周周练0425.3实际问题与一元二次方程（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_周周练

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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测04
25.3 实际问题与一元二次方程
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．一辆汽车的行驶距离s关于行驶时间t 的函数关系式是


2
1
81
9
2
2
s
t



．若汽车行驶440 m ，则行驶时
间是（
）
A．20 s
B．21 s
C．22 s
D．23 s
【答案】C
【详解】解：将
440
s 
代入
2
1
81
(
9)
2
2
s
t



，得
2
1
81
(
9)
440
2
2
t 


，
两边同时乘以2 ，得
2
(
9)
81
880
t 


，
移项，得
2
(
9)
961
t 

，
开平方，得
9
31
t 

，
∵
0
t 
，
∴
9
31
t 

，解得
22
t 
．
2．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100 元的药品，经过两次降价后
每盒64 元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
）
A．20%
B．22%
C．25%
D．80%
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降
价的百分率为x，则第二次降价后的价格为


2
100 1
x

，根据题意建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为


2
100 1
x

，由题意，得


2
100 1
64
x


，
解得：
1
1.8
x 
（舍去），
2
0.2
20%
x 

，
故选A．
3．根据小明与DeepSeek 的对话，DeepSeek 在深度思考后，给出的答案是（
）
有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3 倍，最后加上4，运算结果是这
个数的2 倍？
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A．1
B．4
C．1

D．1 或4
【答案】D
【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可．
【详解】解：设这个数为x ，
则
2
3
4
2
x
x
x



，移项可得
2
5
4
0
x
x



，
因式分解可得


1
4
0
x
x



，解得
1
1
x ，
2
4
x 
．
故有这样的数，为1 或4．
4．我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行
十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为
7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇
时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为x ，根据题意可列方程为（
）
A．



2
2
2
3
10
7
x
x


B．



2
2
2
7
10
3
10
x
x



C．



2
2
2
3
7
10
x
x


D．





2
2
2
3
10
7
10
x
x



【答案】D
【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：如图，
由题意可得，
3
AB
x

，
10
AC 
，
7
10
BC
x


，
∴由勾股定理得，





2
2
2
3
10
7
10
x
x



．
5．如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为48

时，输入x 的值为（
）
A．3 或3

B．6 或2

C．1 或3
D．48
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据题意列出方程，即可解答．
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【详解】解：当输出结果为48

时，


2
3
2
48
x



解得：
6
x 
或2
，
故选：B．
6．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81 人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x 个人，下列结
论：①1 轮后有

1
x 
个人患了流感；②第2 轮又增加

2
1
x 
个人患流感；③依题意可得方程

2
1
81
x 

；
④不考虑其他因素经过三轮一共会有648 人感染．所以正确的结论为（
）
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】第一轮的传染源是1 个人，他传染了x 人，则第一轮后共有

1
x 
人患了流感；第二轮传染中，这
些人中的每个人又传染了x 人，则第二轮后共有


1
1
x
x x






人患了流感，而此时患流感人数为81，根
据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人．
则第一轮后共有

1
x 
人患了流感，故①正确；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，
则第2 轮又增加
1
x x 
个人患流感，故②错误；
依题意，得


1
1
81
x
x x




，即

2
1
81
x 

，故③正确；
解方程

2
1
81
x 

，得
1
8
x ，
2
10
x 
（舍去）．
每轮传染中平均每人传染了8 人．
经过三轮一共会有81 81 8
729



人感染，故④错误；
综上可知，正确的结论有①③，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程．
7．九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1 个主干，主干上长
出x 个枝干，每个枝干又长出2x 个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x 的值是
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
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【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
由枝干数及每个枝干又长出2x 个小分支，可得出x 个枝干上共长出
2
2x 个小分支，结合一个主干上有主干、
枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于x 的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：
植物的1 个主干上长出x 个枝干，每个枝干又长出2x 个小分支，
x
个枝干上共长出
2
2x 个小分支．
∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，
∴
2
1
2
56
x
x



，
解得：
5
x 
或
11
2
x


（舍去）．
故选：B．
8．春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束50 元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售出
30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束．店主希望每天
的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程：
嘉嘉：


80
50
30
2
1000
x
x




淇淇：



50
30
2 80
1000
y
y








下面对两人所列方程描述正确的是（
）
A．嘉嘉设每束鲜花售价x 元
B．淇淇设每束鲜花降价y 元
C．嘉嘉和淇淇所列方程中代数式“30
2x

”和“


30
2 80
y


”都表示降价后的销售量
D．每束鲜花售价75元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由嘉嘉方程：


80
50
30
2
1000
x
x




，其中x 为降价金额，
30
2x

表示降价后销售量；由淇淇方程：



50
30
2 80
1000
y
y








，其中y 为售价，80
y

为降价金
额，


30
2 80
y


表示降价后销售量；解嘉嘉方程得
5
x 
或10，对应售价75元或70 元，销量40束或50 束，
尽量减少库存应选销量大的售价70 元，由此逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由嘉嘉方程：


80
50
30
2
1000
x
x




，其中x 为降价金额，30
2x

表示降价后销售量；
由淇淇方程：



50
30
2 80
1000
y
y








，其中y 为售价，80
y

为降价金额，


30
2 80
y


表示降价后
销售量；
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A 、由题意得x 为降价金额，所以该选项描述不正确，不符合题意；
B 、由题意得y 为售价，所以该选项描述不正确，不符合题意；
C 、由题意得30
2x

表示降价后销售量，


30
2 80
y


表示降价后销售量，所以该选项描述正确，符合题
意；
D 、解嘉嘉方程得
5
x 
或10，对应售价75元或70 元，销量40束或50 束，尽量减少库存应选销量大的售价
70 元，所以该选项描述不正确，不符合题意；
故选：C ．
9．如图是由三个边长分别是2，3 和x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则
x 的值是（
）
A．1 或4
B．2 或3
C．3 或4
D．1 或2
【答案】D
【分析】补全图形，然后根据面积相等列方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：如图，补全图形，
∵直线AB 将它分成面积相等的两部分，
∴1
2 （2+3+x）×3﹣x（3﹣x）＝1
2 ×（2+3+x）×3﹣2×1，
解得x＝1 或x＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，补全图形，利用割补法表示出两部分的面积是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，
5 cm
AB 
，动点P 以
2 cm / s的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同
时动点Q 以1cm / s 的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动．设P ，Q 两点移动的时间为


s 0
5
t
t

．在P ，
Q 两点移动的过程中，当PQ 的长度为10 cm 时，t 的值为（
）
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A．2
B．4
C．2 或4
D．3 或4
【答案】C
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键．
在
ABCD
正方形
中求出对角线AC 的长度，过点P 作PH
BC

于点H ，用含t 的代数式表示出HQ 、PH 的
长度，然后在Rt
PHQ
△
中利用勾股定理得出
2
2
2
PH
HQ
PQ


，根据PQ 的长度等于10cm列方程求解．
【详解】解：在正方形ABCD中，
5cm,
90
AB
BC
ABC




，
2
2
5 2cm
AC
AB
BC




．
由题意，得
2 cm
AP
t

，
cm
CQ
t

，


5 2
2
cm
PC
t



，


5
cm
BQ
t


．
如图，过点P 作PH
BC

于点H ，
则由勾股定理可得，
2
2
2
PH
HC
PC


，


2
5
cm
2
PH
HC
PC
t





，
5
2 cm
HQ
HC
CQ
t





．
在Rt
PHQ
△
中，
90
PHQ


，
2
2
2
PH
HQ
PQ



，
即





2
2
2
5
5
2
10
t
t




，
解得1
2
t 
，2
4
t 
．
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故在P ，Q 两点移动的过程中，当PQ 的长度为10 cm 时，
t 的值为2 或4．
故选：C ．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以12m / s 的速度竖直上抛，那么物体经过s
x 离地面的高
度（单位：m ）为
2
12
4.9
x
x

．根据物理学规律，物体经过______s落回地面．（结果保留小数后两位）
【答案】2.45
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即
2
12
4.9
0
x
x


，然后解方程求解
即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键．
【详解】解：根据物体落回地面，可得
2
12
4.9
0
x
x


，
解得：
1
0
x 
（舍去），
2
120
2.45
49
x 

，
因此物体经过2.45s 落回地面，
故答案为：2.45 ．
12．用一条长为40cm 的铁丝围成一个斜边长为17cm的直角三角形，则这个直角三角形的面积为____
2
cm ．
【答案】60
【分析】设一条直角边长为cm
x
，则另一条直角边长为

40 17
cm
x


，根据勾股定理可列出关于x 的等式，
解出x 的值，再根据直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设一条直角边长为cm
x
，则另一条直角边长为

40 17
cm
x


，
根据勾股定理得：


2
2
2
40 17
17
x
x




，
解得：
1
15
x 
，
2
8
x 
，
两直角边长分别为15cm 和8cm ，
直角三角形的面积为
2
1 15 8
60cm
2 

．
故答案为：60．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理．根据勾股定理列出一元二次方程是解题关键．
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13．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年
增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800 件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________．
【答案】


2
200 1
800
x


【详解】解：∵今年产量为200 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百
分数，
∴明年产量为


200 1
x

件，
∴第三年年产量为





2
200 1
1
200 1
x
x
x




件，
∵第三年的产量达到800 件，
∴


2
200 1
800
x


．
14．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元．调查发现，当销售价为2900 元时，平均每天能售出8
台；而当销售价每降低50 元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000 元，每台
冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是________________．
解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得：


2900
2500
8
4
5000
50
x
x










．
【答案】平均每天就能多售出4 台
【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识．根据利润销售量单位利润，设每台冰箱
的定价x 元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000 元，再根据“当销售价每降低50 元时，平均每天就
能多售出4 台”列方程即可．
【详解】解：设每台冰箱定价x 元，
由题意得：


2900
2500
8
4
5000
50
x
x










，
故答案为：平均每天就能多售出4 台．
15．如图，有一张长30cm ，宽20cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为cm
x
的正方形，然后将
四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的1
3 ，则x
的值为________．
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【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出


1
30
2
20
2
30
20
3
x
x





，再
运用因式分解法解出
1
2
5
20
x
x


，
（不合题意，舍去），即可作答．
【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为

30
2
cm
x

，宽为

20
2
cm
x

，
∴


1
30
2
20
2
30
20
3
x
x





，
整理得
2
25
100
0
x
x



，
解得
1
2
5
20
x
x


，
（不合题意，舍去），
故x 的值为5．
故答案为：5
16．如图，在矩形ABCD中，
10cm
8cm
AB
AD


，
．点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，
同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm/s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P
Q
，
两点同时停止运动．第
________秒时，PQ 的长为5cm ．
【答案】3或5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设第t 秒时，PQ 的长为5cm ，则
2 cm,
(10
2 )cm,
cm
AP
t
BP
t
BQ
t




，在Rt
PBQ
△
中利用勾股定理，即可
得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第t 秒时，PQ 的长为5cm ．
由题意，得
2 cm,
(10
2 )cm,
cm
AP
t
BP
t
BQ
t




．
在Rt
PBQ
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
BP
BQ
PQ


，
即
2
2
2
(10
2 )
5
t
t



，
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解得1
2
3,
5
t
t

．
故答案为：3或5．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．把一个足球垂直地面向上踢，t （秒）后该足球的高度h （米）适用公式
2
20
5
h
t
t


．
(1)经过多少秒时球的高度为15米？
(2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由．
【答案】(1)1秒或3秒
(2)不能，理由如下：
∵据题意得
2
20
5
21
t
t


，整理得
2
5
20
21
0
t
t



，
∴


2
20
4 5 21
20
0




，
∴一元二次方程
2
20
5
21
t
t


无解，
∴球的高度不能达到21米．
【分析】（1）将
15
h 
代入即可求解；
（2）将
21
h 
代入
2
20
5
h
t
t


，求出判别式即可求解．
【详解】（1）当
15
h 
时，
2
20
5
15
t
t


，
整理得：
2
4
3
0
t
t



，
解得：1
1
t ，2
3
t 
；
∴经1秒或3秒时球的高度为15米；
（2）略
18．如图，这是2024 年12 月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小
到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．
(1)若用x 表示最小的数a，则b ，c ，d （用含x 的式子表示）．
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(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．
【答案】(1)
1,
7,
8
x
x
x



(2)最小的数为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）观察日历表即可推出；
（2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理．
【详解】（1）解：观察图形可得
1;
7;
8
b
x
c
x
d
x






，
故答案为：
1;
7;
8
x
x
x



；
（2）解：设最小的数a 为x ，则
1,
7,
8
b
x
c
x
d
x






．
由题意可得

8
1
7
8
656
x x
x
x
x
x








，整理得
2
12
640
0
x
x



，
解得
1
2
20,
32
x
x


（舍去），
最小的数为20．
19．北京时间2025 年8 月25 日凌晨，WTT 欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT 欧
洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参
赛者各比赛1 场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计．
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明；
(2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4 场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加
比赛．
【答案】(1)
解：小诚的说法有道理．理由如下：
设有x 人报名参赛，由题意，得
1
32
2
x x 

，
整理得
2
64
0
x
x



．
解得
1
2
1
257
1
257
2
2
x
x




，
．
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1x 与
2x 都不是整数，
方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理．
(2)原来有9 人参加比赛
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设有x 人报名参赛，根据题意列方程
1
32
2
x x 

，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（2）设原来有x 人参加比赛，设有一人比赛了4场后退出比赛，可得方程


1
2
4
32
2
x
x




，整理并求
解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设原来有x 人参加比赛，
由题意，得


1
2
4
32
2
x
x




，
整理得
2
3
54
0
x
x



．
解得
1
2
9
6
x
x


，
（不符合题意，舍去）．
原来有9 人参加比赛．
20．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m 的墙AB 建造面积为
2
450m 的矩形区域来养鹌
鹑，该单位准备修建长为65m 的篱笆，并提供以下两种方案：
(1)如图1，若选取墙AB 的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB 上借用的CF 的长度为多
少?
(2)如图2，若全部借用AB 的长度，并在AB 的延长线上拓展BF ，构成矩形ADEF ，篱笆由BF 、EF 、DE
和AD 构成，求BF 的长．
【答案】(1) 20m
(2)5m
【分析】（1）设CF 的长为m
x
，则
65
m
2
x
CD







，由矩形CDEF ，得
65
450
2
x
x



，解方程即可；
（2）设BF 长为m
y
，则


25
m
AF
AB
BF
y




，由矩形ADEF ，得


25
m
DE
AF
y



，
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




65
25
20
m
2
y
y
AD
y






,由题意，得


25
20
450
y
y



，解方程即可；
【详解】（1）解：设CF 的长为m
x
，则
65
m
2
x
CD







，
由矩形CDEF ，得
65
450
2
x
x



，
整理，得
2
65
900
0
x
x



，
解得
1
2
20
45
x
x


，
，
25m
AB 
Q
，
2
45


x
舍去；
20
x

，

20 m
CF


．
（2）解：设BF 长为m
y
，则


25
m
AF
AB
BF
y




，
由矩形ADEF ，得


25
m
DE
AF
y



，





65
25
20
m
2
y
y
AD
y






由题意，得


25
20
450
y
y



，
整理，得
2
5
50
0
y
y


，
解得
1
2
5,
10
y
y


，
由长度不能为负数，
故
2
10
y 
舍去，
故
5
y 
，
故BF 的长为5m．
21．如图所示，已知在ABC 中，
90
B

，
6cm
AB 
，
12cm
BC 
，点Q 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm / s
的速度移动，点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm / s 的速度移动．
(1)如果Q 、P 分别从A 、B 两点同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于
2
8cm ？
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(2)几秒后，PQ 的长度为3 5cm ？
【答案】(1)2 秒或4 秒
(2)3 秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，能够表示出线段PB 和QB 的长是解答本题的关键．
（1）分别表示出线段PB 和线段BQ 的长，然后根据面积为8 列出方程求得时间即可；
（2）利用勾股定理列方程即可解答．
【详解】（1）解：设t 秒后，PBQ 的面积等于
2
8cm ，根据题意得：
6
,
2
QB
t BP
t



，
1
2 (6
)
8
2
t
t




，
解得：
2
t 
或4．
6 1
12
2
6



Q
0
6
t

，
故2 秒或4 秒后，PBQ 的面积等于
2
8cm ．
（2）解：根据勾股定理可得
2
2
2
PQ
QB
PB


，
故可得





2
2
2
3 5
6
2
t
t



，
解得1
2
3
3,
5
t
t


（舍去），
故3 秒后，PQ 的长度为3 5cm ．
22．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000 米的公路进行路面“白改黑”工程．该工
程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30 米，大型设备每
小时铺设路面60 米
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多2
3 ，当这个
工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000 米
多了9000 米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值
多
0
3.2
0
a
，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了
0 0
a
，
使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多1
0
30
0
2 a







，求a的值．
【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300 小时；（2）32．
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【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x 小时，根据总工作量大于等于39000 米列出不
等式求解即可；
（2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可．
【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x 小时，则大型设备的使用时间为
2
1
3






x 小时，
根据题意得：
2
30
60 1
39000
3
x
x









，
解得：x≥300，
答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300 小时；
（2）由题意得：300×（1+3.2a%）×30+60×（1-a%）×300
2
1
3






×（1+ 1
2 a%+30%）=39000+9000，
整理得：

32
0
a a 

，
解得：
0
a 
或32，
∵a﹥0，
∴a=32，
故a的值是32．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不
等关系，列出方程和不等式是解题的关键．
23．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020 年有会员200 人，其中男、
女会员人数之比为4 :1．
(1)求该健身俱乐部2020 年男、女会员各有多少名？
(2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k 人和（
4
k 
）人递增，这样到2022 年该俱乐部男、
女人数之比将变为3:1．
①求k 的值；
②2020 年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000 元和900 元，若每个男会员的年会费每年增加300
元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020
年全体男会员年会费总量的56% ．问2022 年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？
【答案】(1)男会员160 人，女会员40 人
(2)①
4
k 
；②相等
【分析】（1）根据男、女会员人数之比为4 :1和总人数，列出方程求解即可；
（2）①根据男、女会员人数之比为3:1，列出分式方程求解即可；②设每个女会员的年会费每年增长的百
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分数为y，根据增长率可列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020 年有女会员x 人，则有男会员4x 人．
依据题意，得4
200
x
x


，
解得，
40

x
，
4
160
x


，
答：该健身俱乐部2020 年有男会员160 人，女会员40 人．
（2）解：①依据题意得：


160
2
3
40
2
4
1
k
k




，
解得：
4
k 
，
经检验
4
k 
是所列方程的根，
故
4
k 
；
②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，




2
40
2
4
4
900 1
160 1000 56%
y











，
整理得

2
16
1
9
y


，
解得
1
1
3
y 
，
2
7
3
y 
（不合题意，舍去），
2022 年女会员每人年会费：
2
1
900 1
1600
3








（元），
2022 年男会员每人年会费：1000
300
2
1600



（元）．
∴2022 年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等．
24．问题情境：
八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结
果如下：
信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是30
120
x


．
信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本
1y （元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示．
信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价
2y （元）与日产量x（千克）之间的关系式为：
2
1
90
3
y
x


．
日产量x（千克）
30
60
90
120
每千克的生产成本
1y （元）
55
50
45
40
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问题解决：
(1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本
1y 是x 的一次函数，求此函数关系式；
(2)求这款“梨膏糖”每千克的售价
2y 的最大值是多少元；
(3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完．
①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200 元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该
定为多少比较合理？为什么？
②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500 元，能否实现？请通过计算说明理由．
【答案】(1)


1
1
60 30
120
6
y
x
x




(2)
80 元
(3)
①日产量定为60 千克；②不能实现
【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式；
（2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求
2y 的最大值；
（3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于x 的二次函数，再令
1200
W 
求解即可；
②令
1500
W 
，通过方程解的情况判断目标利润能否实现．
【详解】（1）解：设
1y 与x 的函数关系式为


1
0
y
kx
b k



，
从表格中选取两组数据，即
1
30,
55
x
y


；
1
60,
50
x
y


，
代入得
30
55
60
50
k
b
k
b







，解得
1
6
60
k
b





，
则有
1
1
60
6
y
x


，
经检验，其余点均满足该解析式，结合x 的取值范围，得函数关系式为


1
1
60 30
120
6
y
x
x




；
（2）解：已知


2
1
90 30
120
3
y
x
x




1
0
3
k 

，
2y

随x 的增大而减小，
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当
30
x 
时，
2y 取得最大值，最大值为
2
1
30
90
80
3
y 



，
即这款“梨膏糖”每千克的售价
2y 的最大值是80 元；
（3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W，
则


2
2
1
1
1
1
1
90
60
30
30
3
6
6
6
W
x y
y
x
x
x
x
x
x
x




































，
①当
1200
W 
时，得方程
2
1
30
1200
6 x
x



，
整理得
2
180
7200
0
x
x



，解得
1
2
60,
120
x
x


，均满足30
120
x


，
在获得相同利润时，日产量为60 千克比120 千克投入的人力和原材料更少，成本更低，
因此选择60 千克更合理，
答：当日该产品的日产量应该定为60 千克．
②当
1500
W 
时，得方程
2
1
30
1500
6 x
x



，
整理得
2
180
9000
0
x
x



，配方得
2
(
90)
900
x 

，
任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利
润，
答：不能实现利润为1500 元的计划．