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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测03
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．若、是方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，则
的值为（
）
A．2026
B．2
C．2
D．2026
2．关于
的一元二次方程
的根的情况是（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．有两个不相等的异号实数根
3．下列方程的两个实数根的和为
的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为
和
，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2 和9，则原来的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
5．对于任意实数
，，定义一种新运算“⊙”：
，若关于x 的方程
，
已知该方程的两个根为
、
，则
的值为（
）
A．
B．2
C．
D．4
6．若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x
的两个实数根，则
2
1
1
2
x
x
x
的值是（
）
A．2024
B．2026
C．2028
D．4052
7．若实数a，b，c 满足
，且
，则一元二次方程
的两个
实数根
满足的数量关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知一个矩形相邻两边长（单位：
）是关于
的方程
（
是常数）的两个根，则这个矩
形的面积（单位：
）可能是（
）
A．
B．
C．
D．
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9．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2(
1)
2
0
x
k
x
k
的两个实数根为
1x 和
2x ，设
1
2
x
x
t
k
，则t 的最大
值为（
）
A．4
B．4
C．6
D．6
10．对于一元二次方程
（
），下列说法：
①若
，则
；
②若方程
有两个不相等的实数根，则方程
必有两个不相等的实数根；
③若c 是方程
的一个根，则一定有
成立；
④若
是一元二次方程
的根，则
；
⑤若方程
有两个不相等的实数根，则方程
也一定有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______．
12．写一个二次项系数为1 的一元二次方程，让它的两个根分别为5，
（化为一般形式）：______．
13．若一个一元二次方程的两个根分别为2 和
，请写出一个符合条件的方程______．
14．已知
，
是方程
的两个实数根，则
=________．
15．菱形的两条对角线的长是方程
的两根，则菱形的面积是______．
16．已知关于
的一元二次方程
，方程有两个互为相反数的实数根，则
的值是
__________．
三、解答题：本题共8 小题,第17~22 题7 分，第23~24 题10 分，共62 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．关于
的一元二次方程
有一个根是
，求
的值及方程的另一个根．
18．已知关于x 的一元二次方程
的两个不相等的实数根
，
满足
，求m
的值．
19．已知关于x 的方程
(1)当方程的一个根为2 时，求c 的值．
(2)若方程的两根之积为3，求方程的根．
20．已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
x
m
有两个实数根
1
2
,
x x ．
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(1)求m 的取值范围．
(2)当
2
2
1
2
1
2
6
x
x
x x
时，求m 的值．
21．已知
的两边
，
的长是关于
的一元二次方程
的两个根，第三边
的长是
．
(1)求证：无论
取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当
为何值时，
是以
为斜边的直角三角形？
22．已知关于x 的方程
．
(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若
，
是方程的两根．
①当
时，求m 的值；
②直接写出代数式
的最小值．
23．已知关于x 的一元二次方程
有两个实数根
，
，若满足
，则此类方程叫做
“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①
；②
(2)已知关于x 的方程
是“差根方程”，求a 的值．
(3)已知
是直角三角形，斜边
的长为
，若
的两边
、
的长是一个二次项系数为1 的
“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”．
24．对于代数式
2
ax
bx
c
，若存在实数n ，使得当x
n
时，代数式的值等于常数，则称n 为这个代数式
的常定数．例如，对于代数式
2
2
1
ax
ax
，当
0
x
时，代数式的值为1，当
2
x
时，代数式的值为1，所
以0 和2 是这个代数式的常定数，当
1
x 时，代数式的值为
2
1
1
a
a
a
，不是恒定的常数，所以1 不
是这个代数式的常定数．
(1)判断：
2
x
__________（是或不是）代数式
2
3
4
mx
mx
的常定数．
(2)代数式
2
5
4
mx
mx
是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由．
(3)已知代数式
2
2
4
mx
nx
，当x 分别为0 和1 时，代数式的值均为4，若
2
1
(
3)
(
3)
6
2 m x
n x
n
存在两
个常定数
1x 和
2x ，求
1
2
x
x
的值．
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7．【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，
则称这个四边形为该方程的“根对四边形”．
【问题解决】已知一个根对四边形ABCD的两条对角线的长是方程
2
2
4
12
12
0
x
a
x
a
（
1
a ）的两
个实数根．
(1)当
2
a
时，求这两条对角线的长．
(2)若该根对四边形是矩形，求对角线AC 的长．
(3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为a ，求a 的值．
