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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十六章 整式的乘法
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。
1.下列计算正确的是( )
A. a3 + a2 = a5
B. a3 ⋅a2 = a6
C. (a2)3 = a5
D. a6 ÷ a2 = a4
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方运算法则，逐项判断正误。
【详解】
A.a3与a2不是同类项，无法合并，错误；
B. 同底数幂相乘，底数不变指数相加：a3 ⋅a2 = a5 ≠a6，错误；
C. 幂的乘方，底数不变指数相乘：(a2)3 = a6 ≠a5，错误；
D. 同底数幂相除，底数不变指数相减：a6 ÷ a2 = a4，正确。
故选：D。
2.已知m，n是正整数，且满足3m ⋅3m ⋅3m = 3n，则m与n的关系正确的是( )
A. 3m = n
B. m3 = n
C. m + 3 = n
D. m + 1 = n
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂乘法法则，底数相同时，指数相加。
【详解】
3m ⋅3m ⋅3m = 3m+m+m = 33m，
已知33m = 3n，底数相等则指数相等，得3m = n。
故选：A。
3.若(y + 3)(y−2) = y2 +my + n，则m，n的值分别为 ( )
A. 1，−6
B. 5，6
C. 1，6
D. 5，−6
【答案】A
【分析】本题考查多项式乘多项式，展开后对比一次项、常数项系数。
【详解】
(y + 3)(y−2) = y2−2y + 3y−6 = y2 +y−6，
与y2 +my + n对比，m = 1，n = −6。
故选：A。
4.已知9m = 3，27n = 4，则32m+3n = ( )
A. 1
B. 6
C. 7
D. 12
【答案】D
【分析】本题考查幂的乘方逆运算、同底数幂乘法，先统一底数再代入求值。
【详解】
∵9m = (32)m = 32m = 3，27n = (33)n = 33n = 4，
∴32m+3n = 32m ⋅33n = 3 × 4 = 12。
故选：D。
5.若(x−3)(2x2 +mx−5)的计算结果中x2项的系数为−3，则m的值为( )
A. −3
B. 3
C. −9
D. −1
3
【答案】B
【分析】本题考查多项式相乘展开，合并同类项后根据指定项系数列方程求解参数。
【详解】
(x−3)(2x2 +mx−5)=2x3+(m-6)x2+(-5-3m)x+15
由x2项系数为−3，得m−6 = −3，解得m = 3。
故选：B。
6.当x = 1时，代数式ax3 +bx + 1的值为6，当x = −1时，代数式ax3 +bx + 1的值等于( )
A. 0
B. −3
C. −4
D. −5
【答案】C
【分析】本题考查代数式整体代换，利用奇次幂符号特点整体求值。
【详解】
当x = 1时，a ⋅13 +b ⋅1 + 1 = a + b + 1 = 6，得a + b = 5；
当x = −1时，a ⋅(−1)3 +b ⋅(−1) + 1 = −a−b + 1 = −(a + b) + 1，
代入a + b = 5，原式= −5 + 1 = −4。
故选：C。
7.观察下面图形，从图 ①到图 ②用式子表示为( )
A. (a + b)2 = a2 +2ab + b2
B. (a−b)2 = a2−2ab + b2
C. (a + b)(a−b) = a2−b2
D. a2−b2 = (a + b)(a−b)
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式几何意义，通过两种图形面积相等推导公式。
【详解】
图①长方形面积：(a + b)(a−b)，
图②正方形挖去小正方形面积：a2−b2，
两图形面积相等，故(a + b)(a−b) = a2−b2。
故选：C。
8.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间
的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长度分别为m、n(m > n).若小正方形的面积为9，
(m + n)2 = 21，则大正方形的边长为( )
A. 2
3
B.
13
C.
14
D.
15
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式变形，结合弦图面积关系求大正方形边长。
【详解】
小正方形面积：(m−n)2 = 9，即m2−2mn = 9，
已知(m + n)2 = 21，即m2 +2mn = 21，
两式相加得2m2 +2n2 = 30，化简m2 + n2 = 15，
大正方形面积为m2 + n2 = 15，因此边长为15。
故选：D。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.已知4m = 3，64n = 12，则3n−m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂除法，统一底数后对比指数。
【详解】
4m = 22m = 3，64n = 26n = 12，
26n ÷ 22m = 26n−2m = 12 ÷ 3 = 4 = 22，
∴6n−2m = 2，等式两边除以 2，得3n−m = 1。
10.若am = 2，an = 3，则am−2n的值为 ．
【答案】
2
9
【分析】本题考查同底数幂除法、幂的乘方逆用，拆分指数后代入数值。
【详解】
am−2n = am ÷ a2n = am ÷ (an)2，
将am = 2，an = 3代入，原式= 2 ÷ 32 =
2
9。
11.如果(a2 + b2 +2)(a2 + b2−2) = 45，那么a2 + b2的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查平方差公式换元法，设整体简化方程求解。
【详解】
设t = a2 + b2(t > 0)，原式化为(t + 2)(t−2) = 45，
展开得t2−4 = 45，t2 = 49，
∵t > 0，∴t = 7，即a2 + b2 = 7。
12.给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式(x + 3)2 = ax2 +bx + c，当
x = 0时，可得32 = c，计算得c = 9.请你再给x赋不同的值，可计算得4a + 2b = ．
【答案】16
【分析】本题考查多项式赋值法或完全平方展开，两种方法均可求解。
【详解】
方法一（赋值法）：
令x = 0，(0 + 3)2 = c，得c = 9；
令x = 2，(2 + 3)2 = 4a + 2b + c，即25 = 4a + 2b + 9，
移项计算得4a + 2b = 16。
方法二（展开对比）：
(x + 3)2 = x2 +6x + 9 = ax2 +bx + c，得a = 1，b = 6，
∴4a + 2b = 4 × 1 + 2 × 6 = 16。
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13.(10分)计算：
(1) (a−2)(a + 2)−(a−1)2．
(2)(−3x + 2y)2−(x−2y)(7x + 2y)．
【答案】
(1) (a-2)(a+2)-(a−1)2
=a2-4-(a2-2a+1)
=a2-4-a2+2a-1
=2a-5.
(2)(−3x + 2y)2-(x-2y)(7x+2y)
=9x2-12xy+4y2-(7x2-12xy-4y2)
=9x2-12xy+4y2-7x2+12xy+4y2
=2x2+8y2.
14.(7 分)
定义一种运算：a △b = a3−b2 +ab + 1．
如：2 △(−3) = 23−(−3)2 +2 × (−3) + 1 = 8−9−6 + 1 = −6．
(1)计算：(−x) △(1−x).
(2)将(1)计算所得的多项式分解因式．
【答案】
(1) 解：由题意，得
(-x)△(1-x)
＝(-x)3-(1-x)2+(-x)(1-x)+1
＝-x3-(1-2x+x2)-x+x2+1
＝-x3-1+2x-x2-x+x2+1
＝-x3+x．
(2)-x3+x
＝-x(x2-1)
＝-x(x+1)(x-1)．
15.(10 分)已知xn = 2，yn = 3．
(1)求(−xy)2n ⋅1
4x2nyn的值．
(2)若x3n+1·y3n+1 = 64，求xy的值．
【答案】
(1) ∵xn＝2，yn＝3，
∴(−xy)2n ⋅1
4x2nyn
= x2ny2n ⋅1
4 x2nyn
= 1
4 x4ny3n
= 1
4 (xn)4 ⋅(yn)3
= 1
4 × 24 × 33
= 1
4 × 16 × 27
= 108．
(2)∵x3n+1·y3n+1＝64，
∴x3n·x·y3n·y＝64，
∴(xn)3·(yn)3·xy＝64，
∴23×33xy＝64，
∴216xy＝64，
∴xy = 8
27．
16.(12 分)
现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”。Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，AC = b，BC = a，
AB = c，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)求证：a2 + b2 = c2;
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a + b)2的值。
【答案】
(1)解:因为大正方形面积为c2,
Rt △ABC 面积为1
2ab,
小正方形面积为(b−a)2,
所以c2=4 × 1
2ab+(b−a)2
=2ab+a2-2ab+b2,
即c2=a2+b2;
(2)因为(b−a)2=3,
4 × 1
2ab=13-3=10,
所以2ab=10,
所以(a + b)2=(b−a)2+4ab
=3+2 × 10
=23。
17.(12 分)
(1)如图1，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，
然后拼成一个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的
是 ．
(2)根据下面四个算式：
52−32 = (5 + 3) × (5−3) = 8 × 2；
112−52 = (11 + 5) × (11−5) = 16 × 6 = 8 × 12；
152−32 = (15 + 3) × (15−3) = 18 × 12 = 8 × 27；
192−72 = (19 + 7) × (19−7) = 26 × 12 = 8 × 39．
请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式．
(3)用文字写出反映(2)中算式的规律，并证明这个规律的正确性．
【答案】(1)a2-b2＝（a＋b）（a-b）
(2)32-12＝（3＋1）×（3-1）＝4×2＝8×1；
172-52＝（17＋5）×（17-5）＝22×12＝8×33．（答案不唯一）
(3)两个奇数的平方差一定能被8 整除，证明如下：
设较大的奇数为（2n＋1），较小的奇数为（2m-1），
则（2n＋1）2-（2m-1）2
＝[（2n＋1）＋（2m-1）][（2n＋1）-（2m-1）]
＝4（m＋n）（n-m＋1）．
∵（m＋n）（n-m＋1）是2 的倍数，
∴4（m＋n）（n-m＋1）是8 的倍数．
∴（2n＋1）2-（2m-1）2 是8 的倍数．
18.(13 分)
如图所示的两个长方形用不同形式拼成图①和图②两个图形．
(1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 .(用含字母a，b的代数式表示)
(2)由(1)你可以得到等式 ；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
①计算：6212−1482−769 × 373；
②解方程：(x + 1)2−(x−1)2 = −4．
【答案】
(1)a2-b2;（a＋b）（a-b）
(2)a2-b2＝（a＋b）（a-b）
(3)①原式＝（621＋148）×（621-148）-769×373
＝769×473-769×373
＝769×（473-373）
＝769×100
＝76900．
②（x＋1）2-（x-1）2＝-4，
（x＋1＋x-1）（x＋1-x＋1）＝-4，
2x×2＝-4，
x＝-1．
