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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十六章 整式的乘法 建议用时：90 分钟，满分：100 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。 1.下列计算正确的是( ) A. a3 + a2 = a5 B. a3 ⋅a2 = a6 C. (a2)3 = a5 D. a6 ÷ a2 = a4 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂乘除、幂的乘方运算法则，逐项判断正误。 【详解】 A.a3与a2不是同类项，无法合并，错误； B. 同底数幂相乘，底数不变指数相加：a3 ⋅a2 = a5 ≠a6，错误； C. 幂的乘方，底数不变指数相乘：(a2)3 = a6 ≠a5，错误； D. 同底数幂相除，底数不变指数相减：a6 ÷ a2 = a4，正确。 故选：D。 2.已知m，n是正整数，且满足3m ⋅3m ⋅3m = 3n，则m与n的关系正确的是( ) A. 3m = n B. m3 = n C. m + 3 = n D. m + 1 = n 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂乘法法则，底数相同时，指数相加。 【详解】 3m ⋅3m ⋅3m = 3m+m+m = 33m， 已知33m = 3n，底数相等则指数相等，得3m = n。 故选：A。 3.若(y + 3)(y −2) = y2 + my + n，则m，n的值分别为 ( ) A. 1，−6 B. 5，6 C. 1，6 D. 5，−6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，展开后对比一次项、常数项系数。 【详解】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 9 (y + 3)(y −2) = y2 −2y + 3y −6 = y2 + y −6， 与y2 + my + n对比，m = 1，n = −6。 故选：A。 4.已知9m = 3，27n = 4，则32m+3n =( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方逆运算、同底数幂乘法，先统一底数再代入求值。 【详解】 ∵9m = (32)m = 32m = 3，27n = (33)n = 33n = 4， ∴32m+3n = 32m ⋅33n = 3 × 4 = 12。 故选：D。 5.若(x −3)(2x2 + mx −5)的计算结果中x2项的系数为−3，则m的值为( ) A. −3 B. 3 C. −9 D. −1 3 【答案】B 【分析】本题考查多项式相乘展开，合并同类项后根据指定项系数列方程求解参数。 【详解】 (x −3)(2x2 + mx −5)=2x3+(m-6)x2+(-5-3m)x+15 由x2项系数为−3，得m −6 = −3，解得m = 3。 故选：B。 6.当x = 1时，代数式ax3 + bx + 1的值为6，当x = −1时，代数式ax3 + bx + 1的值等于( ) A. 0 B. −3 C. −4 D. −5 【答案】C 【分析】本题考查代数式整体代换，利用奇次幂符号特点整体求值。 【详解】 当x = 1时，a ⋅13 + b ⋅1 + 1 = a + b + 1 = 6，得a + b = 5； 当x = −1时，a ⋅(−1)3 + b ⋅(−1) + 1 = −a −b + 1 = −(a + b) + 1， 代入a + b = 5，原式= −5 + 1 = −4。 故选：C。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 9 7.观察下面图形，从图 ①到图 ②用式子表示为( ) A. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 B. (a −b)2 = a2 −2ab + b2 C. (a + b)(a −b) = a2 −b2 D. a2 −b2 = (a + b)(a −b) 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式几何意义，通过两种图形面积相等推导公式。 【详解】 图①长方形面积：(a + b)(a −b)， 图②正方形挖去小正方形面积：a2 −b2， 两图形面积相等，故(a + b)(a −b) = a2 −b2。 故选：C。 8.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间 的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长度分别为m、n(m > n).若小正方形的面积为9， (m + n)2 = 21，则大正方形的边长为( ) A. 2√ 3 B. √ 13 C. √ 14 D. √ 15 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式变形，结合弦图面积关系求大正方形边长。 【详解】 小正方形面积：(m −n)2 = 9，即m2 −2mn = 9， 已知(m + n)2 = 21，即m2 + 2mn = 21， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 9 两式相加得2m2 + 2n2 = 30，化简m2 + n2 = 15， 大正方形面积为m2 + n2 = 15，因此边长为√15。 故选：D。 二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。 9.已知4m = 3，64n = 12，则3n −m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂除法，统一底数后对比指数。 【详解】 4m = 22m = 3，64n = 26n = 12， 26n ÷ 22m = 26n−2m = 12 ÷ 3 = 4 = 22， ∴6n −2m = 2，等式两边除以 2，得3n −m = 1。 10.若am = 2，an = 3，则am−2n的值为 ． 【答案】 2 9 【分析】本题考查同底数幂除法、幂的乘方逆用，拆分指数后代入数值。 【详解】 am−2n = am ÷ a2n = am ÷ (an)2， 将am = 2，an = 3代入，原式= 2 ÷ 32 = 2 9。 11.如果(a2 + b2 + 2)(a2 + b2 −2) = 45，那么a2 + b2的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查平方差公式换元法，设整体简化方程求解。 【详解】 设t = a2 + b2(t > 0)，原式化为(t + 2)(t −2) = 45， 展开得t2 −4 = 45，t2 = 49， ∵t > 0，∴t = 7，即a2 + b2 = 7。 12.给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式(x + 3)2 = ax2 + bx + c，当 x = 0时，可得32 = c，计算得c = 9.请你再给x赋不同的值，可计算得4a + 2b = ． 【答案】16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 9 【分析】本题考查多项式赋值法或完全平方展开，两种方法均可求解。 【详解】 方法一（赋值法）： 令x = 0，(0 + 3)2 = c，得c = 9； 令x = 2，(2 + 3)2 = 4a + 2b + c，即25 = 4a + 2b + 9， 移项计算得4a + 2b = 16。 方法二（展开对比）： (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 = ax2 + bx + c，得a = 1，b = 6， ∴4a + 2b = 4 × 1 + 2 × 6 = 16。 三、解答题：本题共6 小题，共64 分。 13.(10分)计算： (1) (a −2)(a + 2) −(a −1)2． (2)(−3x + 2y)2 −(x −2y)(7x + 2y)． 【答案】 (1) (a-2)(a+2)-(a −1)2 =a2-4-(a2-2a+1) =a2-4-a2+2a-1 =2a-5. (2)(−3x + 2y)2-(x-2y)(7x+2y) =9x2-12xy+4y2-(7x2-12xy-4y2) =9x2-12xy+4y2-7x2+12xy+4y2 =2x2+8y2. 14.(7 分) 定义一种运算：a △b = a3 −b2 + ab + 1． 如：2 △(−3) = 23 −(−3)2 + 2 × (−3) + 1 = 8 −9 −6 + 1 = −6． (1)计算：(−x) △(1 −x). (2)将(1)计算所得的多项式分解因式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 9 【答案】 (1) 解：由题意，得 (-x)△(1-x) ＝(-x)3-(1-x)2+(-x)(1-x)+1 ＝-x3-(1-2x+x2)-x+x2+1 ＝-x3-1+2x-x2-x+x2+1 ＝-x3+x． (2)-x3+x ＝-x(x2-1) ＝-x(x+1)(x-1)． 15.(10 分)已知xn = 2，yn = 3． (1)求(−xy)2n ⋅1 4 x2nyn的值． (2)若x3n+1 · y3n+1 = 64，求xy的值． 【答案】 (1) ∵xn＝2，yn＝3， ∴(−xy)2n ⋅1 4 x2nyn = x2ny2n ⋅1 4 x2nyn = 1 4 x4ny3n = 1 4 (xn)4 ⋅(yn)3 = 1 4 × 24 × 33 = 1 4 × 16 × 27 = 108． (2)∵x3n+1·y3n+1＝64， ∴x3n·x·y3n·y＝64， ∴(xn)3·(yn)3·xy＝64， ∴23×33xy＝64， ∴216xy＝64， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 9 ∴xy = 8 27． 16.(12 分) 现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”。Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，AC = b，BC = a，AB = c， 请你利用这个图形解决下列问题： (1)求证：a2 + b2 = c2; (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a + b)2的值。 【答案】 (1)解:因为大正方形面积为c2, Rt△ABC 面积为1 2ab, 小正方形面积为(b −a)2, 所以c2=4× 1 2ab+(b −a)2 =2ab+a2-2ab+b2, 即c2=a2+b2; (2)因为(b −a)2=3, 4× 1 2ab=13-3=10, 所以2ab=10, 所以(a + b)2=(b −a)2+4ab =3+2×10 =23。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 9 17.(12 分) (1)如图1，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形， 然后拼成一个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的 是 ． (2)根据下面四个算式： 52 −32 = (5 + 3) × (5 −3) = 8 × 2； 112 −52 = (11 + 5) × (11 −5) = 16 × 6 = 8 × 12； 152 −32 = (15 + 3) × (15 −3) = 18 × 12 = 8 × 27； 192 −72 = (19 + 7) × (19 −7) = 26 × 12 = 8 × 39． 请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式． (3)用文字写出反映(2)中算式的规律，并证明这个规律的正确性． 【答案】(1)a2-b2＝（a＋b）（a-b） (2)32-12＝（3＋1）×（3-1）＝4×2＝8×1； 172-52＝（17＋5）×（17-5）＝22×12＝8×33．（答案不唯一） (3)两个奇数的平方差一定能被8 整除，证明如下： 设较大的奇数为（2n＋1），较小的奇数为（2m-1）， 则（2n＋1）2-（2m-1）2 ＝[（2n＋1）＋（2m-1）][（2n＋1）-（2m-1）] ＝4（m＋n）（n-m＋1）． ∵（m＋n）（n-m＋1）是2 的倍数， ∴4（m＋n）（n-m＋1）是8 的倍数． ∴（2n＋1）2-（2m-1）2 是8 的倍数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 9 18.(13 分) 如图所示的两个长方形用不同形式拼成图①和图②两个图形． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 . (用含字母a，b的代数式表示) (2)由(1)你可以得到等式 ； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ①计算：6212 −1482 −769 × 373； ②解方程：(x + 1)2 −(x −1)2 = −4． 【答案】 (1)a2-b2;（a＋b）（a-b） (2)a2-b2＝（a＋b）（a-b） (3)①原式＝（621＋148）×（621-148）-769×373 ＝769×473-769×373 ＝769×（473-373） ＝769×100 ＝76900． ②（x＋1）2-（x-1）2＝-4， （x＋1＋x-1）（x＋1-x＋1）＝-4， 2x×2＝-4， x＝-1．
