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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测13
第十六章 整式的乘法综合训练
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.计算：(2a + b)(2a −b) =( )
A. 4a2 + b2
B. 4a2 −b2
C. 2a2 −b2
D. 2a2 + b2
【答案】B
【详解】根据平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。代入得(2a+b)(2a-b)=(2a)²-b²=4a²-b²。故选B。
2.若(x + 5)(2x −3) = 2x2 + mx −15，则m的值为( )
A. 7
B. −3
C. −7
D. 10
【答案】A
【详解】展开多项式：(x+5)(2x-3)=2x²-3x+10x-15=2x²+7x-15。与2x²+mx-15 对比，一次项系数m=7。故选
A。
3.已知a −b = 2，ab = −1，则a2 + b2的值为( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
【答案】B
【详解】完全平方公式变形：a²+b²=(a-b)²+2ab。代入a-b=2，ab=-1，得a²+b²=2²+2×(-1)=4-2=2。故选B。
4.计算20272 −2028 × 2026的结果为( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. −2
【答案】A
【详解】利用平方差简便运算：2028×2026=(2027+1)(2027-1)=2027²-1。原式=2027²-(2027²-1)=1。故选A。
5.若2x = 5，8y = 7，则2x−3y的值为 ( )
A.
7
5
B.
5
7
C. 35
D. −2
【答案】B
【详解】先统一底数：8ʸ=(2³)ʸ=2³ʸ。已知2ˣ=5，8ʸ=7，则2³ʸ=7。根据同底数幂除法法则：2ˣ⁻³ʸ=2ˣ÷2³ʸ。代
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入数值，原式=5÷7=5/7。故选B。
6.若10 × 97 × 8 = 9n −97，则n的值是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D
【详解】化简等式：左边=10×8×9⁷=80×9⁷。右边提取公因式：9ⁿ-9⁷=9⁷(9ⁿ⁻⁷-1)。左右相等，约去9⁷，得
80=9ⁿ⁻⁷-1，即9ⁿ⁻⁷=81。因为81=9⁴，所以n-7=4，解得n=9。故选D。
7.将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积的关系，可
以验证下列哪个乘法公式( )
A. (a −b)2 = a2 −2ab + b2
B. (a + b)(a −b) = a2 −b2
C. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
D. (a + b)2 = (a −b)2 + 4ab
【答案】A
【详解】图1 阴影面积=a²-2ab+b²，图2 拼接后阴影面积=(a-b)²。面积相等，验证完全平方公式：(a-b)²=a²-
2ab+b²。故选A。
8.化简(m2 −n2) −(m + n)(m −n)，得 ( )
A. −2m2
B. 0
C. 2m2
D. 2m2 −2n2
【答案】B
【详解】
解：原式= m2 −n2 −m2 + n2
= 0．
故选B．
9.用“◎”定义一种新运算：对于任意实数a和b，a◎b = ab + b2.例如：(−1)◎2 = (−1) × 2 + 22 = 2.则(2x2 −
1)◎(x + 1)的结果为( )
A. 2x3 + 3x2 + x
B. 2x3 −3x2 + x
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C. 2x3 + x2 −3x −2
D. 2x3 −3x2 −3x −2
【答案】A
【详解】由新定义a◎b=ab+b²，代入得：(2x²-1)◎(x+1)=(2x²-1)(x+1)+(x+1)²。展开化简：2x³+2x²-x-
1+x²+2x+1=2x³+3x²+x。故选A。
10.如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合、无缝隙地拼接
在一起.已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周
长是( )
A. 12
B. 18
C. 16
D. 14
【答案】B
【详解】设长方形长、宽为a、b，已知ab=6，a²+b²=69。由完全平方公式：(a+b)²=a²+b²+2ab=69+12=81，
得a+b=9。长方形周长=2(a+b)=18。故选B。
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.若(2m + 5)(2m −5) = 15，则m2 = ．
【答案】10
【详解】由平方差公式：(2m+5)(2m-5)=4m²-25。列方程：4m²-25=15，移项得4m²=40，化简得m²=10。
12.已知x2 −4x = 2，代数式(x −2)2 + 2025 = ．
【答案】2031
【详解】展开完全平方：(x-2)²=x²-4x+4。已知x²-4x=2，代入得原式=2+4+2025=2031。
13.已知(x2 + mx + 1)(x −n)的展开式中不含x项，x2项的系数为−2，则mn + m −n的值为 ．
【答案】-1
【详解】展开原式：(x²+mx+1)(x-n)=x³+(m-n)x²+(1-mn)x-n。由题意：无x 一次项、x²系数=-2，得方程组：
m-n=-2，1-mn=0。解得m=n，mn=1。代入mn+m-n=1+0=-1。
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14.已知x + y = −4，xy = −3，则x2 + 3xy + y2的值为 ．
【答案】13
【详解】原式=x²+y²+3xy。由x+y=-4，xy=-3，得x²+y²=(x+y)²-2xy=16+6=22。代入得22+3×(-3)=22-9=13。
15.若3m = 6，9n = 2，则32m+4n的值是 ．
【答案】144
【详解】已知3ᵐ=6，9ⁿ=2。变形：9ⁿ=(3²)ⁿ=3²ⁿ，即3²ⁿ=2。原式3²ᵐ⁺⁴ⁿ=(3ᵐ)²·(3²ⁿ)²=6²×2²=36×4=144。
16.已知a +
1
a = √ 6，则a2 +
1
a2的值是 ．
【答案】4
【详解】完全平方变形：a²+1/a²=(a+1/a)²-2。代入a +
1
a = √ 6，原式=(√ 6)²-2=6-2=4。
三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6分)计算：
(1) (x −y)(x −2y) −(3x3 −6x2y) ÷ 3．
(2) [x(x2y2 −xy) −yx2] ÷ 3x2y.
【详解】
(1)解:原式=x2-3xy+2y2-x2+2xy=-xy+2y2.
(2)解:原式=[x(x2y-xy)-yx2]÷3x2y
=(x3y2-x2y-yx2)÷3x2y=
1
3xy-
2
3.
18.(8分)
已知m −n = 5，mn = 2，求下列各式的值：
(1)(m + n)2;
(2) 5m2 + 5n2 −3mn．
【详解】
(1)解:∵m-n=5,mn=2,
∴(m + n)2=(m −n)2+4mn=25+4×2=33;
(2)∵(m + n)2=33,mn=2,
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∴m2+n2=(m + n)2-2mn=33-4=29.
∴5m2+5n2-3mn=5(m2+n2)-3mn=5×29-3×2=139.
19.(8分)
(1)已知2x+3 ⋅3x+3 = 62x−4，求x的值;
(2)已知2x + 5y −3 = 0，求4x ⋅32y的值．
【详解】
(1)解:∵2x+3 ⋅3x+3=6x+3=62x−4,
∴x+3=2x-4,
解得x=7;
(2)∵2x+5y-3=0,
∴2x+5y=3.
∴4x ⋅32y=(22)x ⋅(25)y=22x ⋅25y=22x+5y=23=8.
20.(8分)
已知多项式ax −b与2x2 −x + 2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，试求a，b的值．
【详解】
解：(ax −b)(2x2 −x + 2)
= 2ax3 −ax2 + 2ax −2bx2 + bx −2b
= 2ax3 −(a + 2b)x2 + (2a + b)x −2b
∵乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为4，
∴{2a + b = 0,
2b = −4,
解得{a = 1,
b = −2.
21.(10 分)
甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：(x + a) · (2x + b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2 −7x + 3，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2 + 2x −3．
(1)求(−2a + b)(a + b)的值；
(2)请计算这道题的正确结果．
【答案】
(1) 【解】甲抄错了 a 的符号，计算结果为
（x-a）（2x＋b）＝2x2＋（-2a＋b）x-ab＝2x2-7x＋3．
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所以-2a＋b＝-7．
乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，
计算结果为（x＋a）·（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab＝x2＋2x-3，
所以a＋b＝2．
所以（-2a＋b）（a＋b）＝-7×2＝-14．
(2)由（1）可知-2a＋b＝-7，a＋b＝2，
所以a＝3，b＝-1．
所以这道题的正确结果为（x＋3）（2x-1）＝2x2＋5x-3．
22.(12 分)
【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图 ①，
在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图 ②.图
①中阴影部分面积可表示为a2 −b2，图 ②中阴影部分面积可表示为(a + b)(a −b)，因为两个图中的阴影部
分面积是相同的，所以可得到等式：a2 −b2 = (a + b)(a −b)．
(1)【类比探究】用两种不同方法表示图 ③中阴影部分面积，可得到一个关于a2 + b2，(a + b)2，ab的等量
关系式是 ;
(2)【实践运用】根据(1)所得的关系式，若a + b = 8，ab = 4，则a2 + b2 = ;
(3)【拓展迁移】若x满足(9 −x)(x −4) = 2，求(9 −x)2 + (x −4)2的值;
(4)【灵活应用】如图 ④，某学校有一块梯形空地ABCD，AC ⊥BD于点E，AE = DE，BE = CE.该校计划
在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，AC =
11，求种草区域的面积和．
【详解】
(1)a2+b2=(a + b)2-2ab
(2)56
(3)∵(9-x)+(x-4)=5,(9-x)(x-4)=2,
∴(9 −x)2+(x −4)2=[(9 −x) + (x −4)]2-2(9-x)⋅(x-4)=52-2×2=21;
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(4)设AE=DE=p,BE=CE=q.
∵AC⊥BD,
∴S△ADE=
1
2 p2,S△CDE=
1
2pq,S△ABE=
1
2pq,S△BCE=
1
2 q2.
∵种花区域的面积和为35,即
1
2 p2+
1
2 q2=35,∴p2+q2=70.
∵p+q=AE+CE=AC=11,
∴种草区域的面积和为
S△CDE+S△ABE =
1
2pq+
1
2pq = pq =
(p+q)2−(p2+q2)
2
=
121−70
2
= 25.5.
