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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 5 2026-2027 学年八年级上学期数学周周测13 第十六章 整式的乘法综合训练 时间：45 分钟 分值：70 分 一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.计算：(2a + b)(2a −b) =( ) A. 4a2 + b2 B. 4a2 −b2 C. 2a2 −b2 D. 2a2 + b2 【答案】B 【详解】根据平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。代入得(2a+b)(2a-b)=(2a)²-b²=4a²-b²。故选B。 2.若(x + 5)(2x −3) = 2x2 + mx −15，则m的值为( ) A. 7 B. −3 C. −7 D. 10 【答案】A 【详解】展开多项式：(x+5)(2x-3)=2x²-3x+10x-15=2x²+7x-15。与2x²+mx-15 对比，一次项系数m=7。故选 A。 3.已知a −b = 2，ab = −1，则a2 + b2的值为( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【详解】完全平方公式变形：a²+b²=(a-b)²+2ab。代入a-b=2，ab=-1，得a²+b²=2²+2×(-1)=4-2=2。故选B。 4.计算20272 −2028 × 2026的结果为( ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 【答案】A 【详解】利用平方差简便运算：2028×2026=(2027+1)(2027-1)=2027²-1。原式=2027²-(2027²-1)=1。故选A。 5.若2x = 5，8y = 7，则2x−3y的值为 ( ) A. 7 5 B. 5 7 C. 35 D. −2 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 5 【详解】先统一底数：8ʸ=(2³)ʸ=2³ʸ。已知2ˣ=5，8ʸ=7，则2³ʸ=7。根据同底数幂除法法则：2ˣ⁻³ʸ=2ˣ÷2³ʸ。代 入数值，原式=5÷7=5/7。故选B。 6.若10 × 97 × 8 = 9n −97，则n的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【详解】化简等式：左边=10×8×9⁷=80×9⁷。右边提取公因式：9ⁿ-9⁷=9⁷(9ⁿ⁻⁷-1)。左右相等，约去9⁷，得 80=9ⁿ⁻⁷-1，即9ⁿ⁻⁷=81。因为81=9⁴，所以n-7=4，解得n=9。故选D。 7.将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积的关系，可 以验证下列哪个乘法公式( ) A. (a −b)2 = a2 −2ab + b2 B. (a + b)(a −b) = a2 −b2 C. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 D. (a + b)2 = (a −b)2 + 4ab 【答案】A 【详解】图1 阴影面积=a²-2ab+b²，图2 拼接后阴影面积=(a-b)²。面积相等，验证完全平方公式：(a-b)²=a²- 2ab+b²。故选A。 8.化简(m2 −n2) −(m + n)(m −n)，得 ( ) A. −2m2 B. 0 C. 2m2 D. 2m2 −2n2 【答案】B 【详解】解：原式= m2 −n2 −m2 + n2 = 0．故选B． 9.用“◎”定义一种新运算：对于任意实数a和b，a◎b = ab + b2.例如：(−1)◎2 = (−1) × 2 + 22 = 2.则(2x2 − 1)◎(x + 1)的结果为( ) A. 2x3 + 3x2 + x B. 2x3 −3x2 + x C. 2x3 + x2 −3x −2 D. 2x3 −3x2 −3x −2 【答案】A 【详解】由新定义a◎b=ab+b²，代入得：(2x²-1)◎(x+1)=(2x²-1)(x+1)+(x+1)²。展开化简：2x³+2x²-x- 1+x²+2x+1=2x³+3x²+x。故选A。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 5 10.如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合、无缝隙地拼接 在一起.已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周 长是( ) A. 12 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】B 【详解】设长方形长、宽为a、b，已知ab=6，a²+b²=69。由完全平方公式：(a+b)²=a²+b²+2ab=69+12=81， 得a+b=9。长方形周长=2(a+b)=18。故选B。 二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。 11.若(2m + 5)(2m −5) = 15，则m2 = ． 【答案】10 【详解】由平方差公式：(2m+5)(2m-5)=4m²-25。列方程：4m²-25=15，移项得4m²=40，化简得m²=10。 12.已知x2 −4x = 2，代数式(x −2)2 + 2025 = ． 【答案】2031 【详解】展开完全平方：(x-2)²=x²-4x+4。已知x²-4x=2，代入得原式=2+4+2025=2031。 13.已知(x2 + mx + 1)(x −n)的展开式中不含x项，x2项的系数为−2，则mn + m −n的值为 ． 【答案】-1 【详解】展开原式：(x²+mx+1)(x-n)=x³+(m-n)x²+(1-mn)x-n。由题意：无x 一次项、x²系数=-2，得方程组： m-n=-2，1-mn=0。解得m=n，mn=1。代入mn+m-n=1+0=-1。 14.已知x + y = −4，xy = −3，则x2 + 3xy + y2的值为 ． 【答案】13 【详解】原式=x²+y²+3xy。由x+y=-4，xy=-3，得x²+y²=(x+y)²-2xy=16+6=22。代入得22+3×(-3)=22-9=13。 15.若3m = 6，9n = 2，则32m+4n的值是 ． 【答案】144 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 5 【详解】已知3ᵐ=6，9ⁿ=2。变形：9ⁿ=(3²)ⁿ=3²ⁿ，即3²ⁿ=2。原式3²ᵐ⁺⁴ⁿ=(3ᵐ)²·(3²ⁿ)²=6²×2²=36×4=144。 16.已知a + 1 a = √ 6，则a2 + 1 a2的值是 ． 【答案】4 【详解】完全平方变形：a²+1/a²=(a+1/a)²-2。代入a + 1 a = √ 6，原式=(√ 6)²-2=6-2=4。 三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17.(8分) (1)已知2x+3 ⋅3x+3 = 62x−4，求x的值; (2)已知2x + 5y −3 = 0，求4x ⋅32y的值． 【详解】 (1)解:∵2x+3 ⋅3x+3=6x+3=62x−4, ∴x+3=2x-4, 解得x=7; (2)∵2x+5y-3=0, ∴2x+5y=3. ∴4x ⋅32y=(22)x ⋅(25)y=22x ⋅25y=22x+5y=23=8. 18.(12 分) 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图 ①， 在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图 ②.图 ①中阴影部分面积可表示为a2 −b2，图 ②中阴影部分面积可表示为(a + b)(a −b)，因为两个图中的阴影部 分面积是相同的，所以可得到等式：a2 −b2 = (a + b)(a −b)． (1)【类比探究】用两种不同方法表示图 ③中阴影部分面积，可得到一个关于a2 + b2，(a + b)2，ab的等量 关系式是 ; 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 5 (2)【实践运用】根据(1)所得的关系式，若a + b = 8，ab = 4，则a2 + b2 = ; (3)【拓展迁移】若x满足(9 −x)(x −4) = 2，求(9 −x)2 + (x −4)2的值; (4)【灵活应用】如图 ④，某学校有一块梯形空地ABCD，AC ⊥BD于点E，AE = DE，BE = CE.该校计划 在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为35，AC = 11，求种草区域的面积和． 【详解】 (1)a2+b2=(a + b)2-2ab (2)56 (3)∵(9-x)+(x-4)=5,(9-x)(x-4)=2, ∴(9 −x)2+(x −4)2=[(9 −x) + (x −4)]2-2(9-x)⋅(x-4)=52-2×2=21; (4)设AE=DE=p,BE=CE=q. ∵AC⊥BD, ∴S△ADE= 1 2 p2,S△CDE= 1 2pq,S△ABE= 1 2pq,S△BCE= 1 2 q2. ∵种花区域的面积和为35,即 1 2 p2+ 1 2 q2=35,∴p2+q2=70. ∵p+q=AE+CE=AC=11, ∴种草区域的面积和为 S△CDE+S△ABE = 1 2pq+ 1 2pq = pq = (p+q)2−(p2+q2) 2 = 121−70 2 = 25.5.
