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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测05
14.3 角的平分线
一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.如图，P为∠AOB的平分线OC上一点，PM ⊥OA于点M，PM = 6，N为OB上任意一点，则满足PN = 6的
点N有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】A
【详解】∵OC平分∠AOB，PM ⊥OA，PM = 6，
∴ 点P到OB的垂线段长度为 6，
垂线段与OB仅有 1 个交点，即满足PN = 6的点N只有 1 个。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A = 90∘，AD = 4，连接BD，BD ⊥CD，∠ADB = ∠C.若P是BC边上一动点，
则DP长的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【详解】∵∠A = 90∘，∠ADB = ∠C，BD ⊥CD，
∴∠ABD = ∠DBC，即BD平分∠ABC。
根据角平分线性质，点D到AB、BC距离相等，AD = 4，
∴DP最小值等于垂线段长度4。
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3.如图，P是△ABC内的一点，且PD = PE = PF，则点P是( )
A. △ABC三条中线的交点
B. △ABC三条角平分线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点
D. 以上选项均可以
【答案】B
【详解】角平分线判定：三角形内部一点到三边距离相等，则该点是三条角平分线交点。
PD ⊥BC，PE ⊥AC，PF ⊥AB，PD = PE = PF，故P为三条角平分线交点。
4.如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑杆和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构
示意图.现量得托板AB = 10cm，支撑杆顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑杆CD可
绕点D转动.如图3，当CD ⊥AB，且DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到DE的距离BF是( )
A. 3cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 10cm
【答案】B
【详解】C是AB中点，AB = 10cm，∴BC =
1
2 AB = 5cm。
∵DB平分∠CDE，CD ⊥AB，BF ⊥DE，
由角平分线性质，点B到CD、DE距离相等，BF = BC = 5cm。
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5.在△ABC中，∠BAC = 90∘，AB ≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角
形，则下列作法中，正确的是( )
A. ② ③
B. ① ②
C. ① ③
D. ① ② ③
【答案】A
【详解】①作图为AB垂直平分线，只能得到DB = DA，无法使△ACD等腰；
②以A为圆心AC画弧交BC，AC = AD，△ACD等腰；
③作∠ADC = ∠C，AD = AC，△ACD等腰；
故②③正确。
6.如图，在下列各图形中，根据尺规作图痕迹能判断射线AD平分∠BAC的是( )
A. 图1和图2
B. 图1和图3
C. 图2和图3
D. 图1、图2和图3
【答案】A
【详解】图 1 尺规作角平分线标准画法，AD平分∠BAC；
图 2 通过全等三角形证明AD平分∠BAC；
图 3 作图为作BC垂直平分线，与角平分线无关；
因此图 1、2 符合要求。
7.如图，在Rt △ABC中，∠C = 90°，根据图中的作图痕迹，有下列结论：
①∠AQM = ∠APC，
②连接BN，则△BNC的周长C△BNC = AC + BC，
③连接BN，BQ，则BQ平分∠NBA，
④S△AQM = S△AQN.其中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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【答案】C
【详解】作图得AP平分∠BAC，MN垂直平分AB。
①∵∠CAP + ∠APC = 90∘，∠BAP + ∠AQM = 90∘，∠BAP = ∠CAP，∴∠AQM = ∠APC，正确；
②AN = BN，C△BNC = BC + CN + BN = BC + CN + AN = AC + BC，正确；
③BN = AN，BQ = AQ，等边对等角推导得BQ平分∠NBA，正确；
④QM = QE，AM ≠AN，S△AQM =
1
2 AM ⋅QM ≠
1
2 AN ⋅QE = S△AQN，错误；
综上正确共 3 个。
8.如图，在△ABC中，两个完全一样的直角三角尺如图摆放，它们的一组对应的直角边分别在AB，AC上，
且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在( )
A. 边AC上的高上
B. ∠A的平分线上
C. ∠B的平分线上
D. 边AB上的中线上
【答案】B
【解析】如图，∵ME ⊥AB，MF ⊥AC，ME = MF，∴点M在∠A的平分线上．
9.如图，△ABC的角平分线AE，BD交于点O，OF ⊥AB于点F，∠C = 60∘，以下结论错误的是( )
A. ∠AOB = 120∘
B. AD + BE = AB
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C. S△AOB = S△AOD + S△BOE
D. 若△ABC的周长为m，OF = n，则S△ABC = mn
【答案】D
【详解】
A.∠C = 60∘，∠CAB + ∠CBA = 120∘，AO、BO平分两角，∠OAB + ∠OBA = 60∘，∠AOB = 120∘，正确；
B. 在AB截取AG = AD，证△AOD ≌△AOG，△BOG ≌△BOE，得AD + BE = AB，正确；
C. 由全等面积转换，S△AOB = S△AOD + S△BOE，正确；
D.O为内心，到三边距离均为OF = n，S△ABC =
1
2 ⋅m ⋅n ≠mn，错误。
10.如图，在△AOB和△COD中，OA = OB，OC = OD，OA < OC，∠AOB = ∠COD = 36∘.连接AC，BD交
于点M，连接OM.给出下列结论： ①∠AMB = 36∘; ②AC = BD; ③OM平分∠AOD; ④OM平分∠AMD.其中
一定正确的结论的个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【详解】∵∠AOB = ∠COD，∴∠AOC = ∠BOD，又OA = OB，OC = OD，
∴△AOC ≌△BOD(SAS)，得AC = BD，∠OAC = ∠OBD，
由对顶角相等推导∠AMB = ∠AOB = 36∘，①②正确；
过O作OG ⊥AC，OH ⊥BD，证△OCG ≌△ODH，OG = OH，∴OM平分∠AMD，④正确；
无条件证明OM平分∠AOD，③错误；
正确共 3 个。
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二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11.如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB = 4，则△ABO的
面积为 ．
【答案】7
【详解】
∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离．
∵点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5．
∵AB = 4，
∴△ABO的面积为
1
2 × 4 × 3.5 = 7.
故答案为7．
12.如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE = BF；分别
以点E，F为圆心，大于
1
2 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M
作MN ⊥AB于点N.若MN = 2，AD = 4MD，则AM = ．
【答案】6
【详解】解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，
∵AD是边BC上的高，
∴AD ⊥BC，
∵MN ⊥AB，
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∴MD = MN = 2．
∴AD = 4MD = 8，
∴AM = AD −MD = 6．
故答案为：6．
13.如图，在△ABC中，∠C = 90∘，AD平分∠CAB交BC于点D，DE ⊥AB于点E，且AB = 5cm，AC = 3cm，
BC = 4cm，则△DEB的周长为 cm．
【答案】6
【详解】∵AD平分∠CAB，DC ⊥AC，DE ⊥AB，∴DC = DE，Rt △ACD ≌Rt △AED，AC = AE = 3，
BE = AB −AE = 5 −3 = 2，
C△DEB = DE + DB + BE = DC + DB + BE = BC + BE = 4 + 2 = 6。
14.如图，在x轴、y轴上分别截取OA，OB，使OA = OB，再分别以点A，B为圆心，以大于
1
2 AB长为半径画
弧，两弧相交于点P.若点P的坐标为(a, 2a −3)，则a的值为 ．
【答案】3
【详解】作图得OP平分∠AOB，∴P横、纵坐标相等，a = 2a −3，
解得a = 3。
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15.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为4,6,8，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则
S△OAB: S△OBC: S△OAC = ．
【答案】2: 3: 4
【详解】O是三条角平分线交点，到三边距离相等，设距离为h，
S△OAB: S△OBC: S△OAC =
1
2 AB ⋅h:
1
2 BC ⋅h:
1
2 AC ⋅h = AB: BC:AC = 4: 6: 8 = 2: 3: 4。
16.如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE ⊥AB于点E.若PE = 4，则两
条平行线AD与BC之间的距离为 ．
【答案】8
【详解】过P作PM ⊥AD，PN ⊥BC，
AP平分∠BAD，PE ⊥AB，PM ⊥AD，∴PM = PE = 4，
BP平分∠ABC，PE ⊥AB，PN ⊥BC，∴PN = PE = 4，
平行线距离= PM + PN = 4 + 4 = 8。
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三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(6 分)
已知：如图，P是OC上一点，PD ⊥OA于点D，PE ⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF = PG，
DF = EG.求证：OC是∠AOB的平分线．
【详解】
证明：
∵PD ⊥OA，PE ⊥OB，
∴∠PDF = ∠PEG = 90°.
在Rt △PFD和Rt △PGE中，
{PF = PG,
DF = EG,
∴Rt △PFD≌Rt△PGE(HL).
∴PD = PE.
又∵PD ⊥OA，PE ⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线．
18.(8 分)
在△ABC中，AB = AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AC，AB作垂线，垂足分别为E，F．
(1)当点D在BC的什么位置时，DE = DF？并说明理由．
(2)在(1)的条件下，若∠BAC = 120°，AE = 8，求CE的长．
【详解】
(1) 当点D 在BC 的中点上时，DE＝DF，
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理由：如图，连接AD，
∵D 为BC 中点，AB＝AC，
∴AD 为∠BAC 的平分线，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF．
(2)∵∠BAC＝120°，AB＝AC，D 为BC 的中点，
∴∠C =
180 ∘−120 ∘
2
= 30 ∘，∠CAD =
1
2 ∠BAC = 60 ∘，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝16，
∴AC＝2AD＝32，
∴CE＝AC-AE＝32-8＝24．
19.(8分)
如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB于点E，点F在AC上，且BD = DF．
(1)求证：CF = EB．
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】
(1) 证明：
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE．
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在Rt△FCD 和Rt△BED 中，
{DF = DB,
DC = DE,
∴Rt △FCD ≌Rt △BED(HL)．
∴CF＝EB．
(2)解：AB＝AF+2EB．理由如下：
在Rt△ACD 和Rt△AED 中，
{AD = AD,
DC = DE,
∴Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)．
∴AC＝AE．
∴AB＝AE+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．
20.(8分)
如图，在△ABC中，P是BC上一点，PR ⊥AB，PS ⊥AC，垂足分别为R，S，PR = PS，Q是AC上一点，且
∠CAP = ∠APQ．
(1)求证：QP//AR．
(2)AR和AS相等吗？请说明理由．
【答案】
(1) ∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴AP 平分∠BAC．
∴∠BAP=∠CAP．
又∵∠CAP=∠APQ，
∴∠BAP=∠APQ．
∴QP// AR
(2)相等，
理由：∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP=∠ASP=90°．
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在Rt△APR 和Rt△APS 中，
{AP = AP,
PR = PS,
∴ Rt△APR≌ Rt△APS．
∴AR=AS．
21.(10 分)
如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD = 100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF ⊥AB，垂足为
F，且∠AEF = 50°，连接DE．
(1)求证：DE平分∠ADC；
(2)若AB = 7，AD = 4，CD = 8，且S△ACD = 15，求△ABE的面积．
【答案】
(1)过点E 作EG⊥AD 于G，EH⊥BC 于H，如图，
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°-50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°-100°-40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40°，
即AC 为∠DAF 的平分线，又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE 是∠ABC 的平分线，EH⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E 在∠ADC 的平分线上，
∴DE 平分∠ADC；
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(2)S▵ABE =
35
4
22.(12 分)
如图，点P在∠AOB的平分线上，点E，F分别在OA，OB上，且∠OFP = ∠OEP．
(1)求证：PF = PE．
(2)延长FP，EP，分别交OA，OB于点C，D，连接CD，若DP平分∠CDB，回答下列问题：
①试说明：CP平分∠ACD;
②若CD = 2，S△PCD = 2，求点P到射线OA的距离．
【答案】
(1) 【证明】
∵点P 在∠AOB 的平分线上,
∴∠EOP=∠FOP.
又∵∠OFP=∠OEP,OP=OP,
∴△OFP≌△OEP(AAS),
∴PF=PE.
(2)【解】①如图,过点P 作OA,OB,CD 的垂线,垂足分别为I,G,H.
∵点P 在∠AOB 的平分线上,
∴PG=PI.
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∵DP 平分∠CDB,
∴PG=PH,
∴PH=PI,
∴CP 平分∠ACD.
②由(1)得△OFP≌△OEP,
∴OF=OE.
又∵∠OFC=∠OED,∠FOC=∠EOD,
∴△FOC≌△EOD(ASA),
∴OD=OC,DE=CF.
∵PF=PE,∴PD=PC,
∴OP 是线段CD 的垂直平分线,则点H 是OP 与CD 的交点.
∵CD=2,S△PCD=2,
∴
1
2 ×CD×PH=2,
∴PH=2,
∴PH=PI=2,
即点P 到射线OA 的距离为2.
