第一章 有理数
知识点一 正数和负数
1.
定义
正数：大于 0 的数；负数：在正数前加” ― “、小于 0 的数；
0 既不是正数，也不是负数，是正负数分界。
2.
应用：用正负数表示一组相反意义的量（如上升/下降、收入/支出）。
3.
符号规则：正数” + “可省略，负数” ― “不能省略。
知识点二 有理数的概念
1.
定义：整数和分数统称为有理数。
2.
分类方式
① 按定义分
整数：正整数、0、负整数；
分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数属于分数；𝜋这类无限不循环小数不是有理数）。
② 按正负分
正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
3.
拓展名词
非负数 = 正数+0；非正数 = 负数+0。
知识点三 数轴
1.
三要素（缺一不可）：原点、正方向、单位长度。
2.
核心性质
① 所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示；
② 数轴上右边的数一定大于左边的数。
3.
画图规范：直线、标注原点 0、统一长度单位、标出正方向箭头。
知识点四 相反数
1.
定义：只有符号不同的两个数互为相反数；数𝑎的相反数是― 𝑎。
2.
特殊值：0 的相反数是 0。
3.
核心性质：互为相反数的两数之和为 0，即𝑎+( ― 𝑎) = 0。
4.
多重符号化简法则：奇负偶正（负号个数奇数，结果为负；偶数，结果为正）。
5.
几何意义：数轴上互为相反数的两点到原点距离相等，分布原点两侧。
知识点五 绝对值
1.
几何意义：数轴上表示数𝑎的点与原点的距离，记作|𝑎|，距离恒非负，|𝑎| ≥0。
2.
代数化简公式
|𝑎| =
𝑎
𝑎> 0
0
𝑎= 0
―𝑎
𝑎< 0
3.
重要结论
① 绝对值最小的数是 0；
② 互为相反数的两个数绝对值相等。
知识点六 有理数的大小比较
两种常用方法
1. 数轴比较法：数轴右侧的数 > 左侧的数。
2. 法则比较法
① 正数＞0＞负数；
② 两个负数比较：绝对值大的数，本身数值更小。
易错点1 化简多重符号
易错提醒
一、易错点总结
1. 数错负号个数，导致最终正负判断相反。
2. 误以为式子前面有负号，结果一定是负数。
3. 化简时混入绝对值、括号运算顺序，先算数字再去符号，导致出错。
4. 偶数个负号仍误判为负，奇数个负号误判为正。
二、注意事项总结
1. 严格使用奇负偶正：只数负号个数，与数字大小无关。
2. 正号可以直接全部省略，不影响结果。
3. 多重符号运算：先化简符号，再算绝对值、计算。
4. 做题不要凭感觉，一定逐个清点负号数量。
【对点训练】1．化简下列各数：
（1）
3
- -
= ________；
（2）
3
+ -
= ________；
（3）
3
- +
= ________；
（4）
3
- - -
= ________．
【答案】
3
3
-
3
-
3
-
【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则．
根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果
负号的个数为奇数，结果为负．
【详解】解：（1）
3
- -
=3，
故答案为：3；
（2）
3
3
+ -
= - ，
故答案为：3
- ；
（3）
3
3
- +
= - ，
故答案为：3
- ；
（4）
3
3
- - -
= - ，
故答案为：3
- ．
易错点2 带“非”字的有理数的分类
易错提醒
一、易错点总结
1. 最大误区：带“非”字分类习惯性漏掉 0。
2. 概念混淆：把“非负数”当成正数、“非正数”当成负数。
3. 混淆非负整数、非正整数，误把分数、小数纳入整数范围。
4. 分不清：非负数≠正数、非正数≠负数。
二、注意事项总结
1. 口诀：带“非”必含 0。
2. 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0。
3. 非负整数、非正整数只包含整数，不含分数和小数。
4. 分类题一定要对照定义逐条筛选，不要凭直觉。
【对点训练】2．
1
17 ，2023
-
，3.14
-
，0.10% ，0，
1
- -
，6，0.13，
2
- -
分数集合：{__________ …}；
非负整数集合：{__________ …}；
非正数集合：{__________ …}；
正有理数集合：{__________ …}；
自然数集合：{__________ …}
【答案】
1
17 ，3.14
-
，0.10% ，0.13
0
1 6
- -
，
，
2023, 3.14,0,
2
-
-
- -
1
1
,0.10%,
1 ,6,0.13
7
- -
0,
1 ,6
- -
【分析】根据有理数的分类标准，分数指非整数的有理数，非负整数指大于等于零的整数，非正数指小于
等于零的数，正有理数指正数且有理数，自然数指非负整数（包括零）．对每个数进行化简和判断，归类到
相应集合．
【详解】解：
1
1
- -
= ，
2
2
- -
= - ，
分数集合
1
1
, 3.14,0.10%,0.13
7
ì
ü
-
í
ý
î
þ ．
非负整数集合
0,
1 ,6
- -
．
非正数集合
2023, 3.14,0,
2
-
-
- -
．
正有理数集合
1
1
,0.10%,
1 ,6,0.13
7
ì
ü
- -
í
ý
î
þ ．
自然数集合
0,
1 ,6
- -
．
故答案为：1
1
, 3.14,0.10%,0.13
7 -
；
0,
1 ,6
- -
；2023, 3.14,0,
2
-
-
- -
；
1
1
,0.10%,
1 ,6,0.13
7
- -
；
0,
1 ,6
- -
易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值
易错提醒
一、易错点总结
1. 不分类讨论，直接去掉绝对值符号，导致结果错误。
2. 当绝对值内为负数时，忘记变号，不会整体取相反数。
3. 遗漏“等于 0”的情况，只分正负两类，讨论不完整。
4. 已知字母取值范围，仍判断错误式子正负。
二、注意事项总结
1. 含字母绝对值必须分类讨论：正数、0、负数三种情况。
2. 内部为负：去绝对值要整体加括号变号。
3. 分界点（使式子为 0 的值）一定要单独讨论，不能漏掉。
4. 化简核心口诀：正去、0 零、负变反。
【对点训练】3．请利用绝对值的性质，解决下列问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
a >
时，
a
a = ；当
0
b <
时，
b
b = ．
(2)已知a，b 是有理数，且
0
ab <
，求a
a
b
b
+
的值．
(3)已知a，b，c 是有理数，
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc <
，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
+
+
+
+
的值．
(4)已知a，b，c 是有理数，当
0
abc ¹
时，求
b
a
c
a
b
c
+
+
的值．
【答案】(1)1，1
-
(2)0
(3) 1
-
(4)3 或3
- 或1 或1
-
【分析】本题主要考查了绝对值是化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的
相反数，0 的绝对值是0．
（1）根据绝对值是性质可得，当
0
a >
时，
a
a
a
a
=
，当时，
b
b
b
b
= - ，进行化简即可；
（2）
0
ab <
，得a、b 异号，设
0
a >
，则
0
b <
，和
0
a <
，则
0
b >
，讨论解答即可；
（3）
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc <
，可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设
0
a >
，
0
b >
，
0
c <
，解答即
可；
（4）根据
0
a ¹
，
0
b ¹
，
0
c ¹
，再进行分类讨论①当a、b、c 均为正数时，②当a、b、c 中两正一负时，
③当a、b、c 中一正两负时，④当a、b、c 中均为负数时，四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：当
0
a >
时，则
1
a
a
a
a
=
= ，当
0
b <
时，
1
b
b
b
b
=
= -
-
故答案为：1，1
- ；
（2）Q
0
ab <
，
\a、b 异号，
若
0
a >
，则
0
b <
，
1 1
0
a
b
a
b
a
b
a
b
æ
ö
+
=
+ -
= - =
ç
÷
è
ø
，
若
0
a <
，则
0
b >
，
1 1
0
a
b
a
b
a
b
a
b
+
= -
+
= - + =
；
（3）a，b，c 是有理数，
0
a
b
c
+
+
=
，
0
abc <
b
c
a
\ +
= - ，a
c
b
+
= - ，a
b
c
+
= - ，且三个数中必需有两个正数，一个负数，
设：
0
a >
，
0
b >
，
0
c <
，
1
1
1
1
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
+
-
-
-
+
+
=
+
+
= - + -
+ = - ；
（4）解：∵a，b，c 是有理数，
0
abc ¹
，
∴
0
a ¹
，
0
b ¹
，
0
c ¹
，且三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或
三个都为负数．
①当a，b，c 都是正数，即
0
a >
，
0
b >
，
0
c >
时，
则：
1 1 1
3
|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
= + + =
；
②当a，b，c 有一个为正数，另两个为负数时，设
0
a >
，
0
b <
，
0
c <
，
则：
1 ( 1)
( 1)
1
|
| |
|
|
|
|
|
a
a
b
c
a
b
c
a
a
b
c
a
b
c
-
-
+
+
=
+
+
= + -
+ -
= - ；
③当a，b，c 有两个为正数，一个为负数时，设
0
a >
，
0
b >
，
0
c <
，
则：
1 1 ( 1)
1
|
| |
|
|
|
|
|
a
a
b
c
a
b
c
a
a
b
c
a
b
c
-
+
+
=
+
+
= + + -
= ；
④当a，b，c 三个数都为负数时
0
a <
，
0
b <
，
0
c <
，，
则：
1 ( 1)
( 1)
3
|
| |
|
|
|
|
|
a
a
b
c
a
b
c
a
a
b
c
a
b
c
-
-
-
+
+
=
+
+
= - + -
+ -
= - ；
综上所述：
b
a
c
a
b
c
+
+
的值为3 或3
- 或1 或1
- ．
易错点4 绝对值的几何意义
易错提醒
一、易错点总结
1. 最常错：认为绝对值可以为负数，如 |-6|=-6。
2. 只会代数计算，不懂几何意义是数轴上的距离。
3. 不理解距离≥0，不会判断绝对值最小值为 0。
4. 计算两点距离时忽略绝对值，出现负数结果。
二、注意事项总结
1. 绝对值本质是距离，结果一定非负数。
2. |a|：数 a 到原点的距离；|a-b|：a、b 两点距离。
3. 所有绝对值最小值都是 0，不可能为负。
4. 遇到最值、范围题，优先用数轴几何意义解题，更简单不易错。
【对点训练】4．已知A 、B 在数轴上分别表示a 、b
(1)对照数轴填写下表：
a
6
6
-
6
-
6
-
2
1.5
-
b
4
0
4
4
-
10
-
1.5
-
A 、B 两点的距离
2
6
10
0
(2)若A 、B 两点间的距离记为d ，直接写出d 和a 、b 的数量关系______．
(3)如果
2
3
x
x
+
+
-
的和最小时，整数x 有______．
(4)当a 为______时，代数式
3
x
a
x
+
+
-
的最小值是7．
(5)式子
3
6
x
x
+
-
-
有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
【答案】(1) 2 ；12；
(2) d
a
b
=
-
；
(3) 2, 1,0,1,2,3
-
-
；
(4) 4 或10
-
；
(5)有最大值9和最小值9
-
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想
求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意
义简化计算与分析．
（1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的a 、b 值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出A 、
B 两点的距离；
（2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离d 与表示两点的数a 、b 的数量关系；
（3）
2
3
x
x
+
+
-
的几何意义是数轴上表示x 的点到2
- 和3 的点的距离之和，再根据几何特征确定当x 在2
-
和3 之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可；
（4）先将x
a
+
转化为
x
a
- -
，明确其几何意义为数轴上表示x 的点到a
-
和3 的点的距离之和，再结合
几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离
3
a
- -
，结合最小值为7 列方程求解a 的值；
（5）先明确
3
x +
和
6
x -
的几何意义，再根据x 在数轴上的位置分3
- 左侧、3
- 与6 之间、6 右侧三类情况
进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值．
【详解】（1）解：当
6
a = - ，
4
b = - 时，A 、B 两点的距离为
6
4
2
2
- - -
= -
=
；
当
2
a =
，
10
b = -
时，A 、B 两点的距离为
2
10
12
12
- -
=
=
；
故答案为：2 ；12；
（2）解：由数轴上两点距离的定义，可得d 和a 、b 的数量关系为d
a
b
=
-
；故答案为：d
a
b
=
-
；
（3）解：
2
3
x
x
+
+
-
表示数轴上表示x 的点到表示2
- 和3的点的距离之和，当x 在2
- 和3之间(包括端点)
时，距离之和最小，此时整数x 为2, 1,0,1,2,3
-
-
；故答案为：2, 1,0,1,2,3
-
-
；
（4）解：
3
3
x
a
x
x
a
x
+
+
-
=
- -
+
-
，其几何意义是数轴上表示x 的点到表示a
-
和3的点的距离之和，
当x 在这两点之间时，距离之和最小，
最小值为
3
3
7
a
a
- -
=
+
=
，
则
3
7
a +
=
或
3
7
a +
= - ，解得
4
a =
或
10
a = -
；
故答案为：4 或10
-
；
（5）解：
3
x +
表示数轴上点x 到3
- 的距离，
6
x -
表示数轴上点x 到6 的距离．
①当点x 在3
- 的左侧，
3
3
x
x
+
= - -
，
6
6
x
x
-
=
-
，
3
6
3
6
9
x
x
x
x
\
+
-
-
= - -
-
-
= - ；
②当点x 在3
- 与6 之间（包含端点），
3
3
x
x
+
=
+
，
6
6
x
x
-
=
-
，
3
6
3
6
2
3
x
x
x
x
x
\
+
-
-
=
+
-
-
=
- ，
此时9
2
3
9
x
- £
-
£
；
③当点x 在6 的右侧，
3
3
x
x
+
=
+
，
6
6
x
x
-
=
-
，
3
6
3
6
9
x
x
x
x
\
+
-
-
=
+
-
-
=
．
综上，式子
3
6
x
x
+
-
-
有最值，最大值为9，最小值为9
- ．
一、单选题
1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（ ）
A．1
B．2
-
C．1
-
D．0
【答案】C
【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小．
【详解】解：因为被遮住的左边是整数2
- ，右边的整数是0，
因此被遮挡的整数是1
- ．
2．如图，在数轴上将点A 向右移动4 个单位长度得到点B ，则点B 表示的数是（ ）
A．5
-
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据数轴上点A 对应的数为2
- ，结合平移性质可得答案．
【详解】解：由数轴知，点A 对应的数为2
- ，
由平移性质，点A 向右移动4 个单位长度得到点B，则点B 表示的数是2．
3．正六边形ABCDEF 在数轴上的位置如图所示，点A 和F 对应的数分别为1 和0，若正六边形ABCDEF
绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1 次后，点E 所对应的数为1
- ．按此规律继续翻转下去，
数轴上2026
-
所对应的顶点是（ ）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B
【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已
知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6 个为一个循环，循环内顶点依次为E 、D 、C 、B 、A 、
F ；再通过计算2026 除以6 的余数，结合循环规律确定2026
-
对应的顶点．
【详解】解：根据题意，第1 次点E 对应1
- ，第2 次点D 对应2
- ，第3 次点C 对应3
- ，第4 次点B 对应
4
- ，第5 次点A 对应5
- ，第6 次点F 对应6
- ，第7 次点E 对应7
- ，¼¼
由此可得，每6 次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为E 、D 、C 、B 、A 、F ．
数轴上2026
-
所对应的顶点是正六边形ABCDEF 经过2026 次翻转得到的，
计算2026
6
337
4
¸
=
LL ，
根据循环规律，余数为4 时对应的顶点是B ，
因此数轴上2026
-
所对应的顶点是B ．
故选：B．
4．下列说法中不正确的有（ ）
①1 是绝对值最小的数；②0 既不是正数，也不是负数； ③0 的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正
数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题
的关键．
根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可．
【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确；
对于②：0 既不是正数也不是负数，∴②正确；
对于③：0 的相反数是0，∴③正确；
对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0 和正数），不一定是正数，∴④不正确；
∴不正确的有①和④，共2 个，
故选：B．
5．如图，数轴上点P 所表示的数为x，则下列说法正确的是（ ）
A．在x 和0 之间有3 个负数
B．与3 相比，x 离0 更近一些
C．在x 和1.5之间有5 个整数
D．x 比3
- 大
【答案】C
【详解】解：A、在x 和0 之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意；
B、与3 相比，x 离0 更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意；
C、在x 和1.5之间有5 个整数，原说法正确，该选项符合题意；
D、x 比3
- 小，原说法不正确，该选项不符合题意．
二、填空题
6．把下列各数填入相应的集合中：
3
+ ，
1
4 3
-
，1.9
-
，0.17 ，0，8
- ，123
+
．
正有理数集合{_______________}；
负分数集合{_______________}；
整数集合{_______________}；
非负整数集合{_______________}．
【答案】3,0.17, 123
+
+
；
1
4
, 1.9
3
-
-
；3,0, 8, 123
+
-
+
；3,0, 123
+
+
【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握根据有理数的定义和分类方法，是解题的关键．根据正
有理数包括正整数和正分数；负分数是负的分数；整数包括正整数、负整数和零；非负整数是正整数和零，
进行求解即可．
【详解】解：正有理数集合{ 3,0.17, 123
+
+
}；
负分数集合{
1
4
, 1.9
3
-
-
}；
整数集合{ 3,0, 8, 123
+
-
+
}；
非负整数集合{ 3,0, 123
+
+
}．
7．点A
B
、分别是数3
12
-
-
，
在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到A B
¢ ¢ ，且线段A B
¢ ¢ 的中点对
应的数是3，则点A¢对应的数是___________，点A 移动的距离是___________．
【答案】
15
2
21
2
【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段AB 的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据
线段平移的性质得到点A 移动的距离，最后计算得到点A¢对应的数．
【详解】解：根据题意，点A 对应数为3
- ，点B 对应数为12
-
，
由数轴上两点中点的计算公式，可得线段AB 的中点对应的数为：
1
15
3
12
.
2
2
é
ù
´
-
+ -
= -
ë
û
已知平移后线段A B
¢ ¢ 的中点对应的数是3，因此中点移动的距离为：
15
21
3
.
2
2
æ
ö
- -
=
ç
÷
è
ø
线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A 移动的距离为21.
2
点A¢对应的数为点A 对应的数加上移动距离，即：
21
15
3
.
2
2
- +
=
8．如图，圆的周长为4 个单位长度，在该圆的4 等分点处分别标上0,1,2,3．先让圆周上表示数字0 的点与
数轴上表示1
- 的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025 的点与圆周上重合的点表示的数字
是____________．
【答案】2
【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示0 的点重合的数字起，每4 个单位长度即为一个周
期，计算到数轴上表示2025 的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字．
【详解】解：如图所示，每4 个单位长度即为一个周期，
∵数字0 的点与数轴上表示1
- 的点重合，
∴数字1的点与数轴上表示0 的点重合，
∵2025
4
506. . . . . . 1
¸
=
，
∴2025 为从数字0 和数轴上表示1
- 的点重合起，第506个周期后的第一个数，
即1 1
2
+ =
．
故答案为：2 ．
9．化简：
5
- + -
é
ù
ë
û =_______；
28
35
-
-
=_______．
【答案】
5
4
5
【分析】本题主要考查相反数 ，分数；第一个表达式通过处理括号内的符号和外部负号化简；第二个表达
式先化简分数，再处理负号．
【详解】解：对于第一个表达式：
5
- + -
é
ù
ë
û ，先计算内部括号：
5
5
+ -
= - ，然后外部负号：
5
5
- -
=
，
对于第二个表达式：
28
35
-
-
，先化简分数28
35
-
，分子和分母同时除以最大公约数7，得
4
5
- ，然后外部负号：
4
4
5
5
-
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
故答案为：5，4
5 ．
10．如果x 为有理数，式子2026
2
x
-
-
存在最大值，这个最大值是__________．
【答案】2026
【分析】利用绝对值的非负性，得出
2
x -
的最小值进而确定表达式的最大值即可．
【详解】解：
x
Q 为有理数，
2
0
x
\
-
³
，
2
0
x
\-
-
£
，
2026
2
2026
x
\
-
-
£
，当且仅当
2
0
x -
=
时，即
2
x =
时取等号，
\最大值为2026 ．
三、解答题
11．将下列各数填在相应的括号里：
2
- 、5、0.3
-
、
1
7
-
、3.14、0、102、17
-
、
5
16
-
、p
-
分数集合：{ }；
非正有理数集合：{ }；
负数集合：{ }
【答案】
1
5
0.3,
,3.14, 1
7
6
-
-
-
；
1
5
2, 0.3,
,0, 17, 1
7
6
-
-
-
-
-
；
1
5
2, 0.3,
, 17, 1 , π
7
6
-
-
-
-
-
-
【详解】解：分数集合：
1
5
0.3,
,3.14, 1
7
6
ì
ü
-
-
-
í
ý
î
þ；
非正有理数集合：
1
5
2, 0.3,
,0, 17, 1
7
6
ì
ü
-
-
-
-
-
í
ý
î
þ ；
负数集合：
1
5
2, 0.3,
, 17, 1 , π
7
6
ì
ü
-
-
-
-
-
-
í
ý
î
þ
12．探索研究：
(1)比较下列各式的大小（用“<”或“ >”或“=”连接）．
①
1
4
+ +
__________
1
4
+ +
；
②
6
3
-
+ -
__________
6
3
- -
；
③10
3
+ - __________ 10
3
-
；
④0
8
+ - __________ 0
8
-
(2)通过以上比较，请你分析､归纳出当,a b 为有理数时，a
b
+
__________ a
b
+
（用“<”或“ >”或“=”或“≥”或
“≤”连接）．
(3)根据（2）中得出的结论，当
2025
2025
x
x
+
=
-
时，则x 的取值范围是__________．
【答案】(1) , , ,
= = > =
(2)³
(3)
0
x £
【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的大小比较。解题关键是通过计算具体式子的绝对值，归纳出
a
b
+
与a
b
+
的大小关系，再利用这一结论分析含绝对值的等式，确定未知数的取值范围．
（1）每一个小题计算后进行比较；
（2）由（1）的例子归纳即可；
（3）由（2）的结论回答即可．
【详解】（1）解：①
1
4
1
4
5,
1
4
5
5
+ + +
= +
=
+ +
=
=
,
②
6
3
6
3
9,
6
3
9
9
-
+ -
=
+
=
- -
= -
=
,
③10
3
10
3
13, 10
3
7
7
+ -
=
+
=
-
=
=
,
④0
8
0
8
8, 0
8
8
8
+ -
=
+
=
-
= -
=
,
故答案为：, , ,
= = > = ；
（2）通过（1）的例子可归纳：
当,a b 同号（或其中一个为０）时，a
b
a
b
+
=
+
;
当,a b 异号时，a
b
a
b
+
>
+
．
故答案为：³ ；
（3）
2025
2025
x
x
+
=
-
Q
,
2025
2025
x
x
\
+ -
=
+ -
．
由（2）的结论，当x 与2025
-
同号（或
0)
x =
时，
2025
2025
x
x
+ -
=
-
．
故答案为：
0
x £
．
13．【总结提炼】
小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当
0
a >
时，a
a
=
，则
1
a
a
a
a
=
= ；当
0
a <
时，
a
a
= - ，则
1
a
a
a
a
-
=
= - ．
【解决问题】
（1）若
0
ab >
，则
a
b
a
b
+
= ．
（2）若
0
abc <
，则
a
c
b
a
b
c
+
+
= ．
【拓展提升】
（3）若
1
a
abc
ab
abc
ab
a
+
+
= ，计算：
b
a c
bc
bc
b
a c
-
-
= _________．
【答案】（1）2
- 或2（2）3
- 或1；（3）1或1
- 或3
【分析】（1）分
0,
0
a
b
<
<
和
0,
0
a
b
>
>
，两种情况进行讨论求解即可；
（2）分
, ,
a b c 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解；
（3）分
0
a <
，和
0
a >
，两种情况，进行讨论求解．
【详解】解：（1）∵
0
ab >
，
∴,a b 同号，
当
0,
0
a
b
<
<
时：
1 1
2
a
b
a
b
+
= - - = - ；
当
0,
0
a
b
>
>
时：
1 1
2
a
b
a
b
+
= + =
；
故答案为：2
- 或2；
（2）∵
0
abc <
，
∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数，
当
0,
0,
0
a
b
c
<
<
<
时，则：
1 1 1
3
a
c
b
a
b
c
+
+
= - - - = - ；
当有两个正数和一个负数时，假设：
0,
0,
0
a
b
c
>
>
<
，则：
1 1 1
1
a
c
b
a
b
c
+
+
= + - = ；
故答案为：3
- 或1；
（3）∵
1
a
abc
ab
abc
ab
a
+
+
= ，
∴
,
,
abc ab a 中有两正一负，
①当
0
a <
时：则：
,
abc ab 均为正，
∴
0,
0
b
c
<
>
，
∴
1 1 1
1
b
a c
bc
bc
b
ac
bc
b
a c
bc
b
ac
-
-
-
-
=
-
-
= - + + =
-
；
②当
0
a >
时，则：
,
abc ab 一正一负，
若
0
b >
，则：
0
c <
，此时：
1 1 1
1
b
a c
bc
bc
b
ac
bc
b
a c
bc
b
ac
-
-
=
-
-
= - - + = -
-
-
；
如
0
b <
，则：
0
c <
，此时：
1 1 1
3
b
a c
bc
bc
b
ac
bc
b
a c
bc
b
ac
-
-
-
=
-
-
= + + =
-
；
综上，原式
1
= 或1
- 或3．
故答案为：1或1
- 或3
【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进
行求解，是解题的关键．
14．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道5
3
-
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时也可以理
解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，
5
2
- -
可以表示5 与2
- 之差的绝对值．
(1) 4 1
-
表示数轴上_____与_____所对应的两点之间的距离；
(2)
5
x -
表示数轴上有理数x 所对应的点到______所对应的点之间的距离；
2
x +
表示数轴上有理数x 所对
应的点到________所对应的点之间的距离；
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得
2
5
7
x
x
+
+
-
=
．这样的整数x 有________；
(4)利用绝对值的几何意义，写出
3
2
5
x
x
x
+
+
-
+
-
的最小值为________．
【答案】(1)4，1；
(2)5，2
- ；
(3) 2
- ，1
- ，0，1，2，3，4，5；
(4)8
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，
（1）根据数轴上的两点距离可直接判断；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x 所对应的点到2
- 的距离和到5 的距离的和为
7，进而求解；
（4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断．
【详解】（1）解：由题意得：4 1
-
表示数轴上4 与1 所对应的两点之间的距离；
故答案为：4，1；
（2）解：
5
x -
表示数轴上有理数x 所对应的点到5 所对应点之间的距离；
2
x +
表示数轴上有理数x 到2
-
所对应点之间的距离．
故答案为：5，2
- ；
（3）解：由题意得：
2
5
7
x
x
+
+
-
=
表示数轴上有理数x 所对应的数到数轴上2
- 与5 的距离之和等于7，
又∵
2
5
7
- -
=
，
∴2
5
x
- £
£
，
又∵x 为整数，
∴x 表示的数为2
- ，1
- ，0，1，2，3，4，5．
故答案为：2
- ，1
- ，0，1，2，3，4，5；
（4）解：
3
2
5
x
x
x
+
+
-
+
-
表示数轴上有理数x 所对应的点到3
- 和2 以及5 的距离的和，
∴当
2
x =
时，
3
2
5
x
x
x
+
+
-
+
-
的最小，且为8．
故答案为：8．
15．阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个
有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意
义．若在数轴上有理数a 对应的点为A ，有理数b 对应的点为B ，则A ，B 两点之间的距离可表示为a
b
-
或b
a
-
，记为AB
a
b
b
a
=
-
=
-
．如式子
3
x -
的几何意义是数轴上表示有理数3 的点与表示有理数x 的
点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1) 2
- 与3 的距离是_________；
(2)式子
2
3
x
x
+
+
-
的最小值是多少？
(3)应用：某一直线沿街有2014 户居民（相邻两户居民间隔相同）：
1A ，
2
A ，
3A ，
4A ，
5A ，
2014
A
L
，某餐
饮公司想为这2014 户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P ，点P 选在_________，才能使这2014
户居民到点P 的距离总和最小．
【答案】(1)5
(2)5
(3)
1007
A
到
1008
A
之间（包括
1007
A
，
1008
A
两点）
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想．
（1）根据题意，直接列式计算即可；
（2）根据
2
3
x
x
+
+
-
的几何意义是数轴上表示有理数x 的点到2
- 及到3 的距离之和，即可得到答案；
（3）当有两户居民
1A ，
2
A 时，可知，点P 选在
1A ，
2
A 之间（包括
1A ，
2
A 这两个点）时，才能使这2 户居
民到点P 的距离总和最小．当有四户居民
1A ，
2
A ，
3A ，
4A 时，点P 选在
2
A ，
3A 之间（包括
2
A ，
3A 这两个
点）时，才能使这4 户居民到点P 的距离总和最小．依次类推，即可得出答案．
【详解】（1）解：
2
3
5
- -
=
，
故答案为：5．
（2）解：∵
2
3
x
x
+
+
-
的几何意义是数轴上表示有理数x 的点到2
- 及到3 的距离之和，
数轴如下，
∴当2
3
x
- £
£
时，式子取得最小值，最小值为
2
3
5
- -
=
．
（3）解：当有两户居民
1A ，
2
A 时，可知，点P 选在
1A ，
2
A 之间（包括
1A ，
2
A 这两个点）时，才能使这2
户居民到点P 的距离总和最小．
当有四户居民
1A ，
2
A ，
3A ，
4A 时，点P 选在
2
A ，
3A 之间（包括
2
A ，
3A 这两个点）时，才能使这4 户居民
到点P 的距离总和最小．
L
那么由题意可知，2014 户居民
1A ，
2
A ，
3A ，
4A ，
5A ，
2014
A
L
中， 点P 选在
1007
A
到
1008
A
之间（包括
1007
A
，
1008
A
两点），才能使这2014 户居民到点P 的距离总和最小．
故答案为：
1007
A
到
1008
A
之间（包括
1007
A
，
1008
A
两点）．
