - + -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
；
(6)
20
é
ù
+ - + -
ë
û
【变式3】（24-25 七年级上·江西南昌·阶段检测）化简下列各数：
(1) ( 12)
- +
(2) ( 7)
+ +
(3) ( 25)
+ -
(4) ( 16)
- -
(5)
5
7
é
ù
æ
ö
- - -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
(6)
2
- + -
é
ù
ë
û
▌题型09 由绝对值等式判断字母取值范围
容易忽视关键数0
【典例9】（25-26 七年级上·重庆·阶段检测）若有理数a满足a
a
=
，则a的取值范围是（ ）
A．
0
a ³
B．
0
a >
C．
0
a £
D．
0
a <
【变式1】（23-24 七年级上·四川绵阳·期中）若
1
a
a = - ，则a的取值范围是（ ）
A．
0
a >
B．
0
a <
C．
0
a ³
D．
0
a £
【变式2】（24-25 七年级上·甘肃武威·期末）若
5
|
|
5
x
x
-
=
- ，则x 的取值范围是_____．
【变式3】（24-25 七年级上·北京·期中）若
3
3
x
x
-
=
-
成立，那么x 的取值范围是_______．
【变式4】（25-26 七年级上·江苏南京·阶段检测）若有理数x 满足
2025
2025
x
x
+
=
-
，则x 的取值范围是
_______．
▌题型10 利用数轴化简绝对值
通过数轴来确定各个字母表示的数或绝对值内式子的正负性来去掉绝对值符号.
【典例10】（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）结合数轴化简
1
b
a
b
-
+
-
的结果是_____．
【变式1】（25-26 七年级上·四川成都·期末）有理数a
b
c
，，在数轴上的位置如图所示，化简：
a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
= ___________
【变式2】（25-26 七年级上·安徽合肥·期末）有理数, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
2
a
b
a
c
c
b
+
-
-
+
-
的结果为__________．
【变式3】（25-26 七年级上·四川宜宾·期末）已知a、b、c 的大小关系如图，满足
0
a
b
c
+
+
=
，化简
a
b
c
b
c
c
a
a
b
+
+
=
+
+
+
________．
【变式4】（25-26 七年级上·四川成都·期中）有理数a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，化简：
|
| 2 |
| 3|
|
a
b
a
c
a
b
c
-
+
+
-
+
-
= ________．
▌题型11 含绝对值的化简问题
【典例11】（2026 七年级上·吉林长春·专题练习）
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
可能的值有___________个．
【变式1】（25-26 七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c 为非零有理数，
bc
abc
ab
ca
ab
bc
ca
abc
+
+
+
的值为________．
【变式2】（25-26 七年级上·山东日照·期末）若
6
x £ - ，则化简
6
1
x
x
+
-
-
=_____．
【变式3】（25-26 七年级上·湖南怀化·期末）若三个有理数a，b，c，满足
1
abc
abc = ，则
a
b
c
abc
a
b
c
abc
+
+
-
= ________．
▌题型12 绝对值的几何意义
【典例12】（25-26 七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，
数轴上A、B 两点对应的数分别为a
b
、，且A
B
、两点之间的距离可以表示为AB ，则
|
|
AB
a
b
=
-
（或
|
|
b
a
-
）．
（1）求
| 5
3 |
- -
= ___；
（2）|
4 |
|
3|
x
x
-
+
+
的最小值是___．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北孝感·期末）点A、B 在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B 两点之间
的距离可以表示为AB
a
b
=
-
．
（1）x 是一个有理数，若x 在3
- 与1 之间，则
1
3
x
x
-
+
+
= __________．
（2）若
1
x
a
x
+
+
+
的最小值为3，则a 的值为__________．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南邵阳·期末）满足2
1
2
5
6
x
x
+
+
-
=
的整数x 的值有________．
【变式3】（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）
2020
2
2021
3
2022
4
2023
5
2024
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
-
的最小值为______
▌题型13 利用分类讨论解决绝对值方程
在解含有两个及以上绝对值符号的方程时，要在未知数取值的不同范围内，分别化简方
程，并求出化简后的方程的解，要注意检验所求出的解是否在限定范围内，若不在该范围内，则所求出的解
不是原方程的解，应舍去.
【典例13】（25-26 七年级上·江苏苏州·期末）若
4
1
a -
= ，则a =__________．
【变式1】（25-26 七年级上·重庆·期末）若有理数a满足2
3
a
a
=
+ ，则
2
a 的值为__________．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看
|
|
-
a
b ．从数的角度上看，可以对a
b
-
值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，
可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B 在数轴上分别对应的数为a、b，则AB 两点间的距离可表示为
|
|
-
a
b ．请你利用以上方法解方程：|
1|
| 2
1| 2
x
x
+
+
-
=
得，x =_______．
【变式3】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B 两点之间的距
离表示为AB ，在数轴上A、B 两点之间的距离AB
a
b
=
-
．例如：数轴上表示1
- 与2
- 的两点间的距离
1 ( 2)
1
= - - -
= ；而
2
( 2)
x
x
+
=
- -
，所以
2
x +
表示x 与2
- 两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问
题：
(1)数轴上表示1 和5
- 的两点之间的距离是 ．
(2)若数轴上表示点x 的数满足
1 =3
x-
，那么x = ．
(3)
1
2025
x
x
+ +
-
的最小值为 ．
(4)
1
2025
2029
x
x
+ +
-
=
，则x 的值为 ．
▌题型14 绝对值与代数式综合
【典例14】（25-26 七年级上·广西贵港·期末）若有理数a，b 满足
3
4
a
b
=
=
，
，且a
b
>
，则a
b
+
的值为______．
【变式1】（23-24 七年级上·河北沧州·期末）若
2
9
x =
，
2
y =
，且x
y
<
，则x
y
-
的值为______．
【变式2】（25-26 七年级上·重庆江北·期末）若
2
9,
2
3
x
y
=
-
=
，且满足xy
xy
= -
，则x
y
-
的值为__________．
【变式3】（25-26 七年级上·贵州毕节·阶段检测）已知
4,
5
x
y
=
=
，且x
y
<
，则x
y
x
y
-
+
的值为___________．
