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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测14
第十七章 因式分解综合训练
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.将下列多项式分解因式，所得结果为(2x −y)(2x + y)的是( )
A. 4x2 + y2
B. 4x2 −y2
C. −4x2 −y2
D. y2 −4x2
【答案】B
【详解】解：∵(2x −y)(2x + y) = 4x2 −y2
∴4x2 −y2分解因式，所得结果为(2x −y)(2x + y)
故选：B．
2.如果多项式a2 + b2 + m可以运用平方差公式分解因式，则m的值可以是( )
A. 2cb
B. −2ab
C. 3b2
D. −5b2
【答案】D
【详解】平方差公式要求式子为两个平方数相减。当m=-5b²时，原式=a²+b²-5b²=a²-4b²，可分解为(a+2b)(a-
2b)，其余选项无法因式分解。故选D。
3.式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2 −1 = x · x −1
B. x2 + 2xy + 1 = x(x + 2y) + 1
C. a2b + ab3 = ab(a + b2)
D. x(x + y) = x2 + xy
【答案】C
【详解】因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式。A、B 未化成乘积形式，D 是整式乘法展开，只
有C 符合因式分解定义。故选C。
4.如果a + b = 3，ab = 1，那么a3b + 2a2b2 + ab3的值为( )
A. 0
B. 1
C. 4
D. 9
【答案】D
【详解】
∵a + b = 3，ab = 1，
∴a3b + 2a2b2 + ab3 = ab(a2 + 2ab + b2) = ab(a + b)2 = 1 × 32 = 9.故选D．
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5.任意两个奇数的平方差总能( )
A. 被3整除
B. 被5整除
C. 被6整除
D. 被8整除
【答案】D
【详解】解：设这两个奇数分别为：2m + 1和2n + 1，
(2m + 1)2 −(2n + 1)2
= (2m + 1 + 2n + 1)(2m + 1 −2n −1)
= (2m + 2n + 2)(2m −2n)
= 4(m + n + 1)(m −n)，
∵m −n或m + n + 1必有一个为偶数，
(2m + 1)2 −(2n + 1)2是8的倍数，
故选：D．
6.已知a + b = 2，则a2 −b2 + 4b的值是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C
【详解】
解：∵a + b = 2，
∴a2 −b2 + 4b，
= (a + b)(a −b) + 4b，
= 2(a −b) + 4b，
= 2a + 2b，
= 2(a + b)，
= 2 × 2，
= 4．
故选C．
7.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a > b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个
图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式，这个恒等式为( )
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A. (a −b)2 = a2 −2ab + b2
B. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C. a2 −b2 = (a + b)(a −b)
D. a2 + ab = a(a + b)
【答案】C
【详解】大正方形减小正方形面积为a²-b²，拼接梯形面积为(a+b)(a-b)，面积相等验证平方差公式 a²-
b²=(a+b)(a-b)。故选C。
8.已知4y2 −12y + m是完全平方式，则m =( )
A. 4
B. 9
C. 16
D. −16
【答案】B
【详解】完全平方式 4y²-12y+m=(2y-3)²，展开得4y²-12y+9，因此常数项m=9。故选B。
9.已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，满足a2 −ac + bc −b2 = 0，则△ABC是( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】B
【详解】分组分解原式得(a-b)(a+b-c)=0。根据三角形三边关系，a+b-c＞0，因此a-b=0，即a=b，三角形为
等腰三角形。故选B。
10.计算(1 −
1
22) × (1 −
1
32) × (1 −
1
42) × (1 −
1
52) × (1 −
1
62)的值为( )
A.
5
12
B.
1
2
C.
7
12
D.
11
30
【答案】C
【详解】原式= (1 −
1
2) × (1 +
1
2) × (1 −
1
3) × (1 +
1
3) × (1 −
1
4) × (1 +
1
4) × (1 −
1
5) × (1 +
1
5) × (1 −
1
6) × (1 +
1
6) =
1
2 ×
3
2 ×
2
3 ×
4
3 ×
3
4 ×
5
4 ×
4
5 ×
6
5 ×
5
6 ×
7
6 =
1
2 ×
7
6 =
7
12.故选C．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.如图，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大3，面积为7，则a2b −ab2的值为 ．
【答案】21
【详解】提取公因式，原式=ab(a-b)，代入a-b=3，ab=7，得7×3=21。
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12.已知m −3n = −3，mn = 3，则m3n −6m2n2 + 9mn3的值为 ．
【答案】27
【详解】原式化简为mn(m-3n)²，代入m-3n=-3，mn=3，得3×9=27。
13.已知a + b = 1，则a2 −b2 + 2b + 9的值为 ．
【答案】10
【详解】原式变形代入a+b=1，化简得a+b+9，计算得1+9=10。
14.若一个正方形的面积为a2 + a +
1
4 (a > 0)，则此正方形的周长为 ．
【答案】4a+2
【详解】配方得完全平方形式，边长为a 加二分之一，周长等于4 乘边长，化简结果为4a+2。
15.已知(m + 2n)2 + 2m + 4n + 1 = 0，则(m + 2n)2026的值为 ．
【答案】1
【详解】换元配方得(m+2n+1)²=0，得m+2n=-1，负数的偶次幂结果为1。
16.如图，有若干张纸片，纸片甲是边长为a的正方形，纸片乙是边长为b的正方形，纸片丙是长和宽分别为
a，b的长方形.嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取纸片甲1张，再取纸片乙4张，还需取纸
片丙 张.
【答案】4
【详解】根据完全平方配方规律，需要4 张长方形纸片可拼成完整大正方形。
三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)分解因式：(1)a4 −18a2 + 81； (2) (a + b)2 + 2(a + b) + 1．
【详解】
(1)解：令a2＝x， 原式＝x2-18x+81 ＝(x-9)2 ＝(a2-9)2 ＝(a+3)2(a-3)2；
(2)令a+b＝x， 原式＝x2+2x+1 ＝(x+1)2 ＝(a+b+1)2．
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18.(8分)
如图，在一个边长为am的正方形广场上的四个角分别留出一个边长为bm的正方形，其余的地方种草．
(1)求种草的面积是多少．
(2)当a = 84，b = 8，且每平方米草坪的成本为5元时，共需要多少元？
【详解】
(1) 解：种草的面积是(a2-4b2)m2．
(2)当a＝84，b＝8 时，
a2-4b2＝(a+2b)(a-2b)＝(84+2×8)(84-2×8)＝100×68＝6800．
所以共需5×6800＝34000（元）．
19.(8分)
定义一种运算：a △b = a3 −b2 + ab + 1．
如：2 △(−3) = 23 −(−3)2 + 2 × (−3) + 1 = 8 −9 −6 + 1 = −6．
(1)计算：(−x) △(1 −x).
(2)将(1)计算所得的多项式分解因式．
【详解】
(1) 解：由题意，得
(-x)△(1-x)
＝(-x)3-(1-x)2+(-x)(1-x)+1
＝-x3-(1-2x+x2)-x+x2+1
＝-x3-1+2x-x2-x+x2+1
＝-x3+x．
(2)-x3+x
＝-x(x2-1)
＝-x(x+1)(x-1)．
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20.(8分)
(1)已知△ABC的三边长a，b，c满足a2b −a2c + b2c −b3 = 0，判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)已知△ABC的三边长a，b，c满足2a2 + b2 + c2 −2a(b + c) = 0，判断△ABC的形状，并说明理由．
【详解】
(1) 解：△ABC 为等腰三角形．
理由如下：
∵a2b-a2c+b2c-b3＝0，
∴a2(b-c)-b2(b-c)＝0，
∴(b-c)(a2-b2)＝0，
∴(b-c)(a+b)(a-b)＝0．
∵a+b＞0，
∴a-b＝0 或b-c＝0，
∴a＝b 或b＝c，
∴△ABC 为等腰三角形．
(2)△ABC 为等边三角形．
理由如下：
∵2a2+b2+c2-2a(b+c)＝0，
∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2＝0，
∴(a-b)2+(a-c)2＝0．
∵(a-b)2≥0，(a-c)2≥0，
∴a-b＝0，a-c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC 为等边三角形．
21.(10 分)
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最
终答案的一种方法.综合与实践课上，田老师展示了如下例题：
例：已知多项式2x3 −2x2 + m有一个因式是x + 2，求m的值．
解：由题意，设2x3 −2x2 + m = A ⋅(x + 2)(A为整式)，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取x = −2，
则2 × (−2)3 −2 × (−2)2 + m = 0，解得m =◼．
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(1) 【数学思考】“◼”处m的值为 ;
(2) 【方法应用】已知多项式2x3 −x2 −x + b有一个因式是2x −3，求b的值;
(3) 【深入探究】若多项式x4 + ax3 + bx −4有因式(x + 1)和(x −2)，求a，b的值．
【详解】
(1)24
(2)由题意,设2x3-x2-x+b=A⋅(2x-3)(A 为整式).
令2x-3=0,即x=
3
2,
代入式子,得2× (
3
2)3-(
3
2)2-
3
2+b=0,
解得b=-3;
(3)依题意,设x4+ax3+bx-4=A⋅(x+1)(x-2).
由于上式是恒等式,为方便计算,取x=-1,
得(−1)4+a× (−1)3+b×(-1)-4=0,
即a+b=-3,
取x=2,得24+a× 23+b×2-4=0,
即4a+b=-6,
解方程组{ a + b = −3,
4a + b = −6,
解得{a = −1,
b = −2,
∴a=-1,b=-2.
22.(12 分)
如图，将一张长方形纸板ABCD沿图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，有两块是边
长都为n的小正方形，有五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且m > n(以上长度单位：cm)．
(1)观察图形，长方形纸板的长AB = cm，宽BC = cm; (用含m，n的式子表示)
(2)利用图形的面积，可以将代数式2m2 + 5mn + 2n2分解因式为 ;
(3)若每块小长方形的周长是20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，求这张长方形纸板
ABCD的面积．
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【详解】
(1)(2m+n);(m+2n)
(2)(2m+n)(m+2n)
(3)∵m2-n2=40,
∴(m+n)(m-n)=40.
∵m+n=20÷2=10,
∴m-n=4,
∴mn=
1
4[(m + n)2-(m −n)2]=
1
4 ×(100-16)=21,
m2+n2=
1
2[(m + n)2+(m −n)2]=
1
2 ×(100+16)=58.
∴这张长方形纸板ABCD 的面积为2m2+5mn+2n2=2(m2+n2)+5mn=2×58+5×21=221(cm2).
