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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测02
25.2.2-25.2.3 公式法与因式分解法
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．一元二次方程
2
2
5
0
x
x
根的情况为（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
2．关于x 的一元二次方程
2
3
4
2
0
x
x
中，根的判别式
2
4
b
ac
的值为（
）
A．8
B．12
C．8
D．12
3．已知
2
x 是方程
2
2
6
0
mx
m x
的解，则m 的值是（
）
A．
3
m
B．
1
m
C．
1
m 或3
D．
3
m
或1
4．已知直角三角形有两条边长分别是方程
2
14
48
0
x
x
的两个根，则该直角三角形的斜边长是（
）
A．10
B．2 7
C．10 或8
D．10 或2 7
5．若关于x 的一元二次方程
2
9
3
0
4
kx
x
有实数根，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0
k
B．
1
k 且
0
k
C．
1
k
D．
1
k 且
0
k
6．已知
2
x
是一元二次方程
2
2
2
4
0
a
x
x
a
的一个根，则a 的值为（
）
A．0 或4
B．－4
C．4
D．0
7．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，根据求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a
（其中
2
4
0
b
ac
），可以
推导两根之差的绝对值
1
2
S
x
x
的表达式．若
2
2
2
1
1
0
x
m
x
m
有两个实数根
1x ，
2x ．则能够满足
2
S
的m 的值为（
）
A．
1
2
B．1
C．3
2
D．2
8．若关于x 的一元二次方程
0
x
m
x
n
的解也是
2
(
3)
a x
b
（
0
a
）的解，则m 与n 满足的数量关
系为（
）
A．
3
m
n
B．
6
m
n
C．
6
m
n
a
D．
6
m
n
b
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9．关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
mx
m
的两个根
1x ，
2x 满足
1
2
2
x
x
，且
1
2
x
x
，则m 的值为（
）
A．2
B．3
±
C．3
D．3
10．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，给出下列说法：
①若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；
②若c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
；
④存在实数
m
n m
n
，
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c
．
其中正确的是（
）
A．只有①③
B．只有①②
C．只有①③④
D．①②③④
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．不解方程，判断一元二次方程
2
2
5
7
x
x
的根的情况是________．
12．若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．
13．解方程
2
2
2
1
3
1
4
x
x
x
x
，如果设
2
1
x
y
x
，那么得到关于y 的整式方程是______．
14．方程
2
2
1
0
x
x
的正根介于正整数m 与
1
m 之间，则m ________．
15．对于实数
,
m n ，现定义一种运算“”如下：
2
2
m
m
n m
n
m
n
n
m
n m
n
若
2
10
x
，则实数x 的值
为___________．
16．定义：
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程．则下列四个结论：
①如果
2
x
是
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，则
5
4
c
；
②如果
0
ac
，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程
2
2
0
ax
x
c
无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程
2
0
ax
bx
c
有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中
正确的有_____（填正确的序号）．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．解方程
(1)
2
8
9
0
x
x
；（配方法）
(2)
2
3
4
2
x
x
；（公式法）
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18．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
，其中a为实数．
(1)求证：一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
有实数根；
(2)设一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
的一个实数根为
1x ．若
1
2
1
x
，求a的取值范围．
19．小明与小颖两位同学解方程
2
5
2
2
x
x
的过程如图：
小明：
两边同除以
2
x
，
得5
2
x
，
解得
7
x
．
小颖：
移项，得
2
5
2
2
0
x
x
，
提取公因式，得
2
5
2
0
x
x
．
2
0
x
或5
2
0
x
．
解得
1
2
2,
3
x
x
．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如
2
mx
nx
的一元二次方程的一般解法．
20．解方程
2
1
5
1
4
0
x
x
时，我们可以将
1
x看成一个整体，设
1
x
y
，则原方程可化为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
1
y ，
2
4
y
．当
1
y ，即
1
1
x
，解得
2
x
；当
4
y
，即
1
4
x
，解得
5
x
．所
以原方程的解
1
2
x
，
2
5
x
．
(1)请你利用这种方法解方程：
2
2
1
4 2
1
3
0
x
x
；
(2)已知ABC 三条边的长度分别为a，b ，c，若满足
2
2
2
2
2
3
4
0
a
b
a
b
，且
2
c
，请判断ABC
的形状，并说明理由．
21．关于x 的代数式
2
0
ax
bx
c a
，若存在实数n ，使得
2
2
an
bn
c
n
，则称n 为这个代数式的等根
值．
(1)代数式
2
3
2
x
x
的等根值为____________；
(2)已知关于x 的代数式
2
2
3
x
kx
k
．
①求证：无论k 取何值，此代数式总有两个不相等的等根值；
②已知
1
x 是此代数式的一个等根值，求k 的值和这个代数式的另一个等根值．
22．已知关于x 的方程
2
3
2
2
0,
2
x
p
x
p
其中
1
p ．
(1)利用判别式判断该方程的根的情况；
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(2)C 是线段AB 上一点，AB
p
，AC 的长t 是该方程的一个根，且
2
1
t p
t
．
①求证
1
p
t
；
②确定点C 在线段AB 上的位置，并说明理由．
23．【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将4块图形进行拼接，
恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形①或长方形②（含拼接线）．
【观察发现】
(1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含a，b 的代数式表示）
【探索应用】
(2)若
2
a
，求b 的值；
(3)在
2 的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积．
24．定义：方程
2
0
ax
bx
c
（
0
ac
）与方程
2
0
cx
bx
a
互为“换位方程”．如一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
的“换位方程”是
2
3
2
0
x
x
．已知关于x 的一元二次方程①：
2
2
1
2
0
x
m
x
m
，其中
2
m
．
(1)写出方程①的“换位方程”；
(2)求证：当
2
m
时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根
0x ，求这个公共根及m 的值．
