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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 2026-2027 学年八年级上学期数学周周测12 16.3 乘法公式 一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是( ) A. a2b2 −1 B. 1 −0.25a2 C. −a2 −b2 D. −x2 + 1 【答案】C 【详解】平方差公式只能计算两个平方数相减的式子。选项C 是两个平方相加取负，无法使用平方差公式 分解，其余选项均可。故选C。 2.下列各式添括号正确的是( ) A. −x −y = −(y −x) B. x −y = −(x + y) C. 10 −m = 5(2 −m) D. 3 −2a = −(2a −3) 【答案】D 【详解】 −x −y = −(x + y)，故A 项错误; x −y = −(−x + y)，故B 项错误; 10 −m = 5(2 − 1 5 m)，故C 项错误. 易知D项正确． 3.计算(x + 2 −3y)(x + 2 + 3y)的结果是( ) A. x2 −9y2 + 4x + 4 B. x2 −3y2 + 2x + 4 C. x2 −9y2 + 4 D. x2 −3y2 + 4x + 4 【答案】A 【详解】原式整理为 (x+2)的平方 减 (3y)的平方，展开后得到 x 平方减9y 平方加4x 加4。故选A。 4.小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“= 4x2■+ 25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项可能 是( ) A. +10xy B. +10xy或−10xy C. +20xy D. +20xy或−20xy 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 9 【详解】 4x2 = (2x)2，25y2 = (5y)2， ∵(2x ± 5y)2 = 4x2 ± 20xy + 25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选 D． 5.如图所示的是由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形图案.分别用a，b(a > b)表示小长 方形的长和宽，已知a + b = 9，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是( ) A. (a −b)2 = 9 B. (a + b)(a −b) = 27 C. a2 + b2 = 81 D. 4ab + 9 = 81 【答案】C 【详解】由题图可知大正方形图案的边长为a + b = 9，小正方形的边长为a −b = 3， ∴(a + b)2 = 81，(a −b)2 = 9，(a + b)(a −b) = 27，故A，B选项中的关系式正确; ∵(a + b)2 = 81，(a −b)2 = 9， ∴a2 + 2ab + b2 = 81 ①，a2 −2ab + b2 = 9 ②， ①+ ②得，2(a2 + b2) = 90， ∴a2 + b2 = 45，故C 选项中的关系式错误; ①− ②得，4ab = 72， ∴4ab + 9 = 81，故D 选项中的关系式正确. 故选C． 6.已知a + b = 5，ab = 4，则(a −b)2 =( ) A. 17 B. 23 C. 25 D. 9 【答案】D 【详解】 ∵a + b = 5， ∴(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 25， ∵ab = 4， ∴a2 + b2 = 25 −2 × 4 = 17． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 9 ∴(a −b)2 = a2 + b2 −2ab = 17 −8 = 9. 故选D． 7.运用平方差公式计算(x −2y −1)(x −2y + 1)时，下列变形正确的是( ) A. [x −(2y −1)]2 B. [x + (2y −1)][x −(2y −1)] C. [(x −2y) −1][(x −2y) + 1)] D. [x + (2y + 1)]2 【答案】C 【详解】将x 减2y 看作整体，原式凑成整体减1、整体加1 的平方差标准形式。故选C。 8.如果(a + b)2 −(a −b)2 = 4，则一定成立的是( ) A. a是b的相反数 B. a是b的倒数 C. a是−b的相反数 D. a是−b的倒数 【答案】B 【详解】因为(a + b)2 −(a −b)2 = a2 + 2ab + b2 −(a2 −2ab + b2) = 4ab = 4， 所以4ab = 4， 即ab = 1. 所以ab互为倒数． 9.已知m −n = 2，m2 −n2 = 2，则m + n的值为 ( ) A. 1 B. 0 C. −1 D. −2 【答案】A 【详解】利用平方差公式，m 平方减n 平方等于(m-n)(m+n)，代入数值可得2 乘(m+n)等于2，解得m+n 等 于1。故选A。 10.如图所示的是某校八年级(1)(2)班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形 (m > n)，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八年级(1)(2)两个班级的基地面积.若m + n = 8， mn = 15，则S1 −S2 =( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 22 【答案】C 【详解】∵m + n = 8，mn = 15， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 9 ∴64 = m2 + n2 + 2 × 15， ∴m2 + n2 = 34， ∴(m −n)2 = m2 + n2 −2mn = 34 −2 × 15 = 4， ∵m > n， ∴m −n = 2， ∴S1 −S2 = m2 −n2 = (m −n)(m + n) = 2 × 8 = 16． 故选C． 二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。 11.如果x + 1 x = 4，那么x2 + 1 x2 = ． 【答案】14 【详解】x 加x 分之一等于4，x 平方加x 平方分之一等于4 的平方减2，结果为14。 12.如图，两个正方形的边长分别为a，b.已知a + b = 8，阴影部分的面积为14，则ab的值为 ． 【答案】12 【详解】由题图可知S阴影= a2 + b2 − 1 2 a2 − 1 2 b(a + b) = 1 2 a2 + 1 2 b2 − 1 2 ab = 14， ∴a2 + b2 −ab = 28， ∵a + b = 8， ∴(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 64， ∴a2 + b2 = 64 −2ab， ∴64 −2ab −ab = 28，解得ab = 12. 故答案为12． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 9 13.已知(x −y)2 = 25，xy = 14，则x2 + y2的值为 ． 【答案】53 【详解】 解：∵(x −y)2 = 25， ∴x2 −2xy + y2 = 25， ∵xy = 14， ∴x2 + y2 = 25 + 2xy = 25 + 28 = 53． 故答案为：53． 14.若(2a + 2b −1)(2a + 2b + 1) = 99，则a + b的值为 ． 【答案】±5 【详解】∵(2a + 2b −1)(2a + 2b + 1) = 99， ∴[(2a + 2b) −1)][(2a + 2b) + 1] = 99， ∴(2a + 2b)2 −1 = 99， ∴(2a + 2b)2 = 100， ∴2a + 2b = ±10， ∴a + b = ±5． 15.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m −n = 3，则称这个正整数为“智慧优数”. 例如，当m = 4，n = 1时，15 = 42 −12，15是一个“智慧优数”.若将“智慧优数”从小到大排列，则第100个“智 慧优数”是 ． 【答案】609 【详解】根据定义推出通项公式为6n+9，代入第100 项，结果为609。 16.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 (如图①)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边的长为a，较长直角边的 长为b.如果将四个全等的直角三角形按如图②所示的方式摆放，那么图②中大正方形的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 9 【答案】27 【详解】在题图①中，由题意， 得a2 + b2 = 15，(b −a)2 = 3. 两式相减，得2ab = 12. 在题图②中，大正方形的面积为(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 15 + 12 = 27． 三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（6 分）计算： (1) (2x −y)(2x + y) −(3x + 2y)(3x −2y); (2) (2a −b)(2a + b) −(2a −b)2． 【详解】 解：(1)原式= 4x2 −y2 −(9x2 −4y2) = 4x2 −y2 −9x2 + 4y2 = −5x2 + 3y2; (2)原式= 4a2 −b2 −(4a2 −4ab + b2) = 4a2 −b2 −4a2 + 4ab −b2 = −2b2 + 4ab． 18.(8分) 某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗.长方形实验田每排种植 (3a −b)株，种植了(3a + b)排;正方形实验田每排种植(2a −b)株，种植了(2a −b)排，其中a > b > 0． (1)正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株? (2)当a = 5，b = 2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗? 【详解】 (1)解:依题意,得(3a-b)(3a+b)-(2a −b)2=5a2+4ab-2b2. 答:正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗(5a2+4ab-2b2)株; (2)依题意,得(3a-b)(3a+b)+(2a −b)2=13a2-4ab. 当a=5,b=2 时,原式=13× 52-4×5×2=285. 答:该种植基地这两块实验田一共种植了285 株豌豆幼苗. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 9 19.(8分) 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如12 = 42 −22，20 = 62 − 42，28 = 82 −62，…，因此12，20，28都是奇巧数． (1) 36，50是奇巧数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为2n，2n + 2(其中n为正整数)，由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数吗？为什 么？ 【详解】 (1)∵36＝102-82， ∴36 是奇巧数． 设两个连续偶数为m，m+2（m 为偶数）， 则(m+2)2-m2＝50， 解得m＝11.5（不符合题意，舍去）． ∴50 不是奇巧数． (2)是． 理由如下： ∵(2n+2)2-(2n)2＝(2n+2+2n)(2n+2-2n)＝4(2n+1)， ∴由这两个连续偶数构造的奇巧数是4 的倍数． 20.(8分) 已知：整式A = 2t + 3，B = 2t −3，t为任意有理数． (1)A ⋅B + 13的值可能为负数吗？请说明理由． (2)请通过计算说明：当t是整数时，A2 −B2的值一定能被24整除． 【详解】 （1）A ⋅B + 13的值不可能为负数， 理由如下： ∵A ⋅B + 13 = (2t + 3)(2t −3) + 13 = 4t2 −9 + 13 = 4t2 + 4， 4t2 ≥0， ∴4t2 + 4 > 0， ∴A ⋅B + 13的值不可能为负数. (2)A2 −B2 = (2t + 3)2 −(2t −3)2 = 24t， ∵t是整数， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 9 ∴24t一定能被24 整除， ∴当t是整数时，A2 −B2的值一定能被24 整除. 21.(10 分) 阅读材料：a2 −2ab + 2b2 −8b + 16 = 0，求a，b的值． 解：∵a2 −2ab + 2b2 −8b + 16 = 0，∴(a2 −2ab + b2) + (b2 −8b + 16) = 0， ∴(a −b)2 + (b −4)2 = 0，∴(a −b)2 = 0，(b −4)2 = 0，∴a = 4，b = 4． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若m2 + n2 −4m + 4 = 0，则m = ，n = ； (2)已知x2 + 2y2 + 10y + 25 −2xy = 0，求xy的值； (3)已知Rt △ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2 + b2 −6a −8b + 25 = 0，求c2． 【详解】 (1)2;0 (2)∵x2+2y2+10y+25-2xy＝0， ∴(x-y)2+(y+5)2＝0， ∴x＝y，y＝-5， ∴xy＝(-5)×(-5)＝25． (3)∵a2+b2-6a-8b+25＝0， ∴(a-3)2+(b-4)2＝0， ∴a＝3，b＝4． 当c 最大时，c2＝a2+b2＝25； 当b 最大时，c2＝b2-a2＝7． 综上所述，c2 的值是25 或7． 22.(12分) 如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型 是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． (1) 观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 9 方法1： ； 方法2： ； 请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ． (2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值； (3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a + b = 8，ab = 15，求图3中阴影部分的面 积． 【详解】 (1) （a+b）2 ; a2+2ab+b2; （a+b）2=a2+2ab+b2 (2)由题意， 得（a+b）2=a2+2ab+b2=49， a2+b2=25， ∴ab = (a+b)2−(a2+b2) 2 = 49−25 2 = 12． (3)由题意，得图3 中阴影部分的面积为 b2 2 + a2 − a(a+b) 2 = b2+2a2−a2−ab 2 = (a+b)2−3ab 2 ， ∴当a+b=8，ab=15 时， 图3 中阴影部分的面积为 82−3×15 2 = 64−45 2 = 19 2 ．
