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培优专题02 整式运算及应用
（题型突破·举一反三）
题型01 合并同类项
题型02 去括号
题型03 整式加减的运算
题型04 整式加减中的化简求值问题
题型05 整式加减中的整除问题
题型06 整式加减中的无关型问题
题型07 整式加减中的定值问题
题型08 整式加减中的错解问题
题型09 整式加减中的污染问题
题型10 整式加减中的比较大小问题
▌题型01 合并同类项
简称：一相加二不变，合并同类项. 即：“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二
不变”：字母连同字母指数不变.
【典例1】（22-23 七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．
2
2
5
4
1
a
a
-
=
B．
3
2
5
2
3
5
a
a
a
+
=
C．
2
2
3
3
0
ba
a b
-
+
=
D．3
2
5
a
b
ab
+
=
【变式1】（25-26 七年级上·宁夏吴忠·期末）已知单项式
3
25
m
x y
-
与
2
3
nx y 的和是单项式，那么m
n
+
的值是
（ ）
A．6
B．5
C．6
-
D．5
-
【变式2】（25-26 六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：
1
2
7
2
3
a
b
a
b
-
+
-
+
=__________．
【变式3】（25-26 七年级上·山东德州·期中）多项式
2
2
3
36
8
x
kxy
y
xy
-
-
+
- 化简后不含xy 项，则k 为______．
【变式4】（25-26 七年级上·江西南昌·期末）已知有理数a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，
(1)用“＜”或“＞”填空：b
c
+
______0，c
b
- ______0，a
b
c
-
- ______0；
(2)化简：a
b
c
c
b
b
c
b
-
-
-
-
+
+
+ -
．
▌题型02 去括号
去括号时需注意括号外面的系数和符号
【典例2】（25-26 七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．
x
y
z
x
y
z
-
-
+
=
+
B．
1 2
4
2
2
x
y
z
x
y
z
-
-
-
=
+
C．
3
3
x
y
z
x
y
z
-
-
+
=
+
D．
5
5
5
x
y
z
x
y
z
-
-
-
-
=
【变式1】（25-26 七年级上·河北邯郸·期末）下列去括号正确的是（ ）
A．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - +
+
B．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - -
-
C．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - +
-
D．
a
b
c
a
b
c
-
-
+
= - -
+
【变式2】（25-26 六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①
a
b
c
a
b
c
-
+
=
-
- ；
②
a
b
c
a
b
c
+
-
=
+
-
；③
2
2
2
a
b
a
b
-
=
-
；④
2
2
2
4
a
b
a
b
-
-
= -
-
．其中正确的共有______个．
【变式3】（25-26 七年级上·河北保定·阶段检测）若
5
a
b
+
=
，
4
c
d
+
= - ，则
2
2
a
c
d
b
-
-
-
= ______．
【变式4】（24-25 七年级上·吉林·阶段检测）有一道题
2
4
2
3
2
3
6
9
x
x
x
x
x
-
-
+
-
=
-
+□，“□”的地方被墨水
弄污了，则“□”内应填写________．
▌题型03 整式加减的运算
1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交
换.
2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；
②不能出现带分数，带分数要化成假分数.
3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列.
【典例3】（24-25 七年级上·山西临汾·期末）晋晋把
2
3
x
-
+
错算成2
3
x
-
- ，结果比原来（
）
A．大3
B．小3
C．大9
D．小9
【变式1】（25-26 七年级上·陕西西安·期末）已知
2
6
3
A
x
x
= -
+
，
2
4
5
B
x
x
=
-
，且
2
C
A
B
-
=
，则C 的表达
式是（ ）
A．
2
2
2
x
x
-
-
B．
2
8x
x
+
C．
2
14
13
x
x
-
+
D．
2
2
7
x
x
-
【变式2】（25-26 七年级上·河北张家口·期末）在学习了整式的加减后，老师给出了一道习题：
2(
4)
3(
)
3
x
x
x
y
y
- -
+
-
+
-
，对甲、乙两位同学的说法判断正确的是（ ）
甲同学：当
1,
2
x
y
=
= - 时，原式
9
= - ；
乙同学：无论,x y 取何值，原式的值不变
A．只有甲正确
B．只有乙正确
C．两人都正确
D．两人都不正确
【变式3】（22-23 七年级上·全国·期末）先去括号，再合并同类项：
(1)
5
3
a
a
b
-
+
；
(2)
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
+
+
-
-
+
；
(3)
2
2
2
2
3 2
2 3
2
x
y
y
x
-
-
-
；
(4)
2
2
5
4
2 5
4
2
x
x
x
x
+
-
+
-
+
+
．
【变式4】（21-22 七年级上·吉林长春·期中）化简：
(1)
2
x
x
-
．
(2)
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
+ -
- -
．
(3)
4
7
2 3
2
x
x
+
+
-
．
(4)
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
+
-
-
+
-
．
(5)
2
2
2
4
2
3
x y
x y
y
x y
xy
-
-
+
+
-
．
(6)
2
2
5
3
2 2
3
7
x
x
x
x
é
ù
ë
û
-
-
-
+
．
【变式5】（20-21 九年级上·山东青岛·期中）化简：
(1)
2
2
7
2
3
x
x
x
x
-
+
+
．
(2)
3
2
3
3
1
1
1
1
(
)
2(
)
2
3
3
2
x
y
x
y
-
+
-
．
(3)
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
3(
)
2(
)
2
3
6
2
3
4
x
y
y
x
-
-
+
-
-
-
．
▌题型04 整式加减中的化简求值问题
【典例4】（25-26六年级上·山东威海·期末）已知
2
m
n
+
= - ，
4
mn = - ，则
3 2
2
3
m
mn
mn
n
-
-
-
的值为______．
【变式1】（25-26 七年级上·河南南阳·期末）如图所示，小林用圆规在线段CE 上截取线段CD
AB
=
，若D
恰好为CE 的中点，
2
AB =
，CE
a
=
，则代数式
2
2
2
2
3
1
3
4
a
a
a
a
a
-
-
-
＋
＋
＋
的值为________．
【变式2】（25-26 七年级上·山东聊城·期末）已知
3
2
1
2
2013
2
3
x
y
+
=
，则
3
2
3
2
1
1
5
2
2
2026
2
3
3
x
y
xy
xy
x
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
-
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
______．
【变式3】（24-25 六年级上·山东烟台·期中）化简求值
(1)
2
2
2
2
5
3
2 2
6
a b
ab
a b
ab
-
-
-
，其中
1 ,
3
2
a
b
= -
=
(2)
2
3
5
4
3
x
y
xy
x
y
xy
-
+
-
-
-
，其中
3,
4
x
y
xy
+
= -
= -
【变式4】（21-22 七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：
2
2
2
2
3
5
2
7
16
25
ab
b
a
ab
a
b
-
+
-
+
-
，其中
2
1
2
0
a
b
- +
+
=
．
▌题型05 整式加减中的整除问题
判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多
项式（多项式的值为整数）乘积的形式.
【典例5】（25-26 七年级上·山东济宁·期末）已知一个三位数的自然数abc ，所有数位上的数字之和a
b
c
+
+
能被3 整除，关于这个三位数的说法正确的是（ ）
A．一定能被2 整除
B．一定能被3 整除
C．一定能被4 整除
D．一定能被5 整除
【变式1】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）如图，这是2025 年某月的日历，用
框随意圈出五个数，
所圈的五个数的和一定（ ）
A．能被2 整除
B．能被3 整除
C．能被4 整除
D．能被5 整除
【变式2】（23-24 七年级上·河北唐山·期末）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字比个位数字大
3，把M 十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则M
N
+
的值总能( )
A．被3 整除
B．被9 整除
C．被11 整除
D．被22 整除
【变式3】（25-26 七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题：
在小学，我们知道像12,27,45,108,L这样的自然数能被3 整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数
字之和能被3 整除，那么这个自然数就能被3 整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两
位数的十位、个位上的数字分别为,a b ，则通常记这个两位数为ab，于是
10
9
ab
a
b
a
a
b
=
+
=
+
+
．显然9a
能被3 整除，因此，如果a
b
+
可以被3 整除，那么
9a
a
b
+
+
就能被3 整除，即ab能被3 整除．
(1)请你用类似的方法表示任意一个三位数；
(2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9 整除？并说明理由；
(3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2 倍大3，个位上的数字是百位上数字的3 倍，这
个数能被3 整除吗？请说明理由．
【变式4】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）【问题背景】
阅读材料，了解代数推理．并解决如下问题：
设abcd 是一个四位数，如果a
b
c
d
+
+
+
可以被9 整除，那么这个数可以被9 整除．解答如下：
解：
1000
100
10
abcd
a
b
c
d
=
+
+
+
999
99
9
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+ + +
9 111
11
a
b
c
a
b
c
d
=
+
+
+
+
+ +
．
因为111
11
a
b
c
+
+
是整数，所以
9 111
11
a
b
c
+
+
可以被9 整除．
因此，如果a
b
c
d
+
+
+
能被9 整除，那么abcd 能被9 整除．
【类比探究】
已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c．
（1）请用含a，b，c 的代数式表示三位数abc _________；
（2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若a
b
c
+
+
可以被3 整除，则这个数可以被3 整除．
【应用】若四位数3 1
n m 能被9 整除，则m 与n 的和是_________．
▌题型06 整式加减中的无关型问题
若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，
合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值.
【典例6】（23-24 六年级上·山东烟台·阶段检测）当k 为何值时，多项式
2
2
1
3
3
8
3
x
kxy
y
xy
æ
ö
-
-
+
-
ç
÷
è
ø
中不含
xy 项．
【变式1】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）小红做一道数学题：“两个多项式A ，B ，已知
2
4
5
6
B
x
y
=
-
-
，试求A
B
+
的值．”在求A
B
+
的值时，小红误将A
B
+
看成A
B
-
，结果答案为
2
10
12
ax
y
-
+
+
（计算过程正确）．
(1)若多项式A 的值与字母x 的取值无关，求多项式A ．
(2)在（1）的条件下，当
4
x = - 时，求A
B
+
的值．
【变式2】（25-26 七年级上·全国·期末）已知多项式
3
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
x
x y
xy
x
xy
y
x
x y
y
-
-
-
-
+
+ -
+
-
．
(1)这个多项式的值与x 的取值有关吗？请说明理由．
(2)当
2
y = - 时，求这个多项式的值．
【变式3】（25-26 七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：
(
)
a
b
a a
b
Å
=
+
．例如：3
5
3 ( 3
5)
6
- Å
= - ´ - +
= - ．
(1)计算4
( 2)
Å -
的值；
(2)已知1
4
, 2
3
2
a
b
n
b
a
n
Å
=
+
- Å
=
-
，试说明
10
a
b
+
的值与n的取值无关．
【变式4】（25-26 七年级上·江西宜春·期末）已知代数式
2
2
4
P
m
mn
=
+
，
2
3
1
Q
m
mn
n
=
-
-
+ ．
(1)求
2
P
Q
-
；
(2)当m 取何值时，
2
P
Q
-
的值与n 无关．
▌题型07 整式加减中的定值问题
【典例7】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）已知
2
4
3
2
P
x
x
= -
+
- ，
2
2
1
Q
x
kx
=
-
+ ．
(1)当
2
x =
，
1
4
k =
时，计算
4
P
Q
+
的值；
(2)若无论x 代入何值，
4
P
Q
+
的值始终为一个定值，请求出这个定值和k 的值．
【变式1】（25-26 七年级上·河南周口·阶段检测）把正整数1，2，3，4…按如图1 所示的方式排列，从上到
下分别称为第1 行，第2 行，…，用图2 所示的方框在图1 中框住16 个数，把其中没有被阴影覆盖的四个
数分别记为A，B，C，D，设A
x
=
．
(1)在图1 中，2025 排在第________行第________列；
(2) A
B
C
D
-
+
-
的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由；
(3)将图1 中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时A
B
C
D
+
-
-
的值是否为定值？如果是，请求出它
的值；如果不是，请说明理由．
【变式2】（25-26 七年级上·广东湛江·期末）已知无论x，y 取什么值，多项式
2
2
3
9
5
3
x
my
nx
y
-
+
-
+
-
的值都等于定值12，求m
n
+
的值．
【变式3】（25-26 七年级上·安徽芜湖·期末）图1 是2026 年1 月份的月历，用图2 所示的“九方格”在图1
中框住9 个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．
(1)a
d
+
b
c
+
（选填“ >”“<”或“ =”）．
(2)当图2 在图1 的不同位置时，式子
2
4
3
a
b
c
d
-
+
-
的值是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明
理由．
▌题型08 整式加减中的错解问题
技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，
然后再将正确的代数式代入求解.
技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
【典例8】（25-26 七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差A
B
-
时，误将连接两个多项式之
间的“ -”号抄错为“ + ”号，结果求得A
B
+
的结果为
2
4
C
x
x
=
+
，若
2
1
1
2
A
x
x
=
+
- ．
(1)先求出多项式B ，再求A
B
-
的结果；
(2)淇淇想不求B ，利用已知条件直接求A
B
-
的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程：
因为A
B
C
+
=
，
所以B
C
A
=
-
，
所以A
B
-
= __？___
（用含
,
A C 的式子表
示）．
……
①方框中“？”处的内容为_____；
②请将解题过程补充完整．
【变式1】（21-22 七年级上·江苏无锡·期中）马虎的李明在计算多项式M 加上
2
3
7
x
x
-
+
时，因错看成加
上
2
3
7
x
x
+
+
，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为
2
5
2
4
x
x
+
-
．
（1）求多项式M；
（2）求出本题的正确答案．
【变式2】（24-25 六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
7
7
x y
x y
x y
y
x y
y
x y
é
ù
+
-
-
-
+
-
ë
û
的值，其中
1 ,
1
2
x
y
=
= - ．小明同学把“
1
2
x =
”错看成
“
1
2
x = -
”，但计算结果仍正确；小颖同学把“
1
y
-
=
”错看成“
1
y = ”，计算结果也是正确的，你知道其中的道
理吗？请加以说明．
【变式3】（25-26 七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“ 2A
B
+
”错看成
“ 2A
B
-
”，得到的结果是
2
2
4
3
a b
ab
-
，已知
2
2
3
2
A
a b
ab
=
-
．
(1)求整式B ；
(2)求2A
B
+
的正确结果．
【变式4】（24-25 七年级上·上海·阶段检测）马虎同学在计算一个多项式A 减去另一个多项式
2
2
5
3
x
x
+
- 时，
错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是
2
3
7
x
x
+
-
，请问如果不抄错，正确答案该是多少？
▌题型09 整式加减中的污染问题
【典例9】（25-26 七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于x 的多项式混合运算，随后用一张
纸板挡住了一个多项式，形式如下：
2
3 2
1
2
1
x
x
x
-
+
=
+
+
▆
．
(1)求被遮挡的多项式；
(2)当
1
2
x = -
时，求被遮挡部分多项式的值．
【变式1】（21-22 七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结
果变成■
2
2
2
2
2
3
4
[5
2(
)
]
5
3
2
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
-
-
-
+
-
+
.
(1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？
(2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式
2
4
3
x y
-
的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？
(3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？
【变式2】（25-26 七年级上·河北唐山·期末）学习了整式的加减后，李明准备解答题目“已知M，N 是两个
整式，
2
3
9
M
a
a
=
-
+
●
，
2
3
3
4
N
a
a
=
-
-
，求M
N
-
的值”时，发现整式M 中含
2
a 的项的系数（题中的“●”
处）被墨水污染了，模糊不清．
(1)若被墨水污染的数字为5，请求出M
N
-
的值；
(2)李明向同学了解到被墨水污染的数字后，求得M
N
-
的值为常数，请直接写出被墨水污染的数字．
【变式3】（22-23 七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■
2
2
2
2
2
3
4
5
2
5
3
2
3
x y
xy
xy
x y
xy
xy
é
ù
æ
ö
-
-
-
+
-
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答
下列问题．
(1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式；
(2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？
▌题型10 整式加减中的比较大小问题
多项式比较大小常用的方法为作差法.作差法实质上是把两个式子的大小比较转化为一
个式子（或数）与0 的大小比较.
【典例10】（25-26 七年级上·安徽六安·阶段检测）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法
比较两个实数或代数式的大小：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；
若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；
若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
．
(1)【理解】若
3
10
0
x
y
-
+
>
，比较代数式
6
x +
和3
4
y -
的大小；
(2)【运用】若
2
2
5 ,
2
5
4
P
m
n Q
m
n
=
+
=
+
+
，试比较
,
P Q 的大小．
【变式1】（25-26 七年级下·广西南宁·开学考试）对于两个有理数a，b 的大小比较，有下面的方法：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
；我们把这种比较两个数大小的方法叫做
“作差法”．
(1)分别求出图1 中长方形的周长
1
C 和图2 中长方形的周长
2
C ；
(2)若a
b
>
，请用“作差法”比较
1
C ，
2
C 的大小．
【变式2】（25-26 七年级上·山东威海·期末）【知识背景】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两
个数或式的大小，“作差法”是常用的比较方法之一．例如：要比较M 与N 的大小，只要作出它们的差
M
N
-
，若
0
M
N
-
>
，则M
N
>
；若
0
M
N
-
=
，则M
N
=
；若
0
M
N
-
<
，则M
N
<
．
【类比应用】请用“作差法”解决下列问题：
(1)比较
6
7
-
和
7
8
-
的大小．
(2)春节将至，某电商在促销活动期间，客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a 厘米、b 厘米、c
厘米的箱子，准备采用如图所示的甲、乙、丙三种打包方式，所需打包带的长度分别为l甲，l乙，l丙（每条打
包带绕一圈，且不计接头处的长）．
①用含a、b、c 的代数式分别表示l甲，l乙，l丙．
②当a
b
c
>
>
时，这三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？请说明理由．
【变式3】（25-26 七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的
大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长
比宽多6 厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？
【变式4】（25-26 七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数,a b 的大小比较，有下面的方法：
若
0
a
b
-
>
，则a
b
>
；若
0
a
b
-
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
-
<
，则a
b
<
；我们把这种比较两个数大小的方法叫做
“作差法”．
【尝试】
（1）当
0
a >
时，请用作差法比较代数式
2
3
8
3
a
a
+
+
与
2
3
7
1
a
a
+
+ 的大小；
【应用】
（2）①若
2
2
6
5,
2
4
5
A
x
nx
B
mx
x
=
-
+
=
-
+ ，无论x 取何值，总有A
B
=
，则m =_____，n =______；
②若
2
4
9
A
x
= -
+
，无论x 取何值，总有A
B
<
，则B 所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即
可）
